认识一元一次方程(教案)

教学设计

第1课时

教学重点与难点

教学重点：

1．一元一次方程的概念．

2．通过现实情境建立方程模型的思想．

教学难点：

1．对一元一次方程的概念、特征的理解．

2．从现实情境中提炼等量关系．

学情分析

认知基础：因为在小学阶段学习过简易方程，所以七年级的学生对方程这个模型并不陌生．不过与初中的要求相比，已学过的这些知识的规范性、严谨性还不够，对知识的理解比较表层，而且受小学算术解法的影响，大部分学生还没有真正体会到方程在解决实际问题时的优越性和重要性．

活动经验基础：教材为学生提供了许多生动有趣的现实情境，而且七年级学生的思维活跃，乐意接受新事物，喜欢参与探索活动，只要激发起兴趣，本节课要贯彻的数学思想就能较好的实施下去．

教学目标

1．通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义．

2．能根据给出的现实情境，找出其中的等量关系列出方程．

3．通过观察，归纳出一元一次方程的概念．

4．通过经历“建立数学模型”这一数学化的过程，提高学生的抽象概括能力．

教学方法

先通过设置丰富的问题情境吸引学生思考、讨论，克服算术解法的思维定势影响，突出“建模思想”，并引导学生归纳概括相关概念，再利用辨析题，用对比的方法让学生进一步加深对方程、一元一次方程概念的认识，增强他们的判断能力和理解能力．教学过程

一、师生互动，游戏引入

设计说明

通过联系生活中的实际问题，以互动游戏的方式导入新课，可以使学生在心理上缩短与教师间的距离，以放松、愉快的状态顺利开始新课，同时还激发了学生的好奇心和主动学习的欲望，为引出方程的概念作准备．

教师和同学们互动做两个游戏：

游戏一：圈出日历中一个竖列上相邻的三个日期，把它们的和告诉我，我能马上知道这

三天分别是几号．

此游戏可由两名学生分别说出任意三个日期的和，教师回答结果．

游戏二：把你的年龄乘2减5的得数告诉我，我就知道你今年几岁．

此游戏可安排两组学生尝试完成．

问题1：你能说出其中的奥秘吗？

学生进行小组活动，通过观察分析特征，抓住问题中的等量关系．

问题2：你能用符号语言表述其中的数量关系吗？

学生能够发现、找到的规律是多样的．以游戏一为例，当确定三个日期的和为45时，通常会有以下几种形式：(x－7)＋x＋(x＋7)＝45(其中x为竖列三个数中的第二个)；x＋(x＋7)＋(x＋14)＝45(其中x为竖列三个数中的第一个)；x＋(x－7)＋(x－14)＝45(其中x为竖列三个数中的第三个)，教师应及时鼓励和评价学生的各种答案，并使学生在倾听别人的想法、意见的同时，不断完善自己的认识．

随着问题的逐一解答，学生已经联想到以前学过的方程知识，这时教师就可以顺势切入课题，并请学生回顾并口述方程的概念了．

含有未知数的等式叫做方程．

随堂练习1：判断下列各式中哪些是方程？

(1)2x－3＝5；(2)1－8＝x；(3)x－3＝2x＋7；(4)x－(x－1)＝1；(5)y－2；(6)3－2＝1.

答案：(1)(2)(3)(4)．

教学说明

本节课采用师生互动游戏的形式引入新课，学生积极参与到熟悉的情境活动中，通过饶有兴趣的思考，自然而然的渴望知道其中的奥秘，进而被教师带入课堂学习，带进了神奇的方程世界．由于七年级的学生性格活泼，参与热情高，易调动，所以课堂气氛活跃，师生交流融洽而热烈．

出示随堂练习的目的是通过对几道题目的判断，加强学生对方程概念的理解．

二、讲授新课

设计说明

教科书中提供了多个实际问题，通过分析都可以得到一元一次方程，由此既使学生体会到方程作为实际问题的数学模型的作用，又引导学生对一元一次方程的概念进行了探索．1．问题引入

问题1：小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周树苗长高约5厘米，大约几周后树苗长高到1米？

利用课件动画演示树苗的生长过程，设置问题串引导：树苗原高是多少？长高的部分是多少？如果设x周后树苗长高到1米，那么可以得到方程为________．

答案：树苗原高40 cm，长高部分是5x cm，方程为40＋5x＝100.

