高三数学专题复习幂函数经典
高三数学专题复习 （幂函数）经典
1．设?
?????
--∈3,2,1,21,1,2α，则使幂函数a y x =为奇函数且在(0,)+∞上单调递增的a 值的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．设11,0,,1,2,32a ?
?∈-????
，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．对于幂函数f(x)=45x ，若0＜x 1＜x 2，则12(
)2x x f +，12()()2
f x f x +的大小关系是( ) A. 12(
)2x x f +＞12()()2f x f x + B. 12()2x x f +＜12()()2
f x f x + C. 12()2x x f +=12()()2
f x f x + D. 无法确定 4．设函数y ＝x 3与21()2x y -=的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4)
5．下列说法正确的是( )
A ．幂函数的图像恒过(0,0)点
B ．指数函数的图像恒过(1,0)点
C ．对数函数的图像恒在y 轴右侧
D ．幂函数的图像恒在x 轴上方
6．若0>>n m ，则下列结论正确的是（ ）
A. 22m n <
B. 22
m n < C. n m 22log log > D. 11m n
> 7．若函数32)32()(-+=m x m x f 是幂函数，则m 的值为（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
8．幂函数y f x =()的图象经过点1
42
(,)，则(2)f （ ）
A. 14
B. 12
- 9．幂函数35m y x -=，其中m N ∈，且在(0,)+∞上是减函数，又()()f x f x -=，
则m =（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
10．已知幂函数()m
f x x =的图象经过点（4，2），则(16)f =（ ）
A.
11．已知命题p ：函数
2()21(0)f x ax x a =--≠在（0，1）内恰有一个零点；命题q ：函数2a y x -=在(0,)+∞上是减函数，若p 且q ?为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1a >
B ．a≤2
C ． 1 D ．a≤l 或a>2 12．[2014·北京西城模拟]已知函数f(x)＝122,0,20 x x c x x x ??≤≤??+-≤ 的零点是________；若f(x)的值域是1,24 ??-???? ，则c 的取值范围是________． 13．幂函数()f x x α=经过点P(2,4), 则f = . 14．设f (x)＝?????+--21121x x 11>≤x x ，则f [ f (21)]＝ 15．幂函数 f （x ）=x α（α∈R ）过点，则f （4）= ． 16．幂函数 f （x ）=x α（α∈R ） 过点，则 f （4）= ． 17．若幂函数y ＝f(x)的图象经过点19,3?? ???，则f(25)＝________． 18．若a ＋a －1＝3，则3 2a －a －32 ＝______． 19．若()1 21a -+<()1 232a --,则a 的取值范围是 . 20．设函数f (x ) ＝0102x x x ≥???? ??? ?，，＜，则f (f (－4))＝________. 21．已知幂函数的图像经过点（2，32）则它的解析式是 . 22．已知幂函数()f x x α=在[1,2]上的最大值与最小值的和为5，则α= ． 23．已知幂函数2()(1)m f x m m x =--在(0,)x ∈+∞上单调递减，则实数 m = . 24．已知幂函数()x f 存在反函数，且反函数()x f 1-过点（2，4） ，则()x f 的解析式是 . 25．知幂函数1 3()n y x n N *-=∈ 的定义域为(0,)+∞ ，且单调递减，则 n =__________. 26．若函数f(x)是幂函数，且满足 (4)3(2)f f =，则1()2 f 的值为 . 27．已知幂函数21()(22)m f x m m x +=-++为偶函数． （1）求()f x 的解析式； （2）若函数()2(1)1y f x a x =--+在区间（2，3）上为单调函数，求实数a 的取值范围． 28．已知幂函数y ＝f(x)经过点12,8?? ???. (1)试求函数解析式； (2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间． 29．已知幂函数y ＝x 3m －9(m∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数． (1)求m 的值； (2)求满足不等式(a ＋1)－3m <(3－2a)－3 m 的实数a 的取值范围． 30．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式． 参考答案 1．C 【来源】2013-2014学年福建省三明一中高二下学期期中考试文科数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：因为a y x =是奇函数，所以a 应该为奇数，又在(0,)+∞是单调递增的，所以0a >则只能1,3． 考点：幂函数的性质. 2．