天津市南开中学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测(含答案解析)

一、选择题

1．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，当0x y <<时，都有

()()f x f y >，且112f ??

= ???

，则不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为（ ）

A ．[)1,0-

B ．[)4,0-

C ．(]3,4

D ．[)

(]1,03,4-

2．已知幂函数()(1)n f x a x =-的图象过点(2,8)，且(2)(12)f b f b -<-，则b 的取值范围是（ ） A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(,1)-∞

D ．(1,)+∞

3．函数()3

2241

x x

x

x y -=

+的部分图像大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．已知幂函数2

242

()(1)m

m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x

g x t =-，任意

1[1,6)x ∈时，总存在2[1,6)x ∈使得()()12f x g x =，则t 的取值范围是（ ）

A ．128t <<

B ．128t ≤≤

C ．28t >或1t <

D ．28t ≥或1t ≤

5．若函数()f x 同时满足：①定义域内存在实数x ，使得()()0f x f x ?-<；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -?->????；则称函数

()f x 为“DM 函数”．下列函数中是“DM 函数”的为（ ）

A ．()3

f x x =

B ．()sin f x x =

C ．()1

x f x e

-=

D ．()ln f x x =

6．定义在R 上的奇函数()f x 满足()20210f =且对任意的正数a ，b (a

b )，有

()()0f a f b a b -<-，则不等式()

0f x x

<的解集是（ ）

A ．()()2021,02021,-+∞

B ．()()2021,00,2021-

C ．()

(),20212021,-∞-+∞

D ．()

(),20210,2021-∞-

7．已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意

1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(,3]-∞-

B ．[3,)+∞

C ．(,3][3,)

-∞-+∞

D ．(,3)(3,)-∞-?+∞

8．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对

应的函数可能是（ ）

A ．()1

1

f x x =- B ．()11f x x =- C ．()2

1

1

f x x =

- D ．()21

1

f x x =

+ 9．已知定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，

()()0f x f x x

'+

>，则使得()()()2213310xf x x f x +-->成立的x 的取值范围是（ ）

A ．()1,+∞

B ．()11,1,5??-+∞ ?

??

C ．1,15??

???

D ．(),1-∞

10．已知()f x 是R 上的奇函数，且对x ∈R ，有()()2f x f x +=-，当()0,1x ∈时，

()21x f x =-，则()2log 41f =（ ）

A ．40

B ．

25

16

C ．

2341

D ．

4123

11．已知函数3()201920191x x f x x -=-++，则关于x 的不等式(21)(2)2f x f x -+>的解集为（ ）

A ．1,4??+∞

???

B ．1,

2?

?-∞ ???

C ．1,

4??-∞ ???

D ．1,2??+∞

???

12．已知函数()||f x x x =，当[,2]x t t ∈+时，恒有不等式(2)4()f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞

B ．[2,)+∞

C ．(,2)-∞

D ．(,2]-∞

13．已知()22,0

2,0

x x f x x x x ?-≥=?+

A ．](

,3-∞-

B ．)3,?-+∞?

C ．(

,3?-∞?

D ．)

3,?+∞?

14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足下列两个条件： ①对任意的1x ，[]24,8x ∈，且12x x ≠，都有()()1212

0f x f x x x ->-；

②x ?∈R ，都有()()8f x f x +=.

若()7a f =-，()11b f =，()2020c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c <<

B ．b a c <<

C ．b c a <<

D ．c b a <<

15．函数22

22

(1)ln 2(1)

x y x x +=-?+的部分图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题

16．对于正整数k ,设函数[][]()k f x kx k x =-，其中[]a 表示不超过a 的最大整数，设

24()()()g x f x f x =+，则()g x 的值域为_________.

17．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 都有(3)()f x f x +=-，当

3,02x ??

∈-????

时，()2f x x =-，则(100)f 的值为_______. 18．已知函数()()()

2

2

23f x x x x ax b =--++是偶函数，则()f x 的值域是__________.

