不等式的基本性质教学设计(20200719001413)
情景引入:1.举例说明什么是不等式?
2.判断下列各式是否成立?并说明理由。
( 1 ) 若x-6=10, 则x=16 ( )
( 2 ) 若3x=15, 则x=5 ( )
( 3 ) 若x-6>10 则x>16 ( )
( 4 ) 若3x>15 则x>5 ( )
【设计意图】(1)、(2)小题唤起对旧知识等式的基本性质的回忆,(3)、(4)小题引导学生大胆说出自己的想法。
温故知新
问题1.由等式性质1你能猜想一下不等式具有什么样的性质吗?
等式性质1:等式两边都加上或减去同一个数(或同一个整式),所得结果仍是不等式。
估计学生会猜:不等式两边都加上或减去同一个数(或同一个整式),所得结果仍是不等式。
教师引导:“=”没有方向性,所以可以说所得结果仍是等式,而不等号:“>,<,≥,≤”具有方向性,我们应该重点研究它在方向上的变化。
问题2.你能通过实验、猜想,得出进一步的结论吗?
同学通过实例验证得出结论,师生共同总结不等式性质1。
问题3.你能由等式性质2进一步猜想不等式还具有什么性质吗?
等式性质2:等式两边都乘或除以同一个数(除数不能是0),等式依然成立。
估计学生会猜:不等式两边都乘或除以同一个数(除数不能是0),不等号的方向不变。
你能和小伙伴一起来验证你们的猜想吗?
学生在小组内合作交流,发现了在不等式两边都乘或除以同一个数时,不等号的方向会出现
两种情况。教师进一步引导学生通过分析、比较探索规律,从而形成共识,归纳概括出不等式性质2和3。
问题4.在不等式两边都乘0会出现什么情况?
问题5.如果a、b、c表示任意数,且a<b,你能用a、b、c把不等式的基本性质表示出
来码?
【想一想】不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同之处,有什么不同之处?
学生思考,独立总结异同点。
【设计意图】引导学生把二者进行比较,有助于加深对不等式基本性质的理解,促成知识的“正迁移”。
综合训练:你能运用不等式的基本性质解决问题吗?
1、课本62页例 3
教师引导学生观察每个问题是由a>b经过怎样的变形得到的,应该应用不等式的哪条基本
性质。由学生思考后口答。
2、你认为在运用不等式的基本性质时哪一条性质最容易出错,应该怎样记住?
3.火眼金睛
①a>1,则2a___a
②a>3a,则 a ___ 0
【设计意图】通过变式训练,加深学生对新知的理解,培养学生分析、探究问题的能力。
课堂小结:
这节课你有哪些收获?你认为自己的表现如何?教师引导学生回顾、思考、交流。
【设计意图】回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络。
思考题
咱们班的小刚同学准备在五、一期间和他的爸爸、妈妈外出旅游。青年旅行社的标准为:大人全价,小孩半价;方正旅行社的标准为:大人、小孩一律八折。若两家旅行社的基本价一
样,你能帮小刚同学考虑一下选择哪家旅行社更合算吗?
