复数的乘法与除法(高中二年级数学)
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
§8.5 复数的乘法与除法
补充：共轭复数的性质以及复数的模的性质
二. 重点、难点：
1. 复数的乘法法则：
设，（，，，）z a bi z c di a b c d R 12=+=+∈ 则z z a bi c di ac bd ad bc i 12=++=-++()()()()
即两个复数相乘，按照多项式相乘的法则进行，只需注意把i 2换成－1，并且把实部、虚部分别合并。
2. 按照以上的乘法法则，可知复数的乘法满足交换律、结合律，这一点容易证明。（建议同学们自己证明）
另外，正整数指数幂的运算律也可以推广到复数集中，即 z z z z z z z z z m n Z m n m n m n mn m m m ===∈+；；，()()()1212 3.关于（）的周期性：i n N n ∈ i i i i i i 123411==-=-=，，，； i i i i i i 567811==-=-=，，，，…… i i i i i i n n n n 4142434411++++==-=-=，，，
即：若被除余，则；若被除余，则；n i i n i i n n 414212== 若被除余，则；若被除余，则。n i i n i i n n 434434== 例如：，，i i i i i i 1011999320004=== 4.关于的值zz
设，则（，），从而z a bi z a bi a b R =+=-∈ zz a bi a bi a b z z =+-=+==()()||||2222
即：互为共轭复数的两个复数的积，等于其中一个复数的模的平方。 z z z ?=||2是除了复数相等以外进行实虚转化的另一重要桥梁。 逆用该等式，可以对形如的因式进行因式分解（，）a b a b R 22+∈ 即，例如a b a bi a bi x x i x i 222222+=+-+=+-()()()()
这样，在实数集内不能分解的因式到复数集内仍可分解。 5. 复数的除法法则
两个复数相除，把商式的分子，分母同乘以分母的共轭复数，并把结果化简后，实部、虚部分离，即把商式分母实数化的过程。
例如：
11111112222+-=++-+=+==i i i i i i i i
i ()()()()() 6. 关于共轭复数的运算性质：
（），112121212z z z z z z z z +=+-=- （），（），（）2012121212
2z z z z z z z
z z z z n Z n n =?=≠=∈()() （）322z z z z ?==|||| （）4z R z z ∈?=
（）非零复数为纯虚数50z z z ?+=
7. 关于复数的模的性质： （），即两个复数之积的模等于这两个复数的模的积。11212||||||z z z z ?=? （），即两个复数的商的模，等于这两个复数的模的商。21212|
|||
||
z z z z = （）（），即复数的乘方的模，等于这个复数的模的乘方。3||||z z n N n n =∈ （）4121212||||||||||||z z z z z z -≤+≤+
()z z z z 1212，对应的向量同向时，右端取等号，而当，对应的向量反向时，左端取等号
||||||||||||z z z z z z 121212-≤-≤+
()z z z z 1212，对应的向量同向时，左端取等号，而，对应的向量反向时，右端取等号
【典型例题】
例1. 计算：
（）（）（）1122342113122
100
()()()()()()-+-+--+i i i i i i
解：（）原式1433425=--=-()()i i i （）原式2224=--=i i i () 或利用平方差公式：
原式=++-+--==[()()][()()]()1111224i i i i i i （）注意到3122()+=i i
()[()]()11222210025050505050250+=+====-i i i i i
例2. 在复数集内分解因式：
（）（）（，）11
22342a x x a x R -++∈ 解：（）111111422a a a a i a i a a -=+-=+-+-()()()()()() （）22312121222x x x x i x i ++=++=+++-()()()
例3. 求及的平方根。--486i
解：（）设的平方根为（，）14-+∈x yi x y R 则()x yi +=-24 即()x y xyi 2224-+=-
由复数相等，得或x y xy x y x x y y x y 22222242040400
2-=-=????-=-=???-=-=???
?==±???
∴--422的平方根为或i i
（）设的平方根为（，）286-+∈i x yi x y R
则()x yi i +=-286 即()x y xyi i 22286-+=-
由复数相等，得或x y xy x y x y 22826313
1-==-???
?==-???=-=???
