矩阵的各种运算详解
一、矩阵的线性运算
定义1 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为
注:只有两个矩阵是同型矩阵时,才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和,即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵.
设矩阵记
,
称为矩阵的负矩阵, 显然有
.
由此规定矩阵的减法为
.
定义2 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为
数与矩阵的乘积运算称为数乘运算.
矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律:设都是同型矩阵,是常数,则
(1)
(2) ;
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
注:在数学中,把满足上述八条规律的运算称为线性运算.
二、矩阵的相乘
定义3设
矩阵与矩阵的乘积记作, 规定为
其中,(
记号常读作左乘或右乘.
注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算.
若,则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即
.
矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的):
(1)
(2)
(3)
(4)
注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即
例如, 设则
而
于是且
从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出
或
此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出例如, 设
则
但
定义4如果两矩阵相乘, 有
则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换.
注:对于单位矩阵, 容易证明
或简写成
可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1.
更进一步我们有
命题1设是一个n阶矩阵,则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何n阶矩阵可换。
命题2设均为n阶矩阵,则下列命题等价:
(1)
(2)
(3)
(4)
三、线性方程组的矩阵表示
设有线性方程组
若记
则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式:
(2)
其中矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程.
如果是方程组(1)的解, 记列矩阵
则
,
这时也称是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵是矩阵方程(2)的解, 即有矩阵等式
成立, 则即也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为
将线性方程组写成矩阵方程的形式,不仅书写方便,而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来,这给线性方程组的讨论带来很大的便利.
四、矩阵的转置
定义6把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为的转置矩阵, 记作(或
). 即若
则
.
矩阵的转置满足以下运算规律(假设运算都是可行的):
(1)
(2)
(3)
(4)
五、方阵的幂
定义5设方阵, 规定
称为的次幂.
方阵的幂满足以下运算规律(假设运算都是可行的):
(1)
(2)
注: 一般地,为自然数
命题3 设均为n阶矩阵,则有为自然数,反之不成立。
六、方阵的行列式
定义7由阶方阵的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵的行列式,记作或
注: 方阵与行列式是两个不同的概念, 阶方阵是个数按一定方式排成的数表,而
阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值(实数或复数).
方阵的行列式满足以下运算规律(设为阶方阵, 为常数):
(1)
(2)
(3) 进一步
七、对称矩阵
定义8设为阶方阵, 如果即
则称为对称矩阵.
显然,对称矩阵的元素关于主对角线对称. 例如
,
均为对称矩阵.
如果则称为反对称矩阵.
八、共轭矩阵
定义9 设为复(数)矩阵, 记
其中表示的共轭复数, 称为A的共轭矩阵.
共轭矩阵满足以下运算规律(设为复矩阵,为复数, 且运算都是可行的):
(1)
(2)
(3)
例题选讲:
矩阵的线性运算
例1 (讲义例1)已知, 求
例2(讲义例2) 已知且求
注:n阶数量矩阵=
例3(讲义例3)若求
例4设,。A是一个矩阵,B是矩阵,因此AB有意义,BA也有意义;但
。
例5设,B=。
(这种记法表示主对角线以外没有注明的元素均为零),则
(1);
(2);
(3)
例6(讲义例4) 某地区有四个工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,生产甲、乙、丙三种产品, 矩阵A 表示一年中各工厂生产各种产品的数量, 矩阵B表示各种产品的单位价格(元)及单位利润(元), 矩阵C表示各工厂的总收入及总利润.
其中, 是第个工厂生产第种产品的数量, 及分别
是第种产品的单位价格及单位利润, 及分别是第个工厂生产三种产品的
总收入及总利润. 则矩阵的元素之间有下列关系:
其中,即
例7(讲义例5) 求与矩阵可交换的一切矩阵.
