紧致差分格式
紧致差分格式
紧致差分格式是一种数值求解偏微分方程的方法，其主要特点是在离散化时使用了较少的节点，同时保持较高的精度。
在紧致差分格式中，我们将要求解的偏微分方程离散化为一个代数方程组，通过求解该方程组来得到数值解。为了实现高精度，紧致差分格式通常会使用高阶的差分算子，例如二阶中心差分算子或者非中心差分算子。
常见的紧致差分格式包括：
1. 二阶中心差分格式：使用二阶中心差分算子来逼近偏微分方程中的导数项，从而得到一个二阶精度的差分格式。
2. 基于算子分裂的紧致差分格式：将整个偏微分方程分解为几个部分，在每个部分中采用不同的差分格式来逼近，然后通过交替迭代的方式求解。
3. 符号差分法：利用泰勒级数展开，将偏微分方程中的导数项用差分算子展开，然后通过合理的组合得到一个高精度的差分格式。
紧致差分格式一般适用于光滑的问题，并且需要在边界处进行一定程度的调整，以满足边界条件。同时，紧致差分格式通常需要解一个线性方程组，因此对于大规模问题可能需要使用高效的求解算法。
10-高阶紧致格式
§10. 高阶紧致差分格式 10.1 高阶差分 先考虑导数的差分近似。若某一差分近似的精度是 p 阶的，则近似的误差就是 () p h O 。要想进一步提高精度，通常有两种途径：减小 h （h -version ）或是提高 p （p -version ）。但由于计算机资源的限制，h 不可能无限地减小，因此在需要高精度流场计算的情形（如，粘性边界层、湍流等），就要考虑采用高阶格式。 构造高阶格式需要用到导数的高阶差分近似。通常情形，这需要更多的点。例如：两点差分近似 ()()() f x h f x f x h +-￠? 只有一阶精度。而使用三个点，就可以构造出二阶近似 ()()()() 2432f x h f x h f x f x h -+++-￠? 精度越高，需要的点就更多。对于导数的中心差分近似，也有类似的结果。 但是这种高阶近似用在差分格式中，除了计算公式更加复杂，计算量增加之外，还会造成其他困难。 例1：以一个简单的常微分方程初值问题为例。设 0a > 。 0du au dx += （01x < ） ， ()0u =α
取 M 个网格，空间步长 1 h M = ，网格点记作 j x jh =（0,1,2,,j M =L ），网格点上的近似解记作 () j j u u x ? 。 因 0a > ，导数采用向后差分近似，就有 1 0j j j u u au h --+= （1,2,3,,j M =L ） 实际的计算方案为 0u =α ， 11 1j j u u ha -= + （1,2,3,,j M =L ） 上述格式用到两个点，但只有一阶精度。如果采用二阶差分近似，则成为 12 340j j j j u u u au h ---++= （2,3,,j M =L ） 这个格式具有二阶精度。可是由于涉及三个点，所以只能从 2j = 开始计算。而初始条件只提供了 0u =α 。因此 1u 的计算就需要补充另外的等式。对于更为复杂的流动控制方程以及更复杂、精度更高的数值格式，这种问题就更加严重。 现在我们从另外一个角度来考察上述问题。将导数的近似值记作 j j du u dx ￠? ，则差分格式就可写成 0j j u au ￠+=
对流方程及算法介绍
1 引言 2 对流方程及算法介绍 2.1对流方程的概述 对流：是指由于流体的宏观运动，从而使流体各部分之间发生相对位移，冷热流体相互掺混所引起的热量传递过程。 对流仅发生在流体中，对流的同时必伴随有导热现象。 人们研究对流扩散方程，主要的研究对象是流体在流动过程中，流体所携带的某种物质的物理量的变化规律，例如传热过程中温度的变化规律或者溶解于流体中溶质的物质浓度等物理量的变化规律。这些变化通常包括对流、扩散以及由于某种物理或者化学的因素而引起的物理量的自身衰减或增长。 最简单的一维对流扩散方程形如(2-1)式: （2-1） 其中C 是常数，它属于双曲型方程，可以被用来描述流体的运动等物理现象。 2.2水对流现象的简易演示 2.2.1 基本步骤 用两只相同的小烧杯，各装上冷水，再如图1所示插入长短两根吸管，虹吸管由普通化学实验用玻璃管在酒精灯上加热弯成，一根查到被子底部，一根只插入水的表面，再在右杯中滴入几滴墨水并搅拌均匀，现在开始用酒精灯加热左边的烧杯，一段时间后就可以明显的看到染了颜色的水从右杯源源不断的流入左杯，左杯的水源源不断的流入右杯，最后两杯水都变成了墨水的颜色，与此同时用手摸右边的杯子，右边的水也热了起来，这就是冷热水发生了对流的缘故。 2.2.2 实验注意事项 短虹吸管只插入水的表面，不能过深。 玻璃管宜选壁较厚一些的，这样绝热性好一些，效果也好一些。 0=??+??x u C t u