【设计意图】利用所学的数学知识,解决生活中的问题,加强数学与生活的联系,体验数学
是描述现实世界的重要手段。
课后反思:
本节课我采用类比等式性质的方法引导学生的自主探究活动,教给学生类比、猜想、验证的问题研究方法,培养手、善于观察、善于思考的学习习惯。利用学生的好奇心设疑、解疑,鼓励学生大胆积极参与,使学生在自主探流中理解和掌握本节课的内容。
鲁教版七年级数学下册 不等式的基本性质教案
《不等式的基本性质》教案 教学目标 1、经历不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同. 2、掌握不等式的基本性质. 教学重难点 不等式的基本性质的掌握与应用. 教学过程 一、比较归纳,产生新知 我们知道,在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式,等式不变. 请问:如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式,那么结果会怎样?请举几例试一试,并与同伴交流. 类比等式的基本性质得出猜想:不等式的结果不变.试举几例验证猜想. 如3<7,3+1=4,7+1=8,4<8,所以3+1<7+1;3-5=-2,7-5=2,-2<2,所以3-5<7-5;3+a<7+a;3<7,3-a<7-a等.都能说明猜想的正确性. 二、探索交流,概括性质 完成下列填空. 2<3,2×5______3×5; 2<3,2×(-1)______3×(-1); 2<3,2×(-5)______3×(-5); 你发现了什么?请再举几例试试,与同伴交流. 通过计算结果不难发现:第一个空填“<”,后三个空填“>”. 得出不等式的基本性质: 不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.(通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象) 三、例题解析 将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式: (1)x-5>-1;(2)-2x>3. 解:(1)根据不等式的基本性质1,两边都加5,得 x>-1+5 即
x >4 (2)根据不等式的基本性质3,两边都除以-2,得 32 <-x 四、练习巩固,促进迁移 1、用“>”号或“<”号填空,并简说理由. ① 6+2 ______ -3+2; ② 6×(-2)______ -3×(-2); ③ 6÷2______ -3÷2; ④ 6÷(-2)______ -3÷(-2) 2、利用不等式的基本性质,填“>”或“<”. (1)若a >b ,则2a +1 _____ 2b +1; (2)若a <b ,且c >0,则ac +c ______ bc +c ; (3)若a >0,b <0, c <0,(a -b )c ______ 0. 3、巩固应用,拓展研究. 按照下列条件,写出仍能成立的不等式,并说明根据. (1)a >b 两边都加上-4; (2)-3a <b 两边都除以-3; (3)a ≥3b 两边都乘以2; (4)a ≤2b 两边都加上c . 五、课堂小结 不等式的基本性质: 不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变. 不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
新版人教初二不等式教案
不等式及其解集 [教学目标] 1、了解不等式和一元一次不等式的概念; 2、理解不等式的解和解集,能正确表示不等式的解集。 [重点难点] 不等式、一元一次不等式、不等式的解、解集的概念是重点;不等式解集的 理解与表示是难点 一、课前预习: (1)如图,小明与小聪玩跷跷板,大家都不用力时,跷跷板左低右高。小明的身体质量 为 p(kg),小聪的身体质量为q(kg),书包的质量为2kg ,怎样表示p 、q 之间的关系? (2)如图,天平左盘放三个乒乓球,右盘放5g 砝码,天平倾斜。设每个乒乓球的质量为 x (g ),则根据图形可列出怎样的关系式? (3)公路上常有这样的标志:限速100km/h ,速度记作a ,则可以写出不等式是 (4)(x+1)0=1,x 必须满足的条件是 二、不等式的概念 1、不等式 “>”、“<”、 “ ≠”叫做不等号,不等号也可以写成“≤”、“≥” 的 形式。 总之,用不等号连接起来的式子叫做不等式。 2、一元一次不等式 类似于一元一次方程,含有一个未知数,并且未知数的次数是1的不等式,叫做一元 一次不等式。 注意:分母含有未知数的不等式不是一元一次不等式,这一点与一元一次方程类似。 三、典型例题 1、用不等式表示: (1)x 的一半小于-1 ; (2)y 与4的和大于0.5; (3)a 是负数; (4)b 是非负数; 模仿练习:用不等式表示 (1)a 是正数; (2)a 是非负数; (3)a 与6的和小于5; (4)x 与2的差大于-1; (5)x 的4倍不大于7; (6)y 的一半不小于3. (7)x 2与1的和是非负数 (8)3与x 的差的一半是非正数 2、一辆48座的旅游车载有游客x 人,到一个站上又上来2个人,车上仍有空位,有数学 式子表示上述数量关系 3、某一天的最低气温是-2℃,最高气温 是6℃,该市这一天某一时刻的气温t ℃。
不等式的性质教案1
学习目标 1、掌握不等式的基本性质。 2、会应用不等式的基本性质对不等式进行化简。 3、知道等式与不等式性质的联系与区别。 重点难点 重难点:不等式的性质及其应用。 学习过程 一、课前预习 1、不等式的性质1: 字母表示为:如果a>b,那么 2、不等式的性质2: 字母表示为:如果a>0,c>0,那么 3、不等式的性质3: 字母表示为:如果a>0,c<0,那么 二、课堂研讨 (一)重点研讨 4、将下列不等式化成“χ>a”或“χ<a”的形式。 (1)χ+12>6 (2)2χ<-2 (3)χ-2>0.9 (4)-3χ<-6
