第三章矩阵与线性代数计算
第三章 矩阵与线性代数计算
MATLAB ，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本章从最基本的运算单元出发，介绍MATLAB 的命令及其用法。
3.1矩阵的定义
由m×n 个元素a ij (i=1,2,…m;j=1,2,…n)排列成的矩形阵称为一个m 行n 列的矩阵,或m×n 阶矩阵，可以简记为A=(a ij ) m×n ，其中的a ij 叫做矩阵的第i 行第j 列元素。
????
??????=m n m m n n a a a a a a a a a A
2
1
222
21
11211
当m=n 时，称A 为n 阶方阵，也叫n 阶矩阵；
当m=1,n ≥2时，即A 中只有一行时，称A 为行矩阵，或行向量（1维数组）； 当m ≥2,n=1时，即A 中只有一列时，称A 为列矩阵，或列向量； 当m=1,n=1时，即A 中只有一个元素时，称A 为标量或数量（0维数组）。
3.2矩阵的生成
1.实数值矩阵输入
MATLAB 的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。
不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方括号。如： 【例3－１】矩阵的生成例。
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
b=[1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9; 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9; 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9] Null_M = [ ] %生成一个空矩阵
a =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
b =
1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000 1.5000 1.6000
2.0000 2.1000 2.2000 2.3000 2.4000 2.5000 2.6000
3.0000 3.1000 3.2000 3.3000 3.4000 3.5000 3.6000
1.7000 1.8000 1.9000
2.7000 2.8000 2.9000
3.7000 3.8000 3.9000
Null_M =[]
2．复数矩阵输入
复数矩阵有两种生成方式：
【例3－2】
a=2.7;b=13/25;
C=[1,2*a+i*b,b*sqrt(a); sin(pi/4),a+5*b,3.5+1]
C=
1.0000 5.4000 + 0.5200i 0.8544
0.7071 5.3000 4.5000
【例3－3】矩阵的生成例。
R=[1 2 3;4 5 6], M=[11 12 13;14 15 16]
CN=R+i*M
R =
1 2 3
4 5 6
M =
11 12 13
14 15 16
CN =
1.0000 +11.0000i
2.0000 +12.0000i
3.0000 +13.0000i
4.0000 +14.0000i
5.0000 +15.0000i
6.0000 +16.0000i
3 大矩阵的生成
对于大型矩阵，一般创建M文件，以便于修改：
【例3－4】用M文件创建大矩阵，文件名为c3e4.m
exm=[ 456 468 873 2 579 55
21 687 54 488 8 13
65 4567 88 98 21 5
456 68 4589 654 5 987
5488 10 9 6 33 77
在MA TLAB命令窗口输入：
c3e4;
size(exm) %显示exm的大小
ans=
5 6 %表示exm有5行6列。
4 特殊矩阵的生成
命令全零阵
函数zeros
格式 B = zeros(n) %生成n×n全零阵
B = zeros(m,n) %生成m×n全零阵
B = zeros([m n]) %生成m×n全零阵
B = zeros(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的全零阵
命令单位阵
函数eye
格式Y = eye(n) %生成n×n单位阵
Y = eye(m,n) %生成m×n单位阵
Y = eye(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的单位阵
命令全1阵
函数ones
格式Y = ones(n) %生成n×n全1阵
Y = ones(m,n) %生成m×n全1阵
Y = ones([m n]) %生成m×n全1阵
Y = ones(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的全1阵
命令均匀分布随机矩阵
函数rand
格式Y = rand(n) %生成n×n随机矩阵，其元素在（0，1）内Y = rand(m,n) %生成m×n随机矩阵
Y = rand([m n]) %生成m×n随机矩阵
Y = rand(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的随机矩阵
【例3－5】产生一个3×4随机矩阵
R=rand(3,4)
R =
0.9501 0.4860 0.4565 0.4447
0.2311 0.8913 0.0185 0.6154
0.6068 0.7621 0.8214 0.7919
【例3－6】产生一个在区间[10, 20]内均匀分布的4阶随机矩阵a=10;b=20;
x=a+(b-a)*rand(4)
x =
19.2181 19.3547 10.5789 11.3889
17.3821 19.1690 13.5287 12.0277
11.7627 14.1027 18.1317 11.9872
14.0571 18.9365 10.0986 16.0379
命令正态分布随机矩阵
函数randn
格式Y = randn(n) %生成n×n正态分布随机矩阵
Y = randn(m,n) %生成m×n正态分布随机矩阵
Y = randn([m n]) %生成m×n正态分布随机矩阵
Y = randn(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的正态分布随机矩阵【例3－7】产生均值为0.6，方差为0.1的4阶矩阵
mu=0.6; sigma=0.1;
x=mu+sqrt(sigma)*randn(4)
x =
0.8311 0.7799 0.1335 1.0565
0.7827 0.5192 0.5260 0.4890
0.6127 0.4806 0.6375 0.7971
0.8141 0.5064 0.6996 0.8527
命令产生随机排列
函数randperm
格式 p = randperm(n) %产生1～n 之间整数的随机排列 【例3－8】整数的随机排列。
randperm(6) ans =
3 2 1 5
4 6
命令 产生线性等分向量
函数 linspace
格式 y = linspace(a,b) %在(a, b)上产生100个线性等分点 y = linspace(a,b,n) %在(a, b)上产生n 个线性等分点 命令 产生对数等分向量 函数 logspace
格式 y = logspace(a,b) %在（ ）之间产生50个对数等分向量
y = logspace(a,b,n)
命令 计算矩阵中元素个数
n = numel(a) %返回矩阵A 的元素的个数 命令 产生以输入元素为对角线元素的矩阵 函数 blkdiag
格式 out = blkdiag(a,b,c,d,…) %产生以a,b,c,d,…为对角线元素的矩阵 【例3－9】产生以输入元素为对角线元素的矩阵 out = blkdiag(1,2,3,4) out =
1 0 0 0 0
2 0 0 0 0
3 0 0 0 0
4 命令 Magic(魔方)矩阵
函数 magic
格式 M = magic(n) %产生n 阶魔方矩阵 【例3－10】产生3 阶魔方矩阵
M=magic(3) M =
8 1 6 3 5 7
4 9 2
b
a 10,10
3.3矩阵的加减乘除运算
1 加、减运算
设u 为一数量，A=(a ij ) m×n 和B=(b ij ) r×s 为两矩阵，则加减运算的规定为：对应元素相加、减，即按线性代数中矩阵的“十”，“一”运算进行。
u±A=(u±a ij ) m×n
A±B=( a ij ± b ij ) m×n u*A=(u*a ij ) m×n
【例3－11】矩阵的加减运算。
输入：
u=9
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0] b=[3 4 5;6 7 8;9 10 2] c=u+a d=a-b
e=u*a % 和数组运算相同 结果：
c = 10 11 12 13 14 15 16 17 9
d = -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2
e = 9 18 27 36 45 54 63 72 0 2 矩阵的乘及乘方运算
设u 为一数量，A=(a ij ) m×l 和B=(b ij ) l×n 为两矩阵， A 的列数l 和B 的行数l 相等，可进行A 与B 的乘法运算。
??????????=ml m m l l a a a a a a a a a A
2
1
222
21
11211
????
