桥梁设计理论第四讲经典

第四讲薄壁箱梁剪力滞的变分解法

第一节概述

初等梁弯曲理论的基本假定是变形的平截面假定，它不考虑剪切变形对纵向位移的影响，因此，弯曲正应力沿梁宽方向是均匀分布的。

但是，在箱形梁中，产生弯曲的横向力通过肋板传递给翼板，而剪应力在翼板上的分布是不均匀的，在肋板与翼板的交接处最大，随着离开肋板而逐渐减小，因此，剪切变形沿翼板的分布是不均匀的。由于翼板剪切变形的不均匀性，引起弯曲时远离肋板的翼板之纵向位移滞后于近肋板的翼板之纵向位移，所以其弯曲正应力的横向分布呈曲线形状。这种由于翼板的剪切变形造成的弯曲正应力沿梁宽方向不均匀分布的现象称为“剪力滞”现象或称为“剪力滞（后）效应”。肋板相距越宽，“剪力滞”现象越显著。

剪力滞概念与有效分布宽度是一回事，前者用不均匀应力表示，而后者用一等效板宽表示。有效分布宽度用于开口截面，而剪力滞则用于闭合截面。在我国的现行规范中，关于T 梁的“翼缘板有效分布宽度”有明确的规定，而对于箱形截面，则非常含糊地写道“在无更精确的计算方法，箱形梁也可参照T形梁的规定处理”。

最早涉及剪力滞问题的的理论推导是T. V. Karman，他利用最小势能原理与梁的应力对等原则得到解答。被称为Karman理论。在航空工业上，飞机的金属外壳由板与肋组成，剪力滞效应的分布格外突出。美国工程界将这种弯曲应力分布的不均匀现象称为“剪力滞后效应”，在英国取名为“应力离散现象”。过去对这种应力集中状态漠然视之，从1969年11月到1971年11月分别在奥地利、英国、澳大利亚与前联邦德国相继发生四起钢箱梁失效或破坏事故。事故发生后，许多桥梁专家对四座桥的设计和计算方法进行了研究与分析，揭示出这四座桥的计算方法存在严重的缺陷，其中一项就是设计中没有认真对待“剪力滞效应”，因此导致应力过分集中，造成结构的失稳或局部破坏。

目前，国内外均建造了大量的箱形薄壁梁桥、T形刚构、斜拉桥。特别是跨宽比小，上下板的惯矩与整个箱形截面惯矩之比较大的连续箱梁支点处，剪力滞效应更为严重，不容忽视。如果采用预应力筋，上。下板的布筋间距更要妥善处理，不能用等间距。在应力集成区力筋间距要密一些，否则混凝土易开裂。另外，在高层建筑中，箱壁属于悬壁的筒中筒结构，

图4-1 薄壁箱梁的不均匀弯曲应力分布

（A）正剪力滞效应（B）负剪力滞效应

其壁上的应力分布是不均匀的，特别是在风力作用下，正负剪力滞效应均存在。这点已开始引起结构工程师的认真考虑与关注。

分析箱形梁剪力滞的主要方法有以下两大类：

一、解析法

1、T. V. Karman 理论（1924年），他第一次给“有效分布宽度”这一概念下了明确的定义。

2、弹性理论解：又分为正交各向异性板法和弹性折板理论。

3、比拟杆法：由H. R. Evaus 与A. R.Taherian 提出。

4、能量变分法：下节作重点介绍

二、数值分析法

1、有限元法：K. R. Mofatt

2、有限条法：

3、有限段法：

本讲主要讨论能量变分法，即采用变分原理求箱梁的剪力滞。

第二节 求解泛函极值问题的一些基本概念

一、简单的例子

设有一根放在弹性地基上的梁，承受分布荷载)(x q 的作用，已知梁的一端（0=x ）是固定的，另一端(l x =)是自由的，问梁取什么样的挠度)(x w 曲线能使这个系统的总势能取最小值。

设梁的弯曲刚度为EI ，于是梁的弯曲应变能b π是

????

