第一节二重积分的概念及性质教案

第九章重积分

第一节二重积分的概念及性质

重积分的概念

1 ?引例

引例1曲顶柱体的体积

设有一立体的底是xy面上的有界闭区域D，侧面是以D的边界曲线为准线、母线

平行于z轴的柱面，顶是有二元非负连续函数z f(x,y)所表示的曲面，如图9—1所示, 这个立体称为D上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。

图9—1 图9—2 图9 —3

解对于平柱体的体积V高底面积，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下

(1)分割

把区域D任意划分成n个小闭区域，，，，其中表示第i个小闭区域，

1 2 n i

也表示它的面积。在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面，如图9—2所示。这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n个小曲顶柱体。

⑵近似

在每一个小闭区域上任取一点(，)，以f ( i , i)为高，为底的平顶柱体

i I / i

的体积f( i, i) i近似代替第i个小曲顶柱体的体积

V f ( i, i)

(3) 求和这n 个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值n

V V f ( i, i) i

(4) 取极限

将区域D无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲

顶柱体的体积。即

V lim0 f ( i, i ) i

其中表示这n 个小闭区域直径中最大值的直径(有界闭区域的直径是指区

i 域中任意两点间的距离) 。

引例2 平面薄片的质量

设有一平面薄片占有 xy面上的有界闭区域D，它的密度为D上的连续函数

z (x, y) ，试求平面薄片的质量。

解对于均匀平面薄片的质量m 密度薄片面积，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下

(1)分割

将薄片(即区域D )任意划分成n个小薄片，其中表示第i个

1 2 n i

小小薄片，也表示它的面积，如图9—3 所示。

(2)近似

在每一个小薄片」上任取一点(「丿，以(i, J为其密度，当i很小时，认

为小薄片是均匀的，则(i, i) i近似代替第i个小薄片的质量。即

m ( i , i) i

(3)求和

这n个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值

(4) 取极限

将薄片D 无限细分，且每个小薄片趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于薄片的质量。即

m lim 0

( i , i ) i

其中表示这 n 个小薄片直径中最大值的直径。 i 2．二重积分的概念

定积分与曲边梯形的面积有关。上面例子抛开其几何意义和物理意义，单纯地从数学结构角度来考虑，那就是二重积分。

定义设z f(x,y)是有界闭区域D 上的有界函数

f(x, y)d

D n

lim 0

i , i )

i i i

i 1

i i i

其中f (x, y)叫做被积函数，f(x, y)d 叫做被积表达式，d 叫做面积元素，x 与y 叫做 n 积分变量， D 叫做积分区域， f( , ) 叫做积分和。

i i i

(1)将闭区域D 任意分成n 个小闭区域，其中表示第 i 个小闭

区域，也表示它的面积。

在每个上任取一点 ( , ) ，作乘积

i i

2) ii

f( i , i )

(i=1, 2,…，n )

3) 4)

并作和

f( i , i ) i

i 1

i i i

如果当各小闭区域的直

径中的最大值

趋于零时，这和式的极限总存在，

则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分，记作

f (x, y)d D

【注意】在二重积分的定义中对闭区域D的划分是任意的，

若在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，那么除了包含边界点的一些小闭

区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域，设矩形闭儿区域.的

边长X和y，贝U x y，因此在直角坐*

标系中，有时也把面积元素d记作dxdy，从而

一.

f(x, y)d f (x, y)dxdy

D D

其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素

3?二重积分的几何意义

若f (x, y) 0，函数f (x, y)在闭区域D上的二重积分表示为以D为底面，f (x, y)为曲顶的曲顶柱体的体积；

若f (x, y) 0，表示柱体在xoy面的下方，二重积分是该柱体体积的相反数；

若函数f (x, y)在闭区域D上既有正的，又有负的，则二重积分表示在 xoy面的上、F方的柱体体积的代数和。

4.二重积分存在性

如果被积函数f(x,y)在积分区域D上连续，那末二重积分f(x, y)d必定存在

重积分的性质

性质1被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去。即

kf (x, y)d k f (x, y)d

D D

性质2 (线性性)有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和即

[f (x,y) g(x, y)]d f (x, y)d g(x, y)d D D D

定积分的概念(教学内容)