∴---+8633i i i 的平方根为或
注：求一个复数的平方根，只需利用平方根的定义，以及复数相等的条件，即可把问题转化为已知的问题。
例4. 设，求复数的模。z i z z z =+=-++136
1
2ω
分析：只需把z ＝1＋i 代入关于z 的表达式，即可经过复数的乘除加减运算，得到复数ω，进一步根据模的定义，求出|ω|。
注意：由于ω的表达式中关于z 的运算除了乘除运算外，还包含加减运算，因此无法运用模的运算性质求值。
解： ω=+-++++=-+++=-+=-()()()()131611233623212i i i i i i i
i
i
∴=-=||||ω12i
例5. 求复数的模。ω=
---()()()433212
235
24i i i 解：可直接利用复数模的运算性质，以简化运算。
||||||||()ω=--?-===433212
2355512552454
3
i i i
例6. 若为虚数，且
，求复平面内与对应的点的轨迹。z z z R z -+∈21
2
分析：若设出的代数形式，则利用
可得到，的方程，即动点z x yi z z R x y Z x y +-+∈21
2(,)
的方程，再根据方程的类型判断动点轨迹或联想到前述定理： z R z z z z z z ∈?=-+=
-+，可得(
)21
21
22
进一步利用共轭的性质化简，变形，也可得到z 的方程，进而判断动点轨迹。 解法一：设（，，且），则z x yi x y R y =+∈≠0
z z x yi x yi -+=
+-++21
21
22()()
=
-+-++()()x yi x y xyi
21222
=
--+++-+---++∈[()()][()()]()()x x y xy x y y xy x i
x y xy R 21212212222222222
∴-+--=()()x y y xy x 221220 y x y x x ≠∴-+--=0122022，()() 即（）()x y y -+=≠25022
它表示的轨迹是以（，）为圆心，以为半径的圆205
（去掉四点，，，，，，，）()()()()2502500101+-- 解法二： z z R z z z z -+∈∴(
-+=
-+21
21
21
2
2
2
，)
∴
-+=
-+z z z z 21
21
2
2
∴-+=-+()()()()z z z z 212122
()[()]z z zz z z --+-=210 z z z 为虚数，∴-≠0 ∴-+-=zz z z 210() 即()()z z --=225 或()()z z --=225 即||z -=252 ∴-=||z 25
它表示以（，）为圆心，以为半径的圆205 又注意到为虚数（其虚部不为），以及z z 0102+≠
∴+--上述的圆中应去掉四点，，，，，，，()()()()2502500101
注：解法一是求轨迹方程的基本方法，采取了化虚为实的手法；而解法二则应利用复数共轭的性质，采用了一定的变形技巧，得到了动点轨迹的复数形式的方程，也不失为一种较好的方法。
例7. 已知，为非零复数，且满足，求证：一定为负数。z z z z z z z z 12121212
2
||||()+=- 分析： 欲证为负数，只需证明为纯虚数，为此，只需证明即可；(
)()()z z z z z z z
z 122121212
0+= 或证明
对应的点在虚轴上，为此，把已知等式变形为关于的方程，然后从方z z z
z 1212
程的几何意义上分析问题。
证法一：由已知得||||z z z z 122122+=- 由公式得：||z z z 2=?
()()()()z z z z z z z z 12121212++=-- ∴++=--()()()()z z z z z z z z 12121212
化简，得201221()z z z z += ∴+=z z z z 12210 两边同除以得：z z 220()≠
z z z z z z z z z
z 1221
22
1212
0+=+=(
)() ∴
z 1212 20为纯虚数，从而() 证法二： z z 2200≠∴≠，|| ∴ +=-|||||| || z z z z z z 122122 即| |||z z z z 121211+=- ∴-z z 12 10100对应的点在以，，，为端点的线段的垂直平分线上，不包括原点()() 即与对应的点在虚轴上z z 12 ∴ z 1212 20为纯虚数，从而() 【模拟试题】 一. 选择题： 1. “z z 12与互为共轭复数”是“z z R 12∈”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 2. 设f z z z i z i ()==+=--，，12432，则f z z ()12 =（ ） A. --125i B. -+11 52i C. -+11525i D. --11525i 3. 计算( )21100 i i +的结果为（ ） A. i B. -i C. 1 D. -1 4. 若zz z z ++=3，则z 对应的点的轨迹是（ ） A. 圆 B. 两点 C. 线段 D. 直线 5. 复数||z =1，且z ≠±1，则z z -+1 1 是（ ） A. 实数 B. 纯虚数 C. 非纯虚数 D. 复数 二. 填空题： 6. 计算：i i i i i 123100101+++++= ___________ 7. 计算：()()111155 +-+-+=i i i i _________ 8. |()()|13413122-+--i i i i 的模等于_________ 9. 在复数集内分解因式：x xy y 2245-+=____________ 10. 若||z z i 12512==+，，且z z R 12∈，则z 1=____________ 三. 解答题： 11. 若复数z 满足||z =5，且()34+i z 为纯虚数，求z 。 12. 若复数z 满足||z =1，求证：z z R 12 +∈ 13. 若复数z 满足，求||z 的最大、最小值。 【试题答案】 一. 选择题： 1. A 提示：若z z 12，为共轭复数，则z z z z R 121222==∈||||，但若z z R 12∈，如z i 13=+，z i 23=-，满足z z R 1210=-∈，但z 1与z 2不能互为共轭复数，因此应选A 。 2. C 提示：由f z z ()=知f z z z z z z i i i ()()12121243211525===--+=-+ 或 z z i i i f z z z z i i 1212124321125112511525 =+--=--==--=-+，()()() 故选C 3. D 提示：由幂的运算法则，有()()()()2121221 110010010050100502 i i i i i i i +=+===- 这里用到了i n 的周期性结论。 4. A 提示：设z x yi x y R =+∈（，），则()()()()x yi x yi x yi x yi +-+++-=3 即x y x 2223++= 即()x y ++=1422，这是以()-10，为圆心，以2为半径的圆的方程。 5. B 提示：设z x yi =+（由z ≠±1，知y ≠0） ||()()()()()()z x y z z x yi x yi x y y i x y y x y i =∴+=∴-+=-+++=+-+++=++11 11111212122222222 ， y ≠∴0，该数为纯虚数 二. 填空题： 6. 原式=i 提示：由i n 的周期性，得i i i i +++=2340，i i i i 56780+++=，……，i i i i 9798991000+++=，可见原式==i i 101，或把i i i i i ，，，，，23100101 看作是一个公比为i 的等比数列，则原式=--=--=i i i i i i i ()() 1111101。 