2.2.3 实验原理分析 对左边的水杯用酒精灯加热，水受热密度变小开始上升，右边水杯的 冷水从下边的吸管流向左边的水杯进行补充，左边水杯的热水从上边的吸管流向右边的水杯，这样一会儿两杯水都变成墨水的颜色了[1]。 在冷水里面掺热水也是一样的道理，在不搅拌的情况下，最后水温基本都是一个温度，这就是水的对流，除了水的对流还有刮风是空气的对流，气压高的一方向气压低的一方补充空气，这就形成了对流，就会产生风；还有冬天在家里开空调，形成空气对流，最后整个房间的温度都升了起来。 2.3对流方程及其现有算法 1.针对常系数对流扩散方程，我们利用指数变换， 构造四阶紧致差分格式。 2.针对一维变系数对流扩散方程，将其转化为扩散方程，并构造四阶紧致差分格式。 3.对于常系数二维对流扩散方程，构造出四阶紧致差分方程，以及特殊的变系数 对流扩散方程的四阶紧致差分格式。 4.针对一维常系数对流扩散方程 和一维变系数对流扩散方程，分别构造了几种基于线性和双线性插值 的特征差分格式。 5.针对二维对流扩散方程 ，构造了几种基于线性和双线性插值的特征差分格式。 2.3影响物理量?的三个过程 用),,,(t z y x ??=来表示流体中单位体积的流体所携带的某种物理量，它可以是流体的质量或温度。流体的温度可以用?来表示，流体的密度ρ也可以用? ),(22t x f x u x u a t u +??=??+??ε2 2),(x u x u t x a t u ??=??+??εf y u x u a y u q x u p t u =??+??-??+??+??)(2222) ,()()()(2222y x f y u y q x u x p y u x u =??+??+??+??22x u x u v t u ??=??+??ε) ,()()()(22t x f x x a x u x b x u x c u =??-??+??) ,())(,(),(),(),(222221y x f y u x u y x a y u y x b x u y x b t u y x c =??+??-??+??+??
紧致差分格式的构造和验证
摘要 目前，紧致差分格式已逐渐成为差分方程的数值方法的主要方向。具有良好特性的高精度的紧差分格式相继构造出来并能够应用到一些特殊的问题的数值求解，显现出了良好的效果。本课题针对紧致差分格式这一研究方向，希望能够通过MATLAB等软件的辅助以及前人对紧致差分格式的研究帮助对紧致差分格式进行构造一种差分格式，并且通过解微分方程的数值解实验对紧致差分格式进行验证其稳定性、收敛性以及误差等特性，最终能够比较直观了解这类紧致格式差分方法的精度等。 关键词:有限差分；差分格式；构造
ABSTRACT At present,compact difference schemes have gradually become a main rese arch direction of the numerical method of differential equations,and the compac t difference schemes with high precision and good characteristics have been con structed one after another and applied to the numerical solution of some specific problems,and good results have been achieved.This topic for compact differenc e scheme,the research direction of hope can through MATLAB software such as aided and previous study of compact difference scheme to help to construct a co mpact difference scheme difference scheme,and by solving the differential equa tion numerical solution of experiments to verify its compact difference scheme f eatures such as stability,convergence and error,finally can more intuitive unders tanding of the compact format the precision of the finite difference method,etc. Key words：Finite difference; Difference scheme; Structure
计算数学专业硕士研究生课程设置-LSEC
微分方程数值解II 主要内容： 第一章有限差分法的理论基础 1. 构造差分格式的主要方法； 2. 差分格式的一般性要求； 3. Lax等价性定理； 4. 差分格式的von Neumann稳定性分析方法； 5. 差分格式的修正方程。 第二章线性抛物型方程的差分方法 1. 扩散方程的显式格式； 2. 扩散方程的隐式格式； 3. 线方法； 4. 多维抛物型方程的ADI方法； 5. 分数步法； 6. Burgers方程的差分法和网格雷诺数。 第三章一维线性双曲型方程的数值方法 1. 线性双曲型系统的特征和Riemann问题； 2. 守恒律的有限体积法； 3. Lax-Friedriches格式、Lax-Wendroff格式、特征线法差分格式； 4. 双曲型方程的迎风格式、CIR格式、Godunov 方法； 5. 二阶Godunov格式、总变差概念及限制器函数； 6. 双曲型方程及变系数双曲型方程的高分辨率(TVD)波传播格式。 第四章一维非线性双曲型守恒律的数值方法 1. 非线性双曲型守恒律的间断解、弱解、熵条件； 2. 标量守恒律的Riemann问题解及Godunov格式； 3. 熵修正、数值粘性、Osher格式及高分辨率波传播格式； 4. 守恒型与Lax-Wendroff定理、离散熵条件、非线性稳定性及收敛性； 5. 典型守恒律方程组的Godunov间断分解方法及Godunov格式； 6. 守恒律方程组的MUSCL格式。 第五章多维双曲型守恒律的高分辨率格式 1. 多维方程组的双曲性； 2．Lax-Wendroff方法、Runge-Kutta推进的半离散方法、维数分裂方法； 3. 标量方程的LW方法、Godunov 格式、方向迎风及角迎风格式； 4. 多维标量方程的高分辨率格式； 5. 多维方程组的高分辨率格式。 第六章双曲型守恒律的其它高分辨率方法 1. ENO与WENO格式；