19．函数2

2y x x c =--在[]0,a 上的最大值为b ，则b a -最小值为__________．

20．已知函数y =f （x ）和y =g （x ）在[-2，2]的图像如图所示，给出下列四个命题：

①方程f [g （x ）]=0有且仅有6个根 ②方程g [f （x ）]=0有且仅有3个根 ③方程f [f （x ）]=0有且仅有5个根 ④方程g [g （x ）]=0有且仅有4个根 其中正确的命题是___

21．设函数()f x 是定义在()0,∞+上的可导函数，其导函数为()f x '，且有

()()2f x xf x x '+>，则不等式()()()2

20202020420x f x f ---≤的解集为______．

22．已知()f x =2243,0

23,0

x x x x x x ?-+≤?--+-在[a ，a ＋1]上恒成

立，则实数a 的取值范围是________. 23．以下结论正确的是____________

（1）如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点；

（2）命题:0,1x

p x e ?>>都有，则0

0:0,1x p x e

??≤≤使得；

（3）空集是任何集合的真子集； （4）“a b >”是“22a b >的充分不必要条件” （5）已知函数(23)43,1

(),1x

a x a x f x a x +-+≥?=?

在定义域上是增函数，则实数a 的取值范围是(1,2] 24．已知函数()()

11

x

f x x x =>-，())2

g x x x ≥，若存在函数()(),F x G x 满足：()()()()()

(),

G x F x f x g x g x f x =?=，学生甲认为函数()(),F x G x 一定是同一函数，乙认为

函数()(),F x G x 一定不是同一函数，丙认为函数()(),F x G x 不一定是同一函数，观点正确的学生是_________.

25．如果方程2

4

x +y |y |＝1所对应的曲线与函数y ＝f （x ）的图象完全重合，那么对于函数

y ＝f （x ）有如下结论：

①函数f （x ）在R 上单调递减；

②y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1； ③函数f （x ）的值域为（﹣∞，2]； ④函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点. 其中正确结论的序号是_____.

26．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【分析】

采用赋值法，令1x y ==求得()10f =，同理可求()21f =-，()42f =-； 化()()32f x f x -+-≥-为()

()2

34f x x f -≥，再结合单调性解不等式得结果.

【详解】

令1x y ==，得()()121f f =即()10f =，令1

2x =，2y =则()()1122f f f ??=+ ???

得()21f =-，

令2x y ==，()()()4222f f f =+=-，所以由()()32f x f x -+-≥-得

()()234f x x f -≥；又因为函数()f x 的定义域为()0,∞+，且0x y <<时，都有

()()f x f y >，

所以203034x x x x ->??->??-≤? 即03

14x x x

所以10x -≤<， 即不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为[)1,0-. 故选：A 【点睛】

思路点晴：抽象函数往往通过赋值法来解决问题.

2．C

解析：C 【分析】

先根据题意得幂函数解析式为3

()f x x =，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.

【详解】

解：因为幂函数()(1)n

f x a x =-的图像过点(2,8)，

所以1128n a -=??=?，所以23

a n =??=?，所以3()f x x =，

由于函数3

()f x x =在R 上单调递增，

所以(2)(12)212f b f b b b -<-?-<-，解得：1b <． 故b 的取值范围是(,1)-∞. 故选：C. 【点睛】

本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为1待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.

3．A

解析：A 【分析】

研究函数奇偶性和区间(的函数值的正负，利用排除法即得结果. 【详解】

函数()3

3222()41

22x x x

x

x x x x y f x ---==

=++，定义域为R ， 对于任意的自变量x ，()3

33222()()222222

x x x x x x

x x x x x x

f x f x -------=

==++-=-+++，故函数()y f x =是奇函数，图象关于原点中心对称，故CD 错误；

又(

3

2()2222x x x x

x x x x x y f x ----===++，

故(x ∈

时，00,0,202x x x x x ->+>-+>，，即()0y f x =<，故A 正确，B 错误. 故选：A. 【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

4．B

解析：B 【分析】

先根据幂函数定义解得m ，再根据单调性进行取舍，根据任意存在性将问题转化为对应函

数值域包含问题，最后根据函数单调性确定对应函数值域，根据值域包含关系列不等式解得结果. 【详解】

由题意22(1)1420

m m m ?-=?-+>?，则0m =，即()2

f x x =，

当[)11,6x ∈时， ()[

)11,36f x ∈，

又当[)21,6x ∈时， ()[)22,64g x t t ∈--，

∴216436t t -≤??-≥?

，解得128t ≤≤，

故选：B ． 【点睛】

对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即

1212,,()()()x x f x g x y f x ??=?=的值域包含于()y g x =的值域； 1212,,()()()x x f x g x y f x ??=?=的值域与()y g x =的值域交集非空．

5．A

解析：A 【分析】

根据题意函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，且为定义域内的单调递增函数，通过此两点判定即可. 【详解】

解：由定义域内存在实数x 有()()0f x f x ?-<，可得函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，排除D 、C.

