6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
课标要求素养要求
掌握数乘向量的坐标运算法则，理解用
坐标表示平面向量共线的条件，掌握三
点共线的判断方法.
通过数乘向量的坐标运算，理解平面向
量共线的坐标表示形式，体会数学运算
及数学抽象素养.
教材知识探究
贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过
B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问从
A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：
贝贝：502＋502＋502＋502＝1 004＋502＋502＝1 506＋502＝2 008(km).
晶晶：502×4＝2 008(km).
可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大的方便.
问题1当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
提示横纵坐标均不为0时成比例.
问题2如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？提示能.将b写成λa形式，λ>0时，b与a同向，λ<0时，b与a反向.
1.平面向量数乘运算的坐标表示
设向量a＝(x，y)，则有λa＝(λx，λy)，这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2.平面向量共线的坐标表示
利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单明快
设a＝(x1，y1))，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2
－x2y1＝0.)
3.中点坐标公式
若P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x ，y )，则?????x ＝x 1＋x 2
2，y ＝y 1＋y 2
2，
此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式.
,教材拓展补遗
[微判断]
1.若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1
＝x 2
y 2
.(×)
2.若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1－x 2y 2＝0，则a ∥b .(×)
3.若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2－x 2y 1＝0，则a ∥b .(√) 提示 1.当y 1y 2＝0时不成立.
两向量共线的坐标表示为x 1y 2－x 2y 1＝0，故2错，3正确. [微训练]
1.已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A.(－2，－4) B.(－3，－6) C.(－4，－8)
D.(－5，－10)
解析 由a ∥b 得到m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8). 答案 C
2.已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝________. 解析 2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7). 答案 (5，7)
3.已知P (2，6)，Q (－4，0)，则PQ 的中点坐标为________. 解析 根据中点坐标公式可得，PQ 的中点坐标为(－1，3). 答案 (－1，3) [微思考]
1.向量(共线)平行的用途是什么？
提示 利用向量平行(共线)可以证明向量共线、三点共线，解决有关平行问题. 2.当两个向量共线时，如何利用向量的坐标运算求点的坐标？
提示 当两个向量共线时，利用向量的坐标运算可求点的坐标.比如A ，B ，P 三
点共线且|AP →|＝3|PB →
|，如果知道点A ，B 的坐标就可以求出点P 的坐标.事实上，由|AP
→|＝3|PB →|且A ，B ，P 三点共线，可知AP →＝3PB →或AP →＝－3PB →，这样根据向量的坐标运算就可以求出点P 的坐标.
题型一 向量的坐标运算
【例1】 已知a ＝(－1，2)，b ＝(2，1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；
(3)12a －1
3b . 可先进行数乘向量的坐标运算，再进行向量坐标加减运算 解 (1)2a ＋3b ＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a －3b ＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1，2)－13(2，1)＝? ????－12，1－? ????23，13＝? ??
??－76，23.
规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
【训练1】 (1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，若c 满足3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A.(－23，－12) B.(23，12) C.(7，0)
D.(－7，0)
(2)已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP
→＝12MN →，则P 点坐标为________.
解析 (1)由3a －2b ＋c ＝0，
∴c ＝－3a ＋2b ＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)， ∴c ＝(－23，－12).
(2)设P (x ，y )，∴MP
→＝(x －3，y ＋2)，MN →＝(－8，1)，由MP →＝12MN →得P ? ??
??－1，－32. 答案 (1)A (2)? ?
???－1，－32
题型二 向量平行(共线)的判定
在利用向量共线的坐标表示进行判定时，易出现坐标之间的搭配错误而致误的情况
【例2】 (1)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( )
A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2)
B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7)
C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)
D.e 1＝(2，－3)，e 2＝? ??
??1
2，－34
解析 A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝1
2e 2， ∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B. 答案 B
(2)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
解 k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)， a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， ∵k a ＋b 与a －3b 平行， ∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－1
3.
此时k a ＋b ＝? ??
??－1
3－3，－23＋2＝－13(a －3b )，
∴当k ＝－1
3时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向. 规律方法 1.向量共线的判定方法
2.利用向量平行的条件求参数值的思路
(1)利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解. (2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.
【训练2】 若a ＝(3，cos α)，b ＝(3，sin α)，且a ∥b ，则锐角α＝________. 解析 ∵a ＝(3，cos α)，b ＝(3，sin α)，a ∥b ， ∴3sin α－3cos α＝0，即tan α＝3，
又0<α<π2，故α＝π
3. 答案 π3
题型三 三点共线问题
向量共线的坐标表示是解决已知点共线求参数问题中列方程的重要依据
【例3】 (1)已知OA
→＝(k ，2)，OB →＝(1，2k )，OC →＝(1－k ，－1)，且相异三点A ，
B ，
C 共线，则实数k ＝________.
解析 AB
→＝OB →－OA →＝(1－k ，2k －2)，AC →＝OC →－OA →＝(1－2k ，－3)，由题意可
知AB
→∥AC →，所以(－3)×(1－k )－(2k －2)(1－2k )＝0，解得k ＝－14或k ＝1，当k ＝1时，A ，B 重合，故舍去. 答案 －1
4
(2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (1，5)，D (2，7)，向量AB →与CD →平行吗？直线
AB 平行于直线CD 吗？
解 因为AB
→＝(2，4)，CD →＝(1，2)，又因为2×2－4×1＝0，
所以AB
→∥CD →，因为AC →＝(2，6)，AB →＝(2，4)，所以2×4－2×6≠0， 所以A ，B ，C 三点不共线，所以直线AB 与直线CD 不重合，所以AB ∥CD . 规律方法 三点共线的条件及判断方法
(1)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则A ，B ，C 三点共线的条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0.