例8(讲义例6)证明: 如果则有
例9(讲义例7)解矩阵方程为二阶矩阵
例10(1)设,则。
(2)设,则。
例11(讲义例8)已知求
例12(讲义例9)设求
例13设,,则
,
又
,
因此地
(完整版)第二章矩阵及其运算作业及答案
第二部分 矩阵及其运算作业 (一)选择题(15分) 1.设,均为n 阶矩阵,且,则必有( )A B 22 ()()A B A B A B +-=-(A) (B) (C) (D) A B =A E =AB BA =B E =2.设,均为n 阶矩阵,且,则和( ) A B AB O =A B (A)至多一个等于零 (B)都不等于零 (C) 只有一个等于零 (D) 都等于零 3.设,均为n 阶对称矩阵,仍为对称矩阵的充分必要条件是( ) A B AB (A) 可逆 (B)可逆 (C) (D) A B 0AB ≠AB BA =4.设为n 阶矩阵,是的伴随矩阵,则=( ) A A *A A *(A) (B) (C) (D) 1n A -2n A -n A A 5.设,均为n 阶可逆矩阵,则下列公式成立的是( ) A B (A) (B) ()T T T AB A B =()T T T A B A B +=+(C) (D) 111()AB A B ---=111 ()A B A B ---+=+(二)填空题(15分) 1.设,均为3阶矩阵,且,则= 。 A B 1 ,32A B ==2T B A 2.设矩阵,,则= 。 1123A -?? = ???232B A A E =-+1B -3.设为4阶矩阵,是的伴随矩阵,若,则= 。 A A *A 2A =-A *4.设,均为n 阶矩阵,,则= 。 A B 2,3A B ==-12A B *-5.设,为整数,则= 。 101020101A ? ? ?= ? ??? 2n ≥12n n A A --(三)计算题(50分) 1. 设,,且,求矩阵。 010111101A ?? ?=- ? ?--??112053B -? ? ? = ? ??? X AX B =+X
C语言程序设计报告 矩阵运算
C程序设计报告 矩 阵 运 算 学院:地质与环境学院 专业:资源勘查工程0901 姓名:王甲 学号:0909030119
目录1.设计任务书 1.1题目 1.2设计要求 1.3程序涉及的知识点 2.功能设计 2.1算法设计 2.2部分模块流程图 3.程序代码设计 3.1源代码 3.2运行结果 4.运行结果 5.程序设计总结 6.致谢 7.参考文献
1设计任务书 1.1 题目 矩阵运算 1.2 设计要求 此程序为矩阵运算的相关程序,用来计算包括两矩阵的加、减、乘运算,求矩阵的转置矩阵、最大值元素、最小值元素及对角线元素之和等运算。 1.2 本系统涉及的知识点 此程序涉及了老师讲授的多个知识点,包括:for、if、printf及scanf 等语句,顺序、选择、循环等结构。 2功能设计 2.1 算法设计 此程序需要实现的功能要求: 利用for、if、printf及scanf 等语句来实现所需功能。 输入矩阵a和b的元素之后,依次计算: 程序一:计算a+b矩阵; 程序二:计算a-b矩阵; 程序三:计算a*b矩阵; 程序四:计算a的转置矩阵; 程序五:计算a矩阵的最小值元素;
程序六:计算a 矩阵的最大值元素; 程序七:计算a 矩阵的主对角线元素之和; 程序八:计算a 矩阵的副对角线元素之和; 程序九:计算a 矩阵的上三角元素之和; 程序九:计算a 矩阵的下三角元素之和; 2.2 部分模块流程图 3 程序源代码 3.1源代码 #include"stdio.h" void main() { int a[3][3],b[3][3],c[3][3], int i,j,k,s,max,min,sum1=0,sum2=0,sum3=0,sum4=0; printf("计算a+b 矩阵:\n"); for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) c[i][j]=a[i][j]+b[i][j]; printf("%6d"); printf("\n"); printf(" 请输入a 矩阵元素:\n"); for(i=0;i<3;i++); for(j=0;j<3;j++); scanf("%4d",&a[i][j]); printf("a 矩阵:\n");
矩阵及其运算测试题