B 【来源】20XX 届陕西西工大附中高三上学期第四次适应性训练理数学卷（带解析） 【解析】 试题分析：由幂函数的基本性质可知，定义域为R 的a 的值为：{}1,2,3，函数为奇函数的a 的值为{}1,1,3-，故满足条件的所有a 的值为{}1,3两个. 考点：幂函数的定义域、奇偶性. 3．A 【来源】2013-2014学年江西鹰潭市高一上学期期末考试理科数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：可以根据幂函数f(x)＝45x 在（0，+∞）上是增函数，函数的图象是上凸的，则当0＜x1＜x2时，应有12()2x x f +＞12()()2 f x f x +，由此可得结论． 考点：函数的性质的应用. 4．B 【来源】2013-2014学年江西省赣州市六校高一上学期期末联考数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：由函数知识知函数y ＝x 3与21 ()2 x y -=的图像的交点为(x 0，y 0)的横坐标x 0即为方程321()2x x -=的解，也是函数函数()f x =321()2x x --的零点，由零点存在性定理及验证法知(1)(2)f f ＜0，故x 0在区间（1,2）内. 由题知x 0是函数()f x =321 ()2 x x --的零点，∵(1)(2)f f =31232211[1()][2()]22 ----=-7＜0，故选B. 考点：函数零点与函数交点的关系，零点存在性定理 5．C 【来源】2013-2014学年山东省滕州市高一（上）期末考试数学试家（带解析） 【解析】 试题分析：对于A 、D ，幂函数y x α=的图像不一定过点(0,0)，也不一定恒在x 轴的上方，如1y x =不过原点且它的图像也不恒在x 轴的上方，应该是幂函数y x α=的图像恒过定点(1,1)； 对于B ，指数函数x y a =恒过定点(0,1)，因为01a =；对于C ，因为对数函数log a y x = （0a >且1a ≠）的定义域为{}|0x x >，所以对数函数的图像恒在y 轴的右侧，故选C. 考点：基本初等函数的图像与性质. 6．C 【来源】2013-2014学年浙江丽水高一上普通高中教学质量监控数学卷（带解析） 【解析】 试题分析：指数函数、对数函数的底数大于1 时,函数为增函数,反之,为减函数，对于幂函数y x α=而言，当0α>时，在(0,)+∞上递增，当0α<时，在(0,)+∞上递减，而0>>n m ，所以22log log m n >，故选C. 考点：1.指数函数；2.对数函数；3.幂函数的性质. 7．A 【来源】2013-2014学年甘肃高台第一中学高一秋学期期末考试数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：由题意，得231m +=，解得1m =-． 考点：幂函数的解析式． 8．C 【来源】2013-2014学年甘肃高台第一中学高一秋学期期末考试数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：因为函数的图象y f x =()经过点1 42(,)，则有142 a =，解得2a =-，所以 2(2)22 f -==． 考点：幂函数的解析式与图象． 9．B 【来源】2013-2014学年甘肃高台第一中学高一秋学期期末考试数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：由题意知350m -<，解得53 m <，由()()f x f x -=知函数()f x 为偶函数，又因m N ∈，所以1m =，故选B ． 考点：1．幂函数的解析式样 2．幂函数的单调性与奇偶性． 10．B 【来源】2013-2014学年甘肃高台第一中学高一秋学期期末考试数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：因为幂函数()m f x x =的图象经过点（4，2），所以有24m =，解得12 m =，所以(16)4f =． 考点：幂函数解析式与图象． 11．C 【来源】20XX 届宁夏银川一中高三上学期第五次月考理科数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：由题知，命题p ：0(1)0 a f >??>?，得1a >，命题q ：20a -<，则2a >，若p 且 q ?为真命题，则有12 a a >??≤?，故实数a 的取值范围是12a <≤． 考点：1、函数的零点；2、幂函数的图象和性质；3、复合命题的真假. 12．－1和0 (0,4] 【来源】2015数学一轮复习迎战高考：2-4二次函数与幂函数（带解析） 【解析】当0≤x≤c 时，由12 x ＝0得x ＝0.当－2≤x＜0时，由x 2＋x ＝0，得x ＝－1，所以函数零点为－1和0.当0≤x≤c 时，f(x)＝12x ，所以 当－2≤x＜0时，f(x)＝x 2＋x ＝12x ? ?+ ???2－14，所以此时－14≤f(x)≤2.若f(x)的值域是1,24??-???? ， 即0＜c≤4，即c 的取值范围是(0,4]． 13．2 【来源】2013-2014学年广东省顺德市勒流中学高一上学期第2段考数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：将P(2,4)点坐标代入幂函数()f x x α=，可得2α=，所以2()f x x = ，则2f =. 考点：函数的求值. 14．13 4 【来源】2013-2014学年江苏省扬州中学高二第二学期阶段测试文科数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：先从内层算起，23212121-=--=??? ??f ,13 423-11232=??? ??+=??? ??