因为题目中几个数量的单位不统一，所以学生列出方程的形式也不完全一样，比如：0.4＋0.05x ＝1，在教学中应多鼓励学生发表自己的见解，与其他同学一起交流评价．

问题2：根据第六次全国人口普查统计数据，截至2010年11月1日0时，全国每10万人中具有大学文化程度的人数为8 930人，与2000年第五次全国人口普查相比增长了147.30%.问：2000年第五次全国人口普查时每10万人中约有多少人具有大学文化程度？

本题数据较多，辨别有用数据是重要环节，弄清“单位1”是关键．如果设2000年第五次全国人口普查时每10万人中约有x 人具有大学文化程度，那么可以得到方程为________．

答案：(1＋147.30%)x ＝8 930

问题3：某长方形操场的面积为5 850 m 2，长和宽之差为25米，这个操场的长与宽分别是多少米？

先用课件展示一些操场的图片，激发学生的学习兴趣，同时教师做适当讲解，让学生认识到场地的整体设计、座位的安排等等都和数学有着密切联系，使学生认识到现实生活中处处有数学．

本题的做法可以让学生仿照前面教师的编排，自己设计问题串分析题意．如果设这个足球场的宽为x 米，那么长为________米，由此可得到方程为____________________．

答案：x ＋25 x (x ＋25)＝5 850

2．归纳概念

议一议：由上面的问题你得到了哪些方程？其中哪些是你熟悉的方程？

建议学生将上面列得的方程集中放在一起，以便于观察它们的特点，分析时可以引导他们从未知数的个数及未知数的指数两个角度进行思考，并要求学生探讨后用自己的语言进行描述、表达，并进行交流．在讨论中发现学生能够积极阐述自己的观点，通过交流、修改、补充，最终形成对一元一次方程概念的共性的认识．

定义：在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．

使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．

随堂练习2：指出下列方程中，哪些是一元一次方程？

(1)xy ＝x ＋1；(2)2x

＋1＝7；(3)x ＝5； (4)y 2－x ＝0；(5)3(x ＋1)－5(x ＋2)2

＝4；(6)x ＝0. 答案：(3)(5)(6)

教学说明

本环节的“问题引入”首先利用教材的实例，让学生在熟悉的问题情境中，结合设计的问题串逐一分析、思考，找到题目中隐藏的等量关系，然后利用选出的未知数，列得方程．在

这个训练中通过把实际问题转化为数学问题，较好地完成了使学生经历“建立数学模型”这一数学化的过程，也加深了学生对方程有效性的体会．接着趁热打铁，引导学生展开对所列方程的共同点的讨论，归纳出一元一次方程的概念，实现了由感性到理性的上升，这样逐渐提高思维要求，较好地突出了重点，突破了难点．

三、双基训练，巩固应用

设计说明

设计的题目以落实本节重点知识为目的，让学生充分理解方程、方程的解、一元一次方程的概念，并会使用，以形成初步技能．

1．下列各题中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？

(1)3x ＋1＝5；(2)1＋a ＝2；(3)2a ＋3b ；(4)3x ＝4－5；(5)x ＋1＞0；

(6)2x ＋2＝5；(7)3x －12

＋4＝2x ；(8)y 2＋3y ＝0；(9)9x －y ＝2. 答案：方程为(1)(2)(4)(6)(7)(8)(9)；一元一次方程为(1)(2)(4)(7)．

2．下列方程中，解为－2的是( )

A ．3x －2＝2x

B ．4x －1＝2x ＋3

C ．3x ＋1＝2x －1

D ．5x －3＝6x －2

答案：C

3．如果5x m －

2＝8是一元一次方程，那么m ＝________. 答案：3

4．若关于x 的方程ax －6＝2的解为x ＝2，则a ＝________.

