2020中考数学 几何图形的折叠和动点问题(含答案)

2020中考数学几何图形的折叠与动点问题（含答案）

1.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点E在BC上，CE＝4，点F是AD 上的一个动点，若把△BEF沿EF折叠，点B落在点B′处，当点B′恰好落在矩形ABCD的一边上，则AF的长为________．

第1题图

3或11 3

2.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是________．

第2题图

6－25≤BP≤4

3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，E，F分别是线段AD、BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为__________．

第3题图

4或4－22

4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AB与CD不平行，AB＝CD＝5，BC＝12，点E是BC上的动点，将∠B沿着AE折叠，使点B落在直线AD上的点B′处，DB′＝1，直线BB′与直线DC交于点H，则DH＝________．

第4题图

5 11或5

13

5.如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝8，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC 于点M，N.当点B′分线段MN为3∶5的两部分时，EN的长为________．

第5题图

355 11或539 13

6.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是对角线BD上一动点，将纸片折叠，使点C与点P重合，折痕为EF，折痕EF的两端分别在BC、DC边上(含端点)，当△PDF为直角三角形时，FC的长为________．

第6题图

24 7或8 3

7.如图，正方形的边长为4，E是BC的中点，点P是射线AD上一动点，过P作PF⊥AE于F.若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则P A＝________．

第7题图

2或5

8.如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，点P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于____________．

第8题图

2或

5

3或

65

5

9.如图，在?ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD、BC于点E、F；点M是边AB的一个三等分点．则△AOE 与△BMF的面积比为__________．

第9题图

3∶4或3∶8

10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠

后得到△EP A′，若△EP A′与△ABC的另一个交点为F，当EF＝1

4AB时，则BP的

长为________．

第10题图

2或23

11.已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接ED ，若ED ＝EC .

(1)求证：AB ＝AC ；

(2)①若AB ＝4，BC ＝23，则CD ＝________； ②当∠A ＝________时，四边形ODEB 是菱形．

第1题图

1．(1)证明：∵ED ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ， ∵∠EDC ＋∠ADE ＝180°，∠B ＋∠ADE ＝180°， ∴∠EDC ＝∠B ，∴∠B ＝∠C ， ∴AB ＝AC ； (2)解：①32； 如解图，连接BD ，

第1题解图

∵AB 为∵O 的直径，∵BD ∵AC ，

设CD ＝a ，由(1)知AC ＝AB ＝4，则AD ＝4－a ，

在Rt∵ABD 中，由勾股定理可得BD 2＝AB 2－AD 2＝42－(4－a )2， 在Rt∵CBD 中，由勾股定理可得BD 2＝BC 2－CD 2＝(23)2－a 2， ∵42－(4－a )2＝(23)2－a 2，解得a ＝32，即CD ＝3

2. ∵60°.

如解图，连接OD 、OE ，

∵四边形ODEB 是菱形，∵OB ＝BE ，

又∵OB ＝OE ，∵∵OBE 是等边三角形，∵∵OBE ＝60°， ∵OD ∵BE ，∵∵BOD ＝120°，∵∵A ＝1

2∵BOD ＝60°.

12 .如图，在?ABCD 中，AD ＝4，AB ＝5，延长AD 到点E ，连接EC ，过点B 作BF ∥CE 交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G .

(1)求证：四边形BCEF 是平行四边形；

(2)①当DF ＝______时，四边形BCEF 是正方形； ②当GF

GD ＝________时，四边形BCEF 是菱形．

第2题图

13. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴EF ∥BC . ∵BF ∥CE ，∴四边形BCEF 是平行四边形；

(2)解：①1;

∵四边形BCEF 是正方形，

∵BF ＝BC ＝AD ＝4，∵FBC ＝∵AFB ＝90°， ∵AF ＝AB 2－BF 2＝52－42＝3. ∵AD ＝4，∵DF ＝AD －AF ＝4－3＝1. ∵4

5. ∵四边形BCEF 是菱形， ∵BF ＝BC ＝AD ＝4.

∵四边形ABCD 是平行四边形，∵CD ∵AB ， ∵GD AB ＝GF BF ，即GF GD ＝BF AB ＝45.

14.如图，AB 是半圆O 的直径，射线AM ⊥AB ，点P 在AM 上，连接OP 交半圆O 于点D ，PC 切半圆O 于点C ，连接BC .

(1)求证：BC ∥OP ；

(2)若半圆O 的半径等于2，填空：

①当AP ＝________时，四边形OAPC 是正方形；

②当AP ＝________时，四边形BODC 是菱形．

第3题图

解：(1)证明：连接OC ，AC ，如解图所示， ∵AB 是直径，AM ⊥AB ， ∴BC ⊥AC ，AP 是半⊙O 的切线，

又∵PC是半⊙O的切线，∴P A＝PC，

又∵OA＝OC，∴OP⊥AC，

∴BC∥OP；

(2)① 2；② 2 3.