(2)若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法： ①直接利用上述条件，计算(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)·(y 2－y 1)是否为0； ②任取两点构成向量，计算出两向量，如AB →，AC →，再通过两向量共线的条件进行判断.
【训练3】 已知A (1，－3)，B ? ?
?
??8，12，C (9，1)，求证：A ，B ，C 三点共线.
证明 AB
→＝? ????8－1，12＋3＝? ????7，72， AC
→＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，
∵7×4－7
2×8＝0，
∴AB
→∥AC →，且AB →，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线.
一、素养落地
1.通过数乘向量的坐标运算，培养数学运算素养.通过学习三点共线的坐标表示方法提升数学抽象素养.
2.两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0时，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.
(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1
y 2，即两向量的相应坐标成比例.
3.两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据. 二、素养训练
1.下列各组向量中，共线的是( ) A.a ＝(－2，3)，b ＝(4，6) B.a ＝(2，3)，b ＝(3，2) C.a ＝(1，－2)，b ＝(7，14) D.a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)
解析 选项A 中，3×4－(－2)×6≠0，则a 与b 不共线；同理，B ，C 中的两向量不共线；选项D 中，2×6－(－3)×(－4)＝0，则有a ∥b . 答案 D
2.已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x －1，2)，若a ∥b ，则实数x 的值为( )
A.2
B.－2
C.3
D.－3
解析 因为a ∥b ，所以2×2－(－1)×(x －1)＝0，得x ＝－3. 答案 D
3.若点A (－2，0)，B (3，4)，C (2，a )共线，则a ＝________.
解析 AB
→＝(5，4)，AC →＝(4，a )，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →，故5a
－16＝0，所以a ＝16
5. 答案 16
5
4.与向量a ＝(－3，4)平行的单位向量是________. 解析 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则 ?
??x 2＋y 2＝1，4x ＋3y ＝0，∴?????x ＝－35，
y ＝45
或?????x ＝3
5，y ＝－45.
答案 ? ????－35，45或? ??
??3
5，－45
基础达标
一、选择题
1.已知向量a ＝(3，5)，b ＝(cos α，sin α)，且a ∥b ，则tan α等于( ) A.3
5
B.53
C.－35
D.－53
解析 由a ∥b ，得5cos α－3sin α＝0，即tan α＝5
3. 答案 B
2.下列向量中，与向量c ＝(2，3)不共线的一个向量p 等于( ) A.(5，4) B.? ?
???1，32 C.? ??
??23，1
D.? ??
??13，12 解析 因为向量c ＝(2，3)，对于A ，2×4－3×5＝－7≠0，所以A 中向量与c 不共线. 答案 A
3.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A.e 1＝(2，2)，e 2＝(1，1)
B.e 1＝(1，－2)，e 2＝(4，－8)
C.e 1＝(1，0)，e 2＝(0，－1)
D.e 1＝(1，－2)，e 2＝? ??
??
－12，1
解析 选项C 中，e 1，e 2不共线，可作为一组基底. 答案 C
4.向量a ＝(1，－2)，|b |＝4|a |，a ∥b ，则b 可能是( ) A.(4，8) B.(8，4) C.(－4，－8)
D.(－4，8)
解析 由a ∥b 可排除A ，B ，C ，故选D. 答案 D
5.向量P A →＝(k ，12)，PB →＝(4，5)，PC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则k 的
值为( ) A.－2 B.11 C.－2或11
D.2或11
解析 AB →＝PB →－P A →＝(4－k ，－7)，BC →＝PC →－PB →＝(6，k －5)，由题知AB →∥BC →，故(4－k )(k －5)－(－7)×6＝0，解得k ＝11或k ＝－2. 答案 C 二、填空题
6.设向量a ＝(1，0)，b ＝(1，1)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(6，2)共线，则实数λ＝________.
解析 λa ＋b ＝(λ，0)＋(1，1)＝(λ＋1，1)，因为(λa ＋b )∥c ，所以2(λ＋1)－6＝0，解得λ＝2. 答案 2
7.已知A (2，0)，B (0，2)，若AC
→＝13AB →，则点C 的坐标是________. 解析 设C (x ，y )，则AC
→＝(x －2，y )，AB →＝(－2，2)，
所以(x －2，y )＝? ??
??
－23，23，得x ＝43，y ＝23，
即C ? ????43，23.
答案 ? ??
??43，23
8.设OA
→＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →＝(m ，3)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数m 的取值范围是________. 解析 ∵A ，B ，C 三点能构成三角形， ∴AB
→，AC →不共线. 又∵AB
→＝(1，1)，AC →＝(m －2，4)， ∴1×4－1×(m －2)≠0. 解得m ≠6.
