狭义相对论答案

六、基础训练

一．选择题

1、宇宙飞船相对于地面以速度v作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过?t(飞船上的钟)时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长度为( ).(c 表示真空中光速)

(A) c·?t(B) v·?t(C) /

c t?? (D) 2)

/

(

1c

t

c v

-

?

??

解答：[A].

飞船的固有长度为飞船上的宇航员测得的长度，即为c·?t。

2、在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4 s，若相对于甲作匀速直线运动的乙测得时间间隔为5 s，则乙相对于甲的运动速度是(c表示真空中光速)

(A) (4/5) c．(B) (3/5) c．(C) (2/5) c．(D) (1/5) c．

解答：[B].

2

2

3

1

5

t

v

t v c

c t

?

??

??

??=-?==

? ?

?

????

3、K系与K＇系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K＇系相对于K系沿Ox轴正方向匀速运动．一根刚性尺静止在K＇系中，与O'x'轴成30°角．今在K系中观测得该尺与Ox轴成45°角，则K＇系相对于K系的速度是：

(A) (2/3)c．(B) (1/3)c．(C) (2/3)1/2c．(D) (1/3)1/2c．

解答：[C].

K＇系中：

00

'cos30;'sin30

x y

l l l l

??

==

K 系中：()2

'tan45'1/1/3

x x y y

l l l l v c v

===?-=?=

二．填空题

7、一门宽为a．今有一固有长度为l0 (l0 > a )的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至少为_______．

解答：[].

门外的观察者测得杆的长度'l l a u

=≤?≥

8、(1) 在速度=

v____________情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍．(2) 在速度=

v____________情况下粒子的动能等于它的静止能量．

解答：[

2

；

2

].

(1)

00

22

p mv m v m m v

==?==?=

(2)222

000

22

k

E mc m c m c m m v

=-=?==?=

三．计算题

10、两只飞船相向运动，它们相对地面的速率是v．在飞船A中有一边长为a的正方形，飞船A沿正方形的一条边飞行，问飞船B中的观察者测得该图形的周长是多少？

解答：

2

2222

2

222

()22

'

()1/

1

'/224/()

v v v vc

u

v v c c v

v

c

u c C a ac c v

β

--

===

-++

-

==+=+

；

12、在惯性系中，有两个静止质量都是m0的粒子A和B，它们以相同的速率v相向运动，碰撞后合

成为一个粒子，求这个粒子的静止质量

m'．

解答：

由动量守恒知：碰后形成的粒子静止。

由能量守恒得

22

00

A B

E m c E E m

''

==+=?=

13、要使电子的速度从v1 =1.2×108 m/s增加到v2 =2.4×108 m/s必须对它做多少功？

(电子静止质量m e＝9.11×10-31 kg)

解答：

22

12

;

E E

==

214

21

4.7210()

e

A E E E m c J

-

=?=-==?

14、跨栏选手刘翔在地球上以12.88s时间跑完110m栏，在飞行速度为0.98c的同向飞行飞船中观察者观察，刘翔跑了多少时间？刘翔跑了多长距离？

解答：

2121

110()12.88()

x x x m t t t s

?=-=?=-=

28

0.98

12.88110

'64.7()

v

t x

t s

?-?-?

?===

8

''10

21

' 1.9110()

'

x x x m

x

?=-===-?

负号表示运动员沿轴反方向跑动。

在飞船中观察到刘翔相对于起跑点跑动的距离则为

''(')21.9()

v

t x

S x v t m

?-?

?=?--?=+?==

=

15、已知μ子的静止能量为105.7MeV，平均寿命为2.2?10-6s，试求动能为150MeV的μ子的速度v 和平均寿命τ。

解答：

2

2220

002

1)

0.91

k

k

m c

E mc m c m c

m c E

v c

=-=-?=

+

?===

6

6

' 5.3110()

t s

-

-

?===?

七、自测与提高

一．选择题

3、设某微观粒子的总能量是它的静止能量的K倍，则其运动速度的大小为

(以c表示真空中的光速)

(A)

1

-

K

c

．(B) 2

1K

K

c

-．(C) 1

2-

K

K

c

．(D) )2

(

1

+

+

K

K

K

c

．解答：[C].

22

00

1

E mc Km c m Km v

K

==?===?=

4、一匀质矩形薄板，在它静止时测得其长为a，宽为b，质量为m0．由此可算出其面积密度为m0 /ab．假定该薄板沿长度方向以接近光速的速度v作匀速直线运动，此时再测算该矩形薄板的面积密度则为

(A)

ab

c

m2

)

/

(

1v

-

(B)

2

)

/

(

1c

ab

m

v

-

(C)

]

)

/

(

1[2

c

ab

m

v

-

(D)

2/3

2

]

)

/

(

1[c

ab

m

v

-

解答：

[C].

22

'''

''(1/)

m

m

a b b

a b ab v c

σ

==?===

-

二．填空题

5、地面上的观察者测得两艘宇宙飞船相对于地面以速度v = 0.90c逆向飞行．其中一艘飞船测得另一艘飞船速度的大小v′=______．

解答：[0.994c].

222

2

()220.9

'0.994

()1/10.9

1

v v v c

v c

v v c

v

c

--?

====

-++

-

8、已知一静止质量为m0的粒子，其固有寿命为实验室测量到的寿命的1/n，则此粒子的动能是______．

解答：[2

(1)

n m c

-].

1

t

t

t n

?

?=?==

?

2

2222

000

(1)

k

E mc m c m c n m c

=-=-=-

三．计算题

10、一隧道长为L，宽为d，高为h，拱顶为半圆，如图6-6．设想一

列车以极高的速度v沿隧道长度方向通过隧道，若从列车上观测，(1) 隧

道的尺寸如何？(2) 设列车的长度为l0，它全部通过隧道的时间是多少？

解答：

(1) 宽、高及拱顶都不变，长度变为'L=

(2) ()()

00

'//

t L l v l v

'

=+=

12、飞船A以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船B以0.6c的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将相遇时A飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在B飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少?

解答：以地面为K系，飞船A为Kˊ系，以正东为x轴正向；则飞船B相对于飞船A的相对速度

2

2

0.60.8 1.4

'0.946

0.810.80.6

1(0.6)

1

B A

B

A

B

v v c c

v c c

v c

c

v

c

c

----

====-

+?

--

-

' 6.17()

t s

?===

附加题：

14、(1) 质量为m0 的静止原子核（或原子）受到能量为E 的光子撞击，原子核（或原子）将光子的能量全部吸收，则此合并系统的速度（反冲速度）以及静止质量各为多少？(2) 静止质量为0

m'的静止原子发出能量为E 的光子，则发射光子后原子的静止质量为多大？

解答：

(1)设合并系统的速度为v，质量为M，静止质量为M0。由动量守恒和能量守恒得：

222

00

22

;

/

m c E Mc m c E

Ec

v M

m c E c

p E c Mv

M m

?+=+

?===

?

+

==

?

?==

(2) 设静止质量为

M'。由动量守恒和能量守恒得：

()

22

/

/

m c E M c

p E c M v M m m

M M

?''

+-=

??

'''

==?==

?

?

''

=

??

图6-6