二阶变系数齐次微分方程

毕业论文

题目二阶变系数齐次线性微分方程的若干解法

院系滨江学院

专业信息与计算科学

学生姓名xxx XX

学号xxxXX

指导教师XXX

职称教授

二Ｏ一二年五月二十日

目录

摘要 ...................................................................... 3 引言 . (3)

1、 用常数变易法求解二阶变系数齐次微分方程的解 (3)

1.1

已知方程的一个特解求通解 (3)

2、 化为恰当方程通过降阶法求解二阶变系数齐次微分方程的解 (5)

2.1求满足定理1的恰当方程的通解 ......................................... 5 2.2

求满足定理2的恰当方程的通解 (6)

3、 化为RICCAIT 方程求二阶变系数齐次线性微分方程的解 (6)

3.1若方程系数满足()'()p x q x =情况 ....................................... 8 3.2若方程系数满足()()1p x q x +=-情况 ................................... 9 3.3

若方程系数满足()()1p x q x -=情况 (10)

结束语 ................................................................... 11 参考文献 . (11)

二阶变系数齐次线性微分方程的若干解法

姓名

xx大学xx专业，南京 210044

摘要：二阶线性齐次微分方程无论是在微分方程理论上还是在应用上都占有重要位置。现在对于常系数的线性微分方程的解法研究已经比较完备。但对于变系数线性微分方程如何求解，却没有通用的方法，因此探求二阶变系数微分方程的解法就很有必要。本文主要讨论二阶变系数齐次线性微分方程的解法问题，通过利用常数变易法，和系数在满足特定条件下，化为恰当方程和riccati方程来求解二阶变系数齐次微分方程的解法，直接通过具体例题解决具有满足相同条件关系的二阶变系数齐次微分方程的解，从而进一步加深对二阶变系数齐次线性微分方程的解法的理解。

关键词：二阶变系数齐次线性微分方程；常数变易法；降阶法；恰当方程；riccati方程；通解；

引言：尽管由于计算数学和计算技术的迅猛发展,通过电子计算机可以迅速而且比较准确

地处理有关微分方程的求解问题。但是，在实际学习生活中对于一个常微分方程，不论从理论研究的角度，或从实际应用的角度看，都具有十分重要的地位。现在我们对于常系数线性微分方程的解法，已非常完备，但是对于理论比较完整的、有广泛应用的线性变系数微分方程至今却没有一般的求解方法，因此二阶变系数齐次微分方程的求解问题一直是人们感兴趣的研究课题。本文对系数满足特定条件的二阶变系数微分方程，通过观察其形式，巧妙利用常数变易法，化为恰当方程，和化为riccati方程来求解。主要针对不同类型的二阶变系数方程用不同的方法实现解决部分满足一定条件下的方程的解的目的。诣在通过具体例题的解法，解决系数满足特定条件下的二阶变系数齐次线性微分方程求解的问题，从而使我们能更进一步加深对二阶变系数齐次微分方程解法的理解，以便适应在工程技术的实际领域或学生在学习相关专业中的需要。

本文主要通过把方程转化为我们所熟悉形式，来讨论二阶变系数齐次微分方程

y p x y q x y

++=

''()'()0

（1）p x q x是关于x的连续函数。

的解，其中(),()

1、用常数变易法求解二阶变系数齐次微分方程的通解

1.1 已知方程一个特解求方程通解

在我们课本上所学的关于求解二阶常系数齐次线性微分方程，我们可以通过特征方程法求其线性无关的特解, 然后再利用微分方程解的相关性质从而求得其通解,对于这个方法我们已经很熟悉了。那对于二阶变系数齐次线性微分方程求解怎么进行？因为二阶变系数齐

线性微分方程由于其系数的变化不同,使用特征方程法就没用,为此我们想到通过常数变易法，来讨论二阶变系数齐次线性微分方程（1）的解，具体思路如下:

