综合除法与余数定理

第七节 综合除法与余数定理

综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。

一、综合除法

一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式：

)()()()(x r x q x g x f +⋅=。

其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。

下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。

例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。

解： 余式商的各项的系数826322

4

1264414072++--+--++-

∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是：

（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。

（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。

（3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。

（4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。

（5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。

（6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。

（7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。

前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢？

例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。

解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用3

2-x 去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。

541615

123332

10

8216231033-+++++-+++-+ ∴Q=542-+x x ， R=6。

下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。

例3、用综合除法求)23()4101173(2234-+÷-+-+x x x x x x 的商Q 和余式R 。 解：231232

32

34

66

94101173-++-++-+--+--+-+

∴Q=5232+-x x ， R=23-x 。

二、余数定理

余数定理又称裴蜀定理。它是法国数学家裴蜀（1730~1783）发现的。余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。

余数定理：多项式)(x f 除以a x -所得的余数等于)(a f 。

略证：设R a x x Q x f +-⋅=)()()(

将x=a 代入得R a f =)(。

例4、确定m 的值使多项式m x x x x x f +++-=1183)(345能够被x-1整除。

解：依题意)(x f 含有因式x-1，故0)1(=f 。

∴1－3＋８＋11＋ｍ＝０。可得ｍ＝－17。

求一个关于x 的二次多项式，它的二次项系数为1，它被x-3除余1，且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同。

解：设b ax x x f +==2)(

∵)(x f 被3-x 除余1，

∴139)3(=++=b a f ①

∵)(x f 被1-x 除和2-x 除所得的余数相同，

∴b a b a f f ++=++=241)2()1(即

②

由②得3-=a ，代入①得1=b

∴13)(2+-=x x x f 。

注：本例也可用待定系数法来解。同学们不妨试一试。

即：1))(3())(2())(1(2++-≡++-≡++-≡++p x x R n x x R m x x b ax x 由R n x x R m x x ++-≡++-))(2())(1(，可得1,2-=-=n m

再由1))(3()1)(2(++-≡+--p x x R x x ，解得0=p 。

∴13)(2+-=x x x f 。

练习：

1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。

（1）)2()76543(234-÷-+--x x x x x ；

（2）)4()81496(345+÷+-++x x x x x ；

（3）)())()((23a x abc x ca bc ab x c b a x -÷-+++++-；

（4）)23()188859(334224y x y x xy y y x x -÷+--+；

（5）)32()15151672(2234+-÷+-+-x X x x x x ；

（6）)253()712(23356-++÷--+x x x x x x x

2、一个关于x 的二次多项式)(x f ，它被x-1除余2，被x-3除余28，它可以被x+1整除，求)(x f 。

3、一个整系数四次多项式)(x f ，有四个不同的整数4321,,,αααα，可使,1)(,1)(21==ααf f 1)(,1)(43==ααf f ，求证：任何整数β都不能使1)(-=βf 。