隐函数求导的简单方法
·1·
数学中不等式的证明方法
王贵保
一、利用拉格朗日中值定理
1．拉格朗日中值定理：设)(x f 满足：（1）在闭区间[a , b ]上连续；（2）在开区间（a , b ）内可导，则有一点∈ξ（a , b ），使得
)()()(ξf a
b a f b f '=-- 2．从上式可以看出，如果能确定了)(ξf '介于某两个数m 与M 之间，则有如下形式的不等式：
m ≤a
b a f b f --)()(≤M 因此，欲证形如a b a f b f --)()(或构造成为a
b a f b f --)()(形式的不等式，可用该方法。 例1：证明，当x ＞0时，有1-x e ＞x .
证明：由原不等式，因为x ＞0，可改写为x
e x 1-＞1的形式，或改写为00--x e e x ＞1的形式，这里t e t
f =)(，区间为[0, x ]，于是可用拉格朗日中值定理证明。
令t e t f =)(，∈t [0, x ]，则)(t f 满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在∈ξ[0, x ]有
0--x e e x ＝ξe ＞1 所以，有不等式1-x
e ＞x . 例2：证明不等式x +11＜x x ln )1ln(-+＜x
1 （x ＞0） 证明：x x ln )1ln(-+＝x
x x x -+-+)1(ln )1ln(这里x b +=1，x a =，于是可对t t f ln )(=在［x , 1+x ］上应用拉格朗日中值定理.
令t t f ln )(= ]1,[x x t +∈ （x ＞0），则)(t f 在［x , 1+x ］上满足中值定理的条件，于是有]1,[x x +∈ξ，即x ＜ξ＜x +1，使得
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ξ
ξ1)()1()()1(=='=-+-+t t f x x x f x f （1） 又因为x ＜ξ＜x +1，知有
x +11＜ξ1＜x 1 （2） 于是由（1）（2）可得
x +11＜)()1(x f x f -+＜x
1 二、利用函数的单调性
1．定义：设)(x f 在（a , b ）内有定义，任取),(,21b a x x ∈且1x ＜2x ，如有)(1x f ≤)(2x f 则称)(x f 在（a , b ）单调增加，如有)(1x f ≥)(2x f 则称)(x f 在（a , b ）内单调减少.
2．判定单调性的方法：如)(x f 在（a , b ）内的导数)(x f '＞0，则)(x f 在（a , b ）内单调增加；如导数)(x f '＜0，则)(x f 在（a , b ）内单调减少.
3．从单调性的定义可以看出，若构造不成
a b a f b f --)()(的形式，则可利用函数的单调性进行判定证明.
例3：证明，x ＞0时有x
e ＞1+x .
证明：令x e x f x --=1)(，则1)(-='x e x f ＞0所以)(x f 单调增加，于是当x ＞0时有)(x f ＞)0(f ＝0，即有)(x f ＞0. 或 x e ＞1+x 例4：证明x ＞1时，有x ln ＞
1
)1(2+-x x 证明：令-=x x f ln )(1
)1(2+-x x ，则 []22)1(41)1()1()1(21)(+-=+--+-='x x x x x x x f 22
22)
1()1()1(4)1(++=+-+=x x x x x x x ， 由x ＞1知 )(x f '＞0，所以)(x f 单调增加，于是当x ＞1时有)(x f ＞)1(f ＝0，即得： x ln ＞1
)1(2+-x x . 三、利用闭区间上的连续函数可以取得最大值与最小值的方法
1．定理：若)(x f 在闭区间[a , b ]上取得最大值M 与最小值m ，于是有m ≤)(x f ≤M.
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2．因此，若在不等式的证明中，如有某一个变量受到限制时，可用该方法。
3．最大值与最小值的求法为：先对)(x f 求导，得方程)(x f '＝0，求出其解，比如为1x ，2x ，…，n x ，然后计算)(1x f ，)(2x f ，…，)(n x f 及)(a f 与)(b f ，从中取最大者为最大值，最小者为最小值.
例5：证明，当0≤x ≤1，p ＞1时有不等式
121
-p ≤p
p x x )1(-+≤1 证明：这里因x 有限制，]1,0[∈x ，可见，应求函数p p x x x f )1()(-+=在]1,0[上
的最大值及最小值.
0)1()(11=--='--p p x p px x f ，可得 ∈=2
1x ]1,0[ . 又 121)211()21()21(-=
-+=p p p f ； 1)1(,1)0(==f f ，
于是有 121
-p ≤p
p x x )1(-+≤1 . 四、利用函数的凹凸性进行证明
1．定义：设函数)(x f 在（a , b ）内有定义，如),(,b a y x ∈有??? ??+2y x f ≤[])()(21y f x f +则称函数)(x f 在（a , b ）内为凹函数，如有??? ??+2y x f ≥[])()(2
1y f x f +，则称函数)(x f 在（a , b ）内为凸函数；更加一般地，如有??