若已知1y 为方程(1)的一个特解，则知1cy ( C 为任意常数)是方程(1) 的一般解，我们可以通过变易常数，设与方程(1)的解

1y 线性无关的解为12)(y x c y =, 其中

)

(x c 是待定的函数，将其代入方程(1)可以得到:

111111''(2')'(''')0c y y py c c y py qy +++++= （1.1

已知

1y 为方程(1)的一个特解,化简可以得到:

111''(2')'0c y y py c ++= （1.2）

观察此方程是一个可降阶的微分方程，则令c u '=可得：

()0211

1=+'+'u py y y u ，利用变量分离得：021

11

=+'+'y py y u u （1.3）

积分得：

?=--pdx

e y u 21

则： ()dx e y x c pdx ???

? ???=--21 （1.4） 所以， ()dx e

y y y dx x p ???

? ??

?=--2112 （1.5) 例1 若已知2

1x e y =是二阶变系数齐次线性微分方程()02442

=-+'-''y x y x y 的一

个特解,求此二阶变系数齐次微分方程的通解。

解: 已知一个特解1y ，利用（1.5）的结论,得另一个线性无关的特解为:

222

422x xdx x x

xe dx e e e y =?=---?

所以原方程的通解为：y =(1c +x c 2)e 2

x 其中（1c ，2c 为任意常数）。

例2 求解(1)'''0x y xy y --+=，已知它的一个特解是1y x =，求其通解。 解：x y =1

，利用常数变易法 ，得到所求通解为：

dx e x

x y dx

x x

?=-?1221

??

????+?=?-21211c dx e x c x y dx

x x

x

c e c c dx e x dx e x e x c x c dx e e x c x c dx e x c x x x x x x x x x 21222212)1ln(212)1ln(2111111+=??

?

???+-+=??

?

???+=?

??

???+=????--+

一般的若已知二阶齐次线性微分方程的一个特解（对某些方程我们可通过观察法或分析法快速确定），然后利用常数变易法设另外一个特解，代入原方程后就可得到一个可降阶的微分方程，从而很简便的求得二阶变系数齐次微分方程的通解。

2、化为恰当方程通过降阶法求解二阶变系数齐次微分方程的通解

引入概念 如果二阶变系数齐次微分方程满足以下条件1和条件2中的系数(),()p x q x 所限制的条件时，所能得到的方程就称之为恰当方程。

如何化为化为恰当方程通过降阶法求解方程通解？我们的思路就是观察二阶变系数齐次线性微分方程的系数，把系数化成满足恰当方程的系数形式，然后将转化后的的系数形式带入方程，然后利用变量代换，通过降阶法，把方程变为我们所熟悉的一阶方程积分求得方程的通解。

2.1 求满足条件1的恰当方程的通解

条件1 二阶变系数线性常微分方程( 1) , 对于系数(),()p x q x ，若满足

{

()()()()'()()()

p x F x W x q x F x W x F x =+=+ （2.1.1）

其中函数(),'(),()F x F x W x 都是连续函数,则把此类方程为恰当方程。 例1 求方程2

''4'(42)0y xy x y -+-=的通解

解： 令 ()2,()2,F x x W x x =-=-则 2

'()()()42F x W x F x x +=- 系数满足定理1的条件则是恰当方程。将其带入方程（1）就可以得到

''(()())'('()()())0y F x W x y F x W x F x y +-++= (2.1.2)

将上式通过变形得：

['()]'()['()]0y F x y W x y F x y +++= （2.1.3）

基于换元法，令 '()u y F x y =+ （2.1.4） 则有： '()0u W x u += (2.1.5) 解上面的方程( 2.1.5) 就得到：

()()1[]

W x dx

W x dx u e e dx c -?

?=+? （2.1.6）

把式( 2.1.6) 代入式(2.1.4)得

()()1'()[]

W x dx W x dx

y F x y e e dx c -??+=+? （2.1.7）

解得：

()()()()12{[]}F x dx W x dx W x dx F x dx y e e e dx c e dx c --????=++??

