无穷级数习题答案
第十二章无穷级数练习题含答案知识分享
第十二章 无穷级数练习 1.判别下列级数的敛散性： 21 2 1 1 1 1 11 ! 21sin ;ln(1);;( )32 n n n n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ ∞ +====++-∑∑∑∑ 2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ 211 (1)[3n n n n ∞ -=-+ ∑； 21 cos 3n n n n ∞ =∑； 1 (1)n n ∞ -=-∑。 3. 求幂级数0 n n ∞ =的收敛区间。 4.证明级数1 !n n n n x n ∞ =∑当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。 注：数列n n n x )11(+=单调增加，且e x n n =∞→lim 。 5.在区间(1,1)-内求幂级数 1 1 n n x n +∞ =∑ 的和函数。 6.求级数∑∞ =-2 22)1(1 n n n 的和。 。
7.设1111 2,()2n n n a a a a +== + （1,2,n =L ）证明 1）lim n n a →∞ 存在； 2）级数 1 1 ( 1)n n n a a ∞ =+-∑收敛。 8.设40tan n n a xdx π = ? ， 1） 求211 ()n n n a a n ∞ +=+∑的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1 n n a n λ∞ =∑收敛。 9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞ =-1)1(n n n a 发散，试问∑∞ =??? ? ??+111n n n a 是否收敛？并说明理 由。 10.已知222111358π+++=L [参见教材246页]，计算1 011ln 1x dx x x +-???。 。
微积分习题之无穷级数共21页文档
[填空题] 1．数项级数∑ ∞ =+-1) 12)(12(1n n n 的和为 21 。 2．数项级数∑∞ =-0 )!2()1(n n n 的和为 1cos 。 注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分 和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。 3．设1))1((lim ,1,01 =->>∞ →n n p n n a e n p a 且，若级数∑∞ =1 n n a 收敛，则p 的取值范 围是),2(+∞。 分析：因为在∞→n 时，)1(1-n e 与 n 1 是等价无穷小量，所以由1))1((lim 1=-∞ →n n p n a e n 可知，当∞→n 时，n a 与 1 1-p n 是等价无穷小量。由因为 级数∑∞=1 n n a 收敛，故∑ ∞ =-11 1 n p n 收敛，因此2>p 。 4．幂级数∑∞ =-0 2)1(n n n x a 在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 ]2,0[。 分析：根据收敛半径的定义，2=x 是收敛区间的端点，所以收敛半径 为1。由因为在0=x 时，级数∑∑∞ =∞ ==-0 2) 1(n n n n n a x a 条件收敛，因此应填]2,0[。 5．幂级数∑∞ =-+12) 3(2n n n n x n 的收敛半径为 3。 分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因 为
22)1(21131)3(2)3(21lim x nx x n n n n n n n n =-+-+++++∞→， 所以，根据比值判敛法，当3
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无穷级数单元测试题 答案
第十二章 无穷级数单元测试题答案 一、判断题 1、对； 2、对； 3、错； 4、对； 5、对； 6、对； 7、对； 8、错； 9、错；10、错 二、选择题 1、A 2、A 3、D 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B 三、填空题 1、2ln 2、收敛 3、5 4、π 33--，π π12 48+ -， ???????±±=--±±==,...3,1,2 1,...4,2,0,2 1 )(k k k S ππ 四、计算题 1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞ =--1131 arcsin )1(n n n 解：这是一个交错级数， 1arcsin 31arcsin 13lim 13n n u n n n →∞==，所以n u 发散。 又由莱布尼茨判别法得 111arcsin arcsin 33(1) n n u u n n +=>=+ 并且1 lim lim arcsin 03n n n u n →∞→∞ ==，满足交错级数收敛条件，
故该交错级数条件收敛。 （2）∑∞ =?? ? ??+11n n n n 解：lim lim( )[lim()]1011n n n n n n n n u n n →∞→∞ →∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。 (3) )0,(,31 211>++++++b a b a b a b a 解：另设级数1 () n v n a b =+ 111111 1(1)() 23n n n v n a b a b n ∞ ∞ ====+++++++∑∑ 上式为1 a b +与一个调和级数相乘，故发散 又11 () n n u v na b n a b = >=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。 (4) ++++++ n n 134232 解：lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散 2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数 （1） ++++7 537 53x x x x 解：设357 ()357 x x x f x x =++++ （补充条件1x <，或求出R ）
无穷级数知识点介绍
专转本专题知识点----------无穷级数 数项级数 定义1 设给定一个数列,...,,...,,,321n u u u u 则和式 ......321+++++n u u u u （11.1） 称为数项级数，简称为级数，简记为 ∑∞ =1 n n u ,即 ∑∞ =1 n n u =......321+++++n u u u u 其中，第n 项n u 称为级数的一般项或者通项。式（11.1）的前n 项和 ∑==++++=n k k n n u u u u u S 1 321... 称为式（11.1）的前n 项部分和。当n 依次取1，2，3，...时，部分和 ...,..,,,321n S S S S 构成一个新的数列{}n S ，数列{}n S 也称为部分和数列 定义2 若级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 有极限S S S n n =∞ →lim ， 则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，称S 是级数 ∑∞ =1 n n u 的和，即 (3211) +++++== ∑∞ =n n n u u u u u S 如果部分和数列{}n S 没有极限，则称为级数∑∞ =1 n n u 发散 数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1 n n u 和级数 ∑∞ =1 n n v 都收敛，它们的和分别为S 和σ，则级数 ∑∞ =±1 )(n n n v u 也 收敛，且其和为±S σ