∴m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠6}. 答案 {m |m ∈R 且m ≠6} 三、解答题
9.如图所示，在平行四边形ABCD 中，A (0，0)，B (3，1)，C (4，3)，D (1，2)，M ，N 分别为DC ，AB 的中点，求AM
→，CN →的坐标，并判断AM →，CN →是否共线.
解 由已知可得M ? ????52，52，N ? ??
??
32，12，
所以AM →
＝? ????52，52，CN →＝? ??
??－52，－52，
由52×? ????－52－52×? ??
??－52＝0，所以AM
→和CN →共线. 10.已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求点M ，N 的坐标.
证明 法一 ∵A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA
→＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， CB
→＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3).
∵CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，
∴CM
→＝3(1，8)＝(3，24)，CN →＝2(6，3)＝(12，6). 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)， CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)， ∴???x 1＋3＝3，y 1＋4＝24，???x 2＋3＝12，
y 2＋4＝6.
解得???x 1＝0，y 1＝20，???x 2＝9，
y 2＝2.
∴M (0，20)，N (9，2). 法二 设O 点为坐标原点， 则由CM
→＝3CA →，CN →＝2CB →， 可得OM
→－OC →＝3(OA →－OC →)， ON →－OC →＝2(OB →－OC →)，
∴OM
→＝3OA →－2OC →，ON →＝2OB →－OC →. ∴OM
→＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ON
→＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2). ∴M (0，20)，N (9，2).
能力提升
11.平面上有A (2，－1)，B (1，4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC
→＝1
2BC
→，连接DC 延长至E ，使|CE →|＝14|ED →|，则点E 的坐标为________. 解析 ∵AC
→＝12
BC →，
∴A 为BC 的中点，AC
→＝BA →，
设C (x C ，y C )，则(x C －2，y C ＋1)＝(1，－5)， ∴C 点的坐标为(3，－6)，
又|CE →|＝14|ED →
|，且E 在DC 的延长线上， ∴CE
→＝－14ED →， 设E (x ，y )，
则(x －3，y ＋6)＝－1
4(4－x ，－3－y )， 得?????x －3＝－1
4（4－x ），y ＋6＝－14（－3－y ），解得?????x ＝83，
y ＝－7.
故点E 的坐标是? ??
??
83，－7.
答案 ? ??
??83，－7
12.已知向量OA
→＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－x ，－3－y ). (1)若点A ，B ，C 不能构成三角形，求x ，y 应满足的条件； (2)若AC
→＝2BC →，求x ，y 的值. 解 (1)因为点A ，B ，C 不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线. 由题意得AB →＝(3，1)，AC →
＝(2－x ，1－y )， 所以3(1－y )＝2－x .
所以x ，y 满足的条件为x －3y ＋1＝0. (2)BC
→＝(－x －1，－y )， 由AC
→＝2BC →得(2－x ，1－y )＝2(－x －1，－y )， 所以???2－x ＝－2x －2，1－y ＝－2y ，解得???x ＝－4，y ＝－1. 即x ，y 的值分别为－4，－1.
创新猜想
13.(多选题)已知点A (2，1)，B (0，2)，C (－2，1)，O (0，0)，给出下面四个结论，其中正确的有( ) A.OC
→与BA →平行 B.AB
→＋BC →＝CA → C.OA
→＋OC →＝OB →
D.AC
→＝OB →－2OA →
解析 BA →＝(2，－1)，OC →＝(－2，1)，又2×1－(－1)×(－2)＝0，所以OC →与BA →
平行，A 正确.
AB
→＋BC →＝AC →≠CA →，所以B 不正确. OA
→＋OC →＝(0，2)＝OB →，所以C 正确. AC
→＝(－4，0)，OB →－2OA →＝(0，2)－(4，2)＝(－4，0)，所以D 正确. 答案 ACD
14.(多选题)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(－3，x )，则下列叙述中不正确的是( ) A.存在实数x ，使a ∥b B.存在实数x ，使(a ＋b )∥a C.存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a D.存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥b
解析 只有D 正确，可令m ＝0，则m a ＋b ＝b ，无论x 为何值，都有b ∥b . 答案 ABC
(完整版)向量的数乘运算练习题
§2. 2. 2 向量数乘运算及其几何意义 班级___________姓名____________学号____________得分____________ 一、选择题 1．已知向量a = e 1-2 e 2，b =2 e 1+e 2, 其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6 e 1-2 e 2的关系为（ ） A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．无法确定 2．已知向量e 1、e 2不共线，实数(3x -4y )e 1＋(2x -3y )e 2 =6e 1+3e 2 ,则x －y 的值等于 （ ） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．2 3．若AB u u u r =3a , CD u u u r =－5a ,且||||AD BC =u u u r u u u r ,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 4．AD 、B E 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD u u u r =a ,BE u u u r =b ,那么BC u u u r 为（ ） A ．32a ＋34b B ．32a －32b C ．32a －34b D ． －32a ＋3 4b 5．已知向量a ,b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b 共线的条件是 （ ） ①2a -3b =4e 且a +2b = -3e ②存在相异实数λ ，μ，使λa -μb =0 ③x a +y b =0 (其中实数x , y 满足x +y =0) ④已知梯形ABCD ，其中AB u u u r =a ,CD u u u r =b A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④ *6．已知△ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，若PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则（ ） A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△AB C 外部 C ．P 在AB 边所在直线上 D ．P 在线段BC 上 二、填空题 7．若|a |=3,b 与a 方向相反,且|b |=5,则a = b 8．已知向量e 1 ,e 2不共线，若λe 1－e 2与e 1－λe 2共线,则实数λ= 9．a ,b 是两个不共线的向量，且AB u u u r =2a ＋k b ,CB u u u r =a ＋3b ,CD u u u r =2a －b ,若A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值可为 *10．已知四边形ABCD 中，AB u u u r =a －2c ,CD u u u r =5a ＋6b －8c 对角线AC 、BD 的中点为E 、F ，则向量EF =u u u r 三、解答题 11．计算：⑴(－7)×6a = ⑵4(a ＋b )－3(a －b )－8a = ⑶(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )=
