投资风险和收益的建模

投资风险和收益

摘要：对市场上的多种风险投资和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的的设计

需要考虑连个目标，总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，然而，这两目标并不是相辅相成的，在一定意义上是对立的。

模型一应用多目标决策方法建立模型，以投资效益没目标，对投资问题建立个一个优化模型，不同的投资方式具有不同的风险和效益，该模型根据优化模型的原理，提出了两个准则，并从众多的投资方案中选出若干个，使在投资额一定的条件下，经济效益尽可能大，风险尽可能小。在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a ，使最大的一个风险q i x i /M ≤a ，可找到相应的投资方案. 这样把多目标规划变成一个目标的线性规划

模型二若投资者希望总盈利至少达到水平k 以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合. 固定盈利水平，极小化风险

模型三给出了组合投资方案设计的一个线性规划模型，主要思想是通过线性加权综合两个设计目标：假设在投资规模相当大的基础上，将交易费函数近似线性化，通过决策变量化解风险函数的非线性。

【关键字】：多目标规划模型 有效投资方案 赋权 一 问题的提出

投资的效益和风险(1998年全国大学生数学建模竞赛A 题)

市场上有n 种资产（如股票、债券、…）S i ( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数 额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n 种 资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si 的平均收益率为i r 并预测出购买Si 的风险损失率为i q 。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金 购买若干种资产时，总体风险用所投资的S i 中最大的一个风险来度量。

购买S i 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易费按购买i u 计算。另外，假定同期银行存款利率是0r , 且既无交易费又无风险。（0r =5%） 已知n = 4时的相关数据如下：

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M ，有选择地购买若干种资 产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

二 模型的假设与符号说明

2.1模型的假设：

（1）在短时期内所给出的平均收益率,损失率和交易的费率不变。

（2）在短时期内所购买的各种资产（如股票，证券等）不进行买卖交易。即在买入后就不

再卖出。

（3）每种投资是否收益是相互独立的。

（4）在投资的过程中，无论盈利与否必须先付交易费。

三、模型的建立与分析

1.总体风险用所投资的Si 中最大的一个风险来衡量,即max{ q i x i|i =1，2,…,n } 2．购买S i 所付交易费是一个分段函数,即 p i x i x i >u i 交易费 =

p i u i x i ≤u i

而题目所给定的定值u i (单位:元)相对总投资M 很小, p i u i 更小, 可以忽略不计,这样购买S i 的净收益为(r i -p i )x i

3．要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型: 目标函数 max

∑=-n

i i

i

i

x p r 0

)(

minmax{ q i x i } 约束条件 0

(1)n

i i

i p x =+∑=M

x i ≥0 i =0,1,…,n 4. 模型简化 a ． 在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a ，使最大的一个 风险q i x i /M ≤a ，可找到相应的投资方案. 这样把多目标规划变成一个目标的线性规划. 模型1 固定风险水平，优化收益 目标函数： Q =max

∑+=-1

1

)(n i i

i

i

x

p r

约束条件 ：

M

x q i i ≤a

∑=+M x

p i

i

)1(， x i ≥ 0 i =0,1,…, n

b ．若投资者希望总盈利至少达到水平k 以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合. 模型2 固定盈利水平，极小化风险

目标函数： R = min{max{ q i x i }} 约束条件： ∑=-n

i i i i

x p r

)(≥k ，

∑=+M x

p i

i

)1( ， x i ≥ 0 i =0，1，…，n

c ．投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合. 因此对风险、收益赋予权重s （0＜s ≤1)，s 称为投资偏好系数. 模型3 目标函数：min s{max{q i x i }} -（1-s ）

∑=-n

i i

i

i

x

p r 0

)(

约束条件

(1)n

i i

i p x =+∑=M ， x i

≥0 i = 0,1,2，…，n

四、模型求解

4.1模型1的求解

模型1为:

minf = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 ) T

x 0 + 1.01x 1 + 1.02x 2 +1.045x 3 +1.065x 4 =1 0.025x 1 ≤a

0.015x 2 ≤a s.t. 0.055x 3 ≤a 0.026x 4 ≤a x i ≥0 (i = 0，1， (4)

由于a 是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度.我们从a =0开始，以步长△a =0.001进行循环搜索，编制程序如下： a=0;

while(1.1-a)>1

c=[-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185]; Aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065]; beq=[1];

A=[0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026]; b=[a;a;a;a]; vlb=[0,0,0,0,0]; vub=[];

[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); a x=x' Q=-val

plot(a,Q,'.')，axis([0 0.1 0 0.5])，hold on a=a+0.001;

end

xlabel('a'),ylabel('Q')

计算结果：

a = 0.0030 x = 0.4949 0.1200 0.2000 0.0545 0.1154 Q = 0.1266

a = 0.0060 x = 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212 Q = 0.2019

a = 0.0080 x = 0.0000 0.3200 0.5333 0.1271 0.0000 Q = 0.2112

a = 0.0100 x = 0 0.4000 0.5843 0 0 Q =0.2190

a = 0.0200 x = 0 0.8000 0.1882 0 0 Q =0.2518

a = 0.0400 x = 0.0000 0.9901 0.0000 0 0 Q =0.2673

结果分析

1.风险大，收益也大.