? ??+++n x x x f n 21≤[])()(11n x f x f n ++ 则称)(x f 在（a , b ）内为凹函数，如有??
? ??+++n x x x f n 21≥[])()()(121n x f x f x f n
+++ ，则称)(x f 在（a , b ）内为凸函数. 其中1x ，2x ，…，n x ∈（a , b ）.
2．因此，如在不等式的证明中出现了形如??? ??+2y x f 或??
? ??+++n x x x f n 21
的形式，可用函数凹凸性来证明.
3．函数凹凸性的判定：如)(x f 在（a , b ）内的二阶导数)(x f ''＞0，则函数)(x f 为凹函数，如)(x f ''＜0，则函数)(x f 为凸函数.
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例6：证明，当y x ≠时，有2y
x e +＜)(2
1y x e e + . 证明：由于在所证明的不等式中有2y
x e +的形式，因此可用函数的凹凸性证明，为此，
令t e t f =)(，则t e t f ='')(＞0，于是函数t e t f =)(为凹函数，从而对任何y x ,有 ??? ??+2y x f ＜[])()()(2
1y x y f x f ≠+ . 即 2y
x e +＜)(21y x e e + . 注：本例可以推广到如下的不等式，即 n x x x n
e +++ 21＜()
n x x x e e e n
+++ 211 . 例7：证明，当1x ，2x ，…，n x 均匀正数时有 n
x x x n +++ 21≥n n x x x 21 证明：因为在不等式的左边出现了乘积1x ，2x ，…，n x ，因此，我们两边取对数变成和的形式，即欲证
n
x x x n +++ 21≥n n x x x 21，只须证明 n
x x x n +++ 21ln ≥n n x x x 21ln ， 即证： n x x x n +++ 21ln ≥[]n x x x n
ln ln ln 121+++ 于是，可令t t
t f ln )(=＞0，则有 21)(t
t f -=''＜0 （t ＞0） 可见)(x f 为凸函数，由凸函数的定义可知有 ???
??+++n x x x f n 21≥[])()(11n x f x f n
++ 即有 n x x n ++ 1ln ≥[]n x x n
ln ln 11++ 或 n x x n ++ 1≥n n x x x 21 同学们会在高等数学下册的学习中，学习条件极值，在那里也可以通过构造多元函数的条件极值来证明一些较为复杂的不等式.
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隐函数的求导方法总结
河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(=οοy x F ，0),(≠οοy x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(οοx f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x
隐函数求导公式
第5节：隐函数的求导公式 教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。 教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。 教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。 教学方法：讲授为主，互动为辅 教学课时：2 教学内容： 一、一个方程的情形 在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程 ),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式. 隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点 ),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，, 0),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 y x F F dx dy -= （2） 公式（2）就是隐函数的求导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式 0))(,(≡x f x F , 其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 ,0=??+??dx dy y F x F
由于y F 连续，且0),(00≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个邻域，在这个邻域内0≠y F ，于是得 .y x F F dx dy -= 如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得 dx dy F F y F F x dx y d y x y x ???? ??-??+???? ??-??= 22 .23 2222y x yy y x xy y xx y x y x yy y xy y x yz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=???? ??-----= 例 1 验证方程012 2 =-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。 解 设=),(y x F 12 2-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此 由定理1可知，方程012 2 =-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =。 下面求这函数的一阶和二阶导数 y x F F dx dy -==y x -， 00 ==x dx dy ; 22dx y d =,1) (3 32222y y x y y y x x y y y x y -=+-=---='-- 10 2 2-==x dx y d 。 隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函
隐函数的求导方法总结
百度文库- 让每个人平等地提升自我 河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x
隐函数地求导方法总结材料
地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间确定 了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x 故 1=x dx dy = ) 1,(!y x =1
显函数.隐函数.参数方程求导总结