?

??=l

b x dx w d EI 02

22d 21π （4-1） 再设弹性地基的刚度系数为k ，于是地贮存的能量f π为

?=l f x kw 0

2

d 21π （4-2）

由于梁的挠度、载荷的势能有了变化，载荷的势能l π可写为

?-=l

l x qw 0

d π （4-3）

这个系统的总势能是上列三者之和，因此有：

图4-2

????

?

????-+???? ??=l

f x qw kw x w EI 02

222d 21d d 21π （4-4） 边界条件：0=x 处，0=w ,

0d d =x

w

。 这样，上面提出的力学问题，经化为数学问题后变为：在l x ≤≤0区间内找一个函数

)(x w ，使它满足预先设定的边界条件，并使随)(x w 而变化的π取最小值。

从这里，我们可以用简单的方法来说明泛函的概念：

在一定范围内可变化的函数，称为自变函数，例如)(x w ；依赖于自变函数而变的量，称为自变函数的泛函。

二、由定积分?'=b

a

f x y y x F d ),,(π定义的泛函的极值问题。

本节先讨论如何把一类简单泛函的极值问题，化为微分方程的边值问题，通过这类问题的分析，可以建立变分法的基本概念，并说明把变分问题化为微分方程的边值问题的主要步骤。

先考虑如下问题：在自变数x 的区间b x a ≤≤内，决定一个函数)(x y ，使它满足边界条件：在

a x =处α=y ；在

b x =处，β=y 。并使泛函

?'=b

a

x y y x F V d ),,(取极大（或极小）值。

参考图4-3，其中),(α==y a x G ,),(β==y b x H 是已知的两点，问题是要在GH 间连接一条曲线，使泛函取极值，设想已取了一条曲线GACH ，它的方程是：

)(x y y = （4-5）

设想在附近另取一条曲线GBDH ，命这条曲线的纵坐标为

)(δ)(x y x y y += （4-6）

式中y δ是一个无穷小量，称为自变函数的变分。相应于这两条曲线，可以求得泛函的两个值

?'=b

a

x y y x F V d ),,( （4-7）

?'+'+=?+b

a

x y y y y x F V V d ])δ(,δ,[ （4-8）

这里V ?代表泛函的增量。

自变量不变（即x 不变）而仅仅由于曲线（函数）的无穷小变化而引起的纵坐标的增加称为自变函数的变分，记为y δ；另外仍然用高等数学中的定义，曲线不变，由于自变量x 的变化x d 所引起的纵坐标的增加称为函数的微分，记为y d 。这样，上图中A 、B 、C 三点的纵坐标为：

A ：y

y x

x

d

图4-3

B ：y y δ+

C ：x y y y y d d '+=+

而D 点的纵坐标，若从C 点算过去是：

x y x y y y x y y x y y d δd δ)d (δd '+'++='++'+

若从B 点算过去，是：

x y x y y y y y y y d )δ(d δ)δd(δ'+'++=+++

这两个坐标是相等的，故有

y y '='δ)δ(

这个公式表明，一个函数的微分运算与变分运算的顺序是可以交换的。利用这个公式，

V V ?+的算式可写成

[]?'+'+=?+b

a x y y y y x F V V d δ,δ, （4-8）

于是有

[]{}?''+'+=?b

a

x y y x F y y y y x F V d ),,(-δ,δ, （4-9）

对于力学及工程上经常遇到的泛函，被积函数),,(y y x F '是x 、y 、y '的连续可导函数，同时，当y δ、y 'δ很小时，V ?也很小，当y δ、y 'δ是无穷小量，V ?也是无穷小量，取等式两端的一阶无穷小量

x y y F y y F V b

a d δδδ???

?

