上海教育版数学八下第二十一章《代数方程》单元测试卷
x2－4 x ＋2 x2－1 3x x2－1 4．若解分式方程 － ＝ 产生增根，则 m 的值是（ ） x x －1 ＝ －5 （B ） ＝ －5 （C ） ＝ －5 （D ） ＝ － 50 50 50 x x
9. 已知 x 上海教育版数学八下第二十一
章《代数方程》单元测试卷
一、选择题
2x 1 1．方程 －1＝ 的解是（ ）
（A ）－1 （B ）2 或－1 （C ）－2 或 3 （D ）3
3x x2－1 3x 2.用换元法解分式方程 ＋ ＝3 时，设 ＝y ，原方程变形为（ ）
（A ）y 2－3y ＋1＝0 （B ）y 2＋3y ＋1＝0 （C ）y 2＋3y －1＝0 （D ）y 2－y ＋3＝0
3．用换元法解方程 x 2＋8x ＋ x2＋8x －11 ＝23，若设 y ＝ x2＋8x －11 ，则原方程可化为
（
）
（A ）y 2＋y ＋12＝0 （B ）y 2＋y －23＝0 （C ）y 2＋y －12＝0 （D ）y 2＋y －34=0
2x m ＋1 x ＋1 x －1 x2＋x x
（A ）－1 或－2 （B ）－1 或 2
（C ）1 或 2 （D ）1 或－2
4 1 5．解方程 － ＝1 时，需将方程两边都乘以同一个整式（各分母的最简公分母） 约
去分母，所乘的这个整式为（
） （A ）x －1 （B ）x （x －1）
（C ）x （D ）x ＋1
6. 某车间原计划 x 天内生产零件 50 个，由于采用新技术，每天多生产零件 5 个，因此
提前 3 天完成任务，则可列出的方程为
（ ） （A ） 50 50 50 50 50 x － 3 x x － 3 x － 3 x x － 3 5
二、填空：
7. 如果 4 - 2 x x - 5 的值与 的值相等，则 x = ___________. 4 - x x - 4 8.方程 2x －3 － x ＋1 ＝0 的解是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
3 x - y = ，则 = ______________.
y
2 x + y
10. 能使（x －5） x －7 ＝0 成立的 x 是＿＿＿＿＿＿。
11. 关于 x 的方程 m(m －1)x ＋3 ＝2x －15 是根式方程，则 m 的取值范围是＿＿＿＿＿。
12. 一项工程，甲、乙两人合做需
t 小时完成，甲独做需 s 小时完成，那么乙独做需
1 / 4
的值等于
____________小时完成.
13. 当 x ＝＿＿＿＿时，分式 x ＋ 1 4 。 x ＋ 2 5
14.学校举行乒乓球女子单打比赛，采用单循环赛制，共比赛 21 场，则参加比赛的选手有
名.
15.两个连续正偶数的和的平方是 36，则这两个数是
.
16.某件商品先降价 10%之后，再提价 10%，现价是 99 元，则商品的原价是
元.
17. 已知直角三角形的两条直角边的差是 3cm ，其面积是 20cm 2 ，
则其两条直角边长
为 .
18.写出一个双二次方程，这个方程可以是 .