平面向量的坐标运算(教案)
平面向量的坐标运算（一）（教案） 教学目标： 知识与技能：（1）理解平面向量的坐标概念；（2）掌握平面向量的坐标运算. 过程与方法：（1）通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力； （2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力； （3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力. 情感、态度与价值观:（1）让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养； （2）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质； （3）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律. 教学重点和教学难点： 教学重点：平面向量的坐标运算； 教学难点：平面向量坐标的意义. 教学方法：“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式. 教学手段：利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性，提高课堂教学效率. 教学过程设计： 一、创设问题情境，引入课题. 同学们，我们知道，向量的概念是从物理中抽象出来的，人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的，但是随着问题的不断深入，我们发现用图形来研究向量有一些不便之处，那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？ 我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的，所以我们想到了用数来表示向量. 思路一：用一个数能否表示向量？（请学生回答） （不能，因为向量既有大小，又有方向）
思路二：用两个数能否表示向量？（引导学生思考） 在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？ 让我们先来探讨这样一个问题： 探究一：如图，为互相垂直的单位向量，请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d 使1122=a e e λλ+ ，其中的1e ，2e 称为平面的一组基底. 强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的. 二、理解概念，加深认识. 根据平面向量基本定理，我们知道，在选定基底的情况下，所给,,,.a b c d 四 个向量在基底方向的分解形式是唯一的，也就是说，这几个向量用基底、来表示的形式是唯一的，每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标. 推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？（引导学生思考，请学生尝试给出定义） 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 a xi yj =+ …………○ 1 我们把),(y x 叫做向量的（直角）坐标，记作
向量数乘运算及其几何意义(教学设计)
2.2.3向量数乘运算及其几何意义（教学设计） 一、知识与能力： 1、理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。 2、理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。 3、通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。 二、过程与方法： 1． 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2．体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点:实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件． 教学难点:向量共线的充要条件． 一、复习回顾，新课导入 探究：已知非零向量a ，作出a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a)，并说明 它们的几何意义. 类似数的乘法，把a+a+a 记作3a ，显然3a 的方向与a 的方向 相同，3a 的长度是a 的3倍，即|3a|=3|a|. 同样，(-a )+(-a )+(-a )=3(-a )，显然3(-a )的方向与a 的方向相反，3(-a )的长度是a 的3倍，这样3(-a )=-3a . 由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。 二、师生互动，新课讲解 1．定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，称为向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （1）|λa |=|λ||a |； （2）当λ>0时，λa 的方向与向量a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反. 2． 特别地，当λ=0或a=0时，λa=0；当λ=-1时，(-1)?a=-a ，就是a 的相反向量. 3． 实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 （1）λ(μa )=( λμ)a ；（结合律） （2）(λ+μ)a=λa+μa ；（第一分配律） （3）λ(a+b )= λa+λb .（第二分配律） 结合律证明： 如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则①式成立 如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a | |(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a |
向量的坐标表示及其运算
资源信息表
（2）向量的坐标表示及其运算（2） 一、教学内容分析 向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础. 二、教学目标设计 1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充
要条件的证明方式； 2．会用平行的充要条件解决点共线问题； 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点 课本例5的演绎证明； 分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用； 特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计： 复习向量平行的概念： 提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向
量。 （2）实数与向量相乘有何几何意义 （3）由此对任意两个向量,a b ，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ，若存在一个常数λ，使得 a b λ=?成立，则两向量a 与向量b 平行 （4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则 2 121y y x x =是b a //的（ ）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 由此，通过改进引出 课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==， 则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明， （Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ，使得a b λ=，即
平面向量数乘运算及其意义试题
…………………………装…………………………订…………………………线………………………… 向量数乘运算及其几何意义 班级 姓名 学号 年级 学科 一、概念回顾（认真阅读课本第63,64,65页，回答下面问题） 1．设实数 与量a 的积记为 ，它仍表示向量，它的长度是 ；它的方向