Keller-Segel趋化模型的高精度紧致差分方法
Keller-Segel趋化模型的高精度紧 致差分方法 专业品质权威 编制人：______________ 审核人：______________ 审批人：______________ 编制单位：____________ 编制时间：____________ 序言 下载提示：该文档是本团队精心编制而成，期望大家下载或复制使用后，能够解决实际问题。文档全文可编辑，以便您下载后可定制修改，请依据实际需要进行调整和使用，感谢! 同时，本团队为大家提供各种类型的经典资料，如办公资料、职场资料、生活资料、进修资料、教室资料、阅读资料、知识资料、党建资料、教育资料、其他资料等等，想进修、参考、使用不同格式和写法的资料，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! And, this store provides various types of classic materials for everyone, such as office materials, workplace materials, lifestyle materials, learning materials, classroom materials, reading materials, knowledge materials, party building materials, educational materials, other materials, etc. If you want to learn about different data formats and writing methods, please pay attention!
紧致差分格式
紧致差分格式 紧致差分格式（Compactly Supported Finite Difference Formulation）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数 值解。它的特点是既能有效地处理高阶精度问题，又能保证数值解的 稳定性和收敛性。 紧致差分格式最大的特点是它的数值计算节点只限于离散空间范 围内的邻近节点。也就是说，只有最近的节点之间进行计算，而不受 整个空间范围的限制。这种局部性的计算方式使得紧致差分格式具有 较高的计算效率和灵活性。 在实际应用中，紧致差分格式广泛应用于流体力学、热传导等领 域的数值计算中。例如，在模拟流体的传输过程中，可以通过紧致差 分格式将流体动力学方程转化为有限差分方程，从而得到流体在空间 和时间上的数值解。 紧致差分格式的求解过程主要包括两个步骤：离散化和迭代求解。首先，通过将原始的偏微分方程转化为差分方程，将问题在空间和时 间上离散化。其次，通过迭代求解逼近数值解。在迭代求解的过程中，需要设置适当的边界条件和初始条件，以确保数值解的准确性。 紧致差分格式的优点是可以获得较高的数值精度和稳定性。由于 它的节点计算只限于离散空间范围内的邻近节点，可以在不增加计算 复杂度的情况下提高数值解的精度。与其他数值方法相比，紧致差分 格式更加准确和可靠。
然而，紧致差分格式也有一些限制。首先，它对初始条件和边界条件较为敏感，不同的条件可能会导致不同的数值解。其次，紧致差分格式对问题的网格剖分要求较高，过于粗糙或者过于细致的网格都可能导致数值解的不准确性。 总之，紧致差分格式是一种重要的数值计算方法，广泛应用于偏微分方程的数值求解中。它的局部性计算方式使得其具有较高的计算效率和灵活性，同时能够保证数值解的准确性。但在使用时需要注意初始条件和边界条件的设置，以及合理选择网格剖分，以获得更为可靠和准确的数值解。
高精度紧致差分格式综述
高精度紧致差分格式综述 High-accuracy compact difference schemes are essential in computational fluid dynamics for accurately simulating complex fluid flow phenomena. These schemes provide a powerful tool for solving partial differential equations that govern fluid flow, heat transfer, and other physical processes. They are particularly useful in scientific research, engineering design, and industrial applications where precision and efficiency are paramount. 