即得方程的通解为：

()[()()]()12{[]}F x dx F x W x dx W x dx

y e e e dx c dx c --???=++?? （2.1.8）

（其中1,2c c 是任意的常数。） 所以原方程的解为：

2

2

12{[]}x x y e e c dx c =++??

即： 222

22121142

x x x y e c e x c e x =++ （2.1.9）

2.2 求满足条件2的恰当方程的通解

条件2 二阶变系数线性常微分方程( 1) ,对于系数(),()p x q x 若满足

'()()()()'()()()F x W x p x F x W x q x F x +==?????

(2.2.1)

其中(),()F x W x 为一阶导数连续的函数，则把此类方程称为恰当方程。 例2 求方程 2

2

''(1)'0y y y x x

+++

=的通解 解： 令2

2

(),()F x x W x x ==，则可知：

22

'()()22

()1()F x W x x x p x F x x x

++===+，2'()22()()W x x q x F x x x ===

系数(),()p x q x 满足条件( 2.2.1) ,将其代入方程(1) 便得：

()''('()())''()0F x y F x W x y W x y +++= (2.2.2)

将上式两端减掉'Q 整理便得到：

(()'())''F x y W x y Q Q +-=-

于是进一步便得到：1()'()'F x y W x y Q Q dx c ++-=+?

（2.2.3） 解得： ()

()

()()

22[[]

]()

W x W x dx

dx F x F

x Q c y e

e c F x -

+??=+? （其中1c ，2c 为任意常数。

） 若方程满足条件2 中的条件,且()0,()()Q x F x W x == 则方程( 1) 有通解为：

1

2[[

]]()

x x c y e e dx c F x -=+? 其中1c ，

2c 为任意常。 (2.2.4) 根据通解公式得出所求原方程的解为：

122x

x

c e y e dx c x

-=+? 其中1c ，2c 为任意常数。 (2.2.5)

将二阶变系数齐次线性微分方程化为恰当方程，通过观察系数之间的关系代入方程，利用变量代换法将方程降阶来求解通解问题，使得问题变得简单可行，这个方法对于满足条件的二阶变系数齐次方程适用性强，但是不具普遍性，而且对于相对复杂的系数我们也难一眼看出它们之间的关系，这对我们解决问题具有一定的局限性。

3、将二阶变系数微分方程化为riccati 方程求解

将二阶变系数齐次线形微分方程化为riccati 方程,主要是利用原有的riccati 方程方程的通解结论，将方程通过换元法化为riccati 方程，然后得出相关的结论，进而再求出通解，思路比较简单。

引入以下几个结论：

法国数学家刘维尔在（1841年)证明了著名的riccati 方程

2'()()()y p x y q x y r x =++

一般来说不可积，文[4-5]均给出待定函数满足定理条件时方程的通积分。

引理 1

[]

4 若系数满足'

()()()q x r x p x ??

=- ???

，则riccati 方程可积且其通积分为

()()()

()

()q x dx q x dx

e q x y p x c p x e dx --?=-?-?

引理2

[]

5 若系数满足()

()()

q x p x p x =

，则riccati 方程可积且其通积分为 221

()p q dx

pdx

p

q

pdx

e y pdx

c p x e dx

--

+--

+?

?

=

-

?

?-??

3.1 若方程系数满足'()()p x q x =的情况 例1 求方程211

'''0y y y x x

+

-=的通解 解： 基于换元法 令'

()y u x y =-，则'

'

''()()y u x y u x y =--将'

y 和''

y 代入原方程（其中

()u x 是新的未知函数）

即： '

2

211

()()()0u x y u x y u x y y x x -+-

-= 经过化简可得： '2

211(()()())0y u x u x u x x x

-+--= （3.1.1）

0y =很显然是方程（1.1）的解。

所以可知 ： '

2

211

()()()0u x u x u x x x

-+--= 则：'

2

211

()()()u x u x u x x x

=-

- 是关于'()u x 的riccati 方程。 （3.1.2） 可知1()p x x =，21

()q x x

=-因为()'()p x q x =，即(())'()p x q x -=-满足上面的引理

1'

()()()q x r x p x ??