是 ． 2．根据向量数乘的定义，可以证明向量数乘有如下运算律： （1） ；（2） ；（3） ． 3．向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点： 相同 点 ； 不同 点 ． 二、理解与应用 1．已知R λ∈，则下列命题正确的是 （ ） A ．a a λλ= B ．a a λλ= C ．a a λλ= D ．0a λ> 2．已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点，设AD a =u u u r ，BA b =u u u r ，则 EF u u u r = （ ） A ．1()2 a b + B ．1()2 a b -+ C ．1()2 a b -- D ．1()2 b a - 3 ． 若 a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对 4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），
则AP u u u r = （ ） A ．().(0,1)A B AD λλ+∈u u u r u u u r B ．().AB B C λλ+∈u u u r u u u r C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈u u u r u u u r D ． ().(0,2 AB BC λλ-∈u u u r u u u r 5．已知m 、n 是实数，a 、b 是向量，对于命题： ①()m a b ma mb -=- ②()m n a ma na -=- ③若ma mb =，则a b = ④若ma na =，则m n = 其中正确命题为_____________________． 6．计算： （1）3(53)2(6)--+a b a b =__________； （2）4(35)2(368)-+---+a b c a b c =__________． 7．已知向量a ，b ，且3()2(2)4()++---+=0x a x a x a b ，则 x =__________． 8．若向量x 、y 满足+=-=23,32x y a x y b ，a 、b 为已知向量，则 x =__________； y =___________．
平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算 【考纲要求】 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】 一、平面向量基本定理 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得2211e e λλ+=，不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+，由于a 与数对(,)x y 是一一对应的，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y 轴上的坐标. 规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无
关，只与其相对位置有关。 三、平面向量的坐标运算 1、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b +=1212(,)x x y y ++. 2、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b -=1212(,)x x y y --. 3、设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. 4、设a =()y x ,，R ∈λ，则λa =(,)x y λλ. 5、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //12210x y x y ?-=（斜乘相减等于零） 6、设a =()y x ,，则22a x y =+ 四、两个向量平行（共线）的充要条件 1、如果0a ≠，则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=（没有坐标背景） 2、如果a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件 1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ= 2、设OA 、OB 不共线，点P 、A 、B 三点共线的充要条件是 (1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈. 特别地，当12 λμ==时，P 是AB 中点。
向量数乘运算
全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解） 1 2.2.3向量数乘运算及其几何意义 学习目标 1.通过实例，掌握向量数乘运算，并理解其几何意义。 2.理解两个向量共线的等价条件，能运用向量共线条件判定两向量是否平行。 3.体会类比迁移的思想方法。 自学探究 问题1.已知向量为非零向量，试用作图方式表示 （1）＋＋与3； （－）+（－）+（－）与3-； ★（2）32?与6； 5与32+； )(2+与22+. 由（1），你能得出λ与的长度和方向有什么规律吗？ 由（2），你能得出向量满足什么运算律吗？运算律的几何意义是什么呢？ ★ 问题2.引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？你能得出怎样判断向量共线吗？怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？ 问题3.λ=则与共线吗？与共线，一定有λ=吗? 【技能提炼】 1.计算（1）()a 43?- （2）()()a b a b a ---+23 （3）()() c b a c b a +---+2332 总结:向量数乘运算与多项式运算的异同： 2.如图：已知任意两个非零向量b a ,，试作=+，=2+, OC =3+,你能判断C B A ,,三点之间的位置关系吗？为什么？ 变式：已知BC DE AB AD 3,3==，试判断AC 与AE 是否共线？ 总结:向量共线定理的特点： 3.如图：平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且,,b AD a AB ==，你能用,表示,→MA ,→MB ,→MC 和, → MD 吗？ 必做题1,2,3,4,5,6 习题2.2 A 组9,10,11,12,13 变式反馈 1.下列各式中不表示向量的是：（ ） A 、?0 B 、3+ C 、3 D 、 ()y x R y x y x ≠∈-且,,1 2.化简 ()[()]24482212 1 --+的结果为（ ） A 、b a -2 B 、a b -2 C 、- D 、- 3.若O 为平行四边形ABCD 的中心，213,2e BC e AB ==→ → 则 122 3 e e -等于（ ） A 、→ AO B 、→ BO C 、→ CO D 、→ DO 4. ,3=b 与a 5=，则=a b . 5.设21,e e 是两个不共线的非零向量，若向量 21212142,42,23e e e e e e --=+-=-=试证:D C A ,,三点共线. 6.若() 32 1 312=+-+-??? ??- ，其中,,为已知向量，则未知向量= . 7.已知向量→ AB 的方向是东南方向，且→ AB =4，则向量-2→AB 的方向是 ，=-→ AB 2 . a b A B D C M
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算 一、知识精讲 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝xi ＋yj ，则把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标．记作a ＝(x ，y)，此式叫做向量的坐标表示． (2)在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． 3．平面向量的坐标运算 向量的 加、减法 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 实数与向量的积 若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的 坐标 已知向量 AB 的起点 A (x 1，y 1)，终点 B (x 2，y 2)，则 AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标减去始点的坐标 4．两个向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ∥b ?a ＝λb ?x 1y 2－x 2y 1＝0. [小问题·大思维] 1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a ＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b ＝(0，y )． 2．已知向量OM ＝(－1，－2)，M 点的坐标与OM 的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而M (－1，－2)．