7. 原式=0 提示：注意利用()()121222+=-=-i i i i ，简化运算 ()()()()()() ()()1111112112 22220 55 5533+-+-+=+++--=+ -=i i i i i i i i i i 8. 模为13 9. x xy y x y y x y yi x y yi 222245222-+=-+=-+--()[()][()] 10. z i z i 111212=+=--或 提示：设z x yi x y R 1=+∈()，，则x y 225+= 又z z x yi i x y x y i R 121222=++=-++∈()()()() 则有20x y +=联立得 x y x y x y x y 225201212+=+=??? ?==-???=-=?? ?或 即z i z i 111212=-=-+或 ∴=+=--z i z i 111212或 三. 解答题： 11. 解：设z x yi x y R =+∈（，） 由得||()z x y =+=525122 ()()()()()34343443+=++=-++i z i x yi x y x y i 是纯虚数 ∴3-=+≠x y x y 40 2430 3()()且 联立，解之，得或()()()123434 3x y x y ==-???=-=?? ? ∴=-=-+z i z i 4343或 12. 证明：设z x yi x y R =+∈()， ||z x y =∴+=1122， z z x yi x yi 1122 +=+++() = ++-+= +++--+-+=+-+∈x yi x y xyi x x y y x y i x y x y x x y x y R ()()()()()12111421422222222222 22222 13. 解法一：数形结合法 设z x yi x y R =+∈()，，则 233|()|||x yi i x yi +--=+ 即2332222()()x y x y -+-=+ 化简，得()()x y -+-=44822 它表示以（，）为圆心，以为半径的圆C C 4422 ||z x y =+22表示点()x y ，到原点O （0，0）的距离，而点（x ，y ）在圆C 上 由平面几何知识，可知|z|的最大值为62，最小值为22 解法二：利用复数的模的性质 |||||||||| z i z i z -+≤--=33332 即|||||| z z -≤322 ，去绝对值，得 -≤-≤||||||z z z 2322 解这个关于||z 的不等式，得 当z i R =+∈λλ()()33时，上式取等号 由，把z i =+λ()33代入 得38402λλ-+=，解得λ=2或λ=2 3 当λ=2时，||z 取最大值62； 当λ=2 3时，||z 取最小值22 小学数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 小学数学 / 小学二年级数学教案 编订：XX文讯教育机构 乘除法的关系 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于小学二年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 第一课时 【教学内容】 四年级（下）第11～15页例1～2，课堂活动第1～2题以及练习三第1～5题。 【教学目标】 1在计算与解决问题的具体情景中体会乘除法的互逆关系和乘除法各部分间的关系。 2经历探索发现乘与除互逆关系和乘除法各部分间关系的过程，并有成功探索的体验，培养学生的比较、归纳概括能力。 3能运用乘除法的关系进行验算和解决简单的实际问题。 【教学重点】 在计算和解决问题的情景中探索乘除法的互逆关系和乘除法各部分间的关系。 【教学过程】 一、创设情境，激发兴趣 1．教师出示主题图，谈话引入：同学们，你们去过游乐园吗？今天老师和同学们一起到游乐园玩一玩。 请同学们仔细观察游乐园情景图，你都获得了哪些数学信息？ （1）学生说出自己选择的数学信息和数学问题，并列出算式解答。 教师板书算式：12×5×4＝24012×4＝4848÷4＝1248÷12＝4…… （2）学生认真观察算式，你有什么发现？ 学生1：都是乘除法算式。 学生2：12×4＝48和 48÷4＝12这两个乘除法算式有相同的地方，好像有点关系。 …… （3）同学们观察得好，你能观察出乘除法各部分间有什么关系吗？今天我们一起来探讨乘除法之间的关系。 板书课题：乘除法的关系 二、探究新知 1．教学例1 教师：刚才我们从情景图中知道：每棵树上挂了4个灯笼。 12棵树上挂了48个灯笼。 专题二 复数 【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解 二年级下册数学乘除法应用题集 1·一支毛笔3元钱，小红买了4只，一共用了多少元钱？ 2·一张桌子4条脚，8张桌子一共有多少条脚？ 3·一本故事书有40页，看了8页后，剩下的4天看完，要求平均每天看几页？ 4·光华路小学买了1个排球和4个铅球，共用去42元。如果一个排球18元，那么每个铅球多少元？ 5·一个三角形纸片有3个角，6个三角形纸片共有多少个角？ 6·修路队修一段长60米的公路，前3天已修了42米，剩下的要2天修完，平均每天修多少米？ 7·妈妈买来9个桃，爸爸买来15个桃，把这些桃平均放在4个盘里，每盘放几个桃? 8·生产小组上午接到38件生产任务，下午接到34件，把这些任务平均分给8个小组，每个小组生产多少件？9·一个正方体有6个面，每个面有4角，一共有几个角？ 10·56个桃子平均分给7只小猴，每只小猴分几个？ 11·同学们做纸花，红纸、白纸、黄花各6朵，共做了多少朵花？ 12·笼子里有两群猴子，每群9只，现把它们平均分成3组，每组有几只猴子？ 13·幼儿园买了48个白皮球，24个花皮球，平均分给9个班，每班分得几个？ 14·学校买了6袋皮球，每袋5个，共买了多少个皮球？ 15·有2箱水，每箱有8瓶，把这些水平均分给4个同学，每个同学能分几瓶？ 16·一件衣服钉5个扣子，3件衣服需要多少颗扣子？ 17·二（一）班教室里每组有5张桌子，4组一共有多少张桌子？ 18·有4篮苹果，每篮9个，把苹果平均分给6个小朋友，每人几个？ 19·小红每天做8朵红花，做了3天。她要把红花奖给6个小朋友，平均每人多少朵？ 20·二年级一班有5组同学，平均每组有5个，“六一“节有21人参加合唱队。没参加合唱队的有多少人？ 21·玩具厂打算做50个布娃娃。已经做了32个，剩下的要在3天内做完，平均每天做多少个？ 22·小明种了5行萝卜，每行9个。送给邻居15个，还剩多少个？ 23·小红和4个同学折了20架飞机，平均每人折几架？ 24·三年级买来科技书18本，故事书24本。把这些书平均分给三年级六个班，平均每个班分多少本？ 25·食堂运来3车大米，每车8袋，吃掉18袋后，还剩多少袋？26·有40人要过河，租8条小船（每条小船限乘4人）和1条大船（每条大船限乘6人），够坐吗？ 27·王老师用了36分钟剪了9朵花，平均每朵花用时（）分钟。 28·15个苹果，平均装在5个盘子里，每盘装（）个 29·小兔种了5行萝卜，每行9个。送给邻居兔奶奶15个，还剩多少个？ 30·杨树29棵，柳树11棵，每5棵1捆，可捆几捆？ 31·29个男同学和19个女同学，每6个一组春游，有几组？ 32·小汽车每辆能坐4人，大客车能坐25人，有3辆小汽车和1辆大客车，问一共能坐多少人？ 33·一筐苹果38个，另一筐苹果34个，每盒装8个苹果，可以装几盒？ 34·买了6套书，每套4本，计划每星期看3本，几星期看完？ 第1章：复数与复变函数 §1 复数 1．复数域 形如iy x z +=的数，称为复数，其中y x ,为实数。实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。