2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致.即:

冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资.

3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险.对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合.

4.在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长

很快.在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和

收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，

大约是a*=0.6%，Q*=20% ，所对应投资方案为:

风险度收益x0 x1 x2 x3 x4

0.0060 0.2019 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212

4.2模型2的求解

令x5= max{q i x i}则有x5大于或等于{q i x i}中的任意一个，可得模型2为：

min f=x5

?

??

???

??

???≥≤-≤-≤-≤-≥++++=++++0

0.....026.0.........................................................0.....................055.0.........................................0....................................015.0..........................0.................................................025.0.............185.0185.019.027.005.01

065.1045.102.101.1.s.t 545352514321043210i x x x x x x x x x k

x x x x x x x x x x x i ≥0 (i = 0，1， (4)

由于k 是任意给定的收益，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的收益.我们从k =0开始，以步长△k =0.002进行循环搜索，编制程序如下：

k=0; while k<0.5

c=[0 0 0 0 0 1];

Aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065 0]; beq=[1];

A=[-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185 0; 0 0.025 0 0 0 -1;0 0 0.015 0 0 -1; 0 0 0 0.055 0 -1;0 0 0 0 0.026 -1]; b=[-k;0;0;0;0]; vlb=[0,0,0,0,0,0]; vub=[];

[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); k x=x' R=val

plot(k,R,'.')

axis([0 0.25 0 0.015]) hold on k=k+0.002; end

xlabel('k'),ylabel('R');

计算结果：

结果分析：

有实验结果和图可得以下结论： 1 收益越大，风险也越大。

2当投资越分散时，投资者承担的风险越小

3曲线上任意一点都表示该投资下的最小风险，选择该投资下的最优组合。

4在k=0.206附近有一个转折点，在它的右边，风险随投资的变化明显比左边的快得多，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合， 大约是R *=0.6%，k *=20% ，所对应投资方案为:

4.3模型3的求解

令x5= max{q i x i }则有x5大于或等于{q i x i }中的任意一个，可得模型为：

Min f={0.05(s-1) 0.25(s-1) 0.15(s-1) 0.55(s-1) 0.26(s-1) s}（x0 x1 x2 x3 x4 x5）‘

????

???????≥≤-≤-≤-≤-=++++0

0.....026.0.........................................................0.....................055.0.........................................0....................................015.0..........................0.................................................025.0.............1065.1045.102.101.1.s.t 5453525143210i x x x x x x x x x x x x x x

各个投资者的投资偏好不一，所以s 没有一个定值，就从s=0开始，以步长△k =0.001进行循环搜索，编制程序如下：

i=1;

for s=0.1:0.1:1;

f=[-0.05*(1-s) -0.27*(1-s) -0.19*(1-s) -0.185*(1-s) -0.185*(1-s) s]';

A=[0 0.025 0 0 0 -1;0 0 0.015 0 0 -1; 0 0 0 0.055 0 -1;0 0 0 0 0.026 -1];

b=[0 0 0 0]';

aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065 0];

beq=[1];

lb=zeros(6,1);

[x,fval,exitflag,options,output]=linprog(f,A,b,aeq,beq,lb);

x

y(i)=-fval;i=i+1;

end

k=0.1:0.1:1;

figure(1);

plot(k,y,'g-');xlabel('s 权因子') ;ylabel('y收益');

title('净收益和风险关于权因子的函数')

计算结果：

使用线性加权法分别求解当s=0.1…1.0时的最优决策及风险和收益如下表：

结果分析

1 净收益和风险是s(权因子)的单调下降函数，即谨慎程度越强，风险越小，但是收益也越小，具有明确的实际意义。

五模型评价

5.1模型优点

（1）本文通过将风险函数转化为不等式约束，建立了线性规划模型，直接采用程序进行计算，得出优化决策方案，并且给出了有效投资曲线，根据投资者的主观偏好，选择投资方向。（2）模型一采用线性规划模型，将多目标规划转化为单目标规划，选取了风险上限值来决定收益，根据收益风险图，投资者可根据自己的喜好来选择投资方向。

（3）模型三采用线性加权模型求解时，计算过程稳定性好，速度快，对不同的权因子进行比较，得出最优决策方案，并且给出了有效投资曲线，根据投资者的主观偏好，选择投资方向。

5.2模型缺点

当投资金额小于固定值时，建立的线性规划模型得到的结果可能不是最优解，要根据公司的资金M决策模型的优良。对于不同的金额，得到的结果不具有代表性，我们建立的模型中采用的只是M的一个特列，具有单一性

[参考文献]

[1]赵静，但琦．数学建模与数学实验［M］．北京:高等教育出版社，2008．

[2]李志林欧宜贵数学建模及典型案例分析北京，化学工业出版社2006