三、简答题：
19.解方程 2 3 7 + = x + 3 2 2 x + 7
20. 解方程 2x 2－4x －3 x2－2x －4 ＝10
??x 2 -2xy+y 2 =4
21. 解方程组： ? ??x 2 +xy-2y 2 =0
2 / 4
x-2 x2+2 x x 2x(x-1) x-1 B
x m+1 x+1 22．若关于 x 的方程 - = +1 产生增根，求 m 的值。
x-1 8x+a x 23. 当 a 为何值时，方程 - + =0 只有一个实数根。
四、解答题
24. 电力局的维修工要到 30 千米远的郊区进行电力抢修，技术工人骑摩托车先走，15 分钟
后，抢修车装载所需的材料出发，结果他们同时到达，已知抢修车的速度是摩托车的 1.5
倍，求这两种车的速度
D
A C Q 25. 如图，矩形 ABCD 中，A
B ＝6cm ，B
C ＝12cm ，点Ｐ从 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的
P 速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动，如果 P 、Q 分别是从 A 、
B 同时出发，求经过几秒时，
①△PBQ 的面积等于 8 平方厘米？
②五边形 APQCD 的面积最小？最小值是多少？
3 / 4
4/4
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上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理 第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 二次根式 1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。 2． 二次根式的性质 ①???≤-≥==) 0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④ )0,0(>≥=b a b a b a ; 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a 3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． ~ 二次根式的运算法则： =(a+b) ≥0) ).0,0(≥≥=?b a ab b a =a ≥0,b>0） n =≥0)
第十七章 一元二次方程 一元二次方程的概念 1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2．一般形式y=ax 2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 一元二次方程的解法 … 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a ---= , = ； △=2 4b ac -≥0 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根 △＝0时，方程有两个相等的实数根 △＜0时，方程没有实数根 2．反过来说也是成立的 ) 一元二次方程的应用 1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根 2．把二次三项式分解因式时； 如果2 4b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式 如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 3． 实际问题：设，列，解，答 第十八章 正比例函数和反比例函数 ．函数的概念 1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量 2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量 % 3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x = 4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，
上海教育版初中数学八年级下册期末测试题
（满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 直线3+=x y 与y 轴的交点坐标是( ) （A ）(0，3)； （B ）(0，1)； （C ）(3，0)； （D ）(1，0). 2. 1=x 是下列哪个方程的根（ ） （A ）05.0)1(=--x x ； （B ）0623 =-x ； （C ）01=+x ； （D ）1 1 12+=+x x x ． 3. 某校计划修建一条400米长的跑道，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2天完成 任务. 如果设原计划每天修x 米，那么根据题意可列出方程（ ） （A ）210400400=--x x ； （B ）240010400=--x x ；（C ）210 400400=+-x x ；（D ） 2400 10400=-+x x ． 4. 下列四个命题中，假命题为（ ） （A ）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （B ）对角线相等且互相平分的四边形是正方形； （C ）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （D ）对角线相等的梯形是等腰梯形. 5. 下列事件属于必然事件的是（ ） （A ）10只鸟关在3个笼子里，至少有1个笼子里关的鸟超过3只； （B ）某种彩票的中奖概率为 100 1 ，购买100张彩票一定中奖； （C ）掷一枚骰子，点数为6的一面向上； （D ）夹在两条互相平行的直线之间的线段相等. 6. 已知四边形ABCD 中，90A B C ===∠∠∠，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ） （A ）90D =∠； （B ）AB CD =； （C ）AD BC =； （D ）BC CD =. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 已知12)(-=x x f ，且3)(=a f ，则=a ． 8. 已知点)0,2(-A 在直线2+=kx y 上，=k . 9. 已知一次函数y kx b =+的图像如图1所示.当2 - = ? ? ? 八年级(下)数学第二十一章代数方程练习 一．选择题（每题 3 分，共 18 分） 1. 下列关于 x 的方程中，高次方程是 ( ) （A ） ax 2 -1 = 0(a ≠ 0) ; （B ） x 3 + 25x = 0 ; （C ） 1 x 5 + x 3 = 2 ; （D ） x 2 + 5 = 0 . 2. 如果关于 x 的方程(m + 3)x = 6 有解,那么 m 的取值范围是 ( ) （A ） m > -3 ; （B ） m = -3 ; （C ） m ≠ -3 ; （D ）任意实数. 3. 下列方程中,有实数根的是 ( ) （A = -x ;（B +1 = 0 ;（ C = 0 ;（D = x - 3 . 4. 用换元法解方程 x 2 +1 3x 2x x 2 +1 5 ，设 x 2 +1 x = y ,则得到关于 y 的整式方程为 ( ) （A ） 2 y 2 - 5 y - 3 = 0 ; （B ） 6 y 2 +10 y -1 = 0 ; （C ） 3y 2 + 5 y - 2 = 0 ; （D ） y 2 -10 y - 6 = 0 . ? 2 + 1 = 0 ?xy = 8 ?xz + y = 1 ?x 2 + x = 3 ? x y 5.下列方程组， ?x - y = 2 ； ?2xy = y + x ； ?2 y = 6 ； ?3 1 . 其中， 二元二次方程组的个数是 ? ? ? ? x - y = 5 ( ) （A ） 1； （B ） 2； （C ） 3； （D ） 4. ??x 2 - 2xy - 3y 2 = 0 6.方程组??x 2 + 6 y = -2 的解的个数是 ( ) （A ） 1 ; （B ） 2 ; （C ） 3 ; （D ） 4. 二、填空（每空 2 分，共 24 分） 7.方程 x 3 -1 = 0 的根是 . 8.方程2x 4 - 7x 2 - 4 = 0 的根是 . 9. = 3 的解是 . 10. 把二次方程9x 2 - 6xy + y 2 = 4 化成两个一次方程,这两个一次方程是 . 11. 已知关于 x 的方程2x 2 + mx + 3 = 0 是二项方程,那么 m = . 12. 当 m 时,关于 x 的方程(m + 2)x = m 2 - 4 的根是 x = m - 2 . 13.方程( x )2 + 6 = 5( x ) 的整数解是 . x -1 ?x + y = 4 14. 方程组?xy = -5 x -1 的解是 . 上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理 第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 二次根式 1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。 2． 二次根式的性质 ①???≤-≥==) 0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a b a b a 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a 3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 二次根式的运算法则： ≥0) =a ≥0,b>0） n ≥0) 第十七章 一元二次方程 一元二次方程的概念 1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2．一般形式y=ax2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 一元二次方程的解法 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a -+-= , = ； △=24b ac -≥0 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根 上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理 数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 17.2 一元二次方程的解法 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式 242b b ac x a --=：22124422b b ac b b ac x x a a -+---= , = ； △=24b ac -≥0 17.3 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根 △＝0时，方程有两个相等的实数根 △＜0时，方程没有实数根 2．反过来说也是成立的 17.4 一元二次方程的应用 1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根 2．把二次三项式分解因式时； 如果24 -≥0，那么先用公式法求出方程的两 b a c 个实数根，再写出分解式 如果24 -＜0，那么方程没有实数根，那此二 b a c 次三项式在实数范围内不能分解因式 1．实际问题：设，列，解，答 第十八章正比例函数和反比例函数 18.1．函数的概念 1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量 2．在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许取之范围内，变量y随变量x的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为 函数解析式() = y f x 4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y是自变量x的函数，那么对于x在定义域内去顶的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值 18.2 正比例函数 1．