记为 z x Re =， z y Im = 虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数，实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数，z 的共轭复数记为z 。 设 ，复数的四则运算定义为 加（减）法： 乘法： 除法： 相等： 当且仅当 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+ ②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ?=? ④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ??=?? ⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ?+?=+? 全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示。 例 设i 3,i 5221+=-=z z ，求 2 1 z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。 解 为求 2 1 z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=??=z z z z z z z 2．复平面 一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x 和y 当作平面上的点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z 平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴. 在复平面上，从原点到点 所引的矢量 与复数z 也构成一一对应 关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如： 这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系. 3． 复数的模与辐角 向量 的长度称为复数 的模或绝对值，即： 丑小鸭小学二年级数学乘除法练习题（二）⑤姓名：______________成绩： _________________ 9÷9= 16÷2= 71-68= 6÷1= 15÷3= 9×3= 45+45= 5×9= 66+26= 5×5+52=72÷8= 9×8= 52+35= 8÷4= 14÷2= 6×2= 6÷2= 49÷7= 10÷2= 54÷6×4= 27÷9= 20÷4= 3×6= 30÷6= 15÷5= 49÷7= 9×4= 9÷3= 9×7= 42÷6×6= 24÷4= 18÷9= 9×9= 72÷9= 2×2= 30÷6= 14÷2= 7×8= 35÷5= 5×6+41= 80-46= 10÷5= 42÷6= 7×2= 18÷2= 65+26= 5×6= 36÷9= 6×4= 54÷6÷3= ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ⑥姓名：______________成绩： _________________ 8÷8= 4×8= 75-64= 2×1= 8÷8= 32÷4= 85-62= 20÷5= 6×5= 40÷5÷2= 16÷8= 50+40= 21÷3= 5×8= 28÷7= 5×4= 24÷8= 6×7= 35÷5= 4×9÷6= 21÷7= 3×8= 8÷2= 4×8= 30÷5= 18÷3= 5×2= 48÷6= 42+36= 8÷1÷4= 25÷5= 63÷9= 28÷4= 5×5= 81÷9= 3×6= 25+41= 14÷7= 4×3= 90-65= 4×5= 41+25= 4×7= 35÷7= 4×9= 高二数学复数复习 一、复数的基本概念 1、虚数单位的性质 i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②21i =-；这样方程 21x =-就有解了，解为x i =或x i =- 2、复数的概念 （1）定义：形如bi a +(R b a ∈,)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做 ，b 叫做 。全体复数所成的集合C 叫做复数集。复数通常用字母z 表示 （2）分类： 例题：当实数m 为何值时，复数226(2)m m z m m i m +-=+-为： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 二、复数相等 ),,,(,R d c b a d b c a di c bi a ∈==?+=+ 也就是说，两个复数相等，充要条件是 注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小 例题：已知21(3),,,x i y y i x y R -+=+-∈其中则x = ， y = ． 三、共轭复数 bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==?，bi a z +=的共轭复数记作 四、复数的几何意义 1、复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做 ，y 轴叫做 。显然，实轴上的点都表示实数；除了 外，虚轴上的点都表示纯虚数。 2、复数的几何意义 复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→ ),(R b a ∈是 关系 例题：复平面内)6,2(=→AB ，已知→→AB CD //，求→ CD 对应的复数。 3、复数的模： 向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z = 若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示 之间的，即12z z -=例题：已知i z +=2，求i z +-1的值 五、复数的运算 （1）运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ?êR ①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=± ②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+?+=? ③2 221)()()()())(()()(d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-?