=- ???

的条件。 所以关于()u x 的riccati 方程的通积分为：

1

1

11

()dx x

dx

x e u x x

c e

dx

?=

+?- (1c 为任意常数)。 （3.1.3）

则 11

11111()(())dx dx x x e dx e dx

dy x x dx y p x dx dx x c e dx c e dx

=-+=-+??--?? （3.1.4）

11122211exp()2dx

x

dx x

c c c x e y c dx x x c e ???? ?

=-+=- ? ?-???? (其中1c ，2c 为任意常数。) 解得 ： 21

111(())dx x e dx

x y c e dx x c e dx

=-+?-?? (其中1c ，2c 为任意常数。)。 （3.1.5） 当20C =时, 0y =。 所以原方程的通解为：

12221

111exp ()2dx x e dx

c c c x x y c dx x x c e dx

=-+=-?-?? (其中1c ，2c 为任意常数)。

（3.1.6） 3.2 若方程系数满足()()1p x q x +=-的情况 例2 求方程11

''(2)'(3)0y y y x x ++-+=的通解

解： 基于换元法'()x

y e u x y =-, 则'''()()()'x x x y e u x y e u x y e u x y =---，将'

y 和''

y 代入原方程（其中()u x 是新的未知函数），

化简可得:

'2211()()((2))()(3)0x x x x y e u x e u x e e u x x x ??

-+-++++=????

（3.2.1）

很显然0y =方程（2.1）的解。 而

'2211

()()((2))()(3)0x x x x e u x e u x e e u x x x

-+-++++=

即 '21(3)

1

()()(1(2))()0x x x u x e u x u x x e

+=-+++= （3.2.2）

是一个关于()u x 的riccati 方程。

因为()()1p x q x +=-, 所以方程 ( 3.2.2) 可化为

'21(3)

1

()()(3)()x x x u x e u x u x x e

+=-++ （3.2.3）

因为

()

()x x

Q x e Q x e =, 即上述方程满足引理 2的条件, 所以关于()u x 的riccati 方程的通积分为：

21

3121

31

()x

x x x x

e dx

x e dx x e e dx x e dx u x e dx

c e e

dx

++-=+=

-?-???

?(其中1c 为任意常数。 ) （3.2.4） 由此可得：

21

3121

31

()x

x x x x x e dx

x e dx x e e dx x e dx dy

e y dx

e dx

c e e

dx

++-=+=--?-???

? （3.2.5） 解得：

21

111

11

exp (

)x x

dx

x x e dx x y c e dx e c e e

dx

++=-?-?

?? （3.2.6）

当20C =时, 0y =, 所以原方程的通解为

2211

111

11

exp (

)((2))x x x dx

x x e dx x y c e dx c c x e e

c e e

dx

++=--=--?-?

?? (其中1c ，2c 为任意常数。) （3.2.7）

3.3 若方程系数满足()()1p x q x -=情况 例3 求方程1

1''(3)'(2)0y y y x x

+-+-=的通解

解： 基于换元法，令''()x y e u x y -=, 则''''()()()x x x y e u x y e u x y e u x y ---=-+，将'

y 和''y 代入原方程（其中()u x 是新的未知函数）， 化简可得：

'2211()()((3)()(2)0x x x x y e u x e u x e e u x x x ----?

?----+-=????