5、思考:等式的性质和不等式的性质有什么异同? 相同点:不同点: (二)拓展训练 6、解不等式2x—1﹤5x-5并在数轴上表示解集。 7、已知a﹥b,ac一定大于bc吗? (三)达标测试 8、填写不等号或变形依据。 (1)∵0<1∴a a+1,依据; (2)若2x>-6,两边同除以2,得,依据;(3)若-12 x f,两边同乘以-3,得,依据。 3 9、若x>y,判断下列不等式变形是否正确,并说出你的理由。(1)x-6 (3)-2x<-2y (4)2x+1>2y+1 (5)ax>ay 三、课后巩固 10、填空 (1)∵ 2a > 3a ∴ a 是 数 (2)∵ 32 a a p ∴ a 是 数 (3)∵ax < a 且 x > 1 ∴ a 是 数 11、根据下列已知条件,说出a 与b 的不等关系,并说明是根据不等式哪一条性质。 (1)a -3 > b -3 (2) 33a b f (3)-4a > -4b 12、设m >n ,用“<”或“>”填空 ⑴m -5 n -5 ⑵m+4 n+4 ⑶6m 6n ⑷-31 m - 31 n 13、利用不等式的性质解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来。 ⑴ x -7>26 ⑵ 3x <2x+1 《基本不等式》教案 教学三维目标: 1、知识与能力目标:掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值. 2、过程与方法目标:体会基本不等式应用的条件:一正二定三相等;体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程;体会习题的改编过程. 3、情感态度与价值观目标:通过解题后的反思,逐步培养学生养成解题反思的习惯;通过变式练习,逐步培养学生的探索研究精神. 教学重点、难点: 重点:基本不等式在解决最值问题中的应用. 难点:利用基本不等式失效(等号取不到)的情况下采用函数的单调性求解最值. 学情分析与学法指导: 基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法,但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视,另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件,但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。在本节高三复习课中,结合学生的实际编制了教学案,力求在学生的“最近发展区”设计问题,逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习. 教学过程: 一、基础梳理 基本不等式:如果a,b 是正数,那么2a b + (当且仅当a b 时取""=号 ) 代数背景:如果22a b + 2ab (,,a b R ∈当且仅当a b 时取""=号 )(用代换思 想得到基本不等式) 几何背景:半径不小于半弦。 常见变形: (1)ab 22 2a b + (2)222a b + 2 2a b +?? ??? (3)b a a b + 2(a ,b 同号且不为0) 3、算术平均数与几何平均数 如果a 、b 是正数,我们称 为a 、b 的算术平均数,称 的a 、b 几何平均数. 4、利用基本不等式求最值问题(建构策略) 问题: (1)把4写成两个正数的积,当这两个正数取什么值时,它们的和最小? (2)把4写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的积最大? 请根据问题归纳出基本不等式求解最值问题的两种模式: 已知x ,y 都大于0则 (1)“积定和最小”:如果积xy 是定值P ,那么当 时,和x +y 有最小值 ; (2)“和定积最大”:如果和x +y 是定值S ,那么当 时,积xy 有最大值 . 二、课前热身 1、已知,(0,1)a b a b ∈≠且,下列各式最大的是( ) A. 22a b + B. C. 2ab D. a b + 2、已知,,a b c 是实数,求证222a b c ab bc ac ++≥++ 3、.1,0)1(的最小值求若x x x +> .)1(,10)2(的最大值求若x x x -<< 4、大家来挑错 (1)2121=?≥+ x x x x 21的最小值是x x +∴ (2)2121,2=?≥+ ≥x x x x x 则 21,2的最小值是时x x x +≥∴ 5、的最小值求若31,3-+ >a a a 三、课堂探究 1、答疑解惑 方法:小组提交预习中存在的疑问,由其他组学生或教师有针对性地答疑。 2、典例分析 例1、设02,x <<求函数y =. 例2、41,3lg lg x y x x >=++ 设求函数的最值. 变式1:将条件改为01x << 变式2:去掉条件1x > 变式3:将条件改为1000≥x 例3、若正数,3,a b ab a b ab =++满足则的取值范围是 . 变式:求a b +的取值范围. 实用标准 文档大全基本不等式及其应用教案 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R,当且仅当a=b时取“=”号)和a3+b3+c3≥3abc(a、b、c∈R+,当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论,并能应用它们证明一些不等式. (2)通过对定理及其推论的证明与应用,培养学生运用综合法进行推理的能力. 教学过程一、引入新课 师:上节课我们学过证明不等式的哪一种方法?它的理论依据是什么? 生:求差比较法,即 师:由于不等式复杂多样,仅有比较法是不够的.我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法. 