高精度紧致差分格式在计算流体力学中是至关重要的，可以准确模拟复杂的流体流动现象。这些格式为解决控制流体流动、热传递和其他物理过程的偏微分方程提供了强大的工具。它们在科学研究、工程设计和工业应用中尤为有用，尤其是在精度和效率至关重要的领域。 One of the key advantages of high-accuracy compact difference schemes is their ability to achieve high spatial accuracy with fewer computational nodes compared to traditional finite difference methods. This makes them computationally efficient and allows for the simulation of complex flow phenomena with relatively low computational cost. Additionally, compact schemes are known for
紧致差分格式
紧致差分格式 摘要： 1.紧致差分格式的定义 2.紧致差分格式的特点 3.紧致差分格式的应用领域 4.紧致差分格式的优缺点 正文： 紧致差分格式是一种数学工具，用于描述两个函数之间的差异。它在微积分、概率论、数值分析等领域有广泛的应用。本文将从紧致差分格式的定义、特点、应用领域以及优缺点四个方面进行介绍。 首先，紧致差分格式的定义是指，设f(x) 和g(x) 是两个在区间[a, b] 上有定义的函数，如果对于任意的ε>0，总存在δ>0，使得当|x-y|<δ时，有|f(x)-g(y)|<ε，则称f(x) 与g(x) 在[a, b] 上满足紧致差分格式。 其次，紧致差分格式具有以下特点：1) 对任意的ε>0，总存在δ>0，使得当|x-y|<δ时，有|f(x)-g(y)|<ε；2) 紧致差分格式满足三角不等式，即对于任意的x、y、z，有|f(x)-g(y)|≤|f(x)-f(z)|+|g(z)-g(y)|；3) 紧致差分格式满足单调性，即如果f(x) 在区间[a, b] 上单调递增（或递减），那么对于任意的 g(x) 在区间[a, b] 上满足紧致差分格式。 再次，紧致差分格式的应用领域非常广泛，包括微积分、概率论、数值分析等。例如，在微积分中，它可以用于研究函数的连续性、可微性等性质；在概率论中，它可以用于研究随机过程的性质，如马尔可夫性质等；在数值分析
中，它可以用于设计各种数值算法，如数值积分、数值微分等。 最后，紧致差分格式具有以下优缺点：优点是它提供了一种研究函数性质的工具，可以描述函数在某个区间上的差异，有助于理解函数的局部性质；缺点是它的定义较为抽象，对于一些具体的函数，可能难以判断是否满足紧致差分格式。
分数次偏积分微分方程配置方法及紧差分方法
分数次偏积分微分方程配置方法及紧差分方法分数次微积分方程在模拟许多复杂的实际现象中已经变得越来越重要,例如物理,化学,生物,金融,材料力学,环境科学等.因为这类方程常常带有弱奇异项,所以不能明确求得这类方程的解析解.这就促使我们想找到最佳的数值方法对这类方程进行数值逼近.本文主要采用正交样条配置方法,拟小波配置方法及紧差分方法分别对三种不同的分数次方程进行数值求解.首先是采用正交样条配置方法解时间分数次子扩散方程.其次是采用拟小波配置方法解空间变分数次对流扩散方程.最后采用紧差分方法解分数次发展型方程.本文主要分为五个章节.第一章主要介绍一些特殊的函数以及分数次方程的一些基本定义和性质.第二三四章是本论文的主要内容.正交样条的优点就是概念简单,广泛的适用性以及算法容易实现.另外一个优点就是它的超收敛性.在第二章中首次用正交样条配置方法研究二维的多个扩散项的时间分数阶子扩散方程的数值解.时间方向采用有限差分法,空间方向使用正交样条配置方法,得到全离散格式.然后给出了全离散格式的稳定性和误差估计的分析.最后用数值结果验证了理论分析的收敛阶和所给数值格式的有效性.我们知道小波函数是一种具有良好局域性特点的有限能量函数,小波方法能够很好的分析函数的局域性特征.在第三章中我们采用了拟小波配置方法解半线性空间变分数次对流扩散方程,空间方向采用拟小波配置方法,时间方向使用向后欧拉格式,积分项采用复合梯形公式进行逼近.给出了全离散的数值格式.为了延长计算的时间,我们对积分项中的空间一阶导数用拟小波配置方法再次进行数值逼近,构造了另外一种数值格式,我们定义为双拟小波数值方法,时间方向仍采用向后欧拉格式,并且也给出了双拟小波配置方法全离散的数值格式.我们给出了数值例子,数值结果证明了所给数值方法的有效性.交替方向隐式
一类tvd型的迎风紧致差分格式