??????=ln 21
2222111211
b b b b b b b b b B l l n n
????
?
?????=*=m n m m n n c c c c c c c c c B A C
2
1
22221
11211
这里c ij =a i1b 1j +a i2b 2j +…a il b lj =
tj l
t it
b a
∑=1
它表示C 的第i 行第j 列的元素是A 第i 行的各元分别与B 第j 列的各对应元的乘积的和。
【例3－12】矩阵的乘及乘方运算。
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0] f=[1 2 3] g=f*a h=f.*a
a = 1 2 3 4 5 6 7 8 0 g = 30 36 15 ??? Error using ==> .* 3.方阵的求逆
单位矩阵：主对角线上的元素都是1，其他各元素都是0的n 阶矩阵与任意n 阶矩阵A 左乘或右乘的乘积仍然是A 自身，即EA=AE=A ，因此我们叫E 为n 阶单位矩阵。
?
????
???????=11 E 对满秩方阵A ，存在A -1，使A* A -1= A -1*A=E ；我们称A -1是A 的逆矩阵。
命令 逆 函数 inv
格式 Y=inv(X) %求方阵X 的逆矩阵。
【例3－13】求???
?
? ??=343122321A 的逆矩阵
A=[1 2 3; 2 2 1; 3 4 3]; Y=inv(A)或Y=A^(-1) 则结果显示为
Y =
1.0000 3.0000 -
2.0000 -1.5000 -
3.0000 2.5000 1.0000 1.0000 -1.0000
【例3－14】求逆运算。
A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1]；
format rat %用有理格式输出
D=inv(A)
D =
1/3 0 1/3
0 1/3 -2/3
-1/3 1/3 0
4．除法运算
右除：矩阵a右除以矩阵b定义为：
a/b=a*b^(-1)=a*inv(b)
左除：矩阵b左除以矩阵a定义为：
a\b=a^(-1)*b=inv(a)*b
Matlab提供了两种除法运算：左除（\）和右除（/）。一般情况下，x=a\b是方程a*x =b的解，而x=b/a是方程x*a=b的解。即：
ax=b
a(-1)*a*x=a(-1)*b
X=inv(a)*b=a\b
xa=b
X*a*a(-1)=b*a(-1)
X=b*a(-1)=b*inv(a)=b/a
【例3－15】除法运算
a=[1 2 3; 4 2 6; 7 4 9]
b=[4; 1; 2];
x=a\b
则显示：x=
-1.5000
2.0000
0.5000
在数组除法中，A./B表示A中元素与B中元素对应相除。
5．向量点积
向量的点乘（内积）：维数相同的两个向量的点乘。
函数dot
格式 C = dot(A,B) %若A、B为向量，则返回向量A与B的点积，A与B 长度相同；若为矩阵，则A与B有相同的维数。
C = dot(A,B,dim) %在dim 维数中给出A 与B 的点积 【例3－16】向量点积
X=[-1 0 2]； Y=[-2 -1 1]; Z=dot(X, Y) 则显示：
Z = 4 6．向量叉乘
在数学上，两向量的叉乘是一个过两相交向量的交点且垂直于两向量所在平面的向量。在Matlab 中，用函数cross 实现。
函数 cross
格式 C = cross(A,B) %若A 、B 为向量，则返回A 与B 的叉乘，即C=A ×B ，A 、B 必须是3个元素的向量；若A 、B 为矩阵，则返回一个3×n 矩阵，其中的列是A 与B 对应列的叉积，A 、B 都是3×n 矩阵。
C = cross(A,B,dim) %在dim 维数中给出向量A 与B 的叉积。A 和B 必须具有相同的维数，size(A,dim)和size(B,dim)必须是3。 【例3－17】计算垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量。 a=[1 2 3]; b=[4 5 6]; c=cross(a,b) 结果显示： c=
-3 6 -3
可得垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量为±(-3, 6, -3) 7．混合积
混合积由以上两函数实现：
【例3－18】 计算向量a=(1, 2, 3)、b=(4, 5, 6)和c=(-3, 6, -3) 的混合积)c b (a ??
a=[1 2 3]; b=[4 5 6]; c=[-3 6 -3]; x=dot(a, cross(b, c))
结果显示：x = 54
注意：先叉乘后点乘，顺序不可颠倒。 8．张量积
函数 kron
格式 C=kron (A,B) %A 为m×n 矩阵，B 为p×q 矩阵，则C 为mp×nq 矩阵。
说明 A 与B 的张量积定义为：?