如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例 上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳 理 上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理 第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 16.1 二次根式 1．二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或 0。 2．二次根式的性质 ①???≤-≥==) 0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a b a b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 16.3 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a 3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 二次根式的运算法则： ≥0) ).0,0(≥≥=?b a ab b a =a ≥0,b>0） n =≥0) 第十七章 一元二次方程 17.1 一元二次方程的概念 1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2．一般形式y=ax 2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 17.2 一元二次方程的解法 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式x =：12x x ==； △=24b ac -≥0 17.3 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根 △＝0时，方程有两个相等的实数根 △＜0时，方程没有实数根 2．反过来说也是成立的 17.4 一元二次方程的应用 《数学》（八年级上册）知识点总结 第十六章二次根式 、二次根式计算 1、 含有二次根号“、厂”；被开方数a 必须是非负数。 2、 性质： （1） （ a ）2 a （a 0） 0（a 0） （2） 好 |a 彳 0（a 0） 匕 a （a 0） （3） - ab - a ? , b （a 0,b 0） （、a?.b . ab （a 0,b 0）） （—b ,b （a 0 ， b 0） （ ,'b 川 °， b 0） ） 3、 化简二次根式：把二次根式被开方数的完全平方因式移到根号外。例： 、、18 、2 32 3 2。（字母 因式由 根号内移到根号外时，必须考虑字母因式隐含的符号） 4、 最简二次根式：化简后的二次根式需同时符合以下两个条件：⑴被开方数中各因式的指数都为 1；⑵被 开 方数不含分母。这样的二次根式叫做最简二次根式。 将一个二次根式化成最简二次根式，有以下两种情况： ⑴如果被开方数是分式或分数（包括小数） ，先利用商的自述平方根的性质把它写成分式的形式， 然后再分 母有理化； ⑵如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解质因数，然后把能开方的因式或因数开出来，从而 将式子化简。 化二次根式为最简二次根式的步骤： ⑴把被开方数分解质因数，化为积的形式； ⑵把根号内能开方的的因数移到根号外； ⑶化去根号内的分母，若被开方数的因数中有带分数要化成假分数，小数化成分数。 5、 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二 次根式。例：?? 18、2 .一 2、1、2。（判断是不是同类二次根式：首先，要看它们是不是最简二次根式；其次， 2 看这些最简二次根式的被开方数是否相同） 6、 二次根式的加法、减法：⑴化简，化成最简二次根式；⑵合并同类二次根（即将被开方数相同的二次根 八年级第二学期期末考试数学试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 直线3+=x y 与y 轴的交点坐标是( ) （A ）(0，3)； （B ）(0，1)； （C ）(3，0)； （D ）(1，0). 2. 1=x 是下列哪个方程的根（ ） （A ）05.0)1(=--x x ； （B ）0623 =-x ； （C ）01=+x ； （D ）1 1 12+=+x x x ． 3. 某校计划修建一条400米长的跑道，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2天完成 任务. 如果设原计划每天修x 米，那么根据题意可列出方程（ ） （A ） 210400400=--x x ； （B ）240010400=--x x ；（C ）210 400 400=+-x x ；（D ）240010400=-+x x ． 4. 下列四个命题中，假命题为（ ） （A ）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （B ）对角线相等且互相平分的四边形是正方形； （C ）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （D ）对角线相等的梯形是等腰梯形. 5. 下列事件属于必然事件的是（ ） （A ）10只鸟关在3个笼子里，至少有1个笼子里关的鸟超过3只； （B ）某种彩票的中奖概率为 100 1 ，购买100张彩票一定中奖； （C ）掷一枚骰子，点数为6的一面向上； （D ）夹在两条互相平行的直线之间的线段相等. 6. 已知四边形ABCD 中，90A B C ===o ∠∠∠，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ） （A ）90D =o ∠； （B ）AB CD =； （C ）AD BC =； （D ）BC CD =. 第二十一章代数方程 21.1 一元整式方程 1、 （a 是正整数），x 是未知数，a 是用字母表示的已知数。