由②得“DM 函数”为单调递增函数，排除B. 故选：A 【考点】

确定函数单调性的四种方法： （1）定义法：利用定义判断；

（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；

（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接； （4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.

6．C

解析：C 【分析】

首先判断函数在()0,∞+的单调性，然后根据函数是奇函数，可知函数在(),0-∞的单调性

和零点，最后结合函数的零点和单调性，求解不等式. 【详解】

对任意的正数a ，b (a

b )，有

()()

0f a f b a b

-<-，

()f x ∴在()0,∞+上单调递减，

定义在R 上的奇函数()f x 满足()20210f =，

()f x ∴在(),0-∞单调递减，且()()202120210f f -=-=， ()0f x x <等价于()00x f x >???

， 解得：2021x >或2021x <-， 所以不等式解集是()(),20212021,-∞-+∞.

故选：C 【点睛】

方法点睛：一般利用函数奇偶性和单调性，解抽象不等式包含以下几点： 若函数是奇函数，首先确定函数在给定区间的单调性，然后将不等式转化为

()()12f x f x <的形式，最后运用函数的单调性去掉“f ”，转化为一般不等式求解；

若函数是偶函数，利用偶函数的性质()()()f x f x f x -==，将不等式()()

1

2

f x f x <转化为()()1

2

f x f x <，再利用函数在[)0,+∞的单调性，去掉“f ”，转化为一般不等式

求解.

7．C

解析：C 【分析】

先求得()f x 的值域，根据题意可得()f x 的值域为[1,2]是()g x 在[1,1]-上值域的子集，分

0,0a a ><两种情况讨论，根据()g x 的单调性及集合的包含关系，即可求得答案.

【详解】

因为2

()(2)2,[0,2]f x x x =--+∈，

所以min max ()(0)1

()(2)2f x f f x f ==??==?

，即()f x 的值域为[1,2]，

因为对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立， 所以()f x 的值域为[1,2]是()g x 在[1,1]-上值域的子集，

当0a >时，()g x 在[1,1]-上为增函数，所以(1)()(1)g g x g -≤≤，所以

()[1,1]g x a a ∈---，

所以1112a a --≤??-≥?

，解得3a ≥，

当0a <时，()g x 在[1,1]-上为减函数，所以(1)()(1)g g x g ≤≤-，所以

()[1,1]g x a a ∈---

所以1112a a -≤??--≥?

，解得3a ≤-，

综上实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞，

故选：C 【点睛】

解题的关键是将题干条件转化为两函数值域的包含关系问题，再求解，考查分析理解的能力，属中档题.

8．A

解析：A 【分析】

由图象知函数的定义域排除选项选项B 、D ，再根据()01f =-不成立排除选项C ，即可得正确选项. 【详解】

由图知()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，排除选项B 、D ，

又因为当0x =时，()01f =-，不符合图象()01f =，所以排除C ， 故选：A 【点睛】

思路点睛：排除法是解决函数图象问题的主要方法，根据函数的定义域、与坐标轴的交点、函数值的符号、单调性、奇偶性等，从而得出正确结果.

9．C

解析：C 【分析】

根据0x >时()()0f x f x x

'+

>可得：()()0xf x f x '+>；令()()g x xf x =可得函数在

()0,∞+上单调递增；利用奇偶性的定义可证得()g x 为偶函数，则()g x 在(),0-∞上单调递减；将已知不等式变为()()231g x g x >-，根据单调性可得自变量的大小关系，解

不等式求得结果. 【详解】

当0x >时，()()0f x f x x

'+

> ()()0xf x f x '∴+>

令()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递增

()f x 为奇函数 ()()()()g x xf x xf x g x ∴-=--== ()g x ∴为偶函数

则()g x 在(),0-∞上单调递减

()()()2213310xf x x f x ∴+-->等价于()()231g x g x >-

可得：231x x >-，解得：1

15

x << 本题正确选项：C 【点睛】

本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较.

10．C

解析：C 【分析】

由已知得(4)()f x f x +=，由对数函数性质估计出2log 41(5,6)∈，然后利用已知条件把自变量变小为2log 416(1,0)-∈-，再由奇函数定义可求得函数值． 【详解】

25log 416<<，()()()()()2222f x f x f x f x f x +=-?++=-+=????，

故()()()()2222log 41log 414log 4166log 41f f f f =-=--=-.