显函数.隐函数.参数方程求导总结 我在大学以前的函数求导的学习中，学到的都是显函数的求导。显函数这种函数的表达方式的特点是：等号的左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。在这些显函数的求导时，我们都是利用公式。 如：()sin cos x x '=` ()x x e e ' =` ()2 1arcsin 1x x '= -等等。刚开始的时候是一 些很明显的函数。如：sin y x =. 2 455y x x =++ x y e =等。而后来的我 们又学习了一些复合函数。如 x y e = 1 sin y x =等。这时我们就必须 设()y f u =，而()u x ?=则复合函数()y f x ?=????的导数为dy dy du dx du dx =，或()( )()y x f u x ? '''=。 等到了大学我们就碰到了像 3 10x y +-= 这样的，而当变量x 和y 满足一个方程(),y f x y =这种形式时称为隐函数。而对于隐函数的求导一种方法是化成显函数，也就是隐函数的显化。这样就可以用显函 数的求导方法了。例如310x y =-=可以化为3 1y x =-。但实际问题中， 有时需要计算隐函数的导数，因此，我们学习了不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来，下面通过具体例子来说明这种方法： 例 方程0y e xy e +-=所确定的隐函数的导数dy dx 。 解 方程两边分别对x 求导
( )()0y d e xy e dx '+-= y dy dy e y x dx dx ++= 从而y dy y dx x e =-+ y x e +=() 例 方程1sin 02x y y -==所确定的隐函数的二阶导数22 d y dx 。 解 方程两边对x 求导 ()1cos 02x y y '??' -+= ??? 11cos 02dy dy y dx dx -+= 22cos dy dx y = - 方程两边再对x 求导 ()()223 22sin 4sin 2cos 2cos dy dx d y y y dx y y --== -- 之后我们又学习了参数方程，而参数方程的解法不同于显函数隐函数。但也有相同的地方，下面通过具体例子来说明这种方法： 例 已知参数方程为sin cos x t y t =?? =?（t 为参数），求dy dx 。 解 由公式()()cos sin cos sin dy dt t dx dt t t dy dy dt t dx dt dx t t '=== =- ' 例 已知参数方程2 21t x y t ?=?=-?（t 为参数），求2 2 d y dx 。 解 由公式 ()()2 2 11dy dt dx t dt t dy dy dt dx dt dx t '-====- '
隐函数求导的简单方法
·1· 数学中不等式的证明方法 王贵保 一、利用拉格朗日中值定理 1．拉格朗日中值定理：设)(x f 满足：（1）在闭区间[a , b ]上连续；（2）在开区间（a , b ）内可导，则有一点∈ξ（a , b ），使得 )()()(ξf a b a f b f '=-- 2．从上式可以看出，如果能确定了)(ξf '介于某两个数m 与M 之间，则有如下形式的不等式： m ≤a b a f b f --)()(≤M 因此，欲证形如a b a f b f --)()(或构造成为a b a f b f --)()(形式的不等式，可用该方法。 例1：证明，当x ＞0时，有1-x e ＞x . 证明：由原不等式，因为x ＞0，可改写为x e x 1-＞1的形式，或改写为00--x e e x ＞1的形式，这里t e t f =)(，区间为[0, x ]，于是可用拉格朗日中值定理证明。 令t e t f =)(，∈t [0, x ]，则)(t f 满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在∈ξ[0, x ]有 0--x e e x ＝ξe ＞1 所以，有不等式1-x e ＞x . 例2：证明不等式x +11＜x x ln )1ln(-+＜x 1 （x ＞0） 证明：x x ln )1ln(-+＝x x x x -+-+)1(ln )1ln(这里x b +=1，x a =，于是可对t t f ln )(=在［x , 1+x ］上应用拉格朗日中值定理. 令t t f ln )(= ]1,[x x t +∈ （x ＞0），则)(t f 在［x , 1+x ］上满足中值定理的条件，于是有]1,[x x +∈ξ，即x ＜ξ＜x +1，使得
隐函数的求导方法总结
河北地质大学 课程设计（论文） 题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一个隐函数。例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2 x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2 x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2 x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x 故 1=x dx dy =) 1,(!y x =1
隐函数的求导方法汇总
隐函数的求导方法汇总
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河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (6) 一．隐函数的概念 (6) 二．隐函数求偏导 (6) 1.隐函数存在定理1 (6) 2.隐函数存在定理2 (7) 3.隐函数存在定理3 (8) 三. 隐函数求偏导的方法 (9) 1.公式法 (9) 2.直接法 (10) 3.全微分法 (10) 参考文献 (12)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(=οοy x F ，0),(≠οοy x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(οοx f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数 dx dy 在x=1处的值。
隐函数的求导方法总结
河北地质大学课程设计（论文） 题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 .......................................................................... 错误!未指定书签。 一．隐函数的概念 .................................................. 错误!未指定书签。 二．隐函数求偏导 .................................................. 错误!未指定书签。 1.隐函数存在定理1 ................................................ 错误!未指定书签。 2.隐函数存在定理2 ................................................ 错误!未指定书签。 3.隐函数存在定理3 ................................................ 错误!未指定书签。 三.隐函数求偏导的方法 .......................................... 错误!未指定书签。 1.公式法 ................................................................... 错误!未指定书签。 2.直接法 ................................................................... 错误!未指定书签。 3.全微分法 ............................................................... 错误!未指定书签。 参考文献 .................................................................. 错误!未指定书签。 摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数偏导数方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一