???''??+??= （4-10）

V δ称为V 的一阶变分，用不很严格的通俗的话来讲，泛函的一阶变分便是泛函增量中

的一阶小量部分，所以变分的运算服从无穷小量的运算规则。

上式中同时出现了y δ、y 'δ，它们是有内在的联系的，并不能独立地变，可以设法把与y 'δ有关的项转换为只与y δ有关的项，为此可以利用分部积分式

b

a b

a

b

a

uv x v u x v u +'-='??

d d （4-11）

在上式中取y F

u '

??=

，y v δ=。则： b

a

b a b

a

y y F

x y y F x x y y F δd )δ(d d d δ'??+'??-=''????

（4-12）

b

a

b

a y y F

x y y F x y F V δd δd d δ'??+?????????? ??'??-??=? （4-13） 前面已规定了y 在两端为已知，则y δ在两端不能有变化，故当a x =和b x =时，y δ=0，

所以，

x y y F x y F V b a d δd d δ???

?

??????? ??'??-??= （4-14） 根据这个公式，我们能够判断函数)(x y 是否能使V 取极值，如果积分号内的方括号内

项不等于零，那么，总能找到一个yδ使V

δ不为零，因此，V取极值的必要条件是

d

d

=

??

?

?

?

?

'

?

?

-

?

?

y

F

x

y

F

（4-15）这就是欧拉公式。这样，我们就把泛函的极值问题转化为微分方程。如果函数)

(x

y没有在两端指定边界条件，则必须有

在a

x=和b

x=处：0

=

'

?

?

y

F

。

三、涉及高阶导数的泛函的极值问题

?'''

=b

a

x

y

y

y

x

F

V d)

,

,

,

(（4-16）用同样的步骤可得

x

y

y

F

y

y

F

y

y

F

V b

a

d

δ

δ

δ

δ??

?

?

?

?

?

''

''

?

?

+'

'

?

?

+

?

?

=（4-17）然后通过分部积分，最后得到

b

a

b

a

b

a

y

y

F

y

y

F

x

y

F

x

y

y

F

x

y

F

x

y

F

V'

''

?

?

+

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

''

?

?

-

'

?

?

+

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

''

?

?

+

??

?

?

?

?

'

?

?

-

?

?

=?δ

δ

d

d

d

δ

d

d

d

d

δ

2

2

（4-18）由此得到，

d

d

d

d

2

2

=

??

?

?

?

?

''

?

?

+

??

?

?

?

?

'

?

?

-

?

?

y

F

x

y

F

x

y

F

（4-19）在a

x=和b

x=处：

（1）y已知，则yδ=0；或0

d

d

=

??

?

?

?

?

''

?

?

-

'

?

?

y

F

x

y

F

；

（2）y'已知，则y'

δ=0；或0

=

''

?

?

y

F

。

涉及更高阶导数的泛函极值问题的欧拉公式可到相应的参考书中找到。

第三节变分法求解矩形箱梁剪力滞效应

对称带悬臂的单箱单室箱形截面是预应力混凝土薄壁箱形截面的常用截面形式。对于这类矩形薄壁箱形截面可以应用变分法的最小势能原理来分析其剪力滞效应。

一、基本假定

宽箱梁在对称挠曲时，上下翼板因为剪切变形的影响，已经不符合初等梁理论中变形时保持平截面的假定，用一个广义位移即梁的挠度)

(x

w来描述箱梁的挠曲变形已经不够。

在应用最小执能原理分析箱梁挠曲时，必须引入两个广义位移概念。梁的竖向挠度用)

(x

w表示，梁的纵向位移用)

,

(y

x

u描述。即

)

(x

w

w=（4-20）

??

????????