授课题目定积分的概念课时数1课时教学目标理解定积分的基本思想和概念的形成过程，掌握解决积分学问题的“四步曲”。重点与难点重点：定积分的基本思想方法，定积分的概念形成过程。难点：定积分概念的理解。学情分析我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。教材分析本次课是学生学习完导数和不定积分这两个概念后的学习，定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺垫，起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变代变”的基本思想。所以无论从内容还是数学思想方面，本次课在教材中都处于重要的地位。教学方法根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。

教学手段传统教学与多媒体资源相结合。课程资源同济大学《高等数学》（第七版）上册教学内容与过程一、定积分问题举例 1、曲边梯形的面积设)(x f y =在区间],[b a 上非负连续。由)(,0,,x f y y b x a x ====所围成的图形称为曲边梯形（见下图），求其面积A ，具体计算步骤如下：（1）分割：在区间],[b a 中任意插入1-n 个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ 把],[b a 分成n 个小区间 ],[,],,[],,[12110n n x x x x x x -Λ 它们的长度依次为：n x x x ???,,,21Λ （2）近似代替：区间],[1i i x x -对应的第i 个小曲边梯形面积,)(i i i x f A ?≈?ξ ]).,[(1i i i x x -∈?ξ （3）求和：曲边梯形面积∑∑==?≈?=n i i i n i i x f A A 1 1 )(ξ （4）取极限：曲边梯形面积,)(lim 10∑=→?=n i i i x f A ξλ其中 }.,,m ax {1n x x ??=Λλ 2、变速直线运动路程设物体做直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上的非负连续函数，计算这段时间内物体经过的路程s ，具体计算步骤与上相似 x a b y o 1x i x 1-i x i ξ

二重积分的概念

第一节二重积分的概念与性质一、内容要点 1、引例例1曲顶柱体的体积例2平面薄片的质量通过两个实际意义不同的例子，引出所求量可归结为同一形式的和式的极限，进而一般地抽象出二重积分的定义。 2、二重积分的概念：注意讲清楚定义中两个“任意性”及和式极限中各符号的意义。 3、二重积分的性质1-6，注意将其与定积分性质加以比较。例3关于估值定理的应用例4关于中值定理的应用 4、二重积分的几何意义——曲顶柱体的体积。二、教学要求和注意点理解二重积分，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。第二节二重积分的计算法一、内容要点利用直角坐标计算二重积分 1、从几何入手，利用计算“平行截面面积为已知的立体的体积”方法，将二重分化为二次积分： ①若D 为X —型区域：{}b x a x y x y x ≤≤≤≤),()(),(21?? 则 ????=D x x b a dy y x f dx d y x f )()(21),(),(??σ ②若D 为Y —型区域：{}d y c y x y y x ≤≤≤≤),()(),(21?? 则 ????=D y y d c dx y x f dy d y x f )()(21),(),(??σ ③若D 既非X —型，又非Y —型区域，则将D 划分为若干子区域，使每一个子区域为X —型或Y —型。 2、介绍“对称性”在二重积分计算中的应用。例1化二重积分为二次积分并求值，通过例子说明确定积分限的方法。例2更换积分次序并计算，通过该例说明选择积分次序的重要性。

例3关于利用对称性计算二重积分的例子。例4被积函数为绝对值函数、符号函数，取最大值或最小值等函数的例子。利用极坐标计算二重积分 1、介绍极坐标下二重积分的换元公式。 2、何时选用极坐标进行计算，一般说来，当积分域D 的边界曲线用极坐标方程表示比较简单或被积函数用极坐标表示比较简单，可考虑用积坐标计算。 3、确定积分上下限的办法。例1将直角坐标系下的二次积分化为极坐标系下的二次积分例2利用二重积分计算概率积分 dx e x 2 0-+∞? 例3将极坐标系下的二次积分化为直角坐标系下的二次积分例4利用极坐标计算二重积分二、教学要求和注意点 1、掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法 2、将重积分化为累次积分计算时，积分限的确定要保持每个单积分的下限小于上限，因此在交换二次积分次序时应注意符号问题。 3、在二重积分的计算时应尽量利用区域和被积函数的对称性以简化计算。第四节三重积分一、内容要点 1、三重积分的概念，存在性及性质 2、三重积分在直角坐标系下的计算 ①先单积分后二重积分 ②先二重积分后单积分 3、更换积分次序例1将三重积分化为三次积分例2更换积分次序例3先二重积分后单积分 4、柱面坐标系下三重积分的计算。 5、何时选用柱面坐标——当Ω是柱形，锥形或旋转体且在坐标面上的投影是圆域或其部分，或者被积函数含有式子)(22y x +?等时，常用柱面坐标计算。 6、球面坐标系下三重积分的计算。 7、何时选用球面坐标——当Ω是球体或其部分，或被积函数含有式子)(222z y x ++?