于是，在项ax 中，字母a 是项的系数，我们把a 叫做字母系数，我们把a 叫做字母系数，这个方程是含字母系数的一元一次方程 2、 如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程 3、 如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），那么这方程就叫做一元n 次方程；其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程，本章简称高次方程 21.2 二项方程 1、 如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样 的方程就叫做二项方程；一般形式为0n ax b +=（0,0a b ≠≠，n 是正整数） 2、 解一元n （n ＞2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根 3、 对于二项方程0n ax b +=（0,0a b ≠≠） （1）当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根 （2）当n 为偶数时，如果ab ＜0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab ＞0，那么方程没有实数根 21.3可化为一元二次方程的分式方程 1、 解分式方程，可以通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，转化为正式方程来解 2、 注意将所得的根带入最简公分母中检验是否为增根（也可带入方程中） 3、 换元法可将某些特殊的方程化繁为简，并且在解分式方程的过程中，避免了出现解高次方程的问题，起到降次的作用 21.4无理方程 1、 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程 2、 整式方程和分式方程统称为有理方程 3、 有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程 4、 解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解，解简单无理方程的一般步骤 5、 注意无理方程的检验必须带入原方程中检验是否为增根 21.5 二元二次方程和方程组 1、 仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程 上海沪教版八年级数学 上下册知识点梳理 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理 第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 二次根式 1．二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。 2．二次根式的性质 ①? ??≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a b a b a 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a 3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分 母有理化． 二次根式的运算法则： (c ≥0) =a ≥0,b>0） n =≥0) 第十七章 一元二次方程 一元二次方程的概念 1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2．一般形式y=ax2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 一元二次方程的解法 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a -+--= , = ； △=24b ac -≥0 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根 △＝0时，方程有两个相等的实数根 △＜0时，方程没有实数根 2．反过来说也是成立的 一元二次方程的应用 1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得 2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根 2．把二次三项式分解因式时； 如果24b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式 如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 3．实际问题：设，列，解，答 第十八章 正比例函数和反比例函数 ．函数的概念 1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量 上海沪教版八年级数学上二次根式提高测试题 一、选择题 2．一个自然数的算术平方根为 a a 0 ，则与这个自然数相邻的两个自然数的 算术平方根为（ ） （A ）a 1,a 1（B ） a 1, a 1（C ） a 2 1, a 2 1（D ） a 2 1,a 2 1 3．若 x 0 ，则 x 2 x 等于（ ） （A ） 0 （ B ） 2x （C ）2x （D ） 0 或 2x 4．若 a 0,b 0 ，则 a 3b 化简得（ ） （A ） a ab （B ） a a b （ C ） a ab （D ） a ab 5．若 y 1 m ，则 1 y 2 y 的结果为（ ） y y （A ） m 2 2 （B ） m 2 2 （C m 2 （ D ） m 2 6．已知 a,b 是实数，且 a 2 2ab b 2 b a ，则 a 与b 的大小关系是（ （A ） a b 7．已知下列命 题： ① 2 5 B ） a b 5； ③ a 2 3 2 3a 3； C ） a b （ D ） a b ② 3 2 3 6 ； ④ a 2 b 2 a b ． 其中正确的有（ ） A ）0个 （B ）1 个 C ）2个 D ）3个 2m 3 化成最简二次根式后的被开方数相同，则 m 的值为 9． 当a 20 （B ） 51 3 26 1 时，化简 1 4a 4a 2 2 2 （B ） 2 4a x 2 C ）183 2a C ）a 2 （A ） 10．