?
??
?
?
?
??
???=?=B a B
a B a B a B a B a B a B
a B a B A C mn 2m 1m n 222
21n 11211 A ?B 与
B ?A 均为mp×nq 矩阵，但一般地A ?B ≠B ?A 。
【例3－19】 ???
???=4321A ????
?
?????=987654321B 求A ?B 。 A=[1 2;3 4];B=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; C=kron(A,B) C =
1 2 3 2 4 6 4 5 6 8 10 12 7 8 9 14 16 18 3 6 9 4 8 12 12 15 18 16 20 24 21 24 27 28 32 36
3.4矩阵的行列式
1 矩阵转置
A=(a ij ) m×n 的转置矩阵在数学中记为A ′=(a ji ) n×m
??????????=mn m m n n a a a a a a a a a A 21222
21
11211
????
??????=mn n
n
m m a a a a a a a a a A
2122212
12111
/ 运算符：′
运算规则：若矩阵A 的元素为实数，则与线性代数中矩阵的转置相同。
若A 为复数矩阵，则A 转置后的元素由A 对应元素的共轭复数构成。若仅希望转
置，则用如下命令：A.′。 2 方阵的行列式
把行列式按第i 行展开：
in in i i i i nn
n n n n
A a A a A a a a a a a a a a a A
++=?=22112
1
22221
11211
其中A ij =(-1)i+j M ij 称为a ij 的代数余子式；而M ij 是划去A 中元a ij 所在的行及列得到的n-1阶子式，叫做a ij 的余子式。
函数 det
格式 d = det(X) %返回方阵X 的多项式的值 【例3－20】行列式的值。
A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] A =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
D=det(A) D = 0 3． 矩阵的秩
子式：在（m,n ）矩阵A 中取某k 个行，k 个列，由这些行、列相交的元构成的k 阶行列式，叫做A 的k 阶子式。
n 阶矩阵只有一个n 阶子式，叫做矩阵行列式。用︱A ︱或detA 表示。
矩阵的秩：矩阵A 中不为零的子式的最高阶数如果是r ，就说A 的秩是r 。常用r(A)表示。即矩阵A 的秩是矩阵A 中最高阶非零子式的阶数；而向量组的秩通常由该向量组构成的矩阵来计算。
n 阶矩阵如果它的秩是n ，叫做满秩矩阵，否则就是降秩矩阵。
一般矩阵A m×n 中，如果r(A)=min(m,n)，称A 为满秩阵，否则r(A)＜min(m,n)称A 为降秩阵。
函数 rank
格式 k = rank (A) %求矩阵A 的秩 k = rank (A,tol) %tol 为给定误差
【例3－21】求向量组)3221(1-=α，)3142(2--=α，)3021(3-=α，
)3260(4=α，)4362(5-=α的秩，并判断其线性相关性。
A=[1 -2 2 3;-2 4 -1 3;-1 2 0 3;0 6 2 3;2 -6 3 4]; k=rank(A) 结果为 k = 3
由于秩为3 < 向量个数，因此向量组线性相关。
4．矩阵特征值和特征向量对n 阶矩阵A ，如果存在非0向量x 满足线性方程组(A-λE)x=0，则称λ是矩阵A 的特征值，x 是A 的对应于特征值λ的特征向量。对于每一个实对称矩阵A ，总可将A 转化为对角矩阵，其主对角线上的元素就是A 的n 个特征值。
[p,r]=eig(a)且 % eig=eigen （本征的，固有的） a 为输入矩阵。r 为特征值构成的对角阵。 p 的各列为对应于特征值的特征向量构成的矩阵。
【例3－22】求矩阵???
?
?
??--=314020112A 的特征值和特征向量
A=[-2 1 1;0 2 0;-4 1 3]; [V,D]=eig(A) 结果显示： V =
-0.7071 -0.2425 0.3015 0 0 0.9045 -0.7071 -0.9701 0.3015
D =
-1 0 0 0 2 0 0 0 2
即：特征值-1对应特征向量(-0.7071 0 -0.7071)T
特征值2对应特征向量(-0.2425 0 -0.9701)T 和(-0.3015 0.9045 -0.3015)T
【例3－23】 求矩阵???
?