+-+=++= 例题：（1） )35()43i i --++（； （2）)45)(3-4i i --（； （3）i i 311++； （4）i i i i +--13222-1 （2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意 义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 例题：ABCD 是复平面内的平行四边形，,,A B C 三点对应的复数分别是i 31+，i -，i +2，则点D 对应的复数为 六、常用结论 （1）i ，12-=i ，i i -=3，14=i =675i （2）自己证明：i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-，1)2 321(3=±-i ， 二年级数学乘除法练习题 姓名： ____________ __成绩： __________________ 3X 6= 9X 3= 9X 8= 15-5= 7X 8= 45+45= 52+35= 49 - 7= 35— 5= 3X 8= 9-9= 8-4= 9X 4= 5X 6= 10— 5= 16-2= 14-2= 9-3= 80-46= 42— 6= 71-68= 6X 2= 9X 7= 20— 4= 7X 2= 6- 1 = 6-2= 18-9= 3X 6= 18— 2= 15-3= 49 - 7= 9X 9= 8— 2= 65+26= 5X 9= 10-2= 72 - 9= 4X 8= 5X 6= 66+26= 54 - 6= 2X 2= 25+41= 36— 9= 5X 5= 27 - 9= 30 - 6= 42— 6= 6X 4= 72 - 8= 30 - 6= 14-2= 24— 4= 54— 6= 8-8= 40- 5= 35 - 5= 8— 1= 4X 5= 4X 8= 16- 8= 4X 9= 25— 5= 41+25= 75-64= 50+40= 21 - 7= 63— 9= 4X 7= 2X 1 = 21-3= 3X 8= 28— 4= 35— 7= 8-8= 5X 8= 30 — 5= 5X 5= 4X 9= 32 - 4= 28- 7= 18-3= 81— 9= 36+24= 85-62= 5X 4= 5X 2= 14— 7= 12— 2= 20-5= 24 - 8= 48— 6= 4X 3= 78-19= 6X 5= 6X 7= 42+36= 90-65= 3X 8= 复数专题 一、选择题 1 ．（2012年高考（天津理）） i 是虚数单位,复数7= 3i z i -+ （ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 2 ．（2012年高考（新课标理））下面是关于复数2 1z i = -+的四 个命题:其中的真命 题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- （ ） A ．23,p p B ．12,p p C ．,p p 24 D ．,p p 34 3 ．（2012年高考（浙江理））已知i 是虚数单位,则 3+i 1i -= （ ） A ．1-2i B ．2-i C ．2+i D ．1+2i 4 ．（2012年高考（四川理））复数2(1)2i i -= （ ） A ．1 B ．1- C ． i D ．i - 5 ．（2012年高考（上海理））若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则 （ ） A ．3,2==c b . B ．3,2=-=c b . C ．1,2-=-=c b . D ．1,2-==c b . 6 ．（2012年高考（陕西理））设,a b R ∈, 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i + 为纯虚数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7 ．（2012年高考（山东理））若复数z 满足(2)117z i i -=+( i 为虚数单位),则z 为 （ ） A ．35i + B ．35i - C ．35i -+ D ．35i -- 8 ．（2012年高考（辽宁理））复数 22i i -=+ （ ） A ．34i - B ．34i + C ．41i - D ．3 1i + 二年级数学下册口算乘法和除法练习题 2×3= 8×1= 2×6= 6×5= 2×9= 3+7= 8×6= 3×9= 7×3= 3×6= 2×9= 6×6= 9×4= 36-9= 32-4= 8+72= 3×6= 42-6= 3×4= 5×5= 3×8= 6×4= 3×8= 9×9= 4×8= 6×5= 8×2= 9×2= 9×4= 5×9= 6×7= 7×8= 5×7= 6×9= 7+7= 6×6= 8×8= 8×7= 8×9= 3×8= 1×8= 4×4= 3×5= 5×8= 6×9= 2×9= 2×6= 6×3= 2×3= 4×8= 4×9= 4×5= 3×2= 9×7= 9×9= 8×7= 2×7= 2×5= 3×8= 9×2= 72÷8= 64÷8= 81÷9= 36÷9= 25-5= 18÷3= 16÷4= 24÷8= 27÷3= 16÷2= 63-7= 36÷6= 18÷9= 20÷5= 15÷3= 18÷3= 18÷2= 24÷6= 36÷4= 56÷7= 24÷4= 18÷6= 18÷9= 16÷2= 14÷2= 14÷7= 15÷5= 36-4= 40÷5= 45÷9= 49÷7= 42÷6= 42÷7= 27÷9= 72- 36÷9×8= 3×2×7= 1×6×9= 7×8-7= 7×6+20= 8×4-8= 9= 16÷8= 24÷8= 18÷3= 18÷9= 35÷5= 9÷3= 6÷2= 24÷3+92= 3×4-6= 46+8×3= 22-4×3= 5×7-35= 6×3+18= 64+24÷6= 2×9+45= 28÷4×7= 35÷7×9= 导读：本文高二数学复数知识点总结，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。 【一】 复数的概念： 形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 复数的表示： 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 复数的几何意义： (1)复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 复数的模： 复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|= 虚数单位i： (1)它的平方等于-1，即i2=-1; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。 (4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。 复数模的性质： 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。 【二】 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d。特殊地，a，b∈R时，a+bi=0 a=0，b=0. 复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。 人教版二年级数学下册乘除法专项练习题 1. 用竖式计算。 43÷7= 50÷6= 86÷9= 60÷8= 2. 把35个苹果平均分成7份，每份有______个苹果。算式______ 口决______。 3. 按要求给下面的算式添上括号。先算加，再算乘．30＋4×6，答案为：______。 4. 想一想，你能写出几组? ______8×______=______ ______÷______=7 ______÷______=8 5. 有两堆蘑菇，豆豆和皮皮各自运一堆，比一比，谁运的次数少? 6. 萝卜该装到哪个篮子里?(连一连) 7. （）中有数。 （______）×3=9 6÷（______）=6 16÷（______）=4 （______）÷5=1 8. 看图填空。 9. 下列算式中，( )没有余数。 A .73÷9 B .50÷8 C .24÷6 10. △△△△○○△△△△○○△△△△○○△△△△○○ △比○多______个，△是○的______倍。 11. 一堆草莓有60颗，每个盘子最多放8颗。全部放完至少需要______个盘子；拿走______颗，就可以正好装满7个盘子；再添加______颗，就可以正好装满8个盘子。 12. 