（2）若级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，且其和为S ，则它的每一项都乘以一个不为零的常数k,所得到的 级数 ∑∞ =1 n n ku 也收敛，且其和为kS （3）在一个级数前面加上（或去掉）有限项，级数的敛散性不变 （4）若级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则将这个级数的项任意加括号后，所成的级数 ...)...(...)...()...(1211121+++++++++++-+k k n n n n n u u u u u u u 也收敛，且与原级数有相同的和 （5）（级数收敛的必要条件）若级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则0lim =∞ →n n u 数项级数的敛散性 研究对象：正项级数、交错级数、任意项级数 一．正项级数 正项级数：若级数∑∞ =1 n n u =......321+++++n u u u u 满足条件,...)3,2,1(0=≥n u n ，则称此 级数为正项级数 定理1 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列{}n S 有界 定理2 （比较判别法）若级数∑∞ =1 n n u 和级数 ∑∞ =1 n n v 为两个正项级数，且,...)3,2,1(=≤n v u n n ， 那么： （1）若级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1 n n u 也收敛 （2）若级数 ∑∞=1 n n u 发散时，级数 ∑∞=1 n n v 也发散
无穷级数单元测试题
第十二章 无穷级数单元测试题 一、判断题 1、。收敛，则3)3(lim 21=+-∞→∞=∑n n n n n u u u （ ） 2、若正项级数∑∞=1 n n u 收敛，则∑∞=12n n u 也收敛。 （ ） 3、若正项级数∑∞=1n n u 发散，则。1lim 1>=+∞→r u u n n n （ ） 4、若∑∞=12n n u ，∑∞=12n n v 都收敛，则n n n v u ∑∞ =1绝对收敛。 （ ） 5、若幂级数n n n x a )23(1 -∑∞ =在x=0处收敛，则在x=5处必收敛。（ ） 6、已知n n n x a ∑∞=1的收敛半径为R ，则n n n x a 21∑∞=的收敛半径为R 。 （ ） 7、n n n x a ∑∞=1和n n n x b ∑∞=1的收敛半径分别为b a R R ,，则n n n n x b a ∑∞ =+1)(的收敛半径为 ),min(b a R R R =。 （ ） 8、函数f(x)在x=0处的泰勒级数 ...! 2)0(!1)0()0(2+''+'+x f x f f 必收敛于f(x)。 （ ） 9、f(x)的傅里叶级数，每次只能单独求0a ，但不能求出n a 后， 令n=0得0a 。 （ ） 10、f(x)是以π2为周期的函数，并满足狄利克雷条件，
n a （n=0,1,2,...）, n b （n=1,2,...)是f(x)的傅里叶系数，则 必有)sin cos (2)(1 0nx b nx a a x f n n n ++=∑∞=。 （ ） 二、选择题 1、下列级数中不收敛的是（ ） A ∑∞ =+1)11ln(n n B ∑∞=131n n C ∑∞=+1)2(1n n n D ∑∞=-+14)1(3n n n n 2、下列级数中，收敛的是（ ） A ∑∞ =--11)1(n n n ； B ∑∞=+-1232)1(n n n n ； C ∑∞=+115n n ； D ∑∞=-+1231n n n ． 3、判断∑∞=+11 11n n n 的收敛性，下列说法正确的是（ ） A 因为 01 1>+n ，所以此级数收敛 B 因为01lim 11=+∞ →n n n ，所以此级数收敛 C 因为 n n n 111 1>+，所以此级数发散。 D 以上说法均不对。 4、下列级数中，绝对收敛的是（ ） A ∑∞=-1)1(n n n ； B ∑∞=++12123n n n ； C ∑∞=-??? ??-1132)1(n n n ； D ∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ． 5、若级数∑∞ =--112)2(n n n a x 的收敛域为[3,4),则常数a=（ ）
级数知识点总结
第十二章 无穷级数 一、 常数项级数 1、 常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑= 3211 正项级数：∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质： 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. 两个收敛级数的和差仍收敛.，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. 去掉、加上或改变级数有限项,不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； 若级数收敛,则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.注：收敛级数去括号后未必收敛. 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数 表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有界； 比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛；若∑∞ =1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞n v 收敛，则∑∞n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞n v 发散，则∑∞ n u 发散. 2、 交错级数： 莱布尼茨审敛法：交错级数： ∑∞ =-1 )1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ，且0lim =∞ →n n u ，则级数∑∞ =-1 )1(n n n u 收敛。 条件收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛，而 ∑ ∞ =1 n n u 发散；绝对收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛。 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛。 其他级数：； 二、 函数项级数（幂级数： ∑∞ =0 n n n x a ） 1、 2、 和函数)(x s 的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导;和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项 积分.(R 不变,收敛域可能变化).