第二章 矩阵及其运算测试题 一、选择题 1.下列关于矩阵乘法交换性的结论中错误的是( )。 (A)若A 是可逆阵,则1A -与1A -可交换; (B)可逆矩阵必与初等矩阵可交换; (C)任一n 阶矩阵与n cE 的乘法可交换,这里c 是常数; (D)初等矩阵与初等矩阵的乘法未必可交换。 2.设n (2n ≥)阶矩阵A 与B 等价,则必有( ) (A) 当A a =(0a ≠)时,B a =; (B)当A a =(0a ≠)时,B a =-; (C) 当0A ≠时,0B =; (D)当0A =时,0B =。 3.设A 、B 为方阵,分块对角阵00A C B ??= ??? ,则* C =( )。 (A) **00 A B ?? ??? (B) **||00 ||A A B B ?? ??? (C) **||00||B A A B ?? ??? (D) **||||0 0||||A B A A B B ?? ??? 4.设A 、B 是n (2n ≥)阶方阵,则必有( )。 (A)A B A B +=+ (B)kA k A = (C) A A B B =-g (D) AB A B = 5.设4阶方阵 44(),()||,ij A a f x xE A ?==-其中E 是4阶单位矩阵,则()f x 中3 x 的系数为( )。 (A)11223344()a a a a -+++ (B)112233112244223344113344a a a a a a a a a a a a +++ (C) 11223344a a a a (D)11223344a a a a +++ 6.设A 、B 、A B +、11A B --+均为n 阶可逆矩阵,则1()A B -+为( )。 (A) 11A B --+ (B) A B + (C) 111()A B ---+ (D)11111()B A B A -----+
课程设计矩阵运算系统
wen 滨江学院 windows 程序设计综合实验 课程设计 题目矩阵综合运算系统 学生姓名晏文涛 学号20102309060 院系电子工程系 专业信息工程 指导教师方忠进
二O一二年12 月16 日 摘要 设计了一个矩阵运算系统,该矩阵运算系统具有普通矩阵相加、相减、相乘及稀疏矩阵转置等功能。本运算系统以Microsoft Visual C++ 6.0 作为系统开发工具,采用算数表达式处理算法来实现了矩阵的加、减、乘等混合运算和稀疏矩阵的转置矩阵运算。系统操作简单,界面清晰,便于用户使用。 关键词:普通矩阵; 运算; VC6.0
目录 1 课题描述 (1) 2 设计过程 (1) 3 程序编码 (3) 4 测试 (10) 总结 (12) 参考文献 (13)
1 课题描述 矩阵运算系统是一个非常重要的运算,很多软件开发公司都开发了这个运算系统。现在我们用C 语言编出这个运算系统。它的原理是对于输入的矩阵,进行相加、相乘以及相减。另外一个是稀疏矩阵的转置运算系统,按提示输入数值即可得到所要求的稀疏矩阵的转置矩阵。 运行环境:Visual C++ 6.0 2 设计过程 经过对程序设计题目的分析可知,整个程序的设计实现大致分为四个模块,其中每一个模块对应一
个函数,他们的功能分别是:1)矩阵相加运算函数(ADD),主要实现将两矩阵相加的功能;2)矩阵相乘运算函数(MUL),主要实现将两矩阵相乘的功能;3)矩阵相减函数(SNB);实现的功能是矩阵之间的减法4)稀疏矩阵矩阵转置函数(TRANPOSE) 实现的功能是将稀疏矩阵进行转置。在这些函数当中,第1、2、4个函数的实现严格按照题目的要求,而第3个函数为自行设计的函数。程序的一次运行当中可以循环执行所有的功能,并根据需要终止程序的执行。在这个程序中,将各个功能以子程序模块的形式编写。这样使所编写的程序简单明了,逻辑性思维表达明确,具有很强的可读性。流程图如下: 1)矩阵相乘流程图如图2.1所示: 图2.1 2)矩阵相加流程图如图2.2所示 图2.2 3)矩阵相减流程图如图2.3所示
GE矩阵+计算方法+案例(一班三组)
GE矩阵法及其使用方法介绍 一、GE矩阵法概述 GE矩阵法又称通用电器公司法、麦肯锡矩阵、九盒矩阵法、行业吸引力矩阵是美国通用电气公司(GE)于70年代开发了新的投资组合分析方法。对企业进行业务选择和定位具有重要的价值和意义。GE矩阵可以用来根据事业单位在市场上的实力和所在市场的吸引力对这些事业单位进行评估,也可以表述一个公司的事业单位组合判断其强项和弱点。在需要对产业吸引力和业务实力作广义而灵活的定义时,可以以GE矩阵为基础进行战略规划。按市场吸引力和业务自身实力两个维度评估现有业务(或事业单位),每个维度分三级,分成九个格以表示两个维度上不同级别的组合。两个维度上可以根据不同情况确定评价指标。 二、方格分析计算方法介绍: GE矩阵可以用来根据事业单位在市场上的实力和所在市场的吸引力对这些事业 单位进行评估,也可以表述一个公司的事业单位组合判断其强项和弱点。在需要 对产业吸引力和业务实力作广义而灵活的定义时,可以以GE矩阵为基础进行战 略规划。按市场吸引力和业务自身实力两个维度评估现有业务(或事业单位),