§1.5.3定积分的概念教案

1.5.3定积分的概念教学目标能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；重点定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义难点定积分的概念、定积分的几何意义复习： 1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．新课讲授 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式： 1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-= ?= ∑ ∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数 S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为： ()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。说明：（1）定积分()b a f x dx ?是一个常数，即n S 无限趋近的常数S

（n →+∞时）称为()b a f x dx ? ，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑ ； ④取极限：() 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑ ? （3）曲边图形面积：()b a S f x dx =?；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =?；变力做功 ()b a W F r dr = ? 2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有 ()0 f x ≥，那么定积分 ()b a f x dx ? 表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线() y f x = 所围成的曲边梯形的面积。例1．计算定积分2 1 (1)x dx +? 分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为5 2 。即：2 1 5(1)2 x dx += ? 思考：若改为计算定积分 22 (1)x dx -+? 呢？改变了积分上、下限，被积函数在 [2,2]-上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）练习计算下列定积分 1．50(24)x dx -? 解：5 0(24)945x dx -=-=? 2．1 1x dx -? 解：11 111111122 x dx -= ??+ ??=?

高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质

高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第5章定积分及其应用定积分的概念与性质【教学目的】： 1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法； 2. 理解定积分的概念及其性质； 3. 掌握定积分的几何意义；【教学重点】： 1. 定积分的概念及其性质；【教学难点】： 1. 曲边梯形面积求法的思维方法；【教学时数】：2学时【教学过程】：案例研究引例5.1.1 曲边梯形的面积问题所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和 0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边梯形的面积．分析由于“矩形面积=底?高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间 [,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间 [,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于 y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边图5-1 图5-2

梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积（如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A . （1）分割在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点， 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将闭区间[,]a b 分成n 个小区间 ],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ，它们的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-，过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形；（2）取近似在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点 1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -?=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?，即 ()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=，（3）求和把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=?n i i i x f 1)(ξ，将其作为曲边梯形面积的近似值，即 11()n n i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑；（4）取极限当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ （max{}i x λ=?）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值，即 01lim ()n i i i A f x λξ→==?∑. 5.1.1 定积分的定义定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插入1n -个分点 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将区间[,]a b 分成n 个小区间 011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --，各小区间的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-，在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的乘积),,2,1()(n i x f i i =?ξ，并作和∑=?n i i i x f 1)(ξ，记 }max {i x ?=λ， ),,2,1(n i =，当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区

二重积分的概念及性质

二重积分的概念及性质前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。二重积分的定义设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数： (1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）； (2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积； (3)把所有这些乘积相加,即作出和数 (4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作: 即：= 其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域. 关于二重积分的问题对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。上述就是二重积分的几何意义。

如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。二重积分的性质 (1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去. (2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和. (3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末: (4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末: ≤ (5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使其中σ是区域(σ)的面积. 二重积分的计算法直角坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。为此我们有积分公式，如下：

定积分的概念(教案)

1.5.3．定积分的概念一、复习回顾： 1．回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤： 2．上述两个问题的共性是什么？二、新知探究 1．定积分的概念注：说明：（1）定积分()b a f x dx ?是一个，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为 ()b a f x dx ?，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：（3）曲边图形面积：变速运动路程：变力做功：例1：利用定积分的定义,计算 dx x ?102 、 dx x ?1 03 的值.