∵()26log 410,1-∈，故()26log 41

26423

6log 412

114141

f --=-=-=. 故选：C ． 【点睛】

本题考查求函数值，方法是由已知条件得出函数的周期性，利用周期性和已知等式把函数自变量变小到(1,0)-上，然后由奇函数定义变到(0,1)上，从而由已知解析式求得函数值．

11．A

解析：A 【分析】

可知()f x 在R 上是单调递增函数，且()()2f x f x +-=，则不等式等价于(21)(2)f x f x ->-，解出即可.

【详解】

3()201920191x x f x x -=-++，()f x ∴在R 上是单调递增函数，

()3201920191x x f x x ---=+-，

()()2f x f x ∴+-=，则()()222f x f x -=-，

(21)(2)2f x f x -+>，(21)2(2)(2)f x f x f x ->-=-∴，

212x x ∴->-，解得1

4

x >

，

故不等式的解集为1,4??+∞ ???

. 故选：A. 【点睛】

本题考查抽象函数不等式的求解，解题的关键是判断出函数的单调性，得出

()()2f x f x +-=，将不等式化为(21)(2)f x f x ->-求解. 12．A

解析：A 【分析】

根据已知函数的解析式易判断出函数的奇偶性及单调性，结合单调性可将不等式

(2)4()f x t f x +>可化为22x t x +>，将恒成立问题转化为最值问题后，易得答案．

【详解】 解：

||y x =为偶函数，y x =为奇函数 ()||f x x x ∴=奇函数

当0x 时，2

()f x x =为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得函数()f x 在R 上

增函数 又

不等式(2)4()f x t f x +>可化为(2)|2|4||2|2|(2)x t x t x x x x f x ++>== 故当[,2]x t t ∈+时，不等式(2)4()f x t f x +>恒成立， 即当[,2]x t t ∈+时，不等式22x t x +>恒成立 即2x t <恒成立 即22t t +< 解得2t >

故实数t 的取值范围是(2,)+∞ 故选：A 【点睛】

本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，恒成立问题，其中分析出函数的单调性并将不等式(2)4()f x t f x +>可化为22x t x +>是解答的关键．

13．C

解析：C 【分析】

先解()3f t ≤，再由t 的范围求x 的范围． 【详解】

0t ≥时，2()03f t t =-≤<满足题意，

0t <时，2()23f t t t =+≤，31t -≤≤，∴30t -≤<

综上满足()3f t ≤的t 的范围是3t ≥-，下面解不等式()3f x ≥-，

0x ≥时，2()3f x x =-≥-，解得x ≤∴0x ≤≤，

0x <时，2()23f x x x =+≥-，2(1)20x ++≥，恒成立，∴0x <，

综上x ≤

故选：C 【点睛】

思路点睛：本题考查解函数不等式，由于是分段函数，因此需要分类讨论，而原不等式是复合函数形式，因此解题时可把里层()f x 作为一个未知数t （相当于换元），求得

()3f t ≥-的解，再由t 的范围求出()f x t =中t 的范围．分类讨论必须牢记，否则易出

错．

14．D

解析：D 【分析】

根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论. 【详解】

解：由①对任意的1x ，[]24,8x ∈，且12x x ≠，都有

()()1212

0f x f x x x ->-可得()f x 在

[]4,8上单调递增，

根据偶函数的对称性可知，()f x 在[]8,4--上单调递减，且函数周期为8，

()7a f =-，()()()1135b f f f ===-，()()()202044c f f f ===-，

故a b c >>. 故选：D. 【点睛】

本题考查函数的单调性和奇偶性周期性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

15．C

解析：C 【详解】

函数(

)

()

22

221ln 21x y x x +=-?+是偶函数，排除AD;且

222

222(1)2,02(1)

x x x x ++≥+∴≤+ 当01,0,10.x y x y <<>==时当时， 排除B,选C.

点睛：这个题目考查的是由函数的解析式画函数的图象；一般这种题目是排除法来做的；先找函数的定义域，值域，看是否和解析式相符；再看函数的对称性，奇偶性，看两者是否相符；还有可以判断函数的极限值．

二、填空题

16．【分析】先由题中条件得到讨论四种情况再判断的周期性即可得出结果【详解】由题意当时此时；当时此时；当时此时；当时此时；又所以是以为周

期的函数因此的值域为故答案为：【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于 解析：{}0,1,3,4

【分析】

先由题中条件，得到[][][]()246g x x x x =+-，讨论10,

4x ??∈????，11

,42x ??