每个维度分三级,分成九个格以表示两个维度上不同级别的组合。两个维度上可以根据不同情况确定评价指标。 绘制GE矩阵,需要找出外部(行业吸引力)和内部(企业竞争力)因素,然后对各因素加权,得出衡量内部因素和市场吸引力外部因素的标准。当然,在开始搜集资料前仔细选择哪些有意义的战略事业单位是十分重要的。 1. 定义各因素。选择要评估业务(或产品)的企业竞争实力和市场吸引力所需的重要 因素。在GE内部,分别称之为内部因素和外部因素。下面列出的是经常考虑的一些因素(可能需要根据各公司情况作出一些增减)。确定这些因素的方法可以采取头脑风暴法或名义群体法等,关键是不能遗漏重要因素,也不能将微不足道的因素纳人分析中。 2. 估测内部因素和外部因素的影响。从外部因素开始,纵览这张表(使用同一组经理), 并根据每一因素的吸引力大小对其评分。若一因素对所有竞争对手的影响相似,则对其影响做总体评估,若一因素对不同竞争者有不同影响,可比较它对自己业务的影响和重要竞争对手的影响。在这里可以采取五级评分标准(1=毫无吸引力,2=没有吸引力,3=中性影响,4=有吸引力,5=极有吸引力)。然后也使用5级标准对内部因素进行类似的评定(1=极度竞争劣势,2=竞争劣势,3=同竞争对手持平,4=竞争优势,5=极度竞争优势),在这一部分,应该选择一个总体上最强的竞争对手做对比的对象。 具体的方法是:- 确定内外部影响的因素,并确定其权重- 根据产业状况和企业状况定出产业吸引力因素和企业竞争力因素的级数(五级)- 最后,用权重乘以级数,得出每个因素的加权数,并汇总,得到整个产业吸引力的加权值 下面分别用折线图和表格两种形式来表示。
第二章矩阵及其运算作业及答案
第二部分 矩阵及其运算作业 (一)选择题(15分) 1.设A ,B 均为n 阶矩阵,且22()()A B A B A B +-=-,则必有( ) (A) A B = (B) A E = (C) AB BA = (D) B E = 2.设A ,B 均为n 阶矩阵,且AB O =,则A 和B ( ) (A)至多一个等于零 (B)都不等于零 (C) 只有一个等于零 (D) 都等于零 3.设A ,B 均为n 阶对称矩阵,AB 仍为对称矩阵的充分必要条件是( ) (A) A 可逆 (B)B 可逆 (C) 0AB ≠ (D) AB BA = 4.设A 为n 阶矩阵,A *是A 的伴随矩阵,则A *=( ) (A) 1n A - (B) 2n A - (C) n A (D) A 5.设A ,B 均为n 阶可逆矩阵,则下列公式成立的是( ) (A) ()T T T AB A B = (B) ()T T T A B A B +=+ (C) 111()AB A B ---= (D) 111()A B A B ---+=+ (二)填空题(15分) 1.设A ,B 均为3阶矩阵,且1 ,32A B ==,则2T B A = 。 2.设矩阵1123A -??= ??? , 232B A A E =-+,则1B -= 。 3.设A 为4阶矩阵,A *是A 的伴随矩阵,若2A =-,则A *= 。 4.设A ,B 均为n 阶矩阵,2,3A B ==-,则12A B *-= 。 5.设101020101A ? ? ?= ? ??? ,2n ≥为整数,则12n n A A --= 。 (三)计算题(50分) 1. 设010111101A ?? ?=- ? ?--??,112053B -?? ?= ? ??? ,且X AX B =+,求矩阵X 。
C语言矩阵的运算
C语言课程设计题目矩阵的运算 西安科技大学 二0 一一年十一月
一、设计目的 1. 综合C语言相关知识制作简单的应用程序 2. 灵活对程序代码进行利用,修改和编写; 3. 熟练将C语言所学知识和其它知识相结合 二、功能描述 编写一个矩阵运算程序,能够进行矩阵加、减、乘、转置,求矩阵的最大值,最小值,对角线元素的和等 三、流程图
定义及预处理m1=0,m2=0,m3=0,m4=0,l=0;i,j,k,d,max,min; a[M][N],b[M][N],c[N][P] 输出“输入a矩阵” j++,输入a矩阵元素 直到j>=N,i++ 直到i>=M 输出“a矩阵” j++,输出a矩阵 直到j>=N,i++,输出换行 直到i>=M 输出“输入b矩阵” j++,输入b矩阵元素 直到j>=N,i++ 直到i>=M 输出“b矩阵” j++,输出b矩阵 直到j>=N,i++,输出换行 直到i>=M 输出“输入c矩阵” j++,输入c矩阵元素 直到j>=P,i++ 直到i>=N