一类tvd型的迎风紧致差分格式 TVD型的迎风紧致差分格式是一种使用固定尺寸格子来完成数值推断的技术， 它也被称作Total Variation Diminishing（TVD）。它是一种在求解航空和气象 流场方面被广泛使用的差分数值方法。 该方法由哈里·斯塔拉斯(Harry S.Starr)在1962年设计，开发了一种空间上 可变形正六边形网格，它可以实现最小变量的变分传输。这种方法的用途特别适合求解一维aero-geostationary环境的浪涌结构。它比以往的迎风差分方法更专业，能够更好地模拟流场的空间变化。 TVD迎风紧致差分格式的特点： 第一，TVD迎风紧致差分格式保证了有限元素的数量相对较少变分，这种方法 能够捕捉流场变化的速度较大的地方。它可以有效地模拟物理过程中地形特别复杂的地方。真正的特点是，它可以更加准确地表达和模拟气象过程中的动态变化。 第二，它的技术优势在于低解释度以及对数据的准确表示，并提供了准确的数 据模型，可以明确定义出来了。它可以在低解释度和低内存下提供高精度模型，尤其适合迅速变化的气象过程。 第三，TVD迎风紧致差分格式具有更强的迎风特性，当它遇到恶劣的迎风环境时，可以产生更好的精确性，更少的干扰。它将能够在低内存下实现最佳的迎风推断精度，而不需要考虑恶劣条件下的数值问题。 TVD迎风紧致差分格式的适用范围 TVD迎风紧致差分格式的适用范围非常广泛，它主要用于：高空和低空的航空 机动应用，航空气象学研究，城市空气势分析以及环境研究，全球流场的研究，以及地质气象学研究等。 TVD迎风紧致差分格式的实施方法 TVD迎风紧致差分格式主要利用四面体元素空间切片来实现有限元传递，以直 接解决流场非线性方程。首先，它使用有限元素来表达空间上一定数量的点，引入格点布置得更加整齐，更加均匀。接着，利用有限元素技术，向空间中添加更多的信息，增强网格的能量，以便计算流场的方向，速度，以及压力梯度。然后，解决方程以及进行精确的能量调整，以准确模拟流场。最后，迎风精度在结果中可以得到极大的提升，它将运算变得量化精准度更高地，提升了处理数据的速度。
一种求解 RLW 方程的紧致差分格式
一种求解 RLW 方程的紧致差分格式 孙建安;吴广智;贾伟 【摘要】利用紧致有限差分方法进行空间离散，龙格库塔方法进行时间离散，建立了一种求解RLW方程的数值格式，较好地解决了对空间与时间混合导数项的离散问题，并在空间和时间上都保持了高阶精度。所得数值结果证实了该数值格式具有较高的精度。%A compact difference scheme is established for solving the regularized long wave equation by using the compact difference method in space discretion and the Runge‐Kutta method in time discretion , the mixed derivative is skillfully treated and the higher order accuracy is maintained both in space and time . It is confirmed that the numerical solutions obtained from the scheme are with extremely high accurate . 【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2015(000)004 【总页数】4页(P38-41) 【关键词】紧致有限差分方法;龙格库塔方法;RLW方程;数值解 【作者】孙建安;吴广智;贾伟 【作者单位】西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州 730070;西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州 730070;西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州 730070
2维Maxwell方程的局部1维高阶紧致格式
2维Maxwell方程的局部1维高阶紧致格式 孔令华;田娜娜;张鹏 【摘要】将算子分裂方法与高阶紧致差分方法相结合,构造了2维Maxwell方程的局部1维紧致时域有限差分格式.该格式在时间方向和空间方向分别具有1阶和4阶收敛精度,并且具有计算效率高、无条件稳定的优点.数值实验表明:新构造的格式是能量守恒、高效率的. 【期刊名称】《江西师范大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2019(043)001 【总页数】4页(P31-34) 【关键词】Maxwell方程;局部1维格式;高阶紧致格式 【作者】孔令华;田娜娜;张鹏 【作者单位】江西师范大学数学与信息科学学院,江西南昌 330022;江西师范大学数学与信息科学学院,江西南昌 330022;江西师范大学数学与信息科学学院,江西南昌 330022 【正文语种】中文 【中图分类】O241.8 0 引言 现代电子技术的发展离不开电磁学的研究，而Maxwell方程是电磁学领域最基本的数学模型，对它的理论研究与数值方法研究一直是非常热门的重要的研究课题.
自从K.S. Yee[1]在1966年提出Maxwell方程的时域有限差分(FDTD)方法以来, 这种数值方法一直在计算电磁学领域得到重视并积极推广.本文主要考虑2维Maxwell方程[2-4] (1) 高效的数值格式,其中ε和μ分别是介电系数和磁导率,Hz=Hz(t,x,y)和分别表示磁 场和电场.为方便起见，假设所考虑的空间区域为矩形区域Ω=[0,a]×[0,b],t∈(0,T]，电磁场满足理想导体边界条件[5-8] Ex(t,x,0)=Ex(t,x,b)=Ey(t,0,y)= Ey(t,a,y)=0 (2) 和初始条件 Ex(x,y,0)=Ex0(x,y),Ey(x,y,0)= Ey0(x,y),Hz(x,y,0)=Hz0(x,y). (3) 满足边界条件(2)和初始条件(3)的2维Maxwell方程(1)具有以下能量守恒律： 命题1 Maxwell方程(1)～(3)的解满足以下能量守恒律 其中或y. 证将Maxwell方程(1)在Ω上与Ex,Ey,Hz做内积，并把得到的方程相加得 (‖Ex(t)‖2+‖Ey(t)‖2+‖Hz(t)‖2)= )Hz(t,x,y)]dxdy=0. 在此利用了Green公式和边界条件(2). 对于此类空间多维微分方程，类似于Yee格式的显式格式受到较为苛刻的稳定性