∈????

，13,24x ??∈????，3,14x ??

∈????

四种情况，再判断()g x 的周期性，即可得出结果. 【详解】

由题意，[][][][][][][]()2244246g x x x x x x x x =-+-=+-， 当10,4x ??∈????时，120,2x ??

∈????，[)40,1x ∈，此时()0000g x =+-=； 当11,42x ??∈??

??时，12,12x ??

∈????

，[)41,2x ∈，此时()0101g x =+-=； 当13,

24x ??∈????时，321,2x ??

∈????

，[)42,3x ∈，此时()1203g x =+-=； 当3,14x ??∈????

时，32,12x ??

∈????

，[)43,4x ∈，此时()1304g x =+-=； 又

[][][][][][](1)224461224466g x x x x x x x +=+++-+=+++--[][][]246()x x x g x =+-=，所以()g x 是以1为周期的函数，

因此()g x 的值域为{}0,1,3,4. 故答案为：{}0,1,3,4 【点睛】 关键点点睛：

求解本题的关键在于根据一个单位区间内，x 的不同取值，确定[]

x ，[]2x ，[]4x 的不同取值情况，结合函数的周期性，即可求解.

17．【分析】本题首先可根据得出函数是周期为的周期函数则然后根据函数是奇函数得出最后根据当时求出的值即可得出结果【详解】因为所以即函数是周期为的周期函数则因为函数为定义在上的奇函数所以因为当时所以故答案为 解析：2

【分析】

本题首先可根据(3)()f x f x +=-得出函数()f x 是周期为6的周期函数，则

(100)(4)(1)f f f ==-，然后根据函数()f x 是奇函数得出(1)(1)f f -=-，最后根据当

3,02x ??

∈-????

时()2f x x =-求出(1)f -的值，即可得出结果. 【详解】

因为(3)()f x f x +=-，所以(6)(3)f x f x +=-+， 即(6)()f x f x +=，函数()f x 是周期为6的周期函数， 则(100)(6164)(4)f f f =?+=，(4)(1)f f =-，

因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(1)(1)f f -=-， 因为当3,02x ??

∈-

????

时()2f x x =-，所以(1)2(1)2f -=-?-=， 故答案为：2. 【点睛】

关键点点睛：本题考查函数周期性的判断与应用，考查函数奇偶性的应用，若函数()f x 满足()()f x f x k =+，则函数()f x 是周期为k 的周期函数，奇函数满足

()()f x f x -=-，考查化归与转化思想，是中档题.

18．【分析】利用偶函数性质赋值可求出函数解析式再求值域即可【详解】因为是偶函数所以有代入得：解得：所以故答案为： 解析：[)16,-+∞

【分析】

利用偶函数性质，赋值可求出函数解析式，再求值域即可. 【详解】

因为()()()()()()

2

2

2

2331f x x x x ax b x x x ax b =--++=-+++是偶函数，

所以有()()()()330

110

f f f f ?-==??=-=??，代入得：93010a b a b -+=??++=?，解得：2,3a b ==-.

所以

()()()()

()

2

2

222242223233410951616

f x x x x x x x x x x =--+-=--=-+=--≥-，

故答案为：[)16,-+∞.

19．【分析】对称轴是因此的最大值在中取得然后分类讨论当时在中取得时在中取得求出然后作差根据不等式的性质求得的最大值【详解】设的对称轴是显然的最大值在中取得当时时此时若即时若时若时若即时时取等号若即时时取

解析：32

-

【分析】

22()2(1)1g x x x c x c =--=---，对称轴是1x =，因此()g x 的最大值在(0)g ，

(1)g ，()g a 中取得．然后分类讨论，当02a <<时，在(0)g ，(1)g 中取得，2

a ≥时，在(1)g ，()g a 中取得．求出

b ，然后作差b a -，根据不等式的性质求得b a -的最大值． 【详解】

设2

2

()2(1)1g x x x c x c =--=---，(0)g c =-，(1)1g c =--，

2()2g a a a c =--，

()g x 的对称轴是1x =，显然()y g x =的最大值在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得．