一道除法题，除数是9，平平把被除数的十位数字和个位数字看颠倒了，结果除得的商是5。这道题正确的商应该是______。 13. 用竖式计算。 （1）56÷6= （2）38÷4= （3）43÷5= （4）63÷8= 14. 有29根小棒，每5根小棒可以搭一个正五边形，最多可以搭( )个正五边形? A .4 B .6 C .5 15. 夺红旗。(仿练教材第17页第11题) ______ 二______ 得八 三______得九 3 6 ______五二十______五一十 3 16. 四个小朋友在玩轮流报数游戏。下列三个数中，（）是豆豆报的。 A .35 B .33 复数专题训练（一） 班级________ 姓名__________ 记分___________ 一、选择： 1、设z0=1，z1=2＋i Z0顺时针旋转900Z2对 应的复数是（） (A)i (B)-1＋i (C)1-i (D)2-i 2、非零复数z1、z2为坐标原点)，若 ，则（） (A)O、Z1、Z2三点共线(B)ΔOZ1Z2是等边三角形 (C)ΔOZ1Z2是直角三角形(D)以上都不对 3、把复数2-i对应的向量，按顺时针方向旋转900，所得向量对应的复数是( ) (A)2+i (B)-2-i (C)-1-2i (D)1+2i 4、复数∈R，b≠0)所表示的图形是( ) (A)直线(B)圆(C)抛物线(D)双曲线 5、若z1、z2、z3是复数，则这三个复数相等是(z1-z2)2＋(z2-z3)2＝0的( ) (A)充分条件(B)必要条件 (C)不充分又不必要条件(D)充分且必要条件 6、实系数方程x2＋ax＋b=0有虚根x=1-i是等式a＋b2=2成立的( ) (A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 7、设-1 R. 其中假命题有( ) (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 9、复平面上有点A、B，其所对应的复数分别为-3＋i和-1-3i，O为原点， 那么ΔAOB是( ) (A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等腰直角三角形(D)等边三角形 10、设复数2-i和3-i的辐角主值分别为α、β则α+β等于( ) (A)135°(B)315°(C)675°(D)585° 11、在复平面上复数i, 1, 4+2i所对应的点分别是A、B、C,则平行四边形ABCD的对角线BD的长为（） (A)5 (B)13(C)15(D) 17 12、在复数集中,一个数的平方恰好为这个数的共轭复数,具有这种特性的数一共有（） (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 复数的乘法与除法 教学目标 （1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地进行乘、除法的运算； （2）能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题； （3）让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法； （4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。 教学建议一、知识结构 二、重点、难点分析 本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质．复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律．规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数． 三、教学建议 1．在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法则规定按照如下法则进行．设是任意两个复数，那么它们的积： 也就是说．复数的乘法与多项式乘 法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式． 2．复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何，，及，有： ，，； 对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立．由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义，因此如果把上述法则扩展到分数指数幂内运用，就会得到荒谬的结果。如，若由，就会得到的错误结论，对此一定要重视。 3．讲解复数的除法，可以按照教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数，使它满足（这里，是已知的复数）．列出上式后，由乘法法则及两个复数相等的条件得： ， 由此 二年级数学下《用乘法和除法两步计算解决问 题》 知识与技能： 1、初步理解用乘法和除法计算实际问题的特点，会用乘法和除法两步计算解决实际问题。 2、通过分析、解决问题的活动，培养学生提出问题解决问题的能力。 3、培养学生的数学思维能力，发展学生的创新意识。 过程与方法： 经历用乘法和出发解决实际问题的解决过程，体验解决问题的一般策略。 情感、态度与价值观： 感受数学在实际生活中的作用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生良好的观察和审题习惯。 教学重点：学会用乘除法两步计算来解决问题。 教学难点；掌握解决问题的步骤和方法。 分析教材与学生： 教材通过创设儿童商店这一有趣情境，充分电动了学生的积极性。儿童商店与我们日常生活紧密相连，和同学们去购买东西一样，为学生创设了解决问题的情境，也让学生了解了数学知识来源于生活。教学时，教师要引导学生用乘法和除法两步解决实际问题，培养学生解决问题的能力。 教学准备：挂图，幻灯片。 教学流程： 一、创设情境。 1、同学们，这节课老师带同学们去商店逛一逛，大家高兴吗？商店的商品可真丰富，看一看，你都了解了什么信息？ 学生汇报商品及价格。 说一说，你买些什么？ 2、出示图：小青和小强也来到了商店，同学们来猜猜他们要买什么东西呢？ 二、探究体验。 1、说一说。 如果你是小青或是小强，你想买什么？ 2、想一想。 小青和小强到底要买什么呢？他们在说什么？ 学生根据对话找出要解决的问题。 小强要买5辆小汽车，小青问应付多少钱？ 3、议一议。 学生以小组为单位，讨论探索解决问题的方法。 师强调：要求买5辆汽车应付多少钱，就需要先解决买一辆汽车多少钱的问题。 4、算一算。 学生在练习本上自己解答。 第一步：求买一辆汽车多少钱？ 123=4（元） 第二步：求买5辆汽车应付多少钱？ 一、复数选择题 1．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ?? ? D ．43,55?? - ??? 2．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．z 的实部是1 B ．z 的虚部是1 C ．z = D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限 3．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+i C ．76i - D ．76i + 4．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．若复数1z i =-，则1z z =-（ ） A B ．2 C ． D ．4 6．若 1m i i +-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D 7．