物理方法求曲率半径
用物理方法求常见曲线的曲率半径
王吉旭 滑县第一高级中学 456400
求曲线曲率的问题常出现在高中物理竞赛中，而近年来高考中也涉及到曲线曲率的问题，例如2008年江苏理综14题涉及到曲率半径，2011年高考安徽理综17题更是要求求出曲线曲率. 在数学中曲线的曲率半径可以用高等数学的方法求出，这里我们另辟蹊径,从物理的角度采用初等数学求出曲线曲率半径. 我们首先来看2011高考安徽理综17题:
一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替. 如图（a ）所示，曲线上A 点的曲率圆定义为：通过A 点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A 点的曲率圆，其半径ρ叫做A 点的曲率半径. 现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v 0抛出，如图（b ）所示。则在其轨迹最高点P 处得曲率半径是（ ）
A ．g v 20
B ．g v α220sin
C ．g
v α220cos
D ．α
αsin cos 220g v
[解析] 物体在最高点P,只有水平速度为αcos 0v ,物体只受重力.
由r
v m F 2
=向得: ρα20)cos (v m mg =
则有:g
v α
ρ22
0cos = 本题正确答案为C
上述问题给我们启示: 从物理的角度,我们也可以求出曲线上某点的曲率半径. 事实上,物理学上我们常讨论的曲线有抛物线、椭圆、双曲线等,我们都可以利用上述的方法求曲率半径.下面我们来逐一研究. 一、求抛物线顶点的曲率半径
物体做平抛运动时其轨迹就是抛物线.假设物体平抛初速度为0v ，运动轨迹如图2所示. 则有将物体的运动分解为水平分运动和竖直分运动： 公式为：t v x 0= ① 2
2
1gt y = ②
联立①②式得2
2
2x v g y =
图1
x y
O 图2
v 0
令20
2v g a =
，则2ax y = 研究抛物线的顶点，从向心力出发，有： ρ
2
mv mg =
则有a g v 2120==ρ，即抛物线2
ax y =顶点的曲率半径为
a
21=ρ 二、求椭圆顶点的的曲率半径
理论力学可以证明：飞行物在有心力场中运动，如果总机械能E ＜0则其轨迹必
为椭圆，且引力源在其椭圆的一个焦点上.太阳系中，行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于轨道的一个焦点上.多数人造卫星绕地球的轨道也是椭圆，地球位于卫星轨道的一个焦点上.
如图3,质量为m 卫星绕质量为M 地球做椭圆运动,轨迹椭圆方程为：
12
2
22=+b y a x 地球位于椭圆左焦点上. 设椭圆顶点A 、A ′距离左焦点的距离为
r ，易知：c a r A -= ，c a r A +=',设卫
星在椭圆顶点A 、A ′处的速度v , 则对地球和卫星系统而言，机械能守恒同时角动量守恒.卫星在椭圆顶点A 、A ′处均满足以下两个方程:
E r
Mm G mv =-2
21 ①
mvr L = ②
联立①②得关于r 的二次方程:022
2
=-+mE
L r E Mm G r ③ 可以肯定方程③的两根就是A r 和'A r ,由韦达定理知：E
GMm
a r r A A -
==+2' 则： a
GMm
E 2-
= ④ 卫星位于顶点A 时，由向心力公式：12
12
)
(ρv m c a Mm
G =- ⑤
把c a r A -=带入方程①: E c a Mm G mv =--2
121 ⑥
联立方程④⑤⑥得： a
b 2
1==ρ ⑦
由对称性可知, 椭圆顶点A ′的曲率半径也是a
b 2
1=ρ.
卫星位于顶点B 时：万有引力可分为向心力θτcos 2a
Mm
G
F =和切向力θsin 2a
Mm
G
F n =. 由向心力公式得: 2222cos ρθv m a
Mm
G = ⑧
由几何关系易知: a
b
=
θcos ⑨ 由方程①得: a GMm a Mm G mv 2212
2-
=- ⑩ 联立⑧⑨⑩得: b
a 2
2=ρ ○
11 由对称性可知,椭圆顶点B ′的曲率半径也是b
a 2
2=ρ.
所以椭圆12222=+b y a x 长半轴上的两顶点曲率半径为a b 2
1==ρ,短半轴上两曲率
半径为b
a 2
2=ρ
三、求双曲线顶点的曲率半径
理论力学可以证明:飞行物在有心力场中运动，如果总机械能E >0则其轨迹必为双曲线的一支，且引力源在其双曲线的一个焦点上.实际上某些彗星的轨迹就是
双曲线的一支(此时的有心力为万有引力),另外散射实验中，α粒子在库仑场中的运动轨迹也是双曲线的一支（此时的有心力为库仑斥力）.
假设某彗星m 进入太阳系中,彗星m 和太阳M 系统总能量E>0. 则彗星轨道为
双曲线的一支，太阳在双曲线的一个焦点上，双曲线标准方程为122
2
2=-b y a
x ，
如图4所示.
彗星m 闯入太阳系，可认为是从无穷远出发，
∞→r 时，引力势能为0，系统总机械能为E 就是
天体的动能,则有2
021mv E =
研究彗星从无穷远到达双曲线顶点的过程，
由机械能守恒定律得：a
c GMm mv mv --
=22
02121 ○
12 由角动量守恒定律得：
)(0a c mv b mv -?=? ○13 彗星到达双曲线顶点时有：
2
2
)
(a c GMm
mv -=
ρ
○14 联立方程○12○13○14得： a
b 2
=ρ ○
15 由对称性可知双曲线1222
2=-b y a
x 两个顶点的曲率半径均为a b 2
=ρ.
前面我们分别研究了抛物线、椭圆、双曲线等曲线的曲率半径，此外，旋
轮线等曲线的曲率也可用类似的办法求出. 事实上,物理学的发展与数学联系紧密,数学的发展推动了物理学的发展,同时某些时候物理学的发展也促进数学的发展，典型的例子如17世纪科学家对关于最速降线的讨论引发了变分法的创立. 很多物理学家本身就是数学家,例如阿基米德、牛顿、高斯等.. 用物理方法解决数学问题既体现了物理思维的深刻性，又拓宽了解决数学问题的思路，更体现了数学与物理的和谐统一.