求解波动方程的2种显式高精度紧致差分格式
求解波动方程的2种显式高精度紧致差分格式 姜蕴芝;葛永斌 【摘要】针对一维波动方程,空间采用四阶Padé逼近,时间采用中心差分离散得到了一种时间二阶、空间四阶精度的显式紧致差分格式,其截断误差为O(τ2+h4).之后采用截断误差余项修正的方法对时间离散进行改进,改进后的格式的截断误差为O(τ4+τ2h2+h4),即格式具有整体四阶精度.然后,通过Fourier方法分析了2种格式的稳定性.最后,通过数值实验验证了本格式的精确性和可靠性.%In this paper,an explicit compact difference scheme is obtained for solving the one dimensional wave equation.The truncation error of the scheme is O(τ2 + h4).It's constructed by applying the fourth-order accurate Padé approximation in space and the second-order accurate central difference in time.Then,the remainder of the truncation error correction method is employed to improve the accuracy of the discretization of time,the truncation error of the improved scheme is O(τ4 + τ2 h2 + h4),which means the scheme has an overall fourth-order accuracy.And then,the stability conditions of the two schemes are obtained by the Fourier method.Finally,the accuracy and the reliability of the present two schemes are verified by numerical experiments. 【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2017(040)002 【总页数】7页(P177-183)
一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式
一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式黄雪芳;郭锐;葛永斌 【摘要】A high accuracy compact finite difference scheme with non-uniform grids is pro-posed to solve unsteady convection diffusion equations, which are used to describe boundary layer problems or locally large gradient problems, etc. The new method starts from the dis-cretization of the steady convection diffusion equation. Firstly, the spatial derivatives are discretized by using the Taylor series expansion on non-uniform grids. Then, the second order backward Eulerian difference formula is used to discretize the temporal derivative term. The three-level full implicit compact difference scheme on non-uniform grids for solving the one-dimensional unsteady convection diffusion equation is derived. The new scheme has the second order accuracy in time and the third to fourth order accuracy in space and is unconditionally stable. Finally, some numerical experiments are conducted to demonstrate the high accuracy and the advantages in solving boundary layer problems or locally large gradient problems.