2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 ?b a dx x kf )(= ；性质2 dx x g x f b a ?±)]()([= 性质3 ??=c a b a dx x f dx x f )()( + 3．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()b a f x dx ?表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分 ()b a f x dx ?的几何意义。思考：（1）在[,]a b 上0)(≥x f ，()b a f x dx ?= （2）在[,]a b 上0)(≤x f ，()b a f x dx ?= （3）在[,]a b 上)(x f 变号，()b a f x dx ?=

⑤ 练习： 1、利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。（1） dx x ?20sin π （2）dx x ?-212 （3）dx x ?-1 23 2、利用定积分的几何意义，说明下列各式成立（1） 0sin 22=?-dx x π π ， 0sin 20=?dx x π （2）dx x dx x ??=200sin 2sin π π 3、计算下列定积分（1）dx b a ?1 （2）11x dx -?．（3） 5 0(24)x dx -? （4） dx x ?-1021 （5）120(2)x x dx -? 三、课堂小结： ①定积分的概念及性质②用定义法求简单的定积分③定积分的几何意义

第一节二重积分的概念及性质教案

第九章重积分第一节二重积分的概念及性质一．二重积分的概念 1．引例引例1 曲顶柱体的体积设有一立体的底是xy 面上的有界闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，顶是有二元非负连续函数),(y x f z = 所表示的曲面，如图9—1所示，这个立体称为D 上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。图9—1 图9—2 图9—3 解对于平柱体的体积底面积高?=V ，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下 (1)分割把区域D 任意划分成n 个小闭区域n σσσ???,,,2 1 ，其中i σ?表示第i 个小闭区域，也表示它的面积。在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，如图9—2所示。这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n 个小曲顶柱体。 (2)近似在每一个小闭区域i σ?上任取一点),(i i ηξ，以),(i i f ηξ为高，i σ?为底的平顶柱体的体积i i i f σηξ?),(近似代替第i 个小曲顶柱体的体积。

i i i f V σηξ?≈?),( (3)求和这n 个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值 ∑=?≈?=n i i i i f V V 1),(σηξ (4)取极限将区域D 无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。即 ∑=→?=n i i i i f V 10 ),(lim σηξλ 其中λ表示这n 个小闭区域i σ?直径中最大值的直径（有界闭区域的直径是指区域中任意两点间的距离）。引例2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xy 面上的有界闭区域D ，它的密度为D 上的连续函数 ),(y x z ρ=，试求平面薄片的质量。解对于均匀平面薄片的质量薄片面积密度?=m ，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下 (1)分割将薄片（即区域D ）任意划分成n 个小薄片n σσσ???,,,2 1 ，其中i σ?表示第i 个小小薄片，也表示它的面积，如图9—3所示。 (2)近似在每一个小薄片i σ?上任取一点),(i i ηξ，以),(i i ηξρ为其密度，当i σ?很小时，认为小薄片是均匀的，则i i i σηξρ?),(近似代替第i 个小薄片的质量。即 i i i m σηξρ?≈?),( (3)求和这n 个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值

定积分的概念教案知识讲解

定积分的概念教案

人教A版必修一教材教材内容分析微积分的出现和发展，极大的推动了数学的发展，同时也推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。本节课是定积分概念的第一节课，教材借助求曲边梯形的面积和物理中变速直线运动的路程，通过直观具体的实例引入到定积分的学习中，为定积分概念构建认知基础，为理解定积分概念及几何意义起到了铺垫作用，同时也为今后进一步学习微积分打下基础。学生情况分析本节课的教学对象是本校实验班学生，学生思维比较活跃，理解能力、运算能力和学习交流能力较强。学生前面已经学习了导数，并利用导数研究函数的单调性、极值及生活中的优化问题等，渗透了微分思想。从学生的思维特点看，比较容易把刘徽的“割圆术”与本节课知识联系到一起，能够初步了解到“以直代曲”和“无限逼近”的重要数学思想，但是在具体的“以直代曲”过程中，如何选择适当的直边图形来代替曲边梯形会有一些困难。在对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值及在对定积分定义的归纳中符号的理解上也会有一些困难。教学目标 1．从物理问题情境中了解定积分概念的实际背景，初步掌握求曲边梯形的面积的方法和步骤：分割、近似代替、求和、取极限； 2．经历求曲变梯形面积的过程，借助几何直观体会“以直代曲”和“逼近”的思想，学习归纳、类比的推理方式，体验从特殊到一般、从具体到抽象、化归与转化的数学思想； 3．认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点,感受数学的简单、简洁之美．教学重点直观体会定积分的基本思想方法：“以直代曲”、“无限逼近”的思想；初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤——“四步曲”（即：分割、近似代替、求和、取极限）教学难点对“以直代曲”、“逼近” 思想的形成过程的理解．教学方式教师适时引导和学生自主探究发现相结合．辅助工具投影展台，几何画板．教学过程引入新课问题：汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为 S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为()2 v t t=（单位：km/h），那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km）是多少？创设情境，引入这节课所要研究的问题. 类比探究，形成方法如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线() y f x =的一段，我们把由直线,(),0 x a x b a b y ==≠=和曲线() y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？（1）温故知新，铺垫思想问题1：我们在以前的学习经历中有没有用直边图形的面积计算曲边图形面积这样的例子？问题2：在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积？为什么要逐次加倍正多边形的边数？（2）类比迁移，分组探究问题3：能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯形的面积问题转化为直边图形的面积问题？学生活动：学生进行分组讨论、探究。（3）汇报比较，形成方法学生需要用原有的知识与经验去同化或顺应当前要学习的新知识，所以问题1引导学生回忆割圆术的作法，通过问题2引导学生思考割圆术中的思想方法----“以直代曲”，和“无限逼近”。通过问题3激发学生探索的愿望，明确解决问题的方向。