-f . 考点：分段函数求值 15．2 【来源】2013-2014学年江苏省扬州中学高二第二学期阶段测试文科数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：将点()2,2，代入幂函数，得22=α，解得21=α，所以()21 x x f =,那么()2442 1==f 考点:幂函数的性质 16．2 【来源】2013-2014学年江苏省扬州中学高二第二学期阶段测试理科数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：将点()2,2，代入幂函数，得22=α，解得21=α，所以()21 x x f =,那么()24421==f 考点:幂函数的性质 17．15 【来源】20XX 届高考数学总复习考点引领 技巧点拨第二章第9课时练习卷（带解析） 【解析】设f(x)＝x α，则13＝9α，∴α＝－12，即f(x)＝x －12，f(25)＝15 18．±4 【来源】20XX 届高考数学总复习考点引领 技巧点拨第二章第7课时练习卷（带解析） 【解析】32a －a －32＝(12a －a －12)(a ＋a －1＋1)．∵(12a －a －12 )2＝a ＋a －1－2＝1，∴(12 a －a －12 )＝±1，∴原式＝(±1)×(3＋1)＝±4. 19．23,32?? ??? 【来源】20XX 届人教版高考数学文科二轮专题复习提分训练5练习卷（带解析） 【解析】令f(x)=1 2x - ,则f(x)的定义域是{x|x>0},且在(0,+∞)上单调递减,则原不等式等价于10,320,132,a a a a +>??->??+>-?解得23 【来源】20XX 年高考数学（文）二轮专题复习与测试选择填空限时训练1练习卷（带解析） 【解析】f (－4)＝12?? ??? －4＝16， 所以f (f (－4))＝f (16) 4 21．5y x = 【来源】2013-2014学年贵州遵义湄潭中学高一上学期期末考试数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：设幂函数方程为n y x =，将点()2,32代入可得322n =，解得5n =，所以此幂 函数解析式为5y x =。 考点：幂函数。 22．2 【来源】2013-2014学年福建省宁德市高一上学期期末考试数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：解：由题意知0α>，函数()f x x α=在[]1,2上为增函数 所以，125α+=，解得：2α=. 所以答案应填2. 考点：幂函数的性质. 23．1- 【来源】2013-2014学年浙江丽水高一上普通高中教学质量监控数学卷（带解析） 【解析】 试题分析：因为函数2()(1)m f x m m x =--为幂函数，故2211202m m m m m --=?--=?=或1m =-，而函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，故0m <，所以1m =-. 考点：幂函数的图像与性质. 24．()0)f x x =≥ 【来源】20XX 届上海黄浦区高三上学期期末考试（即一模）理数学卷（带解析） 【解析】 试题分析：首先要弄清幂函数的形式，其次要弄懂反函数的性质，反函数图象过点(2,4)， 说明原函数图象过点(4,2)，设()a f x x =，则42a =，则12 a =，故()0)f x x =≥. 考点：幂函数，反函数的性质. 25．1 【来源】20XX 届重庆市三峡名校联盟高三12月联考理科数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：因为幂函数1 3()n y x n N *-=∈ 的定义域为(0,)+∞ ，且单调递减.所以指数 103 n <-.即可得13n ≤<.又因为*n N ∈.所以1n =或2.当1n =时函数12y x -=则其定义域为(0,)+∞ ，且单调递减.符合题意.当2n =时，函数1 y x -=的定义域是0x ≠.所以综上填1. 考点：1.幂函数的性质.2.幂函数的定义域. 26．13 【来源】2013-2014学年安徽淮南五中高一上学期期末检测数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：由题意可设()f x x α =,则由(4)3(2)f f =,得432α α=,即23α=,所以2log 3α=,则()2log 3f x x =,所以2122log 3log 3log 311122322f ---????==== ? ?????,故正确答案为13 . 考点：1.幂函数;2.指数、对数运算. 27．(1) 2()f x x = ;(2) 3a ≤或4a ≥. 【来源】2013-2014学年山东枣庄第三中学高一第一学期期末考试数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：(1)因为是幂函数，所以2 221m m -++= ，得出m 的值，在代入，看是否是偶函数；(2)将（1）的结果代入（2）式，函数在()32， 为单调函数，即在对称轴的某一侧，从而求出a 的取值范围. 试题解析：解：（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得 1m =或12 m =- 3分 当1m =时，2 ()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去． ∴2()f x x =． 