无穷级数习题
第十二章 无穷级数习题课资料 丁金扣 一、本章主要内容 常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。 二、本章重点 用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。 三、本章难点 用定义判别级数的收敛，P-级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级 数收敛定理。 四、例题选讲 例1：判别级数()2 1ln 1ln ln 1n n n n ∞ =??+ ???+∑的敛散性。 （用定义） 解：原式=()()2 2ln 1ln 11 ()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞ ∞==+-=-++∑∑ 级数的部分和1 11111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ??????=-+-++- ? ? ?+?????? 111ln 2ln(1)ln 2 n = -→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于 1 ln 2 。 例2：证明级数 2 cos cos(1) n n n n ∞ =-+∑收敛。（利用柯西审敛原理） 证明：1 cos cos(1) n p n p n m n m m S S m ++=+-+-= ∑ ()()()11cos 1cos 11 ()cos 111n p m n n n p m n m m n p +-=+++=--+- +++∑ 得1 111112 ()111n p n p n m n S S n m m n p n +-+=+-≤+-+=++++∑， 对任意的0ε>，取2N ε??=???? ，则当n N >时，对所有p N ∈，都有 n p n S S ε +-<，
无穷级数练习题word版
无穷级数习题 一、填空题 1、设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 。 2、幂级数 0(21)n n n x ∞ =+∑的收敛域为 。 3、幂级数 21 1(3) 2 n n n n n x ∞ -=-+∑的收敛半径R = 。 4 、幂级数 n n ∞ =的收敛域是 。 5、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 。 6、级数0 (ln 3)2n n n ∞ =∑的和为 。 7、 1 1 1()2n n n ∞ -==∑ 。 8、设函数2 ()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01 (cos sin )2 n n n a a nx b nx ∞ =++∑，则其系数3b 的值为 。 9、设函数2 1, ()1,f x x -?=?+? 0,0, x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数 1 1 (1)(2)n n n n ∞ =++∑的和 。 11、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3 、R = 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、 22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1 4 11、(0,4)
二、选择题 1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞=∑ 收敛，则级数1 (1)n n ∞ =-∑是（ ）。 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p += ，2 n n n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1 n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1,2 n a n >=，若 1n n a ∞ =∑发散， 1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。 （A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α 为常数，则级数 21 sin()( n n n α∞ =∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数 1 (1)(1cos )n n n α ∞ =--∑（常数0α）是（ ） （A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6 、设(1)ln(1)n n u =-+ ，则级数 （A ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都收敛. （B ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都发散.