二重积分学习总结

高等数学论文《二重积分学习总结》：徐琛豪班级：安全工程02班学号：1201050221 完成时间：2013年6月2日

二重积分【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 1 二重积分的概念与性质 1．二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。

曲线积分与曲面积分备课教案

第十章曲线积分与曲面积分一、教学目标及基本要求： 1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2、会计算两类曲线积分 3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。 5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。 6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。二、教学内容及学时分配：第一节对弧长的曲线积分2学时第二节对坐标的曲线积分2学时第三节格林公式及其应用4学时第四节对面积的曲面积分2学时第五节对坐标的曲面积分2学时第六节高斯公式通量与散度2学时第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时三、教学内容的重点及难点： 1、二类曲线积分的概念及其计算方法 2、二类曲面积分的概念及其计算方法 3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式 4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。 5、两类曲线积分的关系和区别 6、两类曲面积分的关系和区别 7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用五、思考题与习题第一节习题10—1 131页：3（单数）、4、5 第二节习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数）第三节习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7 第四节习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8 第五节习题10-5 167页：3（单数）、4 第六节习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数）第七节习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4 第一节对弧长的曲线积分一、内容要点由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量

定积分的概念教案

定积分的概念教学目标：知识目标：掌握定积分的含义，理解定积分的几何意义。能力目标： 1、理解定积分概念中归纳思维的运用； 2、掌握例题求解过程中对比思维的运用。素质目标：提升分析与解决问题的能力教学重点和难点：教学重点：定积分的概念和思想教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想教学方法： 1、直观法：让抽象的数学与具体的生活结合。 2、归纳法：让严整的数学定义与休闲的娱乐生活结合。 3、类比法：让例题求解过程与社会事例结合。 4、总结法：数学学习中培养的能力贯穿生活、社会、科学等各方面。教学过程：一、引入新课我们已经学过规则平面图形的面积：三角形四边形梯形圆等，那么不规则平面图形的面积该怎么求呢？二、讲解新课实例1曲边梯形的面积曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形，如左下图所示. 曲边梯形面积的确定步骤：推广为 y O M P Q N B x C A A 曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示： O x y y = f (x )

(1)分割任取分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ,把底边[a ,b ]分成n 个小区间 []21,x x ,(),,2,1n i =.小区间长度记为 ); ,,2,1(1n i x x x i i i =-=?- (2) 取近似在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ竖起高线)(i f ξ,则得小长条面积 i A ?的近似值为 i i i x f A ?≈?)(ξ (n i ,,2,1 =); (3) 求和把n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积A 的近似值 i n i i n n x f x f x f x f ?=?++?+?∑=)()()()(1 2211ξξξξ ; (4) 取极限令小区间长度的最大值{}i n i x ?=≤≤1max λ 趋于零,则和式 i n i i x f ?∑=)(1ξ的极限就是曲边梯形面积A 的精确值，即 i n i i x f A ?=∑=→1 )(lim ξλ 实例2 路程问题解决变速运动的路程的基本思路：把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割（2）近似（3）求和（4）取极限路程的精确值 2、归纳总结曲边梯形的面积和变速运动的路程得出定积分的概念。 3、定积分的概念定义 3.1 设函数)(x f y =在[b a ,]上有定义，任取分点 <<<=321x x x a n n x x <<-1b =,分],[b a 为n 个小区间],[1i i x x -),,2,1(n i =. 记 {}i n i i i i x n i x x x ?==-=?≤≤-11max ),,,2,1(λ , 212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1--=?i i i t t t i i i t v s ?≈?)(τi i n i t v s ?≈∑ =)(1τ0},,,m ax {21→???=n t t t λi n i i t v s ?=∑=→)(lim 1 0τλ

