第2讲 古典概型

第2讲 古典概型

1．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点． 2．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主． 【复习指导】

1．掌握解决古典概型的基本方法，列举基本事件、随机事件，从中找出基本事件的总个数，随机事件所含有的基本事件的个数．

2．复习时要加强与统计相关的综合题的训练，注重理解、分析、逻辑推理能力的提升．

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的．

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 3．古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.

一条规律

从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故()()()

card card A m

P A I n

==

. 两种方法

(1)列举法：适合于较简单的试验．

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x ，y )可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．

1．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为 ( )． A.23 B.14 C.13 D.12

解析 一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次出现

正面的事件包括(正，反)，(反，正)，故其概率为24＝1

2.

答案 D

2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )． A.16 B.12 C.13 D.23 解析 甲共有3种站法，故站在中间的概率为13.

答案 C

3．掷一颗骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率为( )． A.13 B.14 C.12 D.23

解析 掷一颗骰子共有6种情况，其中奇数点的情况有3种，故所求概率为：36＝12.

答案 C

4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b ＞a 的概率是( )． A.45 B.35 C.25 D.15

解析 基本事件的个数有5×3＝15(种)，其中满足b ＞a 的有3种，所以b ＞a 的概率为315＝15.

答案 D

5．(2012·泰州联考)三张卡片上分别写上字母E 、E 、B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．

解析 三张卡片排成一排共有BEE ，EBE ，EEB 三种情况，故恰好排成BEE 的概率为13.

答案 13

考向一 基本事件数的探求

【例1】做抛掷两颗骰子的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子出现的点数，写出： (1)试验的基本事件；

(2)事件“出现点数之和大于8”； (3)事件“出现点数相等”； (4)事件“出现点数之和大于10”． [审题视点] 用列举法一一列举． 解 (1)这个试验的基本事件为：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)

(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)

(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)

(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)

(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)

(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)

(2)事件“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件(3,6)，(4,5)，(4,6)(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．

(3)事件“出现点数相等”包含以下6个基本事件(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．

(4)事件“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件(5,6)，(6,5)，(6,6)．

【反思与悟】基本事件数的探求主要有两种方法：列举法和树状图法．

【变式1-1】用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，写出：

(1)试验的基本事件；

(2)事件“3个矩形颜色都相同”；

(3)事件“3个矩形颜色都不同”．

解(1)所有可能的基本事件共27个．

(2)由图可知，事件“3个矩形都涂同一颜色”包含以下3个基本事件：红红红，黄黄黄，蓝蓝蓝．

(3)由图可知，事件“3个矩形颜色都不同”包含以下6个基本事件：红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红．

考向二古典概型

【例2】现有8名2012年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．

(1)求A1被选中的概率；

(2)求B1和C1不全被选中的概率．

[审题视点] 确定基本事件总数，可用排列组合或用列举法，确定某事件所包含的基本事件数，用公式求解．

解(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有C13C13 C12＝18个．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．

用M表示“A1恰被选中”这一事件，

事件M 由C 13C 1

2＝6，

因而P (M )＝618＝13

.

(2)用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N 包含(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)3个结果，事件N 有3个基本事件组成，所以P (N )＝318＝1

6，由对立事件的概率公式得

P (N )＝1－P (N )＝1－16＝5

6

.

【反思与悟】 古典概型是基本事件个数有限，每个基本事件发生的概率相等的一种概率模型，其概率等于随机事件所包含的基本事件的个数与基本事件的总个数的比值．

【变式2-1】 (2011·全国新课标)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )． A.13 B.12 C.23 D.34

解析 甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9(种)情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况．∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P ＝39＝13.

答案 A

考向三 古典概型的综合应用

【例3】(2011·广东)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

(1)求第6位同学的成绩x 6(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．

[审题视点] 本题考查平均数、标准差、古典概型概率的计算．(1)由这6位同学的平均成绩为75分，建立关于x 6的方程，可求得x 6，然后求方差，再求标准差；(2)用列举法可得所求古典概型的概率． 解 (1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴1

6(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90， 这6位同学成绩的方差

s 2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s ＝7.

(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，

恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为4

10

＝0.4， 即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.

【反思与悟】 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．

【变式3-1】 一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：

10辆． (1)求z 的值；

(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：

9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 解 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆， 由题意得50n ＝10

100＋300，所以n ＝2 000，

则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得4001 000＝a

5

，则a ＝2.

因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3

辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：

(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个．

事件E 包含的基本事件有：

(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个． 故P (E )＝710，即所求概率为7

10

.

(3)样本平均数x ＝1

8

(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.

设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝3

4，

即所求概率为3

4

.

缺少必要的文字说明而失分

【问题诊断】 在阅卷中发现不少考生在解答概率问题的解答题时，只写出所求结果，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件，致使丢了不该丢的分.

【防范措施】 正确写出基本事件空间，可以利用列表、画树状图等方法，以防遗漏.

【示例】(2011·山东)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；

(2)若从报名的6名教师中任取2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．

错因 未写出基本事件的空间，缺少必要的文字说明． 实录 (1)P ＝49＝23.

(2)P ＝615＝25

.

正解 (1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．

从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种，

从中选出2名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种，选出的2名教师性别相同的概率为P ＝4

9

.

(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．

从中选出2名教师来自同一学校的结果有：

(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种， 选出的2名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝2

5

.

【试一试】 从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取一件． (1)每次取出后不放回，连续取两次； (2)每次取出后放回，连续取两次．

试分别求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．

[尝试解答] (1)用a 1，a 2和b 1表示两件正品和一件次品，则不放回地抽取两次，其一切可能的结果为：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．

其中小括号内左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品，用A 表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品”这一事件，则A 所含的结果为(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，即基本事件的总数n ＝6，事件A 包含的事件总数m ＝4.故P (A )＝46＝23

.

(2)若为有放回的抽取，其基本事件包含的结果共有(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，用B 表示“恰有一件产品为次品”这一事件，则B 包含的结果为(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，即基本事件的总数n ＝9，事件B 包含的事件总数m ＝

4.故P (B )＝4

9

.