? ??--=201034011A 的特征值和特征向量。
A=[-1 1 0;-4 3 0;1 0 2];
[V,D]=eig(A)
结果显示为
V =
0 0.4082 -0.4082
0 0.8165 -0.8165
1.0000 -0.4082 0.4082
D =
2 0 0
0 1 0
0 0 1
3.5矩阵的特殊运算
1．矩阵对角线元素的抽取
函数diag
格式X = diag(v,k) %以向量v的元素作为矩阵X的第k条对角线元素，当k=0时，v为X的主对角线；当k>0时，v为上方第k条对角线；当k<0时，v为下方第k 条对角线。
X = diag(v) %以v为主对角线元素，其余元素为0构成X。
v = diag(X,k) %抽取X的第k条对角线元素构成向量v。k=0：抽取主对角线元素；
k>0：抽取上方第k条对角线元素；k<0抽取下方第k条对角线元素。
v = diag(X) %抽取主对角线元素构成向量v。
【例3－24】矩阵对角线元素的抽取。
v=[1 2 3];
x=diag(v,-1)
x =
0 0 0 0
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
v=diag(A,1)
v = 2
6
2．上三角阵和下三角阵的抽取
函数tril %取下三角部分
格式L = tril(X) %抽取X的主对角线的下三角部分构成矩阵L
L = tril(X,k) %抽取X的第k条对角线的下三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。
函数triu %取上三角部分
格式U = triu(X) %抽取X的主对角线的上三角部分构成矩阵U
U = triu(X,k) %抽取X的第k条对角线的上三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。
【例3－25】上三角阵和下三角阵的抽取。
A=ones(4) %产生4阶全1阵
A =
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
L=tril(A,1) %取下三角部分
L =
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1
U=triu(A,-1) %取上三角部分
U =
1 1 1 1
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
3．矩阵的变维
A（i,:）提取A的第i行A（:,j）提取A的第j列
A(:,j:k)取出A的从第j列到第k列的元素所成的阵。
【例3－26】矩阵的变维
a=[1.1 1.2 1.3 1.4
2.1 2.2 2.3 2.4
3.1 3.2 3.3 3.4];
b=a(2,:)
c=a(:,3)
d=a(:,2:4)
b = 2.1000 2.2000 2.3000 2.4000
c = 1.3000
2.3000
3.3000
d = 1.2000 1.3000 1.4000
2.2000 2.3000 2.4000
3.2000 3.3000 3.4000
4．矩阵的变向
矩阵旋转函数
格式 B = rot90 (A) %将矩阵A逆时针方向旋转90°
B = rot90 (A,k) %将矩阵A逆时针方向旋转(k×90°)，k可取正负整数。【例3－27】矩阵旋转。
A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Y1=rot90(A),Y2=rot90(A,-1)
Y1 = %逆时针方向旋转
3 6 9
2 5 8
1 4 7
Y2 = %顺时针方向旋转
7 4 1
8 5 2
9 6 3
矩阵的左右翻转
函数fliplr
格式 B = fliplr(A) %将矩阵A左右翻转
矩阵的上下翻转
函数flipud
格式 B = flipud(A) %将矩阵A上下翻转
【例3－28】矩阵的翻转。
A=[1 2 3;4 5 6]
A =
1 2 3
4 5 6
B1=fliplr(A),B2=flipud(A)
B1 =
3 2 1
6 5 4
B2 =
4 5 6
1 2 3
5．矩阵的比较关系
矩阵的比较关系是针对于两个矩阵对应元素的，所以在使用关系运算时，首先应该保证两个矩阵的维数一致或其中一个矩阵为标量。关系运算是对两个矩阵的对应运算进行比较，若关系满足，则将结果矩阵中该位置元素置为1，否则置0。MA TLAB的各种比较关系运算见下表。
A=[1 2 3 4;5 6 7 8];B=[0 2 1 4;0 7 7 2];
C1=A==B, C2=A>=B, C3=A~=B
C1 =
0 1 0 1
0 0 1 0
C2 =
1 1 1 1
1 0 1 1
C3 =
1 0 1 0
1 1 0 1
6．矩阵逻辑运算
设矩阵A和B都是m×n矩阵或其中之一为标量，在MA TLAB中定义了如下的逻辑运算：
矩阵的与运算
格式A&B或and(A, B)
说明A与B对应元素进行与运算，若两个数均非0，则结果元素的值为1，否则为0。
或运算
格式A|B或or(A, B)
说明A与B对应元素进行或运算，若两个数均为0，则结果元素的值为0，否则为1。
非运算
格式~A或not (A)
说明若A的元素为0，则结果元素为1，否则为0。
异或运算
格式xor (A,B)
说明A与B对应元素进行异或运算，若相应的两个数中一个为0，一个非0，则结果为0，否则为1。
【例3－30】矩阵逻辑运算
A=[0 2 3 4;1 3 5 0],B=[1 0 5 3;1 5 0 5]
A =
0 2 3 4
1 3 5 0
B =
1 0 5 3
1 5 0 5
C1=A&B,C2=A|B,C3=~A,C4=xor(A,B)
C1 =
0 0 1 1
1 1 0 0
C2 =
1 1 1 1
1 1 1 1
C3 =
1 0 0 0
0 0 0 1
C4 =
1 1 0 0
0 0 1 1
3.6 集合运算
1．两个集合的交集
函数intersect
格式 c = intersect(a,b) %返回向量a、b的公共部分，即c= a∩b。
c = intersect(A,B,'rows') %A、B为相同列数的矩阵，返回元素相同的行。
[c,ia,ib] = intersect(a,b) %c为a、b的公共元素，ia表示公共元素在a中的
位置，ib表示公共元素在b中位置。
【例3－31】两个集合的交集
A=[1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4]
A =
1 2 3 4
1 2 4 6
6 7 1 4
B=[1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4]
B =
1 2 3 8
1 1 4 6
6 7 1 4
C=intersect(A,B,'rows')
C =
6 7 1 4
2．两集合的差
函数setdiff
格式 c = setdiff(a,b) %返回属于a但不属于b的不同元素的集合，C = a-b。
c = setdiff(A,B,'rows') %返回属于A但不属于B的不同行
[c,i] = setdiff(…) %c与前面一致，i表示c中元素在A中的位置。
【例3－32】两集合的差.