如果a、b∈R,那么(a-b)2属于什么数集?为什么? 生:当a≠b时,(a-b)2>0,当a=b时,(a-b)2=0,所以(a-b)2≥0.即(a-b)2∈ R+∪{0} .. 师:下面我们根据(a-b)2∈R+∪{0}这一性质,来推导一些重要的不等式,同时学习一些证明不等式的方法. 实用标准 文档大全二、推导公式 1.奠基 师:如果a、b∈R,那么有 (a-b)2≥0. ① 把①左边展开,得 a2-2ab+b2≥∴a2+b2≥2ab .. ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍.这就是课本中介绍的定理1,它是一个很重要的绝对不等式,对任何两实数a、b都成立.由于取“=”号这种特殊情况,在以后有广泛的应用,因此通常要指出“=”号成立的充要条件.②式中取等号的充要条件是什么呢? 师:充要条件通常用“当且仅当”来表达.“当”表示条件是充分的,“仅当”表示条件是必要的.所以②式可表述为:如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号). 八年级数学上册《不等式的基本性质》教案 教学目的: 通过操作,分析得出不等式的基本性质1。 重点:不等式的概念和基本性质1。 难点:简单的不等式变形。 教学过程: 一、创设问题情景回顾不等式概念 (出示投影1) ⑴水果店的小王从水果批发市场购进100千克梨和84千克苹果,你能用“>”或“<”连接梨和苹果的进货量吗? ⑵几天后,小王卖出梨和苹果各a千克,你能用“>”或“<连接梨和苹果的剩余量吗?教师提示:⑴100 ________84; ⑵100-a________84-a 学生活动:学生在练习本上完成上述问题,并展开讨论。 二、想一想,认识不等式的基本性质1 1、提出问题:在不等式5>3的两边同时加上或减去2,在横线上填“>”或“<”号 5+2________3+2;5-2________3-2 2、学生活动:⑴自己写一个不等式,在它的两边同时加上、减去同一个数,看看有什么结果?⑵讨论交流,大胆说出自己的“发现”。 3、教师活动:⑴让学生多次尝试;⑵参与学生讨论; ⑶归纳指出:不等式的两边同时加上(或都减去)同一个数或同一个代数式,不等号的方向不变。用字母表示:若a>b,则a+c>b+c用a-c>b-c。 三、做一做,进行简单的不等式变形 1、(出示投影2) 例1、用“>”或“<”填空 ⑴已知a>b,a+3________b+3;⑵已知a>b,a-5________b-5。 学生活动:学生独立完成此题。 [说明]解此题的理论依据就是根据不等式的性质1进行变形。 2.例2.把下列不等式化为x>a或x5 (2)3x>2x+2 学生活动:学生尝试将这个不等式变形。 师生共同分析解答; 教师指出:像例2那样,把不等式的某一项变号后移到另一边.称为移项,这与解一元一次方程中的移项相类似。 四、随堂练习 P135 练习1,2、 五、小结 1、不等式的概念和基本性质1;移项。 2.简单不等式的变形. 六.作业 1、P137 习题4.2 A组第1.(1)(2),2. 补充 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 (1)能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系; (2)初步学会作差法比较两实数的大小; (3)掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系;以问题方式代替例题,学习如何利用不等式研究及表示不等式,利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度,注重问题情境、实际背景的设置,通过学生对问题的探究思考,广泛参与,改变学生学习方式,提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系, 会作差法比较两实数的大小 ,通过类比法,掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. (一)新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< (二)新课讲授 问题1:你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 (1)某路段限速40km /h ; (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于%,蛋白质的含量p 应不少于%; (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边; (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 对于(1),设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ,“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40,于是0<v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于%,蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于(3),设△ABC 的三条边为a ,b ,c ,则a +b >c ,a -b <c . 