??-+=)(1d d ),(33x u b y x w h y x u i （4-21） 式中：),(y x u ----梁的纵向位移；

)(x u ----翼板剪切变形（转角）的最大差值，它并非位移变量；

b ----箱室净宽的一半；

i h ----公式（4-21）是对E. 定符合实测结果。式（4-20协调条件。式（4-21翼板交界处（b y ±=）在应变的计算中，腹板仍然采用梁的变形（按平截面假定），不考虑腹板的

剪切变形。对上下翼板根，板的竖向纤维无挤压，即z ε=0。板平面外的剪切变形xz γ与yz γ及横向应变y ε均很小，可忽略不计。

二、基本变分方程的推导

根据最小势能原理，在外力作用下，结构处于平衡状态。当有任何虚位移时，体系总位能的一阶变分为零，即

0)(=-=∏W V δδ （4-22）

式中：V ----体系的应变能；W ----外力的势能。 梁受弯曲时的外力势能

?-=x x

w

x M W d d d )(22 （4-23）

梁的应变能的各项为：

腹板： ????

? ??=x x w EI V w w d d d 21

2

22 （4-24） 上下翼板应变能：

??+=

y x G E t V u xu u su d d )(2

12

2γε （4-25） ??+=

y x G E t V b xb b su d d )(2

122γε （4-26）

图4-4 箱梁尺寸及应力状态

y

y

x

u

x

y

x

u

y

y

x

u

x

y

x

u

b

b

b

xb

u

u

u

xu

?

?

=

?

?

=

?

?

=

?

?

=

)

,

(

;

)

,

(

)

,

(

;

)

,

(

γ

ε

γ

ε

（4-27）

式中：E----弹性模量；G----剪切模量；u t----上翼板厚度；b t----下翼板厚度。

由式（4-21）和式（4-27）得到

)

(

3

;)

(

1

)

(

3

;)

(

1

3

2

3

3

3

2

3

3

x

u

h

b

y

x

u

b

y

w

h

x

u

h

b

y

x

u

b

y

w

h

b

b

b

xb

u

u

u

xu

=

?

?

?

?

?

?

'

??

?

?

?

?

-

+''

-

=

=

?

?

?

?

?

?

'

??

?

?

?

?

-

+''

-

=

γ

ε

γ

ε

（4-28）

将式（4-28）代入（4-25）、（4-26）得到

()()

()()

?

?

?

?

?

?

?

?

+

??

?

??

?'

+'''

+

''

=

?

?

?

?

?

?

+

??

?

??

?'

+'''

+

''

=

x

u

b

G

u

u

w

w

E

I

V

x

u

b

G

u

u

w

w

E

I

V

sb

sb

su

su

d

5

9

14

9

2

3

2

1

d

5

9

14

9

2

3

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

（4-29）式中：2

22

2

u

u

u

u

su

h

bt

bh

t

Iα

+

=（自身惯矩忽略）；

s

w

sb

su

s

b

b

sb

I

I

I

I

I

I

bh

t

I

+

=

+

=

=2

2

su

I、

sb

I分别为顶板、底板对截面形心惯性矩。

体系总势能为

sb

su

w

V

V

V

W+

+

+

-

=

∏（4-30）将式（4-23）（4-24）、（4-29）代入（4-30）得到

x

x

w

EI

x

x

w

x

M

w

d

d

d

2

1

d

d

d

)

(

2

2

2

2

2

?

???

?

?

?

?

+

=

∏

()()

?

?

?

?

?

?

?

+

??

?

??

?'

+'''

+

''

+x

b

Gu

u

u

w

w

E

I

s

d

5

9

14

9

2

3

2

1

2

2

2

2（4-31）

或改写为

()

?'

''

=

∏

l

x

u

u

w

x

F d

,

,

,

式中

()()()()

?

?

?

?

?

?

+

??

?

??

?'

+'''

+

''

+

''

+''

=

'

''

2

2

2

2

2

5

9

14

9

2

3

2

1

2

1

)

(

,

,

,

b

Gu

u

u

w

w

E

I

w

EI

w

x

M

u

u

w

x

F

s

w

要使总势能∏取得极值，可将式（4-31）代入式（4-19）及其两个边界条件，即

0d d =??