化简 4x 2 4x 1 2x 3 得（ A ）2 （B ） 4x 4 （ D ） 15 8 1等于（ C ） 2 D ）0 D ） 4x 4 A ） 与 2018-2019学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应位置填涂】 1．当a＜0时，|a﹣1|等于（） A．a+1B．﹣a﹣1C．a﹣1D．1﹣a 2．下列方程中，是无理方程的为（） A．B．C．D． 3．某市出租车计费办法如图所示．根据图象信息，下列说法错误的是（） A．出租车起步价是10元 B．在3千米内只收起步价 C．超过3千米部分（x＞3）每千米收3元 D．超过3千米时（x＞3）所需费用y与x之间的函数关系式是y=2x+4 4．下列关于向量的运算，正确的是（） A．B．C．D． 5．有一个不透明的袋子中装有3个红球、1个白球、1个绿球，这些球只是颜色不同．下列事件中属于确定事件的是（） A．从袋子中摸出1个球，球的颜色是红色 B．从袋子中摸出2个球，它们的颜色相同 C．从袋子中摸出3个球，有颜色相同的球 D．从袋子中摸出4个球，有颜色相同的球 6．已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（） A．AC=BD=BC B．AB=AD=CD C．OB=OC，AB=CD D．OB=OC，OA=OD 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．如果一次函数y=（k﹣2）x+1的图象经过一、二、三象限，那么常数k的取值范围是．8．方程x3+1=0的根是． 9．方程的根是． 10．用换元法解方程组时，如果设，，那么原方程组可化为关 于u、v的二元一次方程组是． 11．已知函数，那么=． 12．从2、3、4这三个数字中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数是素数的概率是． 13．如果一个n边形的内角和是1440°，那么n=． 14．如果菱形的边长为5，相邻两内角之比为1：2，那么该菱形较短的对角线长为．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D、E分别是AC、AB边的中点，那么△CDE的周长为． 16．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，点F为垂足，那么FC=． 17．一次函数y=x+2的图象经过点A（a，b），B（c，d），那么ac﹣ad﹣bc+bd的值为．18．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠BCD=60°，CD=5．将梯形ABCD 绕点A旋转后得到梯形AB1C1D1，其中B、C、D的对应点分别是B1、C1、D1，当点B1落在边CD上时，点D1恰好落在CD的延长线上，那么DD1的长为． 附加题（本题最高得3分，当整卷总分不满120分时，计入总分，整卷总分不超过120分）19．如果关于x的方程m2x2﹣（m﹣2）x+1=0的两个实数根互为倒数，那么m=．三、解答题（本大题共8题，满分66分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸上] 20．先化简，再求值：，其中x=． 21．解方程：． 22．解方程组：． 23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，过点A作AE∥DC交BC于点E． 代数方程专题复习 学员姓名 辅导科目 数学 教师 年 级 八升九 授课日期 课次数 2 课 题 代数方程专题复习 教学目标 一、 能成功解答整式方程 二、 通过讲课能找出分式方程的分类用对应方法解题； 三、 能找出对应无理方程的解法并作答。 重、难点 较复杂的解方程题目。 教 学 内 容 知识点及例题精讲 重点提示与记录 一、知识要点 1、整式方程的解法 跟的判别式、韦达定理 2、可化为一元二次方程的分式方程的解法 注意： 3、无理方程的解法 注意： 4、方程组的解法 整式方程组 分式方程组 无理方程组 5、方程（组）的应用 解题思想 二、专题讲解 【一元一次方程和一元二次方程的解法】 例题 用适当的方法解下列方程： （1）（2x+1）2=25 （2）01422=--x x （3）3x 2+8x-1=0 (4) x 2-9x=0 【含字母系数的整式方程的解法】 例题解下列关于x的方程 （1）(3a-2)x=2（3-x）（2）bx2-1=1-x2（b≠-1） 【特殊的高次方程的解法】 （1）二项方程)0 +b a b ax n的解法 = ,0 (0≠ ≠ 二项方程的根的情况： 对于二项方程)0 a ax n， b +b ,0 (0≠ ≠ = 当n为奇数时，方程只有且只有一个实数根。 当n为偶数时，如果0 ab，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互 < 为相反数；如果0 ab，那么方程没有实数根。 > 例题判断下列方程是不是二项方程，如果是二项方程，求出它的根。（1）x3-64=0 （2）x4+x=0 （3）x5= -9 （4）x3+x=1 （2）双二次方程的解法 例题判断下列方程是不是双二次方程，如果是，求出它的根： (1)x4-9x2+14=0 (2）x4+10x+25=0 （3）2x4-7x3-4=0 (4）x4+9x2+20=0 （3）因式分解法解高次方程 例题解下列方程： （1）2x3+7x2-4x=0 （2）x3-2x2+x-2=0 24.1（1）无理方程 教学目标 （1）理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念. （2）经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想. （3）知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法. 教学重点及难点 重点：只含一个或两个关于未知数的二次根式的无理方程的解法； 难点：对无理方程产生增根的理解. 教学过程设计 一、问题引入 1．思考 直角坐标系中,点 A(x ,5)与点B(3,1)之间的距离为5.怎样求点B 的坐标？ 解：5)15()3(22=-+-x 2．观察 上述方程有什么特点？