对于(4),如图,设C 是线段AB 外的任意一点,CD 垂直于AB ,垂足 为D ,E 是线段AB 上不同于D 的任意一点,则CD <CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着, 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高元,销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解:提价后销售的总收入为错误!x 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 “基本不等式”教学设计与教学反思 一、教材背景分析 1.教材的地位和作用 本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质,掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式,在代数证明的基础上,通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义,并给出在解决函数最值和实际问题中应用,在知识体系中起着承上启下的作用;从知识的应用价值上看,基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在公式推导中所蕴涵的数学思想方法(如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等)在各种不等式的研究中均有着广泛的应用;从内容的人文价值上看,基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等,有助于培养学生思维能力和探索精神,是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. 本节是复习课,不仅应让学生进一步理解概念,还要掌握应用基本不等式求最值,体会基本不等式在实际生活中的指导作用。 2.学情分析 在认知上,学生已经掌握了不等式的基本性质,并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较,也具备了一定的平面几何的基本知识. 如何让学生再认识“基本”二字,是本节学习的前提. 事实上,该不等式反映了实数的两种基本运算(即加法和乘法)所引出的大小变化,这一本质不仅反映在其代数结构上,而且也有几何意义,由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用. 因此,必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手,才能让学生深刻理解它的本质. 另外,在用基本不等式解决最值时,学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件,因此,在教学过程中,应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值问题中的作用. 3、教学重难点: 教学重点:用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度回顾和探索基本不等式的证明过程;用基本不等式解决一些简单的最值问题. 教学难点:回顾在几何背景下抽象出基本不等式的过程;基本不等式中等号成立的条件;应用基本不等式解决实际问题. 二、教学目标 1、利用“赵爽弦图”回顾重要不等式、基本不等式,再利用教材中的“探究”回顾基本不等式的几何意义,通过基本不等式的回顾,进一步让学生体会和感悟形数统一的思想方法; 基本不等式是每年的高考热点,主要考察命题的判定,不等式的证明以及求 最值问题。特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。 考 察学生恒等变形的能力,运用基本不等式的和与积转化作用的能力。 教学目标 1. 知识与技能 理解基本不等式,了解变式结构;理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。 会运用基本不等式解决相关的问题。 2. 过程与方法 通过师生互动、学生主动的探究过程,让学生体会研究数学问题的基本思想 方法,学会学习,学会探究。 3. 情感态度与价值观 鼓励学生大胆探索,增强学生的信心,获得探索问题的成功情感体验。逐步 养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。 重点:运用基本不等式求最值 难点:恰当变形转化,构建出满足运用基本不等式的条件 教学过程: 一、 要点梳理 1、基本不等式 若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=” b 2(a 、b 同号) a 3、求最大值、最小值问题 (1) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且xy=p(定值),那么当x=y 时,x+y 有 _______________ (2) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且x+y=s(定值),那么当x=y 时,xy 有 _______________ 例题精讲 例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3,求ab 的取值范围, 1 9 例2、已知x>0、y>0,且一 一 1,求x+y 的最小值 x y 2、 若 a 、b € R',则 常用变形形式: 宁,ab ,当且仅当a=b 时取 ■- ab 2 b 2 ——b a 0,b 0 ④ 2 b 2 2ab ab 2 a 2 b 2 2 概括为: “不等式的性质”的教学设计 07990201 侯志静 综合理科072班 一、课标分析 数学新课程标准提到:要注重提高学生的数学思维能力,即“在学生学习数学运用数学解决问题时,应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。