? ??'??-??u F x u F 0='

'??w F

以及边界条件

02

1

='??x

x u u F

δ 经整理得到

4314

9

05943149

043

)(22

12=??????''-'=??????+'''-''-='+

+''x x s s s u w u EI Eb Gu w u EI u EI x M w EI δ （4-32） 式（4-32）即为由变分得到的剪力滞基本微分方程。将（4-32）中第一式求导一次代入第二式。整理式（4-32）并令

E

Gn

b k I

I n s 5141,8711=

-=

（4-33）

n 和k 称作Reissner 系数。得到：

EI

x nQ u k u 6)

(72=

-'' （4-34） 将（4-32）第一式和第三式中消去w ''，得到

EI

M n EI x M k w k w '

'-

=''-)(2

2)4( （4-35） 边界条件：

当板固结时：0=u ，0=u δ （4-36）

当板非固结时：043

1492

1

=''-'x

x w u （4-37）

方程（4-34）解的一般形式是：

)sh (67)(21*++=

u chkx c kx c EI

n

x u （4-38） 式中*u 为仅与剪力)(x Q 分布有关的特解，系数1c 、2c 由边界条件确定。上述通过最小势能原理把剪力滞效应问题归结为在满足一定边界条件下（式（4-36或式（4-37））），箱梁翼板剪切位移差函数的定解问题。

三、翼板中的应力与剪力滞系数

式（4-32）中的第一式可以写成如下形式：

l

图4-5 简支梁承受均布荷载

??? ??'+-=''u I I EI

x M w s 43)( （4-39）

或 ()F M x M EI

w +-='')(1

（4-40） 式中：u EI M s F '=

4

3

（4-41） 式（4-40）右边第一项即为梁初等理论的表达式，而F M 是由剪 力滞效应产生的附加弯矩。它是箱梁翼板纵向位移差函数)(x u 的一阶导数的函数，并且与翼板的弯曲刚度成正比。

从式（4-40）可以看出，考虑剪力滞影响后，梁的曲率与弯矩的关系已经不再是梁的初

等理论的EI

x M w )

(-=''的关系，而是增加了附加挠曲的修正项。这是由于箱梁的剪力滞影响使翼板的有效刚度降低，从而使挠度增大。在求得)(x u 值后，可将式（2-40）经过两次

积分求得梁的挠度。

考虑剪力滞影响的翼板弯曲正应力：

???

???'???? ??---±=??=u I I b y EI

x M EI x y x u E s i x 431)(),(33σ （4-42） 式中：u i h h =（取正号）或b i h h =（取负号）。

式（4-42）中的第二项是考虑剪力滞影响的修正项。弯曲法向应力x σ沿横向按三次抛物线分布，翼板与腹板交接处的应力达到最大值。在求得翼板应力分量后，也就可以得到腹板的应力，弯曲正应力沿腹板高度方向仍是线性分布。

为了更简便地描述箱形梁中剪力滞对弯曲正应力的影响，引进剪力滞系数λ的概念，

σ

σ

λ==

正应力按梁弯曲初等理论求得正应力考虑剪力滞效应所求得 （4-43）

四、简支箱梁、悬臂箱梁的剪力滞效应

简支箱梁、悬臂箱梁的剪力滞效应可直接应用上述公式计算。

例4-1 求简支箱梁在均布荷载作用下的翼板的正应力及跨中截面剪力滞系数。 解：如图4-5所示简支梁：弯矩、剪力方程和剪力滞差值函数微分方程为：

)

2(2)()(2

)(x l q

x Q x x l q

x M -=-=

)2(1272x l EI

nq

u k u -=

-'' 上式的全解为

)ch sh 2)

2((67212

kx c kx c k

x l EI nq u ++--=

由边界条件：00='=x u ；0='=l x u 求得

311k c -

=；kl

k kx c sh 1ch 32--= 因此

???