答案：4

教学说明

练习1和练习3主要考查学生对方程和一元一次方程两个概念的判断与理解，判断是否为方程的重点在于“等式”和“含有未知数”这两个要点，所以(3)(5)因为不含等号而不符合要求，但同时还要注意(2)中因选择a 这个并不常用的未知数形式，而容易被学生漏选；判断是否为一元一次方程的重点则要放在未知数的个数、系数和指数三个问题上，遇到像

(8)(9)含有二元或二次情况的首先排除，而像(6)这样分母中含有未知数的先直接告诉学生它一定不是一元一次方程，留下悬念，指明这是今后将要学习的另一种方程类型，但没有必要详细解释．但从实际教学中发现，对(6)这种方程类型的判断仍是一个比较集中的出错点，还需多次强化．练习2和练习4直接考查方程的解的概念，比较容易．

四、总结反思

问题1：本节课你在知识方面有哪些收获？

答：一元一次方程的概念；用方程表达实际问题中的等量关系．

问题2：在进行一元一次方程的判断时应注意哪几个关键？

答：(1)是只含一个未知数的整式方程；(2)未知数的系数不为零；(3)未知数的指数是1.

问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么？

答：如何解方程．(为下节课埋下伏笔)

评价与反思

1．本节课采用“创设问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的过程来进行．教师通过猜日历、猜年龄两个游戏，激发学生兴趣，构建新旧知识的衔接，让学生投入到解决问题的实际活动中，全方位展示自己的思维，使方程的出现自然流畅．学生自觉运用方程模型思想去研究、探索，经历数学建模的过程，从而初步体会这种数学思想方法，提高了应用意识．同时辅助使用电教手段展示相应题目并配制简单画面，既节省了时间，又让学生有一些直观体验，收到了比较好的效果．

2．体验是人生的一大财富，在数学学习中，体验越丰富，记忆就越深刻，掌握则越牢固．本节课教师根据学生的心理特点，引导学生开展形式多样的活动(如情境中的游戏活动；自主探索中的小树慢慢长高、操场的长与宽的探究活动；辨析与研讨中的小组合作学习活动等)，让学生在活动中感知、体验方程是刻画现实世界的最有效的数学模型，从而理解一元一次方程的含义，体会应用方程解决现实生活中实际问题的作用，激发学生学习数学的积极情感，使学生产生后续学习的内在动力．

第2课时

教学重点与难点

教学重点：理解等式的基本性质，并能用它们来解方程．

教学难点：

1．对等式的基本性质2中“除以同一个不为0的数”的掌握与应用．

2．利用等式的两条性质进行等式变形．

学情分析

认知基础：七年级学生的思维方式正在以直观形象思维为主，逐渐向抽象逻辑思维转化，虽然直观的实验演示能使他们体会出其中的数学知识，但是对把自己的体会概括成一般性的规律表达出来这个要求，学生还是会感到比较困难，特别是在数学语言的表述上，往往把握得不够准确和严密．

活动经验基础：学生独立思考和探索的愿望和能力比以前有所提高，能在探索的过程中初步形成自己的观点，尝试用语言阐述并与其他同学进行交流，同时又在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法．