6分 （2）由（1）得22(1)1y x a x =--+， 即函数的对称轴为1x a =-， 8分 由题意知22(1)1y x a x =--+在（2，3）上为单调函数， 所以12a -≤或13a -≥， 11分 即3a ≤或4a ≥． 12分 考点：1.幂函数的定义；2.二次函数的单调性. 28．（1）f(x)＝x －3 （2）(),0-∞，()0,+∞ 【来源】20XX 届高考数学总复习考点引领 技巧点拨第二章第9课时练习卷（带解析） 【解析】(1)由题意，得f(2)＝2a ＝ 18a ＝－3， 故函数解析式为f(x)＝x －3. (2)定义域为(),0-∞∪()0,+∞，关于原点对称， 因为f(－x)＝(－x)－3＝－x －3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数． 其单调减区间为(),0-∞，()0,+∞ 29．（1）m ＝1（2）a<－1或23 【来源】20XX 届高考数学总复习考点引领 技巧点拨第二章第9课时练习卷（带解析） 【解析】(1)因为函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －9<0，所以m<3. 因为m∈N *，所以m ＝1或2. 又函数图象关于y 轴对称，所以3m －9是偶数，所以m ＝1. (2)不等式(a ＋1)－ 3m <(3－2a)－3m 即为(a ＋1)－13<(3－2a)－13. 结合函数y ＝x －13 的图象和性质知： a ＋1>3－2a>0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a. 解得a<－1或23 ， 即实数a 的取值范围是a<－1或 23 【来源】20XX 届高考数学总复习考点引领 技巧点拨第二章第6课时练习卷（带解析） 【解析】(解法1：利用一般式)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，2 4211484a b c a b c ac b a ?????????＋＋＝－，－＋＝－，－＝，解得 447a b c ????? ＝－，＝，＝， ∴所求二次函数为f(x)＝－4x 2 ＋4x ＋7. (解法2：利用顶点式)设f(x)＝a(x －m)2＋n ，∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x ＝212＋（－）＝12，即m ＝12 ；又根据题意，函数最大值y max ＝8， ∴n ＝8，∴f(x)＝a 12x ??- ???2＋8.∵f(2)＝－1，∴a 2122??- ?? ?＋8＝－1，解得a ＝－4. ∴f(x)＝－412x ? ?- ??? 2＋8＝－4x 2＋4x ＋7. (解法3：利用两根式)由题意知f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1)，即f(x)＝ax 2 －ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即2 4214a a a a （－－）－＝ 8，解得a＝－4或a＝0(舍)，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2－(－4)x－2×(－4)－1＝－4x2＋4x＋7 江苏省东台市三仓中学2015届高三数学幂函数专题复习教案 §2.8幂函数 导学目标： ①了解幂函数的概念； ②结合函数 1 232 1 ,,,, y x y x y x y y x x ===== 的图像，了解它们的变化情况． 自主梳理 1.幂函数的定义 形如_____________()R α∈的函数称为幂函数，其中x是______，α为______. 2. 幂函数的图象 3. 幂函数的性质函数 特征性质y x =2 y x =3 y x =12 y x =1 y x- = 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 自我检测 1．（课本题改编）当 }3,1, 2 1 ,1 {- ∈ α 时，则使函数 α x y=的的定义域为R且为奇函数的所 有α的值为. 2.已知幂函数α x k x f ?=)(的图象经 过点) 22,21(，则α+k = . 3. 幂函数 )(x f y =的图象经过点1 (2,) 8--，则满足()27f x =的x 的值是 。 4. 6 .12.02.02.02,2,2.0,4.0的大小顺序为 。 5. 函数 245 ()a a f x x --=（a 为常数）是偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则整数a 的 值是 ． 6．幂函数()f x 的图象经过点(3,27)，则()f x 的值域是 。 探究点一 幂函数的定义及其应用： 已知)32()22(1 1 2 2 -+-+=-n x m m y m 是幂函数，求n m ,的值. 【变式训练】已知 m x m m x f m m ,)2()(1 22 -++=为何值时，)(x f 是： （1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数. 例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1,3，1 2 时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数 解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数． 答案C 例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 1 5 (7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋ ∞)上为增函数，求实数t的值． 