江苏省镇江市镇江一中2021届高三数学上学期期初考试试题(含解析)

江苏省镇江市镇江一中2021届高三期初考试

数学试卷

2021．9

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}

2x x <，B ＝{﹣2，0，1，2}，则A B ＝ ．

答案：{0，1} 考点：集合的运算 解析：∵2x <， ∴22x -<< ∴A ＝{}

22x x -<< ∵B ＝{﹣2，0，1，2} ∴A B ＝{0，1}

2．已知i 是虚数单位，则复数2

12i

(2i)2i

++-对应的点在第 象限． 答案：二 考点：复数 解析：∵2

12i (12i)(2i)

(2i)44i 2i (2i)(2i)

++++

=-+=-+--+， ∴该复数对应点在第二象限

3．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm 2

）分别为：9.4，9.2，10.0，10.6，10.8，则这组样本数据的方差为 ． 答案：0.4

考点：方差与标准差

解析：这组样本数据的平均数为：x ＝

1

5

×(9.4＋9.2＋10＋10.6＋10.8)＝10 ∴这组样本数据的方差为：S 2

＝

15

×[(9.4﹣10)2＋(9.2﹣10)2＋(10﹣10)2

＋(10.6﹣10)2

＋(10.8﹣10)2

]＝0.4

4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ．

答案：10

考点：伪代码（算法语句）

解析：模拟程序的运行过程，得：s=1，i=1，满足条件i ≤5，执行循环s=1+1=2，i=3满足

条件i ≤5，执行循环s=2+3=5，i=5满足条件i ≤5，执行循环s=5+5=10，i=7此时不满足条件i ≤5，退出循环，输出s=10．故答案为：10．

5．在区间[﹣1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x ﹣5)2＋y 2

＝9相交”发生的概率为 ． 答案：

34

考点：几何概型

解析：∵直线y ＝kx 与圆(x ﹣5)2＋y 2

＝9相交

3<

解得3344

k -

<< 则事件“直线y ＝kx 与圆(x ﹣5)2＋y 2

＝9相交”发生的概率P ＝3

22＝34

．

6．已知函数ln 20

()0x x f x x a x ->?=?+≤?

，，，若(())f f e ＝2a ，则实数a ＝ ．

答案：﹣1

考点：分段函数，函数求值

解析：2(())(1)1a f f e f a ==-=-+，求得a ＝﹣1．

7．若实数x ，y ∈R ，则命题p ：69x y xy +>??>?是命题q ：3

3x y >??>?

的 条件．（填“充分不

必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）

答案：必要不充分条件 考点：简易逻辑，充要条件

解析：本题p 推不出q ，但q ?p ，所以p 是q 的必要不充分条件． 8．已知函数1

(12)31()21

x a x a x f x x --+

答案：[0，

12

) 考点：函数的值域

解析：要使原函数值域为R ，则1201231

a a a ->??-+≥?，解得0≤a ＜1

2．

9．若a ＝21.4

，b ＝80.2

，c ＝2log 4

1

()

2

-，则a ，b ，c 的大小关系是 （用“＞”连接）．

答案：c ＞a ＞b 考点：指数函数

解析：a ＝21.4

，b ＝80.2

＝20.6

，c ＝2log 4

1()

2

-＝24

，因为4＞1.4＞0.6，所以c ＞a ＞b ．

10．已知函数()f x 是定义在[2﹣a ，3]上的偶函数，在[0，3]上单调递减，且2

()

5

a f m --＞2

(22)f m m -+-，则实数m 的取值范围是 ．

答案：112

m ≤<

考点：单调性与奇偶性相结合

解析：由函数()f x 是定义在[2﹣a ，3]上的偶函数，得2﹣a ＋3＝0，所以a ＝5． 所以2

()5

a f m --＞2(22)f m m -+-，即2(1)f m --＞2

(22)f m m -+- 由偶函数()f x 在[﹣3，0]上单调递增，而2

1m --＜0，2

22m m -+-＜0

∴22

223103220122

m m m m m m ?-≤--≤?-≤-+-≤??-->-+-?

，解得112m ≤<．

11．已知P 是曲线211ln 42y x x =

-上的动点，Q 是直线3

24

y x =-上的动点，则PQ 的最小值为 ． 答案：

62ln 25

- 考点：导数与切线 解析：当曲线211ln 42y x x =

-在点P 处的切线的斜率为34，且PQ ⊥直线3

24

y x =-时，

PQ 最小，由213

24x y x -'==，解得x ＝2（负值已舍），此时切点P(2，1﹣ln 22

)，求得点P 到直线324y x =

-的距离为62ln 25-，所以PQ 的最小值为62ln 25

-． 12．若正实数m ，n ，满足22

6m n m n

+++=，则mn 的取值范围为 ． 答案：[1，4]

考点：基本不等式

解析：设mn ＝t

，则226t t m t m +++=≥，解得1≤t ≤4，其中当m ＝n

时取“＝”．

13．若关于x 的方程222(1)1+40x x x ax ---=恰有4个不同的正根，则实数a 的取值范

围是 ． 答案：(0，

132

) 考点：函数与方程

解析：思路一：原方程可转化为2

232

11452301x x x a x x x

-?-≥??=?-?-<

形结合画图后即可求得0＜a ＜

1

32

． 思路二：原方程可转化为211

2(

)40x x a x x

---+=恰有4个不同的正根，从而转化为方程2

240t t a -+=在(0，1)有两个不等的根，则有1320

40140a a a ->??>??+>?