A = [1 7 9 6 20];
B = [1 2 3 4 6 10 20];
c=setdiff(A,B)
c =
7 9
3．两个集合交集的非（异或）
函数setxor
格式 c = setxor(a,b) %返回集合a、b交集的非
c = setxor(A,B,'rows') %返回矩阵A、B交集的非，A、B有相同列数。
[c,ia,ib] = setxor(…) %ia、ib表示c中元素分别在a (或A)、b(或B)中位置
【例3－33】两个集合交集的非。
A=[1 2 3 4];
B=[2 4 5 8];
C=setxor(A,B)
C =
1 3 5 8 4．两集合的并集
函数 union
格式 c = union(a,b) %返回a 、b 的并集，即c = a ∪b 。
c = union(A,B,'rows') %返回矩阵A 、B 不同行向量构成的大矩阵，其中相同行向量只取其一。
[c,ia,ib] = union(…) %ia 、ib 分别表示c 中行向量在原矩阵(向量)中的位置 【例3－34】两集合的并集。
A=[1 2 3 4]； B=[2 4 5 8]； c=union(A,B) 则结果为
c =
1 2 3 4 5 8
3.7 线性方程的组的求解
n 个未知量的线性方程组可以写成
??????
?=
+
+
+
=+++=+++m
n
mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a
2
21
12222212111212111 系数矩阵为
????
??????=mn m m n n a a a a a a a a a A
2
1
222
21
11211
加边（增广）矩阵为
????
??????=m mn
m m n
n
b a a a b a a a b a a a B 21
222221
111211
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用 牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的或集合。矩阵是高等代中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、、光学和中都有应用；中，制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是领域的重要问题。将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则 简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．
1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB． 1.2.3典型举例 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知
? 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 1.3.2典型例题 设矩阵 计算 解是的矩阵．设它为
2.4直接三角分解法
§4 直接三角分解法 一、教学设计 1．教学内容：Doolittle 分解法、Crout 分解法，紧凑格式的Doolittle 分解法、部分选主元的Doolittle 分解法。 2．重点难点：紧凑格式的Doolittle 分解法、部分选主元的Doolittle 分解法。 3．教学目标：了解直接三角分解法的基本思想，掌握基本三角分解法及其各种变形。 4．教学方法：讲授与讨论。 二、教学过程 在上节中我们用矩阵初等变换来分析Gauss 消去法，得到了重要的矩阵LU 分解定理（定理 3.1，3.2）。由此我们将得到Gauss 消去法的变形：直接三角分解法。直接三角分解法的基本想法是，一旦实现了矩阵A 的LU 分解，那么求解方程组b x =A 的问题就等价于求解两个三角形方程组 （1）b y =L ，求y ； （2）y x =U ，求x 。 而这两个三角形方程组的求解是容易的。下面我们先给出这两个三角形方程组的求解公式；然后研究在LU A =或LU PA =时，U L ,的元素与A 的元素之间的直接关系。 4－0 三角形线性方程组的解法 设 ????? ???????= nn n n l l l l l l L 21222111， 11121222n n nn u u u u u U u ??????=???????? 则b y =L 为下三角形方程组，它的第i 个方程为 ),2,1(11,22111 n i b y l y l y l y l y l i i ii i i i i i i j j ij ==++++=--=∑ 假定0≠ii l ，按n y y y ,,,21 的顺序解得： ??? ?? ? ?=+-==∑-=) ,,3,2(/1111 11n i l b y l y l b y ii i i j j ij i 上三角形方程组y x =U 的第i 个方程为
线性代数行列式算与性质
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵
线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为
n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，
a b+
21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：
2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.
授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则
简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB．
已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．
列主元三角分解法在matlab中的实现
列主元三角分解法在matlab中的实现 摘要:介绍了M atlab语言并给出用M atlab语言实现线性方程组的列主元三角分解法,其有效性已在计算机实现中得到了验证。 关键词:M atlab语言;高斯消去法;列主元三角分解法 0前言 M atlab是M atrix Laboratory(矩阵实验室)的缩写,它是由美国M athwork公司于1967年推出的软件包,现已发展成为一种功能强大的计算机语言。它编程简单,使用方便,在M a tlab环境下数组的操作与数的操作一样简单,进行数学运算可以像草稿纸一样随心所欲,使计算机兼备高级计算器的优点。M atlab语言具有强大的矩阵和向量的操作功能,是Fo rtran和C语言无法比拟的;M a tlab语言的函数库可任意扩充;语句简单,内涵丰富;还具有二维和三维绘图功能且使用方便,特别适用于科学和工程计算。 在科学和工程计算中,应用最广泛的是求解线性方程组的解,一般可用高斯消去法求解,如果系数矩阵不满足高斯消去法在计算机上可行的条件,那么消元过程中可能会出现零主元或小主元,消元或不可行或数值不稳定,解决办法就是对方程组进行行交换或列交换来消除零主元或小主元,这就是选主元的思想。 1 定义 列主元三角分解：如果A为非奇异矩阵，则存在排列矩阵P,使PA=LU,其中L为单位下三角矩阵，U为上三角阵。列主元三角分角法是对直接三角分解法的一种改进,主要目的和列主元高斯消元法一样,
就是避免小数作为分母项. 2 算法概述 列主元三角分解法和普通三角分解法基本上类似，所不同的是在构造Gauss 变换前，先在对应列中选择绝对值最大的元素（称为列主元），然后实施初等行交换将该元素调整到矩阵对角线上。 例如第)1,,2,1(-=n k 步变换叙述如下： 选主元：确定p 使{}1)1( max -≤≤-=k ik n i k k pk a a ； 行交换：将矩阵的第k 行和第p 行上的元素互换位置,即 ． 实施Gauss 变换：通过初行变换，将列主对角线以下的元素消为零．即 3 列主元三角分解在matlab 中的实现
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式
矩阵的各种运算详解.