∵若四边形OAPC是正方形，

则OA＝AP，∵OA＝2，∵AP＝2；

∵若四边形BODC是菱形，则CB＝BO＝OD＝DC，

∵AB＝2OB，∵ACB＝90°，

∵AB＝2BC，∵∵BAC＝30°，∵ABC＝60°，

∵BC∵OP，∵∵AOP＝∵ABC＝60°，

又∵∵OAP＝90°，OA＝2，

∵∵OP A＝30°，∵OP＝4，

∵AP＝2

2

22

2

-OA

OP＝2 3.

=

4-

第3题解图

15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，线段BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，AF＝CE且F不与E重合．

(1)求证：△EF A≌△ACE；

(2)填空：

①当∠B＝_________°时，四边形ACEF是菱形；

②当∠B＝_________°时，线段AF与AB垂直．

第4题图

(1)证明：如解图，

第4题解图

∵ED是BC的垂直平分线，∴EB＝EC，ED⊥BC，

∴∠3＝∠4，

∵∠ACB＝90°，∴FE∥AC，∴∠1＝∠5，

∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，∴∠1＝∠2＝∠5，∴AE＝CE.

又∵AF＝CE，∴AE＝AF，∴∠5＝∠F，

在△EF A和△ACE中，

AF＝AE＝EC，∠1＝∠2＝∠5＝∠F，∴△EF A≌△ACE.

(2)解：① 30；②45.

∵∵四边形ACEF是菱形，∵AC＝CE，

∵CE是Rt∵ABC斜边AB的中线，

∵CE＝AE＝BE，∵AE＝AC＝CE，

∵∵ACE是等边三角形,∵∵1＝60°，则∵B＝30°,

∵当∵B＝30°时，四边形ACEF是菱形；

∵由(1)知∵EF A∵∵ACE，

∵∵AEC＝∵EAF，∵AF∥CE，

∵AF∵AB，∵CE∵AB，

∵CE＝EB，∵∵3＝∵4＝45°，

∵当∵B＝45°时，线段AF与AB垂直．

16.如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O外一点，过点E作⊙O的两条切线ED，EB，切点分别为点D，B.连接AD并延长交BE延长线于点C，连接OE.

(1)试判断OE与AC的关系，并说明理由；

(2)填空：

①当∠BAC＝_________°时，四边形ODEB为正方形；

②当∠BAC＝30°时，AD

DE

的值为________．

第5题图

5.解：(1)OE∥AC，OE＝1

2

AC.

理由：连接OD，如解图，

第5题解图

∵DE，BE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，AB⊥BC，

∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∵OD＝OB，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OBE(HL)，∴∠1＝∠2.

∵∠BOD＝∠A＋∠3，OA＝OD，∴∠A＝∠3，

∴∠2＝∠A，∴OE∥AC；

∵OA＝OB，∴EC＝EB，

∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝1

2

AC.

(2)①45；②3.

∵要使四边形ODEB是正方形，由ED＝EB，∵ODE＝∵ABC＝90°,只需∵DOB ＝90°，∵∵A＝45°；∵过O作OH∵AD于H,∵∵A＝30°，OA＝OD,∵∵3＝∵A

＝30°，∵OD

，∵∵ODE＝90°，∵1＝∵3＝30°，∵OD

，∵AD

DE

＝3.

17.如图，将⊙O的内接矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接BC1，∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x.

(1)若点O与点C1重合，求证：A1D1为⊙O的切线；

(2)①当x＝________时，四边形ABC1D1是菱形；

②当x＝________时，△BDD1为等边三角形．

第6题图

(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝90°，

∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，

∴∠A1D1O＝∠D＝90°，∴A1D1⊥OD1，

∴A1D1为⊙O的切线；

(2)解：①1；②2.

∵如解图∵，连接AD1，当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形；

第6题解图∵

理由：由平移得：AB＝D1C1，且AB∵D1C1，∵四边形ABC1D1是平行四边形，∵∵ACB＝30°，∵∵CAB＝60°，

∵AB＝1，∵AC＝2，

∵x＝1，∵AC1＝1，∵AB＝AC1，

∵∵AC1B是等边三角形，∵AB＝BC1，

∵四边形ABC1D1是菱形；

∵如解图∵所示，当x＝2时，∵BDD1为等边三角形，

第6题解图∵

则可得BD＝DD1＝BD1＝2，

即当x＝2时，∵BDD1为等边三角形．