设复数2i 1i z =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④z z ，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③ 9．已知复数z 满足2 2z z =，则复数z 在复平面内对应的点(),x y （ ） A ．恒在实轴上 B ．恒在虚轴上 C ．恒在直线y x =上 D ．恒在直线y x =-上 10．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．1- 11．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 高二数学第7课时：复数的乘法 学习目标： 1.复数乘法运算. 2.(a+bi)(a-bi)的结果 3.i 的周期性 新授： 目标一：复数乘法 问：设a ，b ，c ，d ∈R ，则(a ＋b )(c ＋d )怎样展开？ 设复数z1＝a ＋b i ，z2＝c ＋d i ，其中a ，b ，c ，d ∈R ，则z1z2＝(a ＋b i)(c ＋d i)， 按照上述运算法则将其展开，z1z2等于什么？ 注意： 我们比较容易证明这些性质： 1.交换律：z1·z2=z2·z1 2.结合律: (z1·z2) ·z3=z1· (z2·z3) 3.分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 4.正整数指数幂运算律 另外，实数中的完全平方公式，平方差公式，立方差公式，立方和公式在复数中仍适用，请大胆使用. 例 1 已知z1=2+i, z2=3-4i,计算z1·z2. 练习 (1) (7-6i )(-3i ); (2) (3+4i )(-2-3i ); (3) (1+2i )(3-4i )(-2-i ) 第七课时复数的乘法第一页 22(4)(1i). (5)(1i). +-4 (6)(1)i + 目标二： (a+bi)(a-bi) 计算下列各式，你发现其中有什么规律吗？ 小结：两个共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方. 目标三：i 的周期性 你能发现规律吗？有怎样的规律？ 课堂小结： 1. 2. 3 课堂小测课本94页：练习A 布置作业同步练习册：A 卷 第七课时复数的乘法第二页 (32)(32) i i +-) 32)(32(i i +---1 ,,1,4 321=-=-==i i i i i i __ ,__,__,__8 765 ====i i i i = n i 4=+1 4n i = +24n i = +3 4n i 2000 90 1928 37)1(,,,,i i i i i +选做题：已知z ＝x ＋y i(x ， y ∈R)且z ＝1 z ，(z ＋1)(z ＋ 1)＝x 2＋y 2，求复数z . 高二数学复数的知识点归纳 高二数学复数的知识点归纳 定义 数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于 0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。 形如z=a+bi的数称为复数(complexnumber)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1(a，b是任意实数)我们将复数z=a+bi中的实数 a称为复数z的实部(realpart)记作Rez=a实数b称为复数z的虚 部(imaginarypart)记作Imz=b.已知：当b=0时，z=a，这时复数成 为实数当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。 运算法则 加法法则 复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的'虚部是原来两个虚部的和。 两个复数的和依然是复数。 即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 乘法法则 复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2=1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 除法法则 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R) 叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以 分母的共轭复数，再用乘法法则运算， 即(a+bi)/(c+di) =[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)] =[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2). 开方法则 若z^n=r(cosθ+isinθ)，则 z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=0，1，2，3……n-1) [文件] sxgdja0012.doc [科目] 数学 [年级] 高中 [章节] [关键词] 复数/乘法/几何意义 [标题] 复数的乘法及其几何意义 [内容] 北京市五中 肖钰 教学目标 1.掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程． 2.掌握复数乘法的几何意义． 3.让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法． 4.培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力． 教学重点与难点 重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算． 难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学生掌握． 教学过程设计 师：前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式，请大家用5分钟的时间，完 成以下两道题的演算． （利用投影仪出示） 1.（1－2i ）（2+i ）（4+3i ）； 2.化复数－ ?? ? ??+3cos 3sin 21ππi 为代数形式和三解形式． （5分钟后） 师：第1题检查了复数乘法运算，答案是25，第2题检查了复数的三角形式概念及复数代数形式与三角形式的互化．答案是：?? ? ??+-- 67sin 67cos 21; 4143ππi i ．如果有的同学演算 错了，应想一想怎样错的?错的原因是什么?怎样纠正? 请同学们再考虑下面一个问题： 如果把复数z 1，z 2分别写成 z 1＝r 1（cos θ1+sin θ1）， z 2＝r 2（cos θ2+isin θ2）． z1·z2这乘法运算怎样进行呢? 想出算法后，请大家在笔记本上演算，允许同学之间交换意义． （教师在教室里巡视，稍过几分钟，请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程） 学生板演： z1·z2＝（cos θ1+isin θ1）·r 2（cos θ2+isin θ2） ＝（r 1cos θ1+ir1sin θ1）·（r2cos θ2+ir2sin θ2） ＝（r 1r 2cos θ1cos θ2－r 1r 2sin θ1sin θ2）+i （r 1r 2sin θ1cos θ2+r 1r 2cos θ1sin θ2） ＝r 1r 2［（cos θ1cos θ2－sin θ1sin θ2）+i （sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2）］ ＝r 1r 2［cos （θ1+θ2）+isin （θ1+θ2）］． 