平面向量坐标运算
ξ10向量的数量积.平移 一．知识精讲 1． 数量积的概念 （1） 向量的夹角：如图，已知两个向量a 和b ，使=a,=b 。则)1800( ≤≤=∠θθAOB 叫做响亮a 与b 的夹角，记为
向量的数乘及坐标运算
三、向量数乘运算及其几何意义 一、知识回顾： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个 ，记作 ，它的模与方向规定如下： １）||a λ= ； 2） λ＞０时,a λ 的方向与 的方向相同；当λ＜０时, a λ 的方向与 的方向相反； 实数与向量的积的运算律： 运算律：()a λμ= ； ()a λμ+ = ； ()a b λ+ = . 2．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ，使得 二、沙场练兵： 1．已知向量a = e 1-2 e 2，b =2 e 1+e 2, 其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6 e 1-2 e 2的关系为（ ） A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．无法确定 2．已知向量e 1、e 2不共线，实数(3x -4y )e 1＋(2x -3y )e 2 =6e 1+3e 2 ,则x －y 的值等于 （ ） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．2 3．若AB =3a , CD =－5a ,且||||AD BC = ,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 4．AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD =a ,BE =b ,那么BC 为（ ） A ．32a ＋34b B ．32a －32b C ．32a －34b D ． －32a ＋3 4 b 5．已知向量a ,b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b 共线的条件是 （ ） ①2a -3b =4e 且a +2b = -3e ②存在相异实数λ ，μ，使λa -μb =0 ③x a +y b =0 (其中实数x , y 满足x +y =0) ④已知梯形ABCD ，其中AB =a ,CD =b A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④ * 6．已知△ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，若PA PB PC AB ++= ，则（ ） A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△AB C 外部 C ．P 在AB 边所在直线上 D ．P 在线段BC 上 二、填空题 7．若|a |=3,b 与a 方向相反,且|b |=5,则a = b 8．已知向量e 1 ,e 2不共线，若λe 1－e 2与e 1－λe 2共线,则实数λ= 9．a ,b 是两个不共线的向量，且AB =2a ＋k b ,CB =a ＋3b ,CD =2a －b ,若A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值可为 * 10．已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ,CD =5a ＋6b －8c 对角线AC 、BD 的中点为E 、F ，则向量EF = 三、解答题 11．计算：⑴(－7)×6a = ⑵4(a ＋b )－3(a －b )－8a = ⑶(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )= 12．如图，设AM 是△ABC 的中线，AB =a , AC =b ,求AM 13．设两个非零向量a 与b 不共线, ⑴若AB =a ＋b ,BC =2a ＋8b ,CD =3(a －b ) ,求证：A 、B 、D 三点共线; ⑵试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线. * 14．设OA ,OB 不共线,P 点在AB 上,求证:OP =λOA +μOB 且λ+μ=1(λ, μ∈R). 四、平面向量基本定理及坐标表示（1） 一、知识回顾： 1．平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线．．．向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使： ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量 的 。 2．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，为基底， 则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+= ，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a
高一数学平面向量的坐标运算
平 面 向 量 的 坐 标 运 算 一、【教材的地位和作用】 本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。 二、【学习目标】 根据教学大纲的要求以及学生的实际知识水平，以期达到以下的目的： 1.知识方面：理解平面向量的坐标表示的意义；能熟练地运用坐标形式进行运算。 2.能力方面：数形结合的思想和转化的思想 三、【教学重点和难点】 理解平面向量坐标化的意义是教学的难点；平面向量的坐标运算则是重点。我主要是采用启发引导式，并辅助适量的题组练习来帮助学生突破难点，强化重点。 四、【教法和学法】 本节课尝试一种全新的教学模式，以建构主义理论为指导，教师在本节课中起的根本作用就是“为学生的学习创造一种良好的学习环境”，结合本节课是新授课的特点，我主要从以下几个方面做准备：（1）提供新知识产生的铺垫知识（2）模拟新知识产生过程中的细节和状态，启发引导学生主动建构（3）创设新知识思维发展的前景（4）通过“学习论坛时间”组织学生的合作学习、讨论学习、交流学习（5）通过“老师信箱时间”指导解答学生的疑难问题（6）通过“深化拓展区”培养学生的创新意识和发现能力。 整个过程学生始终处于交互式的学习环境中，让学生用自己的活动对已有的数学知识建构起自己的理解；让学生有了亲身参与的可能并且这种主动参与就为学生的主动性、积极性的发挥创造了很好的条件，真正实现了“学生是学习的主体”这一理念。 五、【学习过程】 1.提供新知识产生的理论基础 课堂教学论认为：要使教学过程最优化，首先要把已学的材料与学生已有的信息联系起来，使学生在学习新的材料时有适当的知识冗余。在本节之前，学生接触到的是向量的几何表示；向量共线的充要条件和平面向量的基本定理为引入向量的坐标运算奠定了理论基础。尤其是平面向量的基本定理，在新授课之前，我以为应再次跟学生进行强调，揭示其本质：即平面内的任一向量都可以表示为不共线的向量的线形组合。对于基底的理解，指出“基底不唯一，关键是不共线”。这样就使得新课的导入显得自然而不突兀，学生也很容易联想到基底选择的特殊性，从而引出坐标表示。 2.新课引入 哲学家卡尔.波普尔曾指出“科学与知识的增长永远始于问题，终于问题——愈来愈深化的问题，愈来愈能启发新问题的问题”，这对数学亦不例外。 因此，在新课的引入中首先提出问题“在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对实数（即它的坐标）来表示。同样，在平面直角坐标系内，每一个平面向量是否也可以用一对实数来表示?”，问题的给出旨在启发学生的思维。而学生思维是否到位，是否可以达到自己建构新知识的目的，取决于老师的引导是否得当。 3.创建新知识 以学生为主体绝不意味着老师可以袖手旁观，在创设问题情景后学生已进入激活状态，即想说但又不知道怎么说的状态，这时需老师适当加以点拨。指出：选择在平面直角坐标系内与坐标轴的正方向相同的两个单位向量、j 作为基底，任做一个向量。由平面向量基本定理知，有并且只有一对实数x , y ，使j y i x a +=
高一数学 数乘向量与向量共线的条件与轴上向量的坐标运算