第10讲-隐函数组求导方法
第10讲 隐函数组的导数及其几何应用 讲授内容 一、几何应用 1.平面曲线的切线与法线 若平面曲线方程0),(=y x F 在点),(000y x P 的某邻域内满足隐函数定理条件，则该曲线在点0P 处存在切线和法线，其方程分别为 切线：,0))(,())(,(000000=-+-y y y x F x x y x F y x 法线：.0))(,())(,(000000=---y y y x F x x y x F x y 事实上：由条件可知，0),(=y x F 在0P 附近所确定的连续可微隐函数)(x f y =，从而该曲线在点0 P 处存在切线斜率) ,() ,()(00000y x F y x F x f k y x - ='=，其切线和法线方程分别为 ))(('000x x x f y y -=- 和 )() ('1 000x x x f y y -- =- 例1 求笛卡儿叶形线09)(23 3 =-+xy y x 在点)1,2(处的切线与法线。 解：设,9)(2),(3 3 xy y x y x F -+=于是x y F y x F y x 96,962 2-=-=在xoy 平面连续，且
.012)1,2(,015)1,2(≠-=≠=y x F F 因此，分别求得曲线在点)1,2(的切线方程与法线方程分别为 0)1(12)2(15=---y x 即,0645=--y x 0)1(15)2(12=----y x 即.01354=-+y x 2. 曲面的切平面与法线 若由方程0),,(F =z y x 所确定的曲面在点),,(0000z y x P 的某邻域内满足隐函数定理条件（这里不妨设 .0),,(000≠z y x F z ），则该曲面在0P 处有切平面与法线，它们的方程分别是 ()+-+-00000000),,())(,,(y y z y x F x x z y x F y x ()0),,(0000=-z z z y x F z .) ,,(),,(),,(0000 00000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- 事实上：由条件知0),,(F =z y x 在点0P 附近确定惟一连续可微的隐函数),(y x f z =使得 ),(000y x f z =，且 .) ,,(),,(,),,(),,(z y x F z y x F y z z y x F z y x F x z z y z x -=??-=??从而得到该曲面在0P 处有切平面与法线方程. ().) ,,(),,()(),,() ,,(000000000000000y y z y x F z y x F x x z y x F z y x F z z z y z x -- --=- .1) ,,(),,(),,(),,(0 00000000000000--=--=--z z z y x F z y x F y y z y x F z y x F x x z y z x 例2 求椭圆面6322 22=++z y x 在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程。 解：设.632),,(2 22-++=z y x z y x F 由于z F y F x F z y x 6,4,2===在全空间上处处连续.在) 1,1,1(处6,4,2===z y x F F F .因此，切平面方程为,0)1(6)1(4)1(2=-+-+-z y x 即 632=++z y x ，法线方程为 .3 1 2111-=-=-z y x 3. 空间曲线的切线与法平面 （1）下面我们讨论由参数方程βα≤≤===t t z z t y y t x x ),(),(),( 表示的空间曲线 L ，在某一点),,(0000z y x P 处的切线和法平面方程. 当 [][][] 0)(')('('2 2 2 ) 0≠++t z t y t x 时，则空间曲线L 在某一点),,(0000z y x P 处的切线方程为 .) (')(')('000000t z z z t y y y t x x x -=-=- 法平面方程为 .0))(('))(('))(('000000=-+-+-z z t z y y t y x x t x 事实上：在曲线L 上点0P 附近选一点),,(),,(000z z y y x x P z y x P ?+?+?+=。连接L 上的点0P 与P 的割线方程为 ,0 00z z z y y y x x x ?-=?-=?-其中).()(),()(),()(000000t z t t z z t y t t y y t x t t x x -?+=?-?+=?-?+=?
高等数学--隐函数的求导法则
第五节 隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有 d d x y F y x F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入 (,)0F x y =，得恒等式 (,())0F x f x ≡， 等式两边对x 求导得 d 0d F F y x y x ??+=??， 由于0y F ≠ 于是得 d d x y F y x F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数: 22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x ?? =-+-? ?? 2 2 ()x x y y x x x y y y y x x y y y F F F F F F F F F F F F --=- - - 22 32x x y x y x y y y x y F F F F F F F F -+=- ． 例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个
单值可导的隐函数()y f x =，并求22 d d ,00 d d y y x x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠． 因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =． d 0d y x x =0x y F x F =-= e 10,0cos x y x y y x -=-=-==-， 22d 0d y x x = d e () 0,0,1 d cos x y x y y x y x -=-'===-- 02 01 (e )(cos )(e )(sin 1) (cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----?-=- -3=-． 隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有 x z F z x F ?=-?，y z F z y F ?=-?． 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入 (,,)0F x y z =， 得(,,(,))0F x y f x y ≡，