当02a <<时，

10c --≥，1c ≤-时，(0)b g c c ==-=-，此时b a c a -=--121>-=-，

10c --<，若1c c --≤-，即1

12c -<≤-时，(0)b g c c ==-=-，

13222

b a

c a -=-->

-=-， 若1c c -->-，1

2

c >-

时，(1)111b g c c c ==--=+=+，13

11222

b a

c a -=+->--=-，

若2a ≥时，

若2

12c a a c --≤--，即2212

a a c --≤时，22

()22b g a a a c a a c ==--=--，

222

2

21(2)33

33222

a a a

b a a a

c a a -----=--≥--=≥-，2a =时取等号，

若2

12c a a c -->--，即221

2

a a c -->时，(1)11

b g

c c ==--=+1c =+，

2221413

11222

a a a a

b a

c a a ---+-=+->+-=≥-，2a =时取等号．

综上所述，b a -的最小值是32

-． 故答案为：32

-． 【点睛】

方法点睛：本题考查绝对值的最大值问题，解题关键是求出最大值b ，方法是分类讨论，

由于有绝对值符号，引入二次函数2

()2g x x x c =--后确定b 只能在(0)g ，(1)g ，

()g a 中取得．然后分类讨论求得最大值．才可以作差b a -得其最小值．

20．①③④【分析】根据函数图像逐一判断即可【详解】对于①令结合图象可得有三个不同的解从图象上看有两个不同的解有两个不同的解有两个不同的

解故有6个不同解故①正确对于②令结合图象可得有两个不同的解从图象上看

解析：①③④ 【分析】

根据函数图像逐一判断即可. 【详解】

对于①，令()t x g =，

结合图象可得()0f t =有三个不同的解12321,0,12t t t -<<-=<<， 从图象上看()1g x t =有两个不同的解，()2g x t =有两个不同的解，

()3g x t =有两个不同的解，故[()]0f g x =有6个不同解，故①正确.

对于②，令()t f x =，

结合图象可得()0g t =有两个不同的解1221,01t t -<<-<<， 从图象上看()1f x t =的有一个解，()2f x t =有三个不同的解， 故[()]0g f x =有4个不同解，故②错误. 对于③，令()t f x =，

结合图象可得()0f t =有三个不同的解12321,0,12t t t -<<-=<<， 从图象上看()1f x t =有一个解，()2f x t =有三个不同的解，

()3f x t =有一个解，故[()]0f f x =有5个不同解，故③正确.

对于④，令()t x g =，

结合图象可得()0g t =有两个不同的解1221,01t t -<<-<<， 从图象上看()1g x t =有两个不同的解，()2g x t =有两个不同的解， 故[()]0g g x =有4个不同解，故④正确. 故答案为①③④. 【点睛】

本题考查了函数图像的应用，考查了数学结合思想，属于中档题.

21．【分析】根据已知构造新函数利用导数求得函数的单调性根据函数的单调性列出不等式即可求解【详解】因为函数是定义在上的可导函数且有即设函数则所以函数在上单调递增又因为即所以则即的即不等式的解集为故答案为： 解析：(2020,2022]

【分析】

根据已知构造新函数，利用导数求得函数的单调性，根据函数的单调性，列出不等式，即可求解. 【详解】

因为函数()f x 是定义在()0,∞+上的可导函数，且有()()2f x xf x x '+>， 即()()2

2

2xf x x f x x '+>

设函数()()2

g x x f x =，则()()()2

20g x xf x x f x '=+>，

所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，

又因为()()()2

20202020420x f x f ---≤，即()()()2

22020202022x f x f --≤，

所以(2020)(2)g x g -≤，则20200

20202x x ->??

-≤?

，即的20202022x <≤， 即不等式的解集为(2020,2022].

故答案为：(2020,2022]. 【点睛】

本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中构造新函数，结合题设条件求得新函数的单调性，结合新函数的性质求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.