???-+---=

kx kl k kl kx k x l EIk nq

u ch sh 1ch sh 1)2(21672

??

????-+-=

'kl kx kl kx EIk nq u sh sh )1ch (ch 1672

代入式（4-41）得

??

?

???-+-=

kl kx kl kx Ik nq I M s F sh sh )1ch (ch 1872 翼板的弯曲正应力

???

?????? ?

?-+

???? ??--=kx kl kl kx I I b y k nq x M I h s i x sh sh 1ch ch -143-167)(332σ 跨中截面剪力滞系数

???? ?

?-+???? ??--=)2/2ch(1ch 2ch -143-13281332

3kl kl kl I I b y l

k s λ 五、超静定结构剪力滞效应的求解

超静定结构剪力滞效应也可用变分法求解，但当超静定次数较高时，计算较繁。下面介绍二种简捷的方法。

1、解肢法

K. R. Moffatt 与P. J. Dowling 以及近藤和夫曾建议，对连续梁或者斜拉桥的剪力滞分析，取弯矩等于零的邻近点区间分别当作等效简支梁或悬臂梁来处理。因为在弯矩等于零的时，不存在剪力滞效应。如图4-6所示。

2、叠加法

对于处在弹性变形阶段的超静定结构，在应用变分法求解时，只对纵向位移的横向分布进行了假定，而纵向仍然要求满足边界条件，所以可采用叠加原理的变分法。如图4-7所示。

用于分析剪力滞效应的叠加原理为：超静定结构在多种荷载作用下，考虑其剪力滞效应的内力，等于基本静定体系在各个单一荷载与多余力作用下考虑剪力滞效应的内力的总和。即：

∑-=n

i i i i W M W M

1

λλ 或者 ∑-=

n

i i

i M

M

1

1

λλ

式中：M ----超静定结构计算截面实际弯矩值；

i M ----基本体系在单一荷载或多余力作用下该截面的弯矩值； W ----截面抵抗矩；

λ----超静定结构计算截面的剪力滞影响系数；

i λ----基本体系在单一荷载或多余力作用下该截面的的剪力滞影响系数。

第四节 不同参数对剪力滞系数的影响

以下讨论的均为等截面梁。

1、简支梁、悬臂梁剪力滞系数的比较 1）简支梁承受均布荷载时，剪力滞影响较小；

2）简支梁承受集中荷载时，剪力滞影响要比承受均布荷载时大；

3）悬臂梁承受均布荷载时，剪力滞的影响较大。

2、剪力滞效应沿跨度方向分布的情况 1）简支梁承受集中荷载时，集中力愈接近支点，λ愈大。另外，在集中力作用下，剪力滞的影响区域比较窄。详见图4-8。

2）简支梁承受均布荷载时，剪力滞的影响在靠近支座处最大，跨中截面受剪力滞的影响较小；详见图4-9。

3）连续梁承受均布荷载时，在正弯矩区的剪力滞效应与简支梁类似；在负弯矩区，支座附近截面受剪力滞的影响较大，但在靠近弯矩零点区域则出现负剪力滞效应的现象。详见图4-10。

图4-8 简支梁受集中力作用时的λ

3、剪力滞效应与箱梁跨宽比的关系

跨宽比b

l2/越小（即箱梁的肋距越宽时），λ愈大。详见图4-11。

4、

第四节箱形悬臂梁的负剪力滞效应

在箱形悬荷弯曲时，不仅在固定端附近的截面要发生剪力滞效应，使得翼板与肋板交界处的应力要比用梁初等理论所求值大得多，而且剪力滞的影响沿跨度方向的变化也很复杂。在均布荷载作用下，在离固定端一定距离（约4/l）后则会出现与剪力滞后效应相反的现象，即近肋板的翼板之纵向位移滞后于远离肋板的翼板之纵向位移，因此，翼板中心的应力反而要大于翼板与肋板交界处的应力，这种剪力滞效应相反的现象称为负剪力滞（Negative Shear Lag）。