笔者在认真学习领会新课程标准的基础上,在《不等式的性质》教学设计中大胆探索归纳式学习方法、勇于实践探究式教学方法,以取得更好的教学效果。二、教材分析 (1)本节内容是七年级下第九章《不等式和不等式组》中的重点部分,是不等式的第一节课,由于学生是第一次接触不等式,故此节课应该是在加深对不等式的认识的基础上,着重探究不等式的性质,了解一般不等式的解与解集以及解不等式的概念。 (2)不等式的性质是后继深入学习一元一次不等式组以及解决与不等式有关问题的基础和依据。教材中列举了不等式的三条基本性质定理,这三条性质不等式的最基本、也是最重要的性质,不仅要掌握它们的内容、理解掌握它们成立的条件、把握它们之间的联系,还要对这些性质进行拓展探究。 (3)不等式的性质是培养学生数学能力的良好题材,学习不等式,要经常用到观察、分析、归纳、猜想、迭代的思想,还要综合运用前面的知识解决不等式中的一些问题,这些都有助于学生数学能力的提高。本节内容安排上难度和强度不高,适合学生讨论,可以充分开展合作学习,培养学生的合作精神和团队竞争的意识。 (4)本章的知识定位与传统教材有些不同,在这套教材中,前面已经介绍了一元一次方程、一次函数及二元一次方程组的内容,现在再学习一元一次不等式和一元一次不等式组已是顺理成章的了,但是知识体系的变化会引起对不等式整个内容的理解与把握上的不同,相应问题的难度与函数、方程的综合程度会有所加大,并且突出由一些具体的实际问题抽象为不等关系模型的过程,让学生体会 9.1 不等式 教材分析:本课由实际问题中的不等关系引出不等式的概念;类比方程的解,明确不等式解和解集的概念,以及不等式解集的两种表示方法。 教学目标:了解不等式概念,理解不等式的解和解集。 教学重难点:不等式及解集概念的理解。 教学过程: 一:引出新知。 现实世界中存在大量的数量关系,包括相等关系和不等关系。用等式(包括方程),我们可以研究相等关系,而研究不等关系需要用本章的不等式,如引言中选择购物商场问题. 二:探索新知。 问题1 一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50 km,要在12:00之前驶过A地.你能用式子表示出车速应满足的条件吗? 1、汽车在12:00之前驶过A地的意思是什么? 从时间上看,汽车要在12:00之前驶过A地,则以这个速度行驶50 km所用的时间不到。 从路程上看,汽车要在12:00之前驶过A地,则以这个速度行驶的路程要超过50 km。 2、如何用式子表示以上不等关系? 设:车速为x km/h. 从时间上看: 从路程上看: (1)对于不等式而言,车速可以是80 km/h吗?78 km/h呢? 75 km/h呢?72 km/h呢? (2)类比方程的解,什么叫不等式的解? 使不等式成立的未知数的值. (3)不等式还有其他解吗?如果有,这些解应满足什么条件? 一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过程叫做解不等式. (4)除了用不等式表示取值范围,还有其他表示方法吗? 数轴 三、运用新知。 例1 请用不等式表示: (1)是负数; (2)与5的和小于-7; (3)的一半大于3. 例2 直接说出不等式的解集,并在数轴上表 示出来. 四、归纳总结 (1)什么叫不等式? (2)什么叫不等式的解?不等式的解和方程的解的区别?(3)什么叫不等式的解集?不等式的解和不等式的解集的区别? 基本不等式 1.了解基本不等式的证明过程,理解基本不等式及等号成立的条件. 2.会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大(小)值问题. 知识梳理 1.基本不等式错误!≥错误! (1)基本不等式成立的条件:a〉0,b〉0 . (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时不等式取等号. 2.几个重要不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R); (2)错误!+错误!≥ 2 (a,b同号); (3)ab≤(错误!)2(a,b∈R); (4)错误!≥(错误!)2。 3.基本不等式求最值 (1)两个正数的和为定值,当且仅当它们相等时,其积最大. (2)两个正数的积为定值,当且仅当它们相等时,其和最小. 利用这两个结论可以求某些函数的最值,求最值时,要注意“一正、二定、三相等”的条件. 热身练习 1.若a,b∈R,且ab〉0,则下列不等式中,恒成立的是(D) A.a2+b2>2ab B.a+b≥2错误! C。错误!+错误!〉错误! D。错误!+错误!≥2 A、C中,a=b时不成立,B中,当a与b均为负数时不成立,而对于D,利用基本不等式x+y≥2错误!(x>0,y〉0)成立,故选D. 2.已知a,b为正数,则下列不等式中不成立的是(D) A.ab≤错误! B.ab≤(错误!)2 C。错误!≥错误! D。错误!≥错误! 易知A,B成立, 对于C ,因为a 2+b 2≥2ab ,所以2(a 2+b 2)≥(a +b )2, 所以错误!≥(错误!)2,所以错误!≥错误!,故C 成立. 对于D,取a =4,b =1,代入可知,不等式不成立,故D 不成立. 由以上分析可知,应选D. 3.周长为60的矩形面积的最大值为(A) A .225 B .450 C .500 D .900 设矩形的长为x ,宽为y , 则2(x +y )=60,所以x +y =30, 所以S =xy ≤(x +y 2)2 =225,即S max =225. 当且仅当x =y =15时取“=",故选A 。 4.设函数f (x )=2x +错误!-1(x <0),则f (x )(A) A .有最大值 B .有最小值 C .是增函数 D .是减函数 f (x )=-[(-2x )+(-错误!)]-1≤-2错误!-1, 当且仅当x =-错误!时,等号成立, 所以函数f (x )有最大值,所以选A 。 5.(2017·山东卷)若直线x a +错误!