初中数学中的折叠问题

初中数学中的折叠问题 Prepared on 24 November 2020

初中数学中的折叠问题

折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。其实对于折叠问题，我们要明白：

1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．

2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．

4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形

5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．

一、矩形中的折叠

1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和

BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD

则∠CBD = 90°

折叠前后的对应角相等

2．如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A ′处，再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB=4，AC=3，则△ADE 的面积是 ．

沿BC 折叠，顶点落在点A ’处，根据对称的性质得到BC 垂直平分AA ’，即AF = 1

2 AA ’，又DE ∥BC ，得到△ABC ∽ △ADE ，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE 的面积 = 24 对称轴垂直平分对应点的连线

3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．

由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG

≌ △A ’DG ，由A ’D = AD = 3，AG ’ = AG ，则A ’B = 5 – 3 = 2，在Rt △A ’BG 中根据勾股定理，列方程可以求出AG 的值

根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可

4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）

根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE ，∠EBF=∠CBF ，据此即可求出∠FBC 的度数，又知道∠C=90°，根据三角形外角的定义即可求出∠DFB = ° 注意折叠前后角的对应关系

G

A'

C

D

5．如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积．

∵点C与点E关于直线BD对称，∴∠1 = ∠2

∵AD∥BC，∴∠1 = ∠3

∴∠2 = ∠3

∴FB = FD

设FD = x，则FB = x，FA = 8 – x

在Rt△BAF中，BA2 + AF2 = BF2

∴62 + (8 - x)2 = x2

解得x = 25 4

所以，阴影部分的面积S△FBD = 1

2

FD×AB =

1

2

×

25

4

×6 =

75

4

cm2

重合部分是以折痕为底边的等腰三角形

6．将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1=

∵四边形CDFE与四边形C’D’FE关于直线EF对称

∴∠2 = ∠3 = 64°

∴∠4 = 180° - 2 × 64° = 52°

∵AD∥BC

∴∠1 = ∠4 = 52°

∠2 = ∠5

又∵∠2 = ∠3

∴∠3 = ∠5

∴GE = GF

∴△EFG是等腰三角形

对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF

7．如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF （如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图⑥）．

（1）求图②中∠BCB′的大小；

（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗请说明理由．

（1）由对称的性质可知：B’C=BC，然后在Rt△B′FC中，求得cos∠B’CF= 1

2，利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’= 60°；

（2）首先根据题意得：GC平分∠BCB’，即可求得∠GCC’= 60°，然后由对称的性质知：GH是线段CC’的对称轴，可得GC’= GC，即可得△GCC’是正三角形．

理清在每一个折叠过程中的变与不变

8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，

则图中①②③④四个三角形的周长之和为

四边形BCFE与四边形B′C′FE关于直线EF对称，则

①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长

折叠前后对应边相等

9．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积

设AE = x，则BE = GE = 4 - x，

在Rt△AEG中，根据勾股定理

有：AE2 + AG2 = GE2

即：x2 + 4 = (4 - x)2

解得x = ，BE = EG = 4 – =

∵∠1 + ∠2 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°

∴∠1 = ∠3

又∵∠A = ∠D = 90°

∴△AEG ∽△DGP

∴AE

DG = EG

GP，则错误!= 错误!，解得GP = 错误!

PH = GH – GP = 4 - 10

3 =

2

3

∵∠3 = ∠4，tan∠3 = tan∠1 = 3 4

∴tan∠4 = 3

4，

FH

PH =

3

4，FH =

3

4×PH =

3

4×

2

3 =

1

2

∴CF = FH = 1 2

∴S梯形BCFE = 1

2 (

1

2 +

5

2 )×4 = 6

注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．

(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗为什么

当x = 1

2 时，即B 点落在AD 的中点时，梯形MNC ’B ’的面积有最小值，且最小值是38

二、纸片中的折叠

11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（ ） ∵∠α = ∠1，∠2 = ∠1 ∴∠α = ∠2

∴2∠α+∠ABE=180°， 即2∠α+30°=180°， 解得∠α=75°．

题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB 是以折痕AB 为底的等腰三角形 12．如图，将一宽为2cm 的纸条，沿BC ，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为

作CD ⊥AB ，

∵CE ∥AB ，∴∠1=∠2， 根据翻折不变性，∠1=∠BCA ， 故∠2=∠BCA ． ∴AB=AC ． 又∵∠CAB=45°，

∴在Rt △ADC 中，AC = 2 2 ，AB = 2 2 S △ＡＢＣ ＝ 1

2 AB ×CD = 2 2

在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC

13．将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是

14．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）

∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFB=20°，

在图b中，GE = GF，∠GFC=180°-2∠EFG=140°，

在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，

本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．

由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG 15．将一张长为70cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是（）