师：很好，你是怎样想出来的?为什么这样想? 2.2 复数的乘法与除法 明目标、知重点 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念．1．复数的乘法法则 设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2 3.共轭复数 如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. 4．复数的除法法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0)， 则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2 i. [情境导学] 我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律吗？ 探究点一 复数乘除法的运算 思考1 怎样进行复数的乘法？ 答 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可． 思考2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？ 答 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1. 例 1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (2)(3＋4i)(3－4i)； (3)(1＋i)2. 解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i ； (2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25； (3)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i. 反思与感悟 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等． 跟踪训练1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2. 解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i. 思考3 如何理解复数的除法运算法则？ 答 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共 1、同学们做纸花，第一组做了168朵，第二组做了204朵，第三组做的和第二组同样多。三个组一共做了多少朵花？ 2、同学们去植树，一年级栽了47棵，二年级栽了54棵，三年级栽的比一、平均每个班分多少本？ 3、小方看一本548页的书。第一天看了146页，第二天看了207页。这本书还有多少页没看？ 4、小明有34个红球，28个黄球和76个白球。小明一共有多少个球？ 5、学校买来89个球，其中25个是篮球，37个是排球，剩下的是皮球。皮球有多少个？ 6、校栽了45棵杨树，柳树比杨树少17棵，水杉树比柳树多31棵。水杉树有多少棵？ 7、同学们做纸花。做红花107朵，做黄花35朵，做白花26朵。做红花的朵数比黄花和白花的总朵数多几朵？ 8、小红有64张纸。做纸花用去27张，做纸船用去19张。小红还剩多少张纸？ 9、一辆火车上原有967人。先下去288人，后来又上来105人。火车上现在有多少人？ 10、家里原来有43个苹果，妈妈又买来15个，小明吃了19个。现在还有多少个苹果？ 11、图书室原来有543本童话书。借给二年级106本，给借三年级264本。还剩多少本？ 12、学校举行运动会，二（1）班男生得了28分，女生得了24分，二（2）班比二（1）班多得了5分，二（2）班得了多少分？ 13、商店里有4盒皮球，每盒6个。卖出20个，还剩多少个？ 14、一辆汽车里有乘客32人，到邮电大楼站下去9人。又上来13人，这时车上有乘客多少人？ 15、三年级买来科技书18本，故事书24本。把这些书平均分给三年级六个班 16、学校开展植树活动，运回树苗76棵。五年级领走27棵，六年级领走33棵，还剩下多少棵树苗？ 17、幼儿园买了48个白皮球，24个花皮球，平均分给9个班，每班分得几个？ 18、小芳看一本书，每天看5页，9天后还剩56页，这本书一共多少页？ 19、学校买粉笔，白粉笔比彩色粉笔多42盒，彩色粉笔39盒，买了多少盒白粉笔？ 20、同学们参加方块队训练，三年级34人，四年级47人，每9人一行，应排几行？ 附加题：植树节四、五年级同学种了108棵柳树，还种了3行杨树，每行7棵。（1）种的杨树比柳树少多少棵？（2）四年级比五年级少多少棵树？（3）四、五年级共种树多少棵？ 复数的三角形式及乘除运算 一、主要内容: 复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求: 1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值. 2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）. 4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点: 复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用. 四、学习建议: 1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的. 前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b ∈R).二是几何表示，复数Z 既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量 来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z 的 模和辐角来表示，设其模为r ，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0). 既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化. 代数形式r= 三角形式 Z=a+bi(a,b ∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0) 复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z 的一个辐角，不一定是辐角主值. 五、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ + i sin θ） 其中z r = θ为复数z 的辐角。 ②非零复数z 辐角θ的多值性。 始边，向量oz → 所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角 以ox 轴正半轴为因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ） ③辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。 2π）的角θ叫辐角主值 02≤二年级数学：乘除法的关系
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