数乘向量与向量共线的条件与轴上向量的坐标运算 复习引入： 1.向量的加法： 2向量的减法 ： 二新授： 1定义：实数λ与向量a 的积是一个 ，记作： （1）|λa |=|λ||a | （2）λa ()0a ≠的方向：当λ>0时λa 与a 方向相同； 当λ<0时λa 与a 方向相反； 当λ=0或0a =时λa =0 2几何意义： 3运算定律 4向量共线的条件 （1） 平行向量的基本定理： （2）单位向量： 5轴上向量的坐标及其运算 ①向量的坐标： 已知轴l ，取单位向量e ，使e 的方向与l 同方向，由平行向量知：轴上任意向量a ，一定存在惟一实数x ，使x =a e .反之：任意给定一个实数x ，可作一个向量x =a e ，使它的长度等于||x ,方向与实数的符号一致。 这里的单位向量e 叫做轴l 的基向量, x 叫做a 在l 上的坐标(或数量). x 的绝对值等于a 的长, 当a 与e 同方向时, x 是正数, 当a 与e 反向时, x 是负数. 小结: 实数x 与轴上的向量a 建立起一一对应关系.于是可用数值表示向量. 轴上两个向量相等的条件 ： 轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等; 轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和. 公式(1) 公式(2)： 即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标 。 公式(3)：
三练习 例1、计算： 例2、设x 是未知向量，解方程 例3. 已知3,3OA OA A B AB '''==，说明向量OB 与OB ' 例4： 已知向量,a b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使,a b 共线的条件是（ ） ①234a b e -= 且23a b e +=- ② 存在相异实数,λμ使0a b λμ-= ③0xa yb +=(其中实数x , y 满足x +y =0) ④ 已知梯形ABCD ，其中,AB a CD b == A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④ 例5、已知任意两个向量,a b ，试作,OA a b =+2,3.OB a b OC a b =+=+ 你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？ ,28,3(),,a b AB a b BC a b CD a b A B D k ka b a kb =+=+=-++例6、证明三点共线设两个非零向量与不共线 （1）若求证三点共线（2）求，使得与共线 例7:1.证明:若,,A B C 三点共线,则(1)PC PA PB λλ=+- 2.证明:若(1)PC PA PB λλ=+-，则A,B,C 三点共线 ()()()() (3)4;(23)(32).a a b c a b c a b a b λμλμ-?+---+---+(1)(2)；(3)+()() 530 x a x b ++-=
平面向量在坐标中的运算(习题带答案)
一．复习巩固 1、下列说法正确的是（D ） A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C 、向量的大小与方向有关. D 、向量的模可以比较大小. 2、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD u u u r u u u r u u u r u u u r 是（D ） A 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量 D 、模相等的向量 3、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||||a b =r r ，则a b =r r ； ③若AB DC =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r ； ⑤若m n =u r r ，n k =r r ，则m k =u r r ；⑥a b r r P ，b c r r P ，则a c r r P . 其中不正确的命题的个数为（B ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 4、下列命中，正确的是（ C ） A 、|a r |＝|b r |?a r ＝b r B 、|a r |＞|b r |?a r ＞b r C 、a r ＝b r ?a r ∥b r D 、｜a r ｜＝0?a r ＝0 6．如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点， 若AB →＝a ，AC →＝b ，则MN → ＝__ _____. 7．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ A ） A ．a 与b 方向相同 B ．a = b C ．a =- b D ．a 与b 方向相反 8．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量OB →，OC → ， OD →，OE →，OF →，AB →，BC →，CD →，EF →，DE →，FA →中与OA → 共线的向量有 个 个 个 个 （ C ）
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 课标要求素养要求 掌握数乘向量的坐标运算法则，理解用 坐标表示平面向量共线的条件，掌握三 点共线的判断方法. 通过数乘向量的坐标运算，理解平面向 量共线的坐标表示形式，体会数学运算 及数学抽象素养. 教材知识探究 贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过 B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问从 A地到E地的行程有多少？”其解答方法是： 贝贝：502＋502＋502＋502＝1 004＋502＋502＝1 506＋502＝2 008(km). 晶晶：502×4＝2 008(km). 可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大的方便. 问题1当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？ 提示横纵坐标均不为0时成比例. 问题2如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？提示能.将b写成λa形式，λ>0时，b与a同向，λ<0时，b与a反向. 1.平面向量数乘运算的坐标表示 设向量a＝(x，y)，则有λa＝(λx，λy)，这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 2.平面向量共线的坐标表示
利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单明快 设a ＝(x 1，y 1))，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.向量a ，b (b ≠0)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.) 3.中点坐标公式 若P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x ，y )，则?????x ＝x 1＋x 2 2，y ＝y 1＋y 2 2， 此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式. ,教材拓展补遗 [微判断] 1.若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1 ＝x 2 y 2 .(×) 2.若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1－x 2y 2＝0，则a ∥b .(×) 3.若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2－x 2y 1＝0，则a ∥b .(√) 提示 1.当y 1y 2＝0时不成立. 两向量共线的坐标表示为x 1y 2－x 2y 1＝0，故2错，3正确. [微训练] 1.已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A.(－2，－4) B.(－3，－6) C.(－4，－8) D.(－5，－10) 解析 由a ∥b 得到m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8). 答案 C 2.已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝________. 解析 2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7). 答案 (5，7) 3.已知P (2，6)，Q (－4，0)，则PQ 的中点坐标为________. 解析 根据中点坐标公式可得，PQ 的中点坐标为(－1，3).