=1(a >0,b 〉0)过点(1,2),则2a +b 的最小值为 8 。 因为直线错误!+错误!=1(a >0,b 〉0)过点(1,2), 所以1a +错误!=1, 所以2a +b =(2a +b )(错误!+错误!)=4+错误!+错误!≥4+2错误!=8, 当且仅当b a =4a b ,即a =2,b =4时,等号成立. 故2a +b 的最小值为8. 利用基本不等式判断大小关系 下列不等式一定成立的是 1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 (一)核心素养 在回顾和复习不等式的过程中,对不等式的基本性质进行系统地归纳整理,并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论,使学生掌握相应的思想方法,以提高学生对不等式基本性质的认识水平. (二)学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义,建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质,并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. (三)学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假;代数证明. (四)学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 (一)课前设计 1.预习任务 (1)读一读:阅读教材第2页至第4页,填空: a b >? a b =? a b (2)判断:下列说法是否正确? ①,a b b c a c >>?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 (1)当x ∈ ,代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1] (2)若c ∈R ,则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >,得0c ≠,所以20c >;当,0a b c >=时,22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. (3)当实数,a b 满足怎样条件时,由a b >能推出 11a b 【知识点】作差比较法 【解题过程】11b a a b ab --=,因为a b >,所以当0ab >时,11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时, 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例,认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系,这表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的,而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题,从特殊到一般,体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系,有以下基本事实: 如果a b >,那么a b -是正数;如果a b =,那么a b -等于零;如果a b <,那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-=-<,上面的符号“?”表示“等价于”,即可以互相推出. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与零的大小,这是研究不等式的一个出发点.这种方法称为作差比较法. 【设计意图】通过基本事实,加深对不等式的理解,突破重点. 9.1.2 不等式的性质 三维目标知识与技能 1、理解掌握不等式的性质; 2、会解决简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集。 过程与方法 经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程,初步体会 不等式与等式的异同,初步掌握类比的思想方法。 情感与态度通过创设问题情境和实验探究活动,积极引导学生参与数学活动,提高学习数学的兴趣,增进学习数学的信心,体会在解决问题的过 程中与他人交流合作的重要性。 教学重点:理解并掌握不等式的性质及运用; 教学难点:不等式性质3的探索及正确运用不等式的性质; 教学方法与手段:启发、讨论、探究 教学过程: 一、情境创设 复习回顾: 等式有哪些性质? 导入新课: ①给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码,天平会有什么变化? ②不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码,天平会有什么变化? ③如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数,天平会平衡吗?缩小相同的倍数呢? 二、自主探究 探究活动一 (一)探究不等式的性质 问题1 用“>”或“<”填空. ①-1 < 3 -1+2 3+2,-1-3 3-3 ②5 >3 5+a 3+a ,5-a 3-a ③ 6 > 2 6×5 2×5 ,6×(-5) 2×(-5) ④-2 < 3 (-2)×6 3×6 (-2)×(-6) 3×(一6) ⑤-4 >-6 (-4)÷2 (-6)÷2 (-4)÷(-2)(-6)÷(-2)《基本不等式》教案
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