一、矩阵的线性运算 定义1 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为 注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和，即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵. 设矩阵记 , 称为矩阵的负矩阵, 显然有 . 由此规定矩阵的减法为 . 定义2 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为 数与矩阵的乘积运算称为数乘运算. 矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律：设都是同型矩阵，是常数，则 (1) (2) ; (3) (4) (5) (6) (7) (8) 注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算. 二、矩阵的相乘 定义3设 矩阵与矩阵的乘积记作, 规定为
其中，( 记号常读作左乘或右乘. 注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算. 若，则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即 . 矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的)： （1） （2） （3） （4） 注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即 例如, 设则 而 于是且 从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出 或 此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出例如, 设 则 但 定义4如果两矩阵相乘, 有 则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换. 注：对于单位矩阵, 容易证明 或简写成 可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1. 更进一步我们有 命题1设是一个n阶矩阵，则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何n阶矩阵可换。
命题2设均为n阶矩阵，则下列命题等价： （1） （2） （3） （4） 三、线性方程组的矩阵表示 设有线性方程组 若记 则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式： (2) 其中矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程. 如果是方程组(1)的解, 记列矩阵 则 ， 这时也称是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵是矩阵方程(2)的解, 即有矩阵等式 成立, 则即也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为 将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利. 四、矩阵的转置 定义6把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为的转置矩阵, 记作(或 ). 即若 则
第四章线性方程组直接法,矩阵三角分解
第四章 习题答案 1。用Gauss 消去法解方程组 1231231 2323463525433032 x x x x x x x x x ++=?? ++=??++=? 解:方程组写成矩阵形式为12323463525433032x x x ?????? ? ? ? = ? ? ? ? ? ????? ?? 对其进行Gauss 消去得12323441 4726002x x x ?? ???? ? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?????-?? 得方程组12312323 32346 131 44 822 24 x x x x x x x x x ++=?=-???? -=-?=????=?-=-?? 2。用Gauss 列主元素消去法解方程组 1233264107075156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-???? ?? 解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素 1233264107075156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-??????12r r ????→1231070732645156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-???? ?? 21 3113 10122 31070716106101055052 2r r r r x x x +-? ??? ? ?-?? ? ? ? ? ????→-= ? ? ? ? ? ??? ? ?????23 r r ????→123107075505221 61061010x x x ? ??? ? ?-?? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ?? ? ?-????
数组运算法则
认识一维数组和二维数组。理清概念很重要，不要混淆数组、数组公式。 第一，一维数组和二维数组的定义 单行或单列的数组，我们称为一维数组。 多行多列（含2行2列）的数组是二维数组。 第二，数组和数组公式的区别 数组，就是元素的集合，按行、列进行排列。 数组公式：就是包含有数组运算的公式。ctrl+shift+enter，三键结束，这个过程就是告诉excel请与数组运算的方式来处理本公式，反馈一个信息，就是在公式的外面添加一对花括号。 第三，一维数组和二维数组的运算规律 1、单值x与数组arry运算 执行x与arry中每一个元素分别运算并返回结果，也就是与arry本身行列、尺寸一样的结果。 比如：2*{1,2;3,4;5,6}，执行2*1、2*2、2*3……2*6运算，并返回3行2列的二维数组结果{2,4;6,8;10,12}，如下图所示： 数组中行和列分别用逗号、分号来间隔。逗号表示行，行之间的关系比较紧密，用逗号分割；列之间，关系相对比较疏远一点，用分号分割。 又比如："A"&{"B","C"}返回{"AB","AC"}。"A"={"B","A","C"}返回{FALSE,TRUE,FALSE} 2、同向一维数组运算 执行arry1与arry2对应位置的元素分别运算并返回结果。要求arry1与arry2尺寸必须相同，否则多余部分返回#N/A错误。 比如： {1;2;3}*{4;5;6}返回{4;10;18}； {1,2,3,4}*{4,5,6}返回{4,10,18,#N/A}，如下图所示： 3、异向一维数组运算 arry1的每一元素与arry2的每一元素分别运算并返回结果，得到两个数组的行数*列数个元素，也就是M行数组与N列数组运算结果为M*N的矩阵数组。 比如：{1;2;3}*{4,5,6,7,8}，执行1*4、1*5、……1*8、2*4、2*5……3*8，返回{4,5,6,7,8;8,10,12,14,16;12,15,18,21,24}
矩阵与线性代数计算
第三章 矩阵与线性代数计算 MATLAB ，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本章从最基本的运算单元出发，介绍MATLAB 的命令及其用法。 3.1矩阵的定义 由m×n 个元素a ij (i=1,2,…m;j=1,2,…n)排列成的矩形阵称为一个m 行n 列的矩阵,或m×n 阶矩阵，可以简记为A=(a ij ) m×n ，其中的a ij 叫做矩阵的第i 行第j 列元素。 ???? ??????=m n m m n n a a a a a a a a a A 2 1 222 21 11211 当m=n 时，称A 为n 阶方阵，也叫n 阶矩阵； 当m=1,n ≥2时，即A 中只有一行时，称A 为行矩阵，或行向量（1维数组）； 当m ≥2,n=1时，即A 中只有一列时，称A 为列矩阵，或列向量； 当m=1,n=1时，即A 中只有一个元素时，称A 为标量或数量（0维数组）。 3.2矩阵的生成 1.实数值矩阵输入 MATLAB 的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。 不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方括号。如： 【例3－１】矩阵的生成例。 a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] b=[1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9; 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9; 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9] Null_M = [ ] %生成一个空矩阵
线性代数---特殊行列式及行列式计算方法总结
特殊行列式及行列式计算方法总结 一、 几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1221222,1 1,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 00 000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------== =- 3. 分块行列式（教材P14例10） 一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????==? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????==-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）
【常见的化简行列式的方法】 1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题） 00010002000199900 02000000 002001 D = 分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。 解法一：定义法 (1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-= 解法二：行列式性质法 利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。 2001(20011) 20011 20011 2 000020010 001000200(1) (1) (1)2001!2001!0199900 02000 000D ?---=-=--= 解法三：分块法 00010002000199900 02000000 002001 D = 利用分块行列式的结果可以得到
矩阵的定义及其运算规则
矩阵的定义及其运算规则 1、矩阵的定义 一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。 矩阵通常是用大写字母 A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为： ，或 。即： （2-3） 我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。 当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。 2、三角形矩阵 由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵： ，，，。 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如： 则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此
都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即： 当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。 4、矩阵的加法 矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（c ij）表示矩阵A及B的和，则有： m ×n 式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。 由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）： （1）交换律：A＋B＝B＋A （2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C） 5、数与矩阵的乘法 我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如： 由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则： （1）k（A＋B）＝kA＋kB （2）（k＋h）A＝kA＋hA （3）k（hA）＝khA
线性代数习题[第三章] 矩阵的初等变换与线性方程组
习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-.