(完整版)定积分教案

《数学分析》之九第九章定积分（14+4学时）教学大纲教学要求： 1．理解Riemann定积分的定义及其几何意义 2．了解上和与下和及其有关性质 3．理解函数可积的充要条件，了解Riemann可积函数类 4．熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式 5．了解积分第一中值定理 6．掌握变上限积分及其性质 7．熟练掌握Newton-Leibniz公式，定积分换元法，分部积分法教学内容：问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部法。第页

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页第页

=i 1 。则称函数)(x f 在[b a .]上可积或黎曼可积。数J 称为函数)(x f 在[b a .]上的定积分或黎曼积分，记作： ?=b a dx x f J )( 其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，[b a .]称为积分区间，dx x f )(称为被积式，b a ,分别称为积分的下限和上限。定积分的几何意义；连续函数定积分存在（见定理9.3）三、举例: 例1 已知函数在区间上可积 .用定义求积分 . 解取等分区间作为分法 n b x T i = ?, 取 .= . 由函数)(x f 在区间],0[b 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 . 例2 已知函数2 11 )(x x f += 在区间]1,0[上可积 ,用定义求积分 . 解分法与介点集选法如例1 , 有 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分

人教课标版高中数学选修2-2：《定积分的概念》教案-新版

1.5.3 定积分的概念一、教学目标 1．核心素养通过定积分的概念的学习，提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力. 2．学习目标（1）借助几何直观体会定积分的基本思想；（2）初步了解定积分的概念. 3．学习重点定积分的概念与定积分的几何意义 4．学习难点定积分的概念二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务:预习教材P 45—P 48,完成相应练习题 2．预习自测 1.设 f (x )＝????? x 2(x ≥0)，2x (x <0)，则??－1 1f (x )dx 等于（） A ．??－11x 2dx B ．??－1 12x d C ．??－10x 2dx ＋??012x dx D ．??－102x dx ＋??01x 2dx 答案：D 2.定积分?1 3 (－3)dx 等（）

A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．3 答案：A 3.已知t >0，若??0t (2x －2)dx ＝8，则t ＝（） A ．1 B ．－2 C ．－2或4 D ．4 答案：D （二）课堂设计 1．知识回顾求曲边梯形面积的步骤 ①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值； ③求和：计算出n 个小矩形的面积之和n S ，n S 即为曲边梯形面积的近似值； ④取极限：求lim n n S S →+∞ =（S 即为曲边梯形的面积） 2．问题探究问题探究一什么是定积分？学生活动：阅读课本相应内容，找到定积分的定义，并概括出求定积分的基本步骤：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<< <<< <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点()12i i ,,...,n ξ=，作和式1 1 ()()n n i i i i b a f x f n ξξ==-?=∑∑ ，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()b a f x dx ?.

第一节二重积分的概念及性质教案

第九章重积分第一节二重积分的概念及性质重积分的概念 1 ?引例引例1曲顶柱体的体积设有一立体的底是xy面上的有界闭区域D，侧面是以D的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面，顶是有二元非负连续函数z f(x,y)所表示的曲面，如图9—1所示, 这个立体称为D上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。图9—1 图9—2 图9 —3 解对于平柱体的体积V高底面积，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下 (1)分割把区域D任意划分成n个小闭区域，，，，其中表示第i个小闭区域， 1 2 n i 也表示它的面积。在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面，如图9—2所示。这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n个小曲顶柱体。 ⑵近似在每一个小闭区域上任取一点(，)，以f ( i , i)为高，为底的平顶柱体 i I / i 的体积f( i, i) i近似代替第i个小曲顶柱体的体积