对负剪力滞现象的研究只是近十年才开始的。在上节的讨论中，我们已经注意到负剪力滞的现象不仅发生在箱形悬臂梁中，同时在连续梁的负弯矩区也同样存在这种现象（见图4-8）。本节将采用变分法，讨论负剪力滞产生的原因与规律。

一、箱形悬臂梁负剪力滞的变分解

由式（4-42），肋板与翼板交界处（b

y±

=）的弯曲正应力：

)

(

F

i

e M

M

I

h

+

±

=

σ（4-44）

q

图4-9 简支梁受均布荷载作用时的λ图4-10 连续梁受均布荷载作用时的λ

1.0

1.1

1.2

1.3 1.3

1.4

22/l

图4-11 eλ随b

l2/的变化图4-12 eλ随I

I

s

/的变化

从式（4-44）可清楚地看出，F M 就是由于剪力滞效应产生的应力增量部分。当F M 与

M 同号时，

弯曲正应力e

σ要比按梁弯曲初等理论计算的值大，这就是剪力滞效应。而当F M 与M 异号时，肋板与翼板交界处的弯曲正应力e

σ反而要比按梁弯曲初等理论计算的值小，这是负剪力滞效应。而它们的影响程度则与相对值M M F /有关。因此，附加挠曲力矩F M 集中体现了剪力滞与负剪力滞效应。

对于悬臂梁，当在自由端作用一集中力时，附加挠曲力矩

kl

kx

Ik np I M s F ch sh 87?

-

= （4-45） 从式（4-45）可知，F M 始终保持不变号，即外力引起的弯矩都是负弯矩，所以不会出现负剪力滞现象。其弯曲正应力为

???

??

?????? ??--+-±=kl kx I I b y k np px I

h

s i

e

ch sh 4316733σ （4-46） 当承受满跨均布荷载时，附加挠曲力矩为

??

?

???-+--

=1ch sh )(ch 872kl kx kl x l k I k nq I M s F （4-47） 从式（4-47）可知，F M 沿纵向分布复杂，会出现变号的情况，一旦变号，即将产生负剪力滞现象。其弯曲正应力为

?

??

?????????-+-????? ??--+-±=1ch sh )(ch 67431212332kl kx kl x l k k n

I I b y x I

qh

s i

x σ （4-48）

令式（4-47）的F M 等于零，则可求得正负剪力滞的临界点。

01ch sh )(ch =-+-kl

kx

kl x l k

解上式得

??

????--=

1sh 2-)(sh2ch 2sh 121-1kl kl kl kx kl kl k x （4-49） 02=x （边界条件）

对于承受均布荷载的悬梁，在l x x ≤<1区间发生剪力滞，在固定端截面l x =达到最大值；在10x x ≤≤区间发生负剪力滞。对于等截面箱形悬臂梁，在均布荷载作用下，发生剪力滞的区间较小，大约在靠近固定端的4/l 以内，而发生负剪力滞的区间则较大，但在这一区间的弯曲正应力相对较小。

对式（4-47）求一阶导数，并令其等于零，可以求出负剪力滞区附加挠曲的拐点。

??

?

??-=

-kl kl kl k x ch th th 113 （4-50） 二、算例

例4-2 如图4-13所示箱形截面的悬臂梁，当跨度l =20m 时，在满跨均布荷载作用下，

附加挠曲力矩F M 沿纵向的分布示于图4-14，正负剪力滞的交界点：

4.1619214.92sh14.2-)92.14(sh29.849214.92ch14.2sh 746.012

1-1=??