习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.
3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
三 矩阵直接三角分解法
矩阵直接三角分解法 1、实验目的： 求解方程组Ax=b A=[1 2 -12 8; 5 4 7 -2; -3 7 9 5; 6 -12 -8 3], b=[27; 4; 11; 49] 2、实验步骤： 添加库函数 #include "stdafx.h" #include "math.h" 3、代码： #include "stdafx.h" #include "math.h" void main() { float x[4]; int i; float a[4][5]={1,2,-12,8,27,5,4,7,-2,4,-3,7,9,5,11,6,-12,-8,3,49}; void DirectLU(float*,int,float[]); DirectLU(a[0],4,x); for(i=0;i<=3;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]); } void DirectLU(float*u,int n,float x[]) {
int i,r,k; for(r=0;r<=n-1;r++) { for(i=r;i<=n;i++) for(k=0;k<=r-1;k++) *(u+r*(n+1)+i)-=*(u+r*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+i)); for(i=r+1;i<=n-1;i++) { for(k=0;k<=r-1;k++) *(u+i*(n+1)+r)-=*(u+i*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+r)); *(u+i*(n+1)+r)/=*(u+r*(n+1)+r); } } for(i=n-1;i>=0;i--) { for(r=n-1;r>=i+1;r--) *(u+i*(n+1)+n)-=*(u+i*(n+1)+r)*x[r]; x[i]=*(u+i*(n+1)+n)/(*(u+i*(n+1)+i)); } }
线性代数的基本运算
111 第5章 线性代数的基本运算 本章学习的主要目的： 1 复习线性代数中有关行列式、矩阵、矩阵初等变换、向量的线性相关性、线性方程组的求解、相似矩阵及二次型的相关知识. 2学会用MatLab 软件进行行列式的计算、矩阵的基本运算、矩阵初等变换、向量的线性相关性的判别、线性方程组的求解、二次型化标准形的运算. 5.1 行列式 5.1.1 n 阶行列式定义 由2n 个元素),,2,1,(n j i a ij 组成的记号 D=nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n 阶行列式.其值是所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积n np 2p 21p 1a a a 的代数和,各项的符号由n 级排列n p p p 21决定,即
112 D= ∑ -n p p p n p p p 21n np 2 p 21 p 1) 21( a a a )1(τ, 其中 ∑n p p p 21表示对所有n 级排列求和, ) ,,,(21n p p p τ是排列 n p p p 21的逆序数. 5.1.2 行列式的性质 (1) 行列式与它的转置行列式相等. (2) 互换行列式的两行(列),行列式变号. (3) 若行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零. (4) 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式. (5) 若行列式有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. (6) 若行列式的某一列(行)的元素是两数的和,则此行列式等 于对应两个行列式之和.即 nn n n ni n n i i nn n n ni n n i i nn n n ni ni n n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21'2 1 '22221 '11211212 1 22221 112 1121'2 1 '222221'111211+ =+++ (7) 若行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变.