，解

得0＜a ＜

132

． 14．设()f x '和()g x '分别是()f x 和()g x 的导函数，若()f x '·()g x '＜0在区间I 上恒成

立，则称()f x 和()g x 在区间I 上单调性相反．若函数3

1()2(0)3

f x x ax a =

->与()g x =2x 2bx +在区间(a ，b )上单调性相反，则b ﹣a 的最大值为 ．

答案：

12

考点：利用导数研究函数的性质，不等式 解析：∵3

1()2(0)3

f x x ax a =

->，()g x =2x 2bx +， ∴2

()2f x x a '=-，()22g x x b '=+；由题意得()f x '·()g x '＜0在(a ，b )上恒成

立，∵a ＞0，∴b ＞a ＞0，∴22x b +＞0恒成立，∴2

2x a -≤0恒成立，

即x

0＜a ＜x ＜b ，∴b

0＜a

0＜a ≤2；则b ﹣a

≤2a ﹣a ＝221()22a --

+，当a ＝12取最大值12

． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）

己知集合A ＝{}

2

320x x x -+≤，集合B 为函数2

2y x x a =-+的值域，集合C ＝

{x }240x ax --≤．命题p ：A B ≠?，命题q ：A ?C ．

（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围；

（2）若命题p 且q 为真命题，求实数a 的取值范围． 15．

16．（本小题满分14分）

已知函数2()(0)1

x

f x x x =

>+． （1）求证：函数()f x 在(0，+∞)上为增函数； （2）设2()log ()g x f x =，求函数()g x 的值域；

（3）若奇函数()h x 满足x ＞0时()()h x f x =，当x ∈[2，3]时，(log )a h x -的最小值为4

3

-，求实数a 的值． 16．

（3）实数a 33

17．（本小题满分14分）

已知函数1

()212

x

x f x =+

-． （1）解关于x 的不等式()(2)f x f x ≥；

（2）若对任意x ∈R ，不等式[()1](2)12k f x f x +<+恒成立，求实数k 的取值范围． 17．解：（1）∵()(2)f x f x ≥

∴2211212122

x

x

x x +

-≥+- 化简得：211(2)(2)2022

x x

x x +-+-≤

即11(22)(21)022

x

x x x +

-++≤ ∵1

212x

x +

+＞0 ∴1

222x

x

+

-＜0 即2

(21)0x

-≤，又2

(21)0x

-≥，∴2

(21)0x

-=，∴x ＝0 ∴不等式()(2)f x f x ≥的解集为{1}． （2）要使不等式[()1](2)12k f x f x +<+恒成立，

则

22

2

11

2112(2)9

22

11

22

22

x x

x x

x x

x x

k

+-+++

<=

++

恒成立，

令

1

2

2

x

x

t=+，t≥2，则

min

9

()6

k t

t

<+=（当且仅当t＝3时取“＝”）

∴实数k的取值范围是k＜6．

18．（本小题满分16分）

设函数()(1)()

f x x x x a

=--(a∈R)，()

f x的取得极值时两个对应点为A(α，()

fα)，B(β，()

fβ)，线段AB的中点为M．

（1）如果函数()

f x为奇函数，求实数a的值，并求此时()

fα·()

fβ的值；

（2）如果M点在第四象限，求实数a的取值范围．

18．

（1）

所以3

()

f x x x

=-，则2

()31

f x x

'=-，令()0

f x

'=

求得

3

α=，

3

β=-

∴()

fα·33

33334

()[()][()]

333327

fβ=--+=-．

（2）

19．（本小题满分16分）

下图1是一座斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图2所示的数学模型．索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60 m，桥

面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21：4，且点P对两塔顶的视角为135°．（1）求两索塔之间桥面AC的长度；

（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）．问：两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．

19．

20．（本小题满分16分）

已知函数()x

f x e =，()

g x ax b =+，a ，b ∈R ．

（1）若(1)0g -=，且函数()g x 的图象是函数()f x 图象的一条切线，求实数a 的值； （2）若不等式2

()f x x m >+对任意x ∈(0，+∞)恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若对任意实数a ，函数()()()F x f x g x =-在(0，+∞)上总有零点，求实数b 的取值范围． 20．