设AB=xcm．

右图中，AF = CE = 35，EF = x

根据轴对称图形的性质，得AE=CF=35-x（cm）．

则有2（35-x）+x=60，

x=10．

16．一根30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，求MA的长

将折叠这条展开如图，

根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即3cm，

下底等于纸条宽的2倍，即6cm，

两个三角形都为等腰直角三角形，

斜边为纸条宽的2倍，即6cm，

故超出点P的长度为（30-15）÷2=，

AM=+6=

三、三角形中的折叠

17．如图，把Rt △ABC （∠C=90°），使A ，B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则CE ：AE=

18．在△ABC 中，已知AB=2a ，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC （2）有如下结论（不在“CD 等于a ”的限制条件下）：①AC 边的长可以等于a ；2

；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB

上，若认为都不正确填“无”）． B

B

(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．

在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD

在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线，则AD⊥EF

∴∠AEF = ∠AFE

∴△AEF是等腰三角形

(1)由折叠可知

∠AEB = ∠FEB，∠DEG = ∠BEG

而∠BEG = 45°+ ∠α

因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°

所以 45°+ 2（45°+∠α）= 180°

∠α = °

由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。要抓住折叠前后图形之间的对应关系

(2)将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ （如图④），求∠MNF的大小．

由题意得出：

∠NMF=∠AMN=∠MNF，

∴MF=NF，由对称性可知，

MF=PF，

∴NF=PF，

而由题意得出：MP=MN，

又MF=MF，

∴△MNF≌△MPF，

∴∠PMF=∠NMF，而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°，

即3∠MNF=180°，

∴∠MNF=60°，

在矩形中的折叠问题，通常会出现“角平分线+平行线”的基本结构，即以折痕为底边的等腰三角形

21．直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、点F．

探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少写出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形．

∵△CDF中，∠C=90°，且△CDF是等腰三角形，

∴CF=CD，

∴∠CFD=∠CDF=45°，

设∠DAE=x°，由对称性可知，AF=FD，

AE=DE，

∴∠FDA=1

2

∠CFD=°，∠DEB=2x°，

分类如下：

①当DE=DB时，∠B=∠DEB=2x°，

由∠CDE=∠DEB+∠B，得45°+°+x=4x，

解得：x=°．此时∠B=2x=45°；

见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．

②当BD=BE时，则∠B=（180°-4x）°，

由∠CDE=∠DEB+∠B得：45++x=2x+180-4x，

解得x=°，此时∠B=（180-4x）°=30°．

图形（2）说明：∠CAB=60°，∠CAD=°．

此方程无解．

∴DE=BE不成立．

综上所述∠B=45°或30°

先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③

DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可

22．下列图案给出了折叠一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：首先对折，如图2，折痕CD交AB于点D；打开后，过点D任意折叠，使折痕DE交BC于点E，如图3；打开后，如图4；再沿AE折叠，如图5；打开后，折痕如图6．则折痕DE和AE长度的和的最小值是（）

过D点作DF∥BC，交AC于F，作A点关于BC的对称点A′，

连接DA′，则DA′就是DE和AE的最小值．

∵D点是AB的中点，

∴DF=1，FC=1，

∴FA′=3

∴DA′= 12 + 32 = 10

∴折痕DE和AE长度的和的最小值是10

本题经过了三次折叠，注意理清折叠过程中的对称关系，求两条线段的和的最小值问题可以参见文章

23．小华将一条1（如图1），沿它对称轴折叠1次后得到（如图），再将图沿它对称轴折叠后得到（如图3），则图3中一条腰长；同上操作，若小华连续将图1折叠n次后所得到（如图n+1）一条腰长为多少

．

解：每次折叠后，腰长为原来的

2 2

故第2次折叠后得到的等腰直角三角形的一条腰长为（

2

2

）2 -

1

2

则小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形的一

条腰长为（

2

2

）n

本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

24．如图，矩形纸片ABCD中，AB= 6 ，BC=10 ．第一次将纸片折叠，使点B 与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B

与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法，第n次折叠后的折痕

问题中涉及到的折叠从有限到无限，要明白每一次折叠中的变与不变，充分展示运算的详细过程。在找规律时要把最终的结果写成一样的形式，观察其中的变与不变，特别是变化的数据与折叠次数之间的关系

25．如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点

P3；…；设P n-1D n-2的中点为D n-1，第n次纸片折叠，使A与点D n-1重合，折痕与AD交于点P n（n＞2），则AP6长（）

AD =

5

2

第一次折叠后，AP1 = P1D，P1D1 = D1D

∴AP1 =

AD

2 =

5

4

第二次折叠后，AP2 = P2D1，P2D2 = D2D1

∴AP2 =

AD1

2 =

AD - DD1

2 =

AD -

AP1

2

2 =

15

16

第三次折叠后，AP3 = P3D2

∴AP3 =

AD2

2 =

AD 1- D1D2

2 =

AD1 -

AP2

2

2 =

15

8 -

15

32

2 =

45

64

即当n = 1时，AP1 =

5

4 =

30×5

22