它与前面所学的方程有什么区别？ 二、新课学习 1. 归纳概念 （1）方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程. （2）整式方程和分式方程统称为有理方程. （3）有理方程和无理方程统称为代数方程. （4）代数方程的分类： 整式方程 有理方程 分式方程 代数方程 无理方程 2. 辨析概念 下列关于x 的方程中，无理方程有________________(填序号). [说明]关于无理方程的概念，课本通过实例引出，引导学生观察、思考以后，揭示无理方程的内 涵，但课本引例学生可能不利用无理方程也能解决，为体现无理方程的存在和学习它的必要性，所以改成了利用两点之间距离公式列方程的问题作为引例；并在概念得出之后，联系代数式的分类，补充对所学过的方程进行分类，简单地介绍了代数方程的系统，帮助学生完整认识代数方程. 3. 思考与尝试 怎样解方程43+=x x ？ 4. 归纳方法 无理方程 有理方程 5．提问 解得有理方程的根1,421-==x x ，它们都是原方程的根吗? ６．讨论 方程43+= x x 的根究竟是什么？怎样知道4=x 是原方程的根，而1-=x 不是原方程的根？ ７．结论 （1）无理方程在转化成有理方程的过程中，扩大了未知数的允许取值范围。 （如：,22-≠但22)2(2-=），因此可能产生增根，必须进行检验。 （2）将有理方程的根代入原方程，看方程是否成立，是主要的检验方法。 注意：若左边=右边，是原方程的根；若左边≠右边，或根号无意义，则会产生增根。 ８．归纳 解简单的无理方程的一般步骤,用流程图可表述为: [说明] 解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“两边平方”来实施.通过问题引导学生进行尝试、探索和讨论，从而归纳得到解无理方程的一般方法；再通过提问，引发学生的思考和讨论，形成对去根号 两边同时乘方 开始 解有理方检验 是 写出原方程的根 结束 舍去 否 去根号 第二学期期末质量抽查 初二数学试 一、填空（本大共15 ，每 2 分，分 30 分） 1．直y=2x－ 1 平行于直y= k x－3，k=_________ ． 2．若一次函数y=（ 1-m）x+2，函数y随x的增大而减小，m的取范 是． 3．在直角坐系内，直y=－x+ 2在 x 上方的点的横坐的取范是． 4．方程x3-x= 0 的解． 5．方程 2 x 3 x 的解． 6．“太阳每天从方升起”，是一个事件（填“确定”或“随机”）． 7．右是一个被等分成 6 个扇形可自由的，， 当停止后，指指向色区域的概率是． 8．从 1， 2， 3， 4 四个数中任意取出 2 个数做加法，其和偶数的 概率是 _________ ．（第 7 题）9．甲乙两人加工同一种玩具，甲加工90 个玩具所用的与乙加工120个玩具所用的 相等．已知甲乙两人每天共加工35 个玩具．若甲每天加工x 个玩具，根据 意列出方程：． 10．五形的内角和是_ _度． 11．在□ABCD中，若∠A 110o，∠ B= 度． 12．在矩形ABCD中，AB 1， BC 2， AC _______ ． 13．若一梯形的中位和高的均6cm，梯形的面 __________cm 2． 14．已知菱形的和一条角的均2cm ，菱形的面__________ cm2． 15 ．要使平行四形ABCD 正方形，再添加一定的条件，添加的条件可以 是．（填上一符合目要求的条件即可） 二、（本大共 4 ，每 2 分，分8 分） 16．下列直中，第一、二、三象限的是??????????????y （x ） y x 1 ；y x +1；(C) 直y x +1；(D) 直= 1 ． (A) 直 = －(B) 直 = －= －－ 17 ．气象台“本市明天降水概率是80%”．此信息，下面的几种法正确的 是?????????????????????????????????（）（ A）本市明天将有80%的地区降水；（ B）本市明天将有80%的降水； 八年级数学——第1 页——（共5页） 八年级下期期中数学测试卷 一、细心填一填,相信你填得又快又准(每题3分,共30分) 1. 函数532 x y x x -=+--的自变量的取值范围是_________； 2.写出一个含有字母x 的分式(要求:无论x 取任何实数,该分式都有意义,且分式的值为正数)_________________; 3当x=____________时,分式1 x x -无意义;当x=________时,分式293x x -+的值为零. 4.化简2()a b ab b ab --÷的结果为__________________; 5.科学家发现一种病毒的直径为米,用科学记数法表示为_________________米. 6.反比例函数(0)k y k x = ≠的图象经过P,如图1所示,根据图象可知,反比例函数的解析式为_________________; (1) (2) (3) 7. 如图2,点p 是反比例函数2y x =- 上的一点,PD ⊥x 轴于点D,则⊿POD 的面积为______; 8.已知反比例函数k y x = 与一次函数y=2x+k 的图象的一个交点的纵坐标是-4,则k 的值是_____; 9. 将23x =代入反比例函数1y x =-中,所得函数记为y 1,又将x=y 1+1代入函数中,所得函数记为y 2,再持x=y 2+1代入函数中,所得函数记为y 3,如此继续下去,则y 2005=_________; 10. 如图3是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积为13,小正方形的面积是1,直角三角形较长的直角边为a,较短的直角边为b,则a 4+b 3的值等于________; 二、选择：(每题3分,共24分) 11. 下列计算正确的是( ) A.2(0.1)100--=; B.31101000--=; C.211525-=; D.33122a a -= 12. 当路程s 一定时,速度V 与时间T 之间的函数关系是( ) A.正比例函数. B.反比例函数; C.一次函数. D. 以上都不是. 13. 若点(-2,y 1)、(-1,y 2)、(1,y 3)在反比例函数1y x =的图象上,则下列结论中正确的是沪教版(上海)八年级第二学期数学第二十一章代数方程练习题(可编辑修改word版)
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