22．(－∞－2)【分析】讨论分段函数各区间上单调递减且在处连续可知在R 上单调递减结合在aa ＋1上恒成立根据单调性列不等式求参数范围即可【详解】二次函数的对称轴是x ＝2∴该函数在(－∞0上单调递减即在(－

解析：(－∞，－2) 【分析】

讨论分段函数()f x 各区间上单调递减，且在3x =处连续可知()f x 在R 上单调递减，结合

()(2)f x a f a x +>-在[a ，a ＋1]上恒成立，根据单调性列不等式求参数范围即可

【详解】

二次函数2

143y x x =-+的对称轴是x ＝2

∴该函数在(－∞，0]上单调递减，即在(－∞，0]上13y ≥

同理，函数2

223y x x =--+在(0，＋∞)上单调递减，即在(0，＋∞)上23y <

∴分段函数()f x 在3x =处连续，()f x 在R 上单调递减

由()(2)f x a f a x +>-有2x a a x +<-，即2x < a 在[a ，a ＋1]上恒成立 ∴2(a ＋1) < a ，解得a <－2 ∴实数a 的取值范围是(－∞，－2) 故答案为：(－∞，－2) 【点睛】

本题考查了函数的单调性，确定分段函数在整个定义域内的单调性，再利用单调性和不等式恒成立的条件求参数范围

23．（1）（5）【分析】利用零点存在定理可判断命题（1）的正误根据全称命题的否定可判断命题（2）的正误根据集合的包含关系可判断命题（3）的正误根据充分必要条件可判断命题（4）的正误根据函数的单调性求出参

解析：（1）（5）. 【分析】

利用零点存在定理可判断命题（1）的正误，根据全称命题的否定可判断命题（2）的正误，根据集合的包含关系可判断命题（3）的正误，根据充分必要条件可判断命题（4）的正误，根据函数()y f x =的单调性求出参数a 的取值范围，可判断出命题（5）的正误. 【详解】

对于命题（1），由零点存在定理可知，该命题正确；

对于命题（2），由全称命题的否定可知，该命题不正确，应该是

00:0,1x p x e ??>≤使得；；

对于命题（3），空集是任何非空集合的真子集，但不是空集本身的真子集，该命题错误； 对于命题（4），取2a =，3b =-，则a b >，但22a b <，所以，“a b >”不是“22a b >”的充分不必要条件，该命题错误；

对于命题（5），由于函数()y f x =在R 上是增函数，则()1230123143a a a a a ?+>?

>??≤+?-+?

，

解得12a <≤，该命题正确. 故答案为（1）（2）（5）. 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查零点存在定理、全称命题的否定、集合的包含关系、充分不必要条件的判断以及分段函数单调性，解题时应充分利用这些基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握，属于中等题．

24．甲【分析】由题意求出的解析式依据两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同即可得出结论【详解】解得所以故答案为:甲【点睛】本题主要考查两函数为同一函数的条件：定义域和对应关系相同；正确求出两函数的

解析：甲 【分析】

由题意求出()(),F x G x 的解析式,依据两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同,即可得出结论. 【详解】

()()11

x

f x x x =

>-,(

))2g x x =≥, ()()11

x

f x x x ∴=>-, (

))21x F x x x ∴=

=≥-,

()

()

()G x g x f x =,

(

)()1

21

G x x x x x x -∴

=≥-, 解得()()2G x x x =≥,

所以()()()2F x G x x x ==≥.

故答案为:甲 【点睛】

本题主要考查两函数为同一函数的条件：定义域和对应关系相同；正确求出两函数的解析式和定义域是求解本题的关键;属于易错题;

25．②④【分析】根据题意画出方程对应的函数图象根据图像判断函数单调性值域最值以及函数零点个数的判断数形结合即可选择【详解】当y≥0时方程y|y|＝1化为（y≥0）当y ＜0时方程y|y|＝1化为（y ＜0）

解析：②④ 【分析】

根据题意，画出方程对应的函数图象，根据图像判断函数单调性、值域、最值以及函数零点个数的判断，数形结合即可选择. 【详解】

当y ≥0时，方程24x +y |y |＝1化为2

214x y +=（y ≥0），

当y ＜0时，方程24x +y |y |＝1化为2

214

x y -=（y ＜0）.

作出函数f （x ）的图象如图：

由图可知，函数f （x ）在R 上不是单调函数，故①错误； y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1，故②正确； 函数f （x ）的值域为（﹣∞，1]，故③错误；

双曲线22

1

4

x y -=的渐近线方程为y 12=±， 故函数y ＝f （x ）与y ＝﹣x 的图象只有1个交点，

即函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点，故④正确. 故答案为：②④. 【点睛】

本题考查函数单调性、值域以及零点个数的判断，涉及椭圆和双曲线的轨迹绘制，以及数形结合的数学思想，属综合中档题.

26．-1【解析】试题

解析：-1 【解析】 试题

因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以，

则

，所以

．

考点：函数的奇偶性．