教学目标

(1)通过天平实验，归纳出等式的基本性质，并会用数学符号表达．

(2)理解等式的基本性质，能用它们来解方程．

(3)通过观察、操作、归纳等数学活动，感受数学思考过程的条理性和数学结论的严密

性．

(4)感受等式的两条性质体现出的数学的对称美．

教学方法

采用“提出问题——探究规律——得出性质——应用性质”的教学结构，从能形象的表达等式性质的天平、实验入手，使学生在感性观察的基础上，先获取等式第一条性质的结论，并尝试表述，然后再通过类比、模仿，得到第二条性质．整个教学过程在教师指导下，学生主要经历自主探索和合作交流来完成学习活动，并在探究中形成自己的观点，加以应用．教学过程

一、师生互动，实验引入

设计说明

通过天平实验，形象直观的展示等式的基本性质，并让学生在动手操作过程中，主动获取知识，丰富教学活动经验，学会探索，自然过渡到新课学习．

引言：上节课我们学习了一元一次方程、方程的解的概念，那么方程的解是怎样获得的呢？今天我们就来研究如何用等式的基本性质解一元一次方程．

教师先做一个简单的演示：两只手中各拿4支粉笔，现在再分别从粉笔盒里取出两支，放入相应手中，请问两只手中粉笔个数的关系如何？如果将开始手中的粉笔各放回两支，又怎样呢？

学生很快计算出结果，回答两次变化的结果都是两只手中的粉笔数相等．教师适时引导学生将其抽象成数学问题，即：4＝4分别变形为：4＋2＝4＋2和4－2＝4－2.

提出问题：等式就像平衡的天平，你能否通过加、减天平两边的重量，使天平继续保持平衡呢？大家动手实验一下．

组织学生分组自己动手，利用天平进一步探索、体会这种等式的变化．这次要求学生把研究的结果分成几种情况，并试着用精练的语言叙述出来，或分组推荐代表回答．教学说明

先从学生已有的知识出发，提出新问题，激发学习的兴趣和动机，让学生从一开始就充满好奇心和获取知识的欲望．然后提供实验器材，让学生在动手活动中自主探索，合作交流，并要求学生除了在操作时注意记录个人获得的成功体验外，还要多了解他人的想法，把在实验和观察中获得的直观感受，用数学语言表述出来．教师要积极参与到实验中，多观察每个学生的表现，注重学生知识的形成过程．

二、讲授新课

设计说明

引导学生在观察、讨论的基础上归纳等式的基本性质，并应用性质解简单方程．

1．实验总结

用多媒体展示图1：

图1

学生容易表述出：如果在平衡的天平的两边都加同样的量，天平保持平衡；反过来，如果在平衡的天平的两边都减同样的量，天平仍保持平衡．在此基础上提出两个问题．问题1：你们能根据天平的性质归纳出等式的性质吗？

学生回答：等式两边同时加上(或减去)同一个数后，其结果仍相等．

问题2：如果扩大范围，将等式两边同时加上(或减去)同一个代数式呢？结果还是等式吗？请大家试一试．

组织学生小组内列举，交流，得到肯定答案．

2．归纳等式的性质1：

等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式．

问：你能试着用数学符号表达出这个性质吗？

若x＝y，则x＋c＝y＋c(c为代数式)；x－c＝y－c(c为代数式)．

3．归纳等式的性质2：

再用多媒体展示图2：

图2

问题1：请同学们继续观察这幅图片，它反映的问题和第一幅一样吗？

学生回答：不一样，这里的物品数是成倍增加的．

问题2：如果天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一，那么天平还保持平衡吗？

学生易回答：仍平衡．

问题3：你能模仿性质1总结一下吗？

这里学生的回答是多种多样的，而且容易出现像“等式两边同时乘以或除以同一个数，所得结果仍是等式”等不正确的结论，教师要把握好，组织学生充分讨论，确定性质2所必需的限制条件．