（3.3.1）

显然0y =方程 ( 1.1.1) 的解。 而

'2211

()()((3)()(2)0

x x x x e u x e u x e e u x x x --------+-= （3.3.2） '21

(2)

1

()()(1(3))()0x x x u x e u x u x x e

---=-+--+= （3.3.3）

是一个关于()u x 的riccati 方程。

因为()()1p x q x -= , 所以方程 ( 3.3.3) 可化为：

'21

(2)

1()()(2)()x x x u x e u x u x x e

--=---+ （3.3.4） 因为

'()

()x x x

q x e e q x e --==, 即上述方程满足引理 2的条件, 所以关于()u x 的riccati 方程的通积分为：

2()12()()x q x dx

x e q x dx u x e c e e dx

---=

-?

-?? (其中1c 为任意常数。 ) （3.3.5）

由此得解得：

2()

2

2()1

exp((

))q x x

x q x dx

x

e dx

y c e e dx c e

e dx

----=-?

-???当20C =时, 0y =,

所以原方程的通解为：

122)

221

221111

exp((

))()(1)x

x

x x x

dx

x

x e

dx

y c e e dx c c x e e c e e

dx

-------=-=+++?-??? (其中

1c ，2c 为任意常数。)。 （3.3.6）

这种方法要求系数在满足特定条件下，采用换元法进行运算，要求我们对系数关系有很好的把握，主要是利用已有结论求通解，方法简单明了，但是对于如何化为riccati 方程是解决此类题目的关键，这并不适用于每一个方程的求通解问题，但是这种方法能使我们对于二阶变系数齐次线性微分的解法有了更深刻的理解。

四、结束语

本文主要讨论二阶变系数齐次线性微分方程的若干解法，求解在方程满足特定条件下，巧妙地求解二阶变系数齐次微分方程的通解。主要是通过常数变易法，化为恰当方程通过降阶法，以及把二阶变系数齐次线性微分方程转为riccati 方程求解，使得变系数齐次微分方程的解法变得有效可行。这几种方法的使用，需要我们能够准确把握题目中暗含的条件，从而对应的找到相应解决办法，然后转化为我们熟悉的方程形式来求解方程的解，使得二阶变系数齐次微分方程解法变得更容易理解。本文提供的及几种方法虽然可以解决不少二阶变系数齐次微分方程，但却不具普适性，对于很多的二阶变系数方程的解法仍具有一定的局限性，仍需要大家今后不断在这一课题上努力研究。在本文实际解题过程中也利用了解决方程问题常用的一些方法，常数变易法、换元法、降阶法等让我们对于这些方法的研究有了更广泛运用和更深刻的理解，但还有很多的方法如初等函数法、积分法、向量法等，在此就不逐一讨论了。

【参考文献】

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[9]李永利.桑改莲 一类二阶变系数齐次微分方程通解的求法[J]-高等数学研究 2006，9 [10]袁相碗，徐洪义，包雪松，常微分方程[M]. 南京：南京大学出版社.1994. [11]王高雄.常微分方程[M].北京：高等教育出版社

several solutions for the Second order variable coefficient and homogeneous linear of differential equation

FengXin

Nanjing information engineering university institute of binjiang information and computer science major, nanjing 210044

Abstract:the second order and homogeneous linear differential equation whether in theory or in the

application of differential equation are an important place. Now for a linear differential equation with constant coefficients of studies have relatively complete solutions. But for variable coefficient linear differential equation how to solve, but there is no universal way, so to search for second order variable coefficient of the differential equation solution is very necessary. This paper mainly discusses the second order homogeneous linear differential equation variable coefficient of the solution to problems, through the use of variation of constant, and coefficient in meet certain conditions, into appropriate riccati equation and to solve the equations of second order differential equation of homogeneous variable coefficient method, directly through the concrete examples resolve a meet the same conditions of the relationship between two order variable coefficient of homogeneous differential equation solution, thus further deepen our understanding of the second order variable coefficient homogeneous linear differential equation of the solution to understand.

Keywords: second order variable coefficient of homogeneous linear differential equations; Variation of constant; The reduced order method; Appropriate equation; Riccati equation; General;