%本文在非均匀网格上给出了求解非定常对流扩散方程的一种高精度紧致差分格式，特别适合边界层和大梯度等问题的求解。从稳态对流扩散方程入手，首先，基于非均匀网格上的泰勒级数展开对空间导数项进行离散，然后对时间项采用二阶向后欧拉差分公式，从而得到一维非定常对流扩散方程在非均匀网格上的三层全隐式紧致差分格式。新格式在时间具有二阶精度，空间具有三到四阶精度，并且是无条件稳定的。最后，通过数值实验验证了本文格式的精确性，以及在处理诸如边界层和大梯度问题上的优势。
1差分格式
§1. 差分 1． 一阶导数的差分近似（差商） 导数的定义： ()()()0 000 lim x x f x f x f x x x ®-¢= - 导数的近似： ()()()10010 f x f x f x x x -¢»- （当 1x 与 0x 足够接近时） 这样的表达式称为差商，它可作为导数的近似，称为导数的差分近似。 误差分析 － 泰勒展开：将 () 1f x 在 0x 处做泰勒展开，有 ()()()()()()2100100101 2f x f x f x x x f x x x ⅱ =+-+-+L 于是 ()()()() 1001010 f x f x f x x x x x -¢- =-- 各种差分近似： 取 0h >（称为步长），则可以有 向前差分近似（相当于取 100x x h x =+>） ()()() 000f x h f x f x h +-¢»
向后差分近似（相当于取 100x x h x =-<） ()()() 000f x f x h f x h --¢» 中心差分近似 （前差近似与后差近似的算术平均） ()()() 0002f x h f x h f x h +--¢» 2． 差分近似的一般形式 差分近似的一般形式可写成 ()()()() () ()()()022********* m m n n f x c f x c f x c f x h c f x c f x c f x c f x ------é ¢? ++êë+ù++++úû L L 或简写为 ()()01n j j j m f x c f x h =-¢»å 称为一阶导数 () 0f x ¢ 的一个 1m n ++ 点差分近似。这里 0 ( , , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , , )j x x jh j m n =+=---L L
基于TVD思想的高阶迎风紧致格式
基于TVD思想的高阶迎风紧致格式 王文龙;李桦;刘枫;田正雨 【摘要】Using the same stencils,the compact schemes can get higher accuracy and resolution compared with the traditional ones.But it will bring about spurious oscillations if the compact schemes are used directly.There are several methods to settle this problem.The TVD algorithm was selected in our study.Firstly,two five-order upwind compact schemes were introduced and Fourier analysis was used to compare their dissipation and dispersion characteristics.Secondly,two different TVD methods were applied to Euler equations.The performance of the numerical algorithm was assessed by performing preliminary simulations on some problems,such as the oblique shock reflection problem.The algorithm applied here is proven to have good resolution properties and robust of capturing shock waves and contacts,but it still has the problems of accuracy degree and lack of dissipation.%紧致格式具有模板紧凑、精度高的特点，然而直接应用该格式捕捉激波会产生虚假振荡。解决该问题有多种思路，本文着重研究基于 TVD 思想的紧致方法。推导了两种5阶迎风紧致格式，并采用Fourier分析比较其耗散与色散特性。采用保单调保精度方法和限制器两种不同的TVD 方法，进行算例验证。计算结果表明，应用 TVD 方法后，格式对激波、接触间断分辨率好且鲁棒性增强，但不同的 TVD 方法仍存在精度降低、耗散不足等问题。 【期刊名称】《国防科技大学学报》