V f ( i, i) (3) 求和这n 个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值n V V f ( i, i) i i1 (4) 取极限将区域D无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。即 n V lim0 f ( i, i ) i i1 其中表示这n 个小闭区域直径中最大值的直径(有界闭区域的直径是指区 i 域中任意两点间的距离) 。引例2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有 xy面上的有界闭区域D，它的密度为D上的连续函数 z (x, y) ，试求平面薄片的质量。解对于均匀平面薄片的质量m 密度薄片面积，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下 (1)分割将薄片(即区域D )任意划分成n个小薄片，其中表示第i个 1 2 n i 小小薄片，也表示它的面积，如图9—3 所示。 (2)近似在每一个小薄片」上任取一点(「丿，以(i, J为其密度，当i很小时，认为小薄片是均匀的，则(i, i) i近似代替第i个小薄片的质量。即 m ( i , i) i (3)求和这n个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值

二重积分的概念与性质教案

7.1二重积分的基本概念（教案）主讲人：孙杰华教学目的：理解二重积分的概念、性质教学重难点：二重积分的概念、二重积分的几何意义. 教学方法：讲授为主教学内容：一、二重积分的概念 1．曲顶柱体的体积设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =，称这种立体为曲顶柱体. 与求曲边梯形的面积的方法类似，我们可以这样来求曲顶柱体的体积V : (1)用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ?，2σ?，，n σ?，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1?Ω，2?Ω，，n ?Ω. （假设i σ?所对应的小曲顶柱体为i ?Ω,这里i σ?既代表第i 个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值.)，从而1 n i i V ==?Ω∑．图7.1 (2)由于(,)f x y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大．因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是

(,),((,))i i i i i i i f ξησξησ?Ω≈??∈?. (3)整个曲顶柱体的体积近似值为 1 (,)n i i i i V f ξησ=≈?∑. (4)为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩．为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者. 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零. 设n 个小区域直径中的最大者为λ,则 1 lim (,),(,)n i i i i i i i V f λξησξησ→==??∈?∑. 2．二重积分的定义设(),f x y 是闭区域D 上的有界函数, 将区域D 分成个小区域 12,,,,n σσσ??? 其中,i σ?既表示第i 个小区域,也表示它的面积, i λ表示它的直径. 1max{}(,)i i i i i n λλξησ≤≤=?∈?，作乘积(,)(1,2 ,)i i i f i n ξησ?=，作和式 1 (,)n i i i i f ξησ =?∑，若极限()0 1 lim ,n i i i i f λξησ →=?∑存在,则称此极限值为函数(),f x y 在区域D 上的二重积分,记作 (),D f x y d σ??.即 (),D f x y d σ=??()0 1 lim ,n i i i i f λξησ →=?∑．其中:(),f x y 称之为被积函数,(),f x y d σ称之为被积表达式,d σ称之为面积元素, ,x y 称之为积分变量,D 称之为积分区域. V n

高等数学教案22定积分的概念与性质

第5章定积分及其应用定积分的概念与性质【教学目的】： 1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法； 2. 理解定积分的概念及其性质； 3. 掌握定积分的几何意义；【教学重点】： 1. 定积分的概念及其性质；【教学难点】： 1. 曲边梯形面积求法的思维方法；【教学时数】：2学时【教学过程】：案例研究引例曲边梯形的面积问题所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和 0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边梯形的面积．分析由于“矩形面积=底?高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间[,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间[,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积（如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A . 图5-1 图5-2

（1）分割在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点， 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将闭区间[,]a b 分成n 个小区间 ],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x --ΛΛ，它们的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-，过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形；（2）取近似在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -?=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?，即 ()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=，（3）求和把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=?n i i i x f 1)(ξ，将其作为曲边梯形面积的近似值，即 1 1 ()n n i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑；（4）取极限当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ（max{}i x λ=?）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值，即 0 1lim ()n i i i A f x λξ→==?∑. 定积分的定义定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插入1n -个分点 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将区间[,]a b 分成n 个小区间 011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --，各小区间的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-，在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的乘积),,2,1()(n i x f i i Λ=?ξ，并作和∑=?n i i i x f 1)(ξ，记 }max {i x ?=λ， ),,2,1(n i Λ=，当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区间[,]a b 上可积，并将此极限值称为函数()y f x =在[,]a b 上的定积分，记为 ?b a dx x f )(. 即 ∑?=→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ，其中x 称为积分变量，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式， a 称为积分下限，b 称为积分上限，[,]a b 称为积分区间，符号?b a dx x f )(读作函数()f x 从