刘三阳线性代数第二版第一章标准答案
刘三阳线性代数第二版第一章答案
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第一章矩阵及其应用习题解答 本章需要掌握的是： 1）矩阵的定义，以及矩阵的运算（加、减、数乘和乘法）； 2）方阵的幂和多项式，以及矩阵转置的性质； 3）逆阵的定义，以及逆阵的4条性质； 4）分块矩阵的运算规则； 5）矩阵的三种初等变换及行阶梯矩阵和行最简矩阵； 6）三种初等矩阵，以及定理1.4（左乘行变，右乘列变）、1.5、1.6和1.7；7）求逆阵的方法：定义法和初等变换法。 1、设方阵A满足，求。 题型分析：此类题型考核的知识点是逆阵的定义，即。因此无论题中给出的有关矩阵A的多项式（如本题是）多么复杂，只 需要把该多项式配方成“（所求逆的表达式）*（配方后的因子）=E”即可，即本题是要配成（A-E）*(?)=E。 解： %配出2003A可提取的（A-E） %配出1998可提取的（A-E） %提取公因式（A-E） %将只有单位阵的那一项移至等式右端 %写成“AB=BA=E”的形式
%由逆阵定义可知 巩固练习：教材第38页第13题 2、设，求。其中k为正整数。 题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的乘法和幂运算。解题思路为依次计算 最多到，通常这时已经可以看出规律，依此规律解题即可。 解：，，因此推论，用数学归纳法证明如下： 1）当k=1时，成立； 2）假设当k=n-1时，上式成立，即，则有 当k=n时，也成立。 所以 巩固练习：教材第41页二、填空题（3） 3、设A=E-uu T ，E为n阶单位阵，u为n维非零列向量，u T 为u的转置，证明：1）A2=A的充要条件是u T u=1； 2）当u T u=1时，A是不可逆的。 题型分析：这道题综合了矩阵这一章的大部分知识点，是个综合题，对于刚学了第一章的同学们来说也是一道难题。解题思路首先要明确u为n为非零向量是指u是一个只有一行 或一列的矩阵，题中有即告诉我们u是一个n*1阶列矩阵即列向量。
线性代数习题第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1、用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形、 2、用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵、 3、设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =、 4、设A就是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B、 (1) 证明B可逆(2)求1 AB-、
习题 3-2 矩阵的秩 1、求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠????=?? L 2、设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =、
3、 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系就是 、 .()()a R A R B = .()()b R A R B <; .()()1c R B R A >-; .()()() 1.d R A R B R A ≥≥- 4、 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= 、 a 、1; b 、 2; c 、 3; d 、 4、 5、 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = 、 a 、 1; b 、 n -11; c 、 –1; d 、 1 1-n 、 6、设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
矩阵的基本运算法则
矩阵的基本运算法则 1、矩阵的加法 矩阵加法满足下列运算规律（设A 、B 、C 都是m n ?矩阵，其中m 和n 均为已知的正整数）： （1）交换律：+=+A B B A （2）结合律：()()++++A B C =A B C 注意：只有当两个矩阵为同型矩阵（两个矩阵的行数和列数分别相等）时，这两个矩阵才能进行加法运算。 2、数与矩阵相乘 数乘矩阵满足下列运算规律（设A 、B 是m n ?矩阵，λ和μ为数）： （1）结合律：()λμλμ=A A （2）分配律：()λμλμ+=+A A A （3）分配律：()λλλ+=+A B A B 注意：矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。 3、矩阵与矩阵相乘 矩阵与矩阵的乘法不满足交换律、但是满足结合律和分配率（假设运算都是可行的）： （1）交换律：≠AB BA （不满足） （2）结合律：()()=AB C A BC （3）结合律：()()()λλλλ==其中为数AB A B A B （4）分配律：()(),+=++=+A B C AB AC B C A BA CA 4、矩阵的转置 矩阵的转置满足下述运算规律（假设运算都是可行的，符号()T g 表示转置）： （1）()T T =A A
（2）()T T T +=+A B A B （3）()T T λλ=A A （4）()T T T =AB B A 5、方阵的行列式 由A 确定A 这个运算满足下述运算法则（设A 、B 是n 阶方阵，λ为数）： （1）T =A A （2）n λλ=A A （3）=AB A B 6、共轭矩阵 共轭矩阵满足下述运算法则（设A 、B 是复矩阵，λ为复数，且运算都是可行的）： （1）+=+A B A B （2）λλ=A A （3）=AB AB 7、逆矩阵 方阵的逆矩阵满足下述运算规律： （1）若A 可逆，则1-A 亦可逆，且()11--=A A （2）若A 可逆，数0λ≠，则λA 可逆，且()111 λλ--=A A （3）若A 、B 为同阶矩阵且均可逆，则AB 亦可逆，且()111---=AB B A 参考文献： 【1】线性代数（第五版），同济大学
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用 201７0０0６0牛晨晖 在数学中,矩阵就是一个按照长方阵列排列得复数或实数集合、矩阵就是高等代数学中得常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中、在物理学中,矩阵于电路学、力学、光学与量子物理中都有应用;计算机科学中,三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵得运算就是数值分析领域得重要问题。将矩阵分解为简单矩阵得组合可以在理论与实际应用上简化矩阵得运算。在电力系统方面,矩阵知识已有广泛深入得应用,本文将在介绍矩阵基本运算与运算规则得基础上,简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面得应用情况,并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统得紧密结合。 1矩阵得运算及其运算规则 1。1矩阵得加法与减法 1、1、1运算规则 设矩阵,,?则 ?简言之,两个矩阵相加减,即它们相同位置得元素相加减！?注意:只有对于两个行数、列数分别相等得矩阵(即同型矩阵),加减法运算才有意义,即加减运算就是可行得. 1。1、２运算性质 满足交换律与结合律
交换律;?结合律. １.2矩阵与数得乘法 ?１。2、１运算规则?数乘矩阵Ａ,就就是将数乘矩阵A中得每一个元素,记为或.?特别地,称称为得负矩阵。 1。2、2运算性质?满足结合律与分配律?结合律:(λμ)A=λ(μA);(λ+μ)Ａ＝λA+μA.?分配律:λ(A＋B)＝λＡ+λＢ. 1、2、3典型举例?已知两个矩阵 满足矩阵方程,求未知矩阵、?解由已知条件知 1、３矩阵与矩阵得乘法 ?１。3.1运算规则?设,,则A与B得乘积就是这样一个矩阵: (1) 行数与(左矩阵)A相同,列数与(右矩阵)B相同,即. (2) C得第行第列得元素由A得第行元素与B得第列元素对应相乘,再取乘积之与、 1、3、2典型例题
线性代数第一章行列式试题及答案
如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习， 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j 即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a ……… a n1 a n2…a nn 这里 n j j j 2 1 表示对所有n元排列求和.称此式为n阶行列式的完全展开式. 用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算. 3、对角行列式计算