分析关于幂函数y＝xα(α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p|、|q|互 质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x p q 是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝ x p q 的奇偶性与p的值相对应． 解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0. 当t＝0时，f(x)＝x 7 5 是奇函数； 当t＝－1时，f(x)＝x 2 5 是偶函数； 当t＝1时，f(x)＝x 8 5 是偶函数，且 2 5 和 8 5 都大于0，在(0，＋∞)上为增函数． 故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 2 5 . 点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件 t ∈Z 给予足够的重视． 例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A ．-1 3.幂函数 1.幂函数定义： 只要满足n y x =的形式的函数我们就称为幂函数，其中x 称为底数，且为自变量；n 称为指数，为常量。 注：当0n =时，0x ≠。 【例】若函数()() 223m f x m m x =--为幂函数，求实数m 的值 2.常见的幂函数图像规律 与其他函数只有一种图像不一样，幂函数根据n 不一样，有很多不同的类型。常 见的n 有以下类型：1 1,2,3,1,,22 n =-- （1）. 1n = （2） 2n = y x =2y x = 定义域： x R ∈定义域： x R ∈ 值域： y R ∈值域： [)0,y ∈+∞ 单调性 单调递增单调性： 单调递增 奇偶性 奇函数 奇偶性： 偶函数 对称性 关于原点对称 对称性 关于y 轴对称 （3）. 12n = y = （4） 1n =-1y x = 定义域： [)0,x ∈+∞定义域： ()(),00,x or ∈-∞+∞ 值域： [)0,y ∈+∞值域： ()(),00,y or ∈-∞+∞ 单调性 单调递增单调性：()(),00,x ∈-∞+∞减，减 奇偶性 非奇非偶函数 奇偶性： 奇函数 对称性 无对称性 对称性 关于原点对称 （5）. 3n =3y x = （6） 2n =-2y x -= 定义域： x R ∈定义域： ()(),00,x or ∈-∞+∞ 值域： y R ∈值域： [)0,y ∈+∞ 单调性 单调递增单调性：()(),00,x ∈-∞+∞增，减 奇偶性 奇函数 奇偶性： 偶函数 对称性 关于原点对称 对称性 关于y 轴对称 3.幂函数的公式 公式1 =公式2 = 公式3：()n n n a b ab ?=公式4：n n n a a b b ?? ÷= ??? 4：常规图像及性质的讨论 ()1.n y x =的指数n 如果满足：0n >，()()0,n y x x =∈+∞单调递增； 0n <，n y x =()()0,x ∈+∞单调递减； ()2.n y x =的指数n 如果满足：0n >，()()0,01,1n y x =图像过定点与 0n <，()0,0n y x =图像过只定点 ()3.n y x =的指数n 如果满足：1n >，()()0,1,1,+,n n x y x y x x y x y x ?∈==??∈∞==??图像在下方图像在上方 3 幂函数知识点归纳 一、 幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数 定义说明： 1、 定义具有严格性，x α 系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜ 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2 x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如 ()-1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像 练习：做出下列函数的图像： 1、1α> ①3 y x =或53y x = ②2y x =或43y x = ③32y x =或74 y x = 2、01α<< ①13y x = ②23y x = ③12 y x = 3、0α< ①2 y x -= ②1 y x -= ③32 y x - = ④43 y x =— 三、 幂函数的性质 y=x 3 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两点；α≤0时，过（1,1） 5、 由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限 四、 幂函数类型题归纳 （一） 定义应用： 1、下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21 (1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = 2、若幂函数()y f x = 的图像过点2????? ，则函数()y f x =的解析式为______. 3、已知函数()() 22 1 44m m f x m m x --=--是幂函数，且经过原点，则实数m 的值为__________. 