(完整版)平面向量的坐标运算测试题
平面向量的坐标运算测试题 一、选择题（每题5分，共10题） 1. 如右图所示，平面向量的坐标是（ ）AB A. B. (2,3)(2,3)- C. D. (2,3)--(2,3) - 2. 已知向量，则向量与单位向量的夹角是（ ）(1,a = a (1,0)i = A. B. C. D. 30 60 120 150 3. 设，是平面中所有向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面中所有向量的一组基底的是（ 1e 2e A. 和 B. 和12e e + 12e e - 122e e - 2e C. 和 D. 和122e e - 2163e e - 12e e - 21 2e e + 4. 以下四种说法中错误的是（ ） A. 平面内任一向量都可以由这个平面内的两个不共线的向量线性表示 B. 不可以作为平面中所有向量的一组基底 0 C. 若，是平面中所有向量的一组基底，，则有1e 2e 11220e e λλ=+ 120 λλ==D. 若，则存在唯一的实数，使得成立 //a b λb a λ= 5. 向量，它与轴正方向上的夹角为，则它在轴上的投影为（ ） ||10a = x 150 x A. B. 5 C. D. -5-6. 如图，已知，，点是的三等分点，则 (4,1)OA = (1,3)OB = C AB （ ） OC = A. B. 7(2,)35(,2)2 C. D. 5(3,)37(2,)3--7. 已知向量，，若与共线，则等于（ ） (2,3)a = (1,2)b =- ma nb + 2a b - m n A. B. C. D. 12212-2-
8. 设均为单位向量，，那么（ ） ,a b ,60a b <>= |5|a b += D. 5 9. 已知点，，，设的平分线与相交于，且，则 A (0,0) B C BAC ∠AE BC E BC CE λ= 等于（ ）λA. B. C. D. 2123-13 - 10. 点是所在平面内的一点，满足，则点是的（ ）O ABC ?OA OB OB OC OC OA == A A A O ABC ?A. 三个内角的角平分线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点 二、填空题（每题6分，共4小题） 11. 在中，，，，为的中点，则____________. （用 ABCD A AB a = AD b = 3AN NC = M BC MN = 表示） ,a b 12. 将的图像按平移，得到的图像，则的坐标是___________.()sin 1f x x =-a ()sin(13f x x π=-+a 13. 已知，，则等于__________. ,120a b <>= ||3,||a a b =+= ||b 14. 若将向量围绕原点按逆时针方向旋转得到向量，则向量的坐标为___________.(2,1)a = 4 πb b 三、解答题（每题10分，共4小题） 15. 已知的三个定点的坐标一次是、、，依次是边 ABC ?,,A B C (7,8)(3,5)(4,3),,M N D 的中点，且与交于点，求的坐标 ,,AB AC BC MN AD E DE
向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及其运算 【知识概要】 1. 向量及其表示 1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上 面加箭头来表示，如a读作向量a， 向量也可以用两个大写字母上面加 箭头来表示，如AB，表示由A到B的向量. A为向量的起点，B为向量的终点）.向量AB（或a）的大小叫做向量的模，记作AB（或a）. 注：①既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别； ②长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的注意与0的区别 ③长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大
小，不确定方向. 例1 下列各量中不是向量的是（ D A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 例2 下列说法中错误 ．．的是（ A ） A.B.零向 量的长度为0 C. D.零向 例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A.B. C. D. 2）向量坐标的有关概念 ①基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i和j. ②将向量a的起点置于坐标原点O，作OA a ， 则OA叫做位置向量，如果点A的坐标为(,) x y，它在
x 轴和 y 轴上的投影分别为 ,M N ，则 ,.OA OM ON a OA xi y j =+==+ ③ 向量的正交分解 在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、j 分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称 为i 、j 的线性组合，这种向量的表示方法叫做向 量的正交分解，把有序的实数对(,) x y 叫做向量a 的坐标，记为a =(,)x y . 一般地，对于以点1 1 1 (,)P x y 为起点，点2 2 2 (,)P x y 为终 点的向量12 PP ，容易推得122 121()()PP x x i y y j =-+-，于是相 应地就可以把有序实数对2 121(,) x x y y --叫做12 PP 的坐 标，记作12 PP =2 121(,) x x y y --. 3）向量的坐标运算：1 1 2 2 (,),(,)a x y b x y ==，R λ∈ 则1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--=. 4） 向量的模：设(,)a x y =，由两点间距离公式，可求得向量a 的模()norm . 2a x =+ 注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示；