无穷级数 测试题
1. 填空3分一道（1）若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则()1 .n n n u v ∞ =+∑必 （2）若常数项级数1n n u ∞=∑收敛，则必有lim .n n u →∞ = 2.14分 下列级数中条件收敛的是（ ）绝对收敛的是（） (A)()11112n n n ∞ =-+∑ (B)( )11n ∞=-∑ (C)()111n n n ∞=-∑ (D)()2111n n n ∞=-∑ (E)( )11n n ∞=-∑ （F ）() 111n n ∞-=-∑ 下列题10分一道 3.判定级数112n n n ∞=?∑的敛散性（收敛或者发散） 4.判定级数13!n n n n n ∞=?∑的敛散性 5.判定级数()111001n n n ∞ =+∑的敛散性 6.判定级数211ln 1n n ∞=??+ ???∑的敛散性 7.求幂级数()131n n n n x n ∞=-∑的收敛半径及收敛区间（开） 8. 求幂级数11!n n x n ∞ =∑的收敛区间 9.求幂级数112n n nx ∞-=∑的收敛区间及和函数 10.将13 x +展开成()1x -的幂级数，并求其收敛区间。 知识点归纳： 一、正项级数：1.调和级数11n n ∞ =∑发散。 2.11p n n ∞=∑：当p>1时，收敛，p ≤1时发散（包括一系列等价无穷小） 3.比值审敛法（针对通项里出现了,!n a n ）：1lim n n n u u +→∞ 的值<1,收敛；>1则发散；等于1，方法用错了，该用第2条。 二.交错级数：()11n n n u ∞=-∑，判定lim 0n n u →∞≠则该级数发散；lim 0n n u →∞ =， 1n n u u +≤，则该级数收敛，此时该级数分条件收敛和绝对收敛，就是将该级数加绝对值()111n n n n n u u ∞∞ ==-=∑∑，去掉麻烦的()1n -， 此时判别法回到正项级数判别法：1）如果还收敛的话，则为绝对收敛，如果发散则为条件收敛。
无穷级数知识点
无穷级数 1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1lim n k n k S u ∞ →∞ ==∑存在，称级数收敛。 2.若任意项级数1 n n u ∞=∑收敛，1 n n u ∞=∑发散，则称1 n n u ∞=∑条件收敛，若1 n n u ∞=∑收敛，则称级数1 n n u ∞ =∑绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞ = 3.若有两个级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞=∑，1 1 ,n n n n u s v σ∞∞ ====∑∑ 则 ①1()n n n u v s σ∞ =±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞==???? ?=? ? ????? ∑∑。 ②1 n n u ∞=∑收敛，1 n n v ∞=∑发散，则1 ()n n n u v ∞ =+∑发散。 ③若二者都发散，则1 ()n n n u v ∞=+∑不确定，如()1 1 1, 1k k ∞∞==-∑∑发散，而()1 110k ∞ =-=∑收敛。 4．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数： a) b) P 级数： c) 对数级数： 5.三个重要结论
6．常用收敛快慢 正整数 由慢到快 连续型由慢到快 7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧 1. 11,lim 1,lim 0) 1,n n n n n n l u l l u l μμ+→∞→+∞ ?≠?? =??收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时） 2. 1,1,1,n n l l l n l μ??=? 收发（当为某次方时）单独讨论 3. ① 代数式 1 1 1 1 n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞ ====≤???∑∑∑∑收敛收敛，发散发散 ② 极限式 lim n n n u A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞ =∑都是正项级数。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 0 ? 0 ? n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A u v u v v u u v A u v u kv u v A v u v u u v v u ∞ ∞ ∞ ∞ ====∞∞ ==∞ ∞ ∞ ∞ =====→→
无穷级数单元测试题答案
第十二章 无穷级数单元测试题答案 一、判断题 1、对； 2、对； 3、错； 4、对； 5、对； 6、对； 7、对； 8、错； 9、错；10、错 二、选择题 1、A 2、A 3、D 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B 三、填空题 1、2ln 2、 收敛 3、5 4、π33--，ππ1248+-，???????±±=--±±==,... 3,1,2 1,...4,2,0,2 1 )(k k k S ππ 四、计算题 1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞ =--1131 arcsin )1(n n n 解：这是一个交错级数， 1arcsin 31arcsin 13lim 13n n u n n n →∞==，所以n u 发散。 又由莱布尼茨判别法得 111arcsin arcsin 33(1) n n u u n n +=>=+ 并且1 lim lim arcsin 03n n n u n →∞→∞ ==，满足交错级数收敛条件， 故该交错级数条件收敛。
（2）∑∞ =??? ? ?+11n n n n 解：lim lim()[lim()]1011n n n n n n n n u n n →∞→∞ →∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。 (3) )0,(,31 211>++++++b a b a b a b a Λ 解：另设级数1 () n v n a b =+ 1111111 (1)() 23n n n v n a b a b n ∞ ∞ ====+++++++∑∑ L L 上式为1 a b +与一个调和级数相乘，故发散 又11 () n n u v na b n a b = >=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。 (4)ΛΛ++++++ n n 134232 解：lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散 2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数 （1） Λ++++7 537 53x x x x 解：设357 ()357 x x x f x x =++++L （补充条件1x <，或求出R ） 逐项求导，得2462 1 ()11f x x x x x '=++++=-L （这是公比21q x =<的几何级数）
高数第七章无穷级数知识点