4、已知函数()()2 2 k k f x x k Z -++=∈满足()()23f f <，则k 的值为________ ,函数()f x 的 解析式为__________ 5、设1112,1,,,,1,2,3232a ? ? ∈--- ???? ，已知幂函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,+∞上是减函数，则满足要求的α值的个数是__________. 6、设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，集合()(){} |M x f x g x ==，则集合M 中 元素的个数是（ ） （Ａ）1或2或0 (Ｂ) 1或2或3（Ｃ）1或2或3或4 (Ｄ)0或1或2或3 （二） 图像及性质应用 1、 右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则 ,,,a b c d 的大小关系是 （ ） ()A a b c d >>> ()B b a d c >>> d y=x ()C a b d c >>> ()D a d c b >>> 2、如图：幂函数n m y x =（m 、n N ∈，且m 、n 互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有 （ ） ()A m 、n 为奇数且 1m n < ()B m 为偶数，n 为奇数，且1m n > ()C m 为偶数，n 为奇数，且1m n < b c 高一数学期末复习幂函数、指数函数和对数函数 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则有 （ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 3、1．指数式b c =a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是 （ ） A ．log c a =b B ．log c b =a C ．log a b =c D ．log b a =c 4、若210,5100==b a ，则b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 （ ） A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0> 一、选择题（每小题4分，共计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ． 33 39= C ．4 343 3 )(y x y x +=+ D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 2021-2022年高考数学复习：幂函数高考数学专题辅导 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到： (1)所有的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 (5)a大于0，函数过(0，0)；a小于0，函数不过(0，0)点。 (6)显然幂函数无界。$22163 5693 嚓A21270 5316 化23672 5C78 屸K22248 56E8 囨33772 83EC 菬a 33688 8398 莘25373 631D 挝20100 4E84 亄25542 63C6 揆34026 84EA 蓪 幂函数 知识点 一、幂函数的定义 一般地，形如y x α =（R x ∈）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如1 12 3 4 ,,y x y x y x -===等 都是幂函数 二、幂函数的图像 幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11 2,1,,,323 n =±±± 的图像和性质，列表如下． ① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11 ,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1 ,1,22 a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点． 三、幂函数基本性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 四、解题方法总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y ＝α x ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象 限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 典型题 类型一、求函数解析式 例1.已知幂函数2 223 (1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+， ∞时为减函数，则幂函数y =__________． 类型二、比较幂函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. (1)4 3 3.14 -与43 π - (2)35 (- 与35 (- (3）比较0.5 0.8 ，0.5 0.9，0.5 0.9 -的大小 类型三、求参数的范围高三数学 幂函数专题复习 教案
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