????-?-?=

x m 图4-14中的阴影部分表示在这一区域F M 为正值，与外力弯矩异号，因此，在这一区域均为负剪力滞区。

三、负剪力滞效应的影响因素

负剪力滞现象与正剪力滞现象一样，都是由于同一横截面上各点的剪切变形的不同而产生的。在固定端处，板被完全约束，而从肋板与翼板交接处往板中心的剪力传递总是滞后的。因此，无论是哪一种荷载，在该截面上总要发生剪力滞后现象。离固定端一定距离处（如离固定端4/l ），剪力流强度按线性减小，而板的约束条件与固定端截面相比却了很大的变化，因此，这时开始出现负剪力滞现象。可以认为：边界的约束条件是发生负剪力滞的内在因素，而外荷载的形式是发生负剪力滞的外部条件。

负剪力滞影响的程度主要反映在附加挠曲F M 上，在式（4-45）中包含两个参数k 与n ，参数n 是翼板刚度与梁的总刚度之比。参数k 则是当n 值一定时与翼板净跨（b 2）e 有关的参数，因此，kl 反映了箱梁的跨宽比。在箱形截面应用最广泛的桥梁结构中，箱的翼板刚度与梁的总刚度之比（I I s /）变化幅度不是很大（一般在0.7—0.8左右），因此，我们仅比较附加挠曲力矩F M 随跨宽比变化的情况。图4-13示出当I I s /=0.75时，箱梁的跨宽比分别等于3、4、5所翼板中挠曲力矩F M 随跨长的分布情况。

从图4-15可以看出：当箱的跨宽比越小时，不仅在固定端附近受剪力滞的影响严重，而且在负剪力滞区域受负剪力的影响也较严重。随着跨宽比的增大，受剪力滞与负剪力滞的影响都会逐渐减小。因此，负剪力滞效应随跨宽比变化的情况类似于剪力滞效应的参数分析。

图4-16是中井博和村山泰男进行的箱形悬臂梁的试验结果。箱的刚度比I I s /=0.821。在均布荷载作用下，其翼板与肋板交界处的弯曲正应力与截面平均应力比值的实测值与理论值的比较。

图4-14 F M 沿跨度的分布

图4-13 1/2单箱截面

《桥梁设计理论》 蔡金标 第四讲 薄壁箱梁剪力滞的变分解法

第五节 小结

本章介绍了薄壁箱梁剪力滞效应的变分解法，推导了剪力滞效应的基本微分方程，采用的主要假定是板的纵向位移的横向分布是三次抛物线，即式（4-21）。有关文献也有采用二次或四次抛物线的纵向位移模式，即

?????

????? ??-+=)(1d d ),(2

2

x u b y x w h y x u i （4-51） 或 ??

???????? ??-+=)(1d d ),(44

x u b

y x w h y x u i （4-52） 同样可得到不同的Reissner 参数。 二次抛物线： E

Gn

b k I I n s 251,6511

=

-=

（4-33）

四次抛物线： E

Gn

b k I

I n s 14451,10911

=

-

= （4-33）

可以证明，取高次抛物线的纵向位移模式，对剪力滞效应影响很小。 另外本章引进λ为剪力滞系数，来直接描述剪力滞效应更为直观有效。

本章还对负剪力滞进行了讨论。负剪力滞影响的程度主要反映在附加挠曲F M 上，边界的约束条件是发生负剪力滞的内在因素，而外荷载的形式是发生负剪力滞的外部条件。箱梁的跨宽比越小，正剪力滞效应和负剪力滞效应都越严重。

本章讨论的结果只能应用于等截面矩形箱梁的剪力滞效应计算。对于变截面或梯形箱梁剪力滞效应的计算可参考有关文献。

T 形梁翼缘有效宽度实质上也是剪力滞效应的反映，在本章中以介绍。由于目前桥梁设

l b l 2/ 1.4 图4-15 不同跨宽比时F M 沿跨度分布

图4-16 翼板边缘应力与截面平均应力之比

《桥梁设计理论》 蔡金标 第四讲 薄壁箱梁剪力滞的变分解法

计仍然采用二维平面解析，故荷载有效分布宽度仍然需要计算。有兴趣的同学可参考有关文献。