高数第七章无穷级数知识 点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散； 级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满 足条件l U U n n n =+∞→1 lim ： 当1
6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩） 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) 若+∞< 无穷级数练习题 无穷级数习题 一、填空题 ,,nn1，1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为。axnax(1),,,nnn0,n1, ,n2、幂级数的收敛域为。 (21)nx，,0n, ,n21n,R,3、幂级数的收敛半径。 x,nn(3)2,，n1, n,x4、幂级数的收敛域是。 ,，1n0n, 2n,(2)x,5、级数的收敛域为。 ,nn4n,1 n,(ln3)6、级数的和为。 ,n20n, ,1n1,7、。 n,(),2n1, 28、设函数fxxx(),，, 的傅里叶级数展开式为 (),,,,,x ,a0，，(cossin)，则其系数b的值为。 anxbnx,nn321n, ,,,,x0,,1,,2,9、设函数则其以为周期的傅里叶级数在点处的fx(),x,,,20,,,x1,，x,, 敛于。 ,110、级数的和。 ,nnn，，(1)(2)n1, 2n,(2)x,11、级数的收敛域为。 ,nn,4n,1 ,1,1)R,3参考答案:1、 2、 3、 4、 5、 (2,4),(1,1),(0,4), 21212,,46、 7、 8、 9、 10、 11、 (0,4)422ln3,3 二、选择题 1 ,,an2n1、设常数，而级数收敛，则级数是( )。 ,,0a(1),,,n21n1n,,,，n(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛与,有关 aa，aa,nnnn，，n,1.2，则下列命题中正确的是( )。 2、设q,p,nn22 ,,, (A)若条件收敛，则与都收敛。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (B)若绝对收敛，则与都收敛。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (C)若条件收敛，则与的敛散性都不一定。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (D)若绝对收敛，则与的敛散性都不定。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,n1,an,,0,1,23、设，若发散，收敛，则下列结论正确的是( )。 a(1),a,,nnnn1,n1, ,,,,(A)收敛，发散. (B)收敛，发散. aaaa,,,,21n2n2n21n,,N1,n1n1n1,,, ,, (C)收敛. (D)收敛. ()aa，()aa,,,212nn212nn,,n1n1,, ,sin()1n,4、设为常数，则级数,是( ) (),,2nnn1, (A)绝对收敛. (B)条件收敛. (C)发散. (D)收敛性与取值有关. , ,,n,05、级数(1)(1cos),,(常数)是( ) ,n1n, (A)发散. (B)条件收敛. (C) 绝对收敛. (D)收敛性与有关. , 1n6、设，则级数 u,,，(1)ln(1)nn 级数知识点总结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 第十二章无穷级数 一、 常数项级数 1、 常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑ = 3211 正项级数： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质： ? 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛 ? 两个收敛级数的和差仍收敛，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. ? 去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； ? 若级数收敛则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注：收敛级数 去括号后未必收敛. ? 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有 界； ? 比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞=1 n n u 收敛；若∑∞=1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. ? 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞ =1n n v 发散，则∑∞ =1 n n u 发散. ? ，当：1 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) ①若+∞< 高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=- 第十一章 无穷级数 (A) 用定义判断下列级数的敛散性 1 ． n 2n 1 ； ． 1 ；3． 1 1 。 2 n 1 2n 2n2 n 1 3 n 5 n n 1 判断下列正项级数的敛散性 ． n! ；5． n e ； 6． n 1 ；7． 2n 3 ；8． n 4 ； 4 n 1 e n 1 2n n 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n n n n n 1 n 9． ；10． 3n n 1 2n 。 n 1 1 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛 ． 1 n 1 n 1 ； 12． 1 n 1 ； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001； 11 2 n ln n n 1 n 2 14． 1 22 2 3 1 4 1 ； 2 1 3 2 4 2 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间 ． 3n x n ；16． 1 n x n ； 17． n! x n ； ． 1 n ； 15 n n 18 n 1 2n n 1 n 1 n n 1 n 1 19． 1 2n 1 ； 20． n 2 n ； 1 2 n 1 x n 1 3 n x n 求下列级数的和函数 21． n 1 nx n 1 ； 22． n 1 2 1 n 1 x 2n 1 ； 将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数 23． shx e x e x ， x 0 0 ；24． cos 2 x ， x 0 0 ； 2 25． 1 x ln 1 x ， x 0 0 ； 26． 1 ， x 0 3 ； x 将下列函数在区间 , 上展开为付里叶级数 27． A x cos x ， x 。28． f x 2t ， x 2无穷级数练习题
级数知识点总结
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