等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式．

用数学符号可以表示为：

若x ＝y ，则cx ＝cy (c 为一数值)；x c ＝y c

(c 为一数值，且c ≠0)． 4．例题讲解

等式的两条基本性质是今后解方程的重要依据．

例题：(教材例1、例2)利用等式的性质解下列方程：

(1)x ＋2＝5；(2)3＝x －5；(3)－3x ＝15；(4)－n 3

－2＝10. 先让学生尝试自己解方程，然后请他们讲解每一步的步骤，并说出依据，体会等式的性质在解方程中的应用．

方程解完后再问：你的答案对不对呢？怎样验证你的答案呢？引导学生探讨检验的方法就是把求出的解代入原方程，鼓励他们养成检验的好习惯．

随堂练习：教材“随堂练习”第1题．

教学说明

本环节是学生从活动中总结规律，经历知识形成的重要过程．学生在天平实验的操作过程中，通过多次演示，能够收集到许多和等式的性质有关的信息，而把这些信息先梳理，再分类，最后用语言表述出来，对他们来说应该是一个不小的挑战．教师应特别做好引导和启发工作，既要鼓励学生大胆表述自己的见解，也要及时修正表述中不确切的语句，特别要突出性质2中对于除法运算中零不能作除数这个限制条件，反复强化本节课的重难点．

三、尝试反馈，巩固练习

设计说明

主要是反复训练等式的两条基本性质，可以让学生在练习中多次重复表述，以加强记忆和理解．

1．判断：(1)等式两边同时减去一个数或式子，结果仍相等．

(2)等式两边同时乘以同一个不为零的数，结果仍是等式．

(3)等式两边同时除以同一个数，结果仍是等式．

(4)一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，结果仍相等． 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√

2．将方程4x －5＝7的两边________，得到4x ＝12，这是根据__________；再将等式两边都________，得到x ＝3，这是根据__________．

答案：加5 等式的性质1 除以4 等式的性质2

3．下列各等式正确变形的是( )

A ．由－13x ＝23

y ，得x ＝2y B ．由3x －2＝2x ＋2，得x ＝4

C ．由2x －3＝3x ，得x ＝3

D ．由3x －5＝7，得3x ＝7－5

答案：B

4．下列说法正确的是( )

A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c

B ．在等式a ＝b 两边都除以c 2＋1，可得a c 2＋1＝b c 2＋1

C ．在等式b a ＝c a

两边都除以a ，可得b ＝c D ．在等式2x ＝2a －b 两边都除以2，可得x ＝a －b

答案：B

教学说明

练习题主要采用判断题、填空题、选择题这些基本题型，一是知识点比较单一，就是等式的两条基本性质；二是中考试题也是这几种考查方式，关键是要让学生练准、练熟．另外，可以视学生的掌握情况而灵活选择答题的方法，比如竞赛形式，既可以增强学生课堂上的参与意识，又活跃课堂气氛，加深学生对知识的印象．

四、总结反思

问题1：把已知等式变形成一个新等式的依据是什么？处理问题的关键在哪里？

答：依据是等式的基本性质，处理的关键是通过观察新等式，判断准要选用哪条性质进行变形．

问题2：等式的基本性质和解方程的关系是怎样的？

答：等式的基本性质是解方程的依据．

评价与反思

1．本节课采用“提出问题——探究规律——得出性质——应用性质”的教学结构，把数学知识同熟悉的生活情境联系起来，在引导学生亲身实践天平实验的过程中，既激发了学生参与学习的热情，又着重培养了学生的动手能力、思维能力和抽象概括能力．探究活动应该不断给学生提供表现自己的机会，启发他们注意学习清晰而有条理表达自己的观点和理解他人的思想，让学生懂得不仅要活动，更要善于思考，从活动中总结规律，才是知识形成的真谛．

2．本节课成功创设师生、生生交往互动的关系，注重教师在引导过程中与学生平等的交流，并给予恰到好处的点拨；教师鼓励学生表达自己的见解，并且在加深理解的基础上，对不同的答案开展讨论，引导学生分享彼此的思想和结果，并重新审视自己的想法，既增强了学生学习的自信心和克服困难的意志力，又有利于培养自主意识和合作精神．