透视点到平面距离的求法
透视点到平面距离的求法
一、定义法求点到平面距离(直接法)
定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。
以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:
(1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
(2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。
(3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。
(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
例 如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ，求点A '到平面AB D ''的距离。(注:本文所有解法均使用本例)
图4
解法一(定义法):如图5所示，连结交B D ''于点E ，再连结AE ，过点A '作A H '垂直于AE ，垂足为H ，下面证明A H '⊥平面AB D ''。
图5
Q AA '⊥平面A B C D '''' ∴B D ''⊥AA '
又Q 在正方形A B C D ''''中，对角线B D A C ''''⊥，且AA A C A ''''=I
AA '?平面AA E ', A C ''?平面AA E '
∴由线面垂直的判定定理知道B D ''⊥平面AA E '
Q A H '?平面AA E ' ∴A H '⊥B D ''
又由A H '的作法知道A H '⊥AE ，且有B D ''I AE E =，
B D ''?平面AB D ''，AE ?平面AB D ''
∴由线面垂直的判定定理知道A H '⊥平面AB D ''
根据点到平面距离定义，A H '的长度即为点A '到平面AB D ''的距离，下面求A H '的长度。 AB D ''?中，容易得到2AB B D D A a ''''===
，从而AB D ''?为正三角形，060AB D ''∠=。 进而在Rt AB E '?中，06sin 2sin 60AE AB AB D a a '''=∠=
=。 由1122
AA E S AA A E AE A H '?'''=?=?得到 11232236
AA A C a AA A E A H a AE AE '''??''?'==== 从而A '到平面AB D ''的距离为
33a 。 二、转化法求点到平面距离
有时候限于几何体的形状，不易直接寻找出点在平面的射影，或者由直接法作出的射影线段在所给几何体中不易计算其长度，此时转化法不失为一种有效的方法。转化法即是将点到平面的距离转化为另一点到平面间的距离的方法。
转化法依据主要有以下两点：
(1)若直线l //平面α，则直线l 上所有点到平面α的距离均相等。
(2)若直线AB 与平面α交于点M ，则点A 、B 到平面α的距离之比为:AM BM 。特别地，当M 为AB 中点时，A 、B 到平面α的距离相等。
下面用转化法重解上面例题
解法二(转化法)
如图6所示，连结AC 、A C '、A C ''、A B '、AB '，A C ''交B D ''于点E ，连结AE 交AC 于点H ，延长A C ''至点G 使得12
C G A C '''=，连结CG 。
图6
Q CB ⊥平面AA B B ''，∴从而斜线A C '在平面AA B B ''的射影为A B '．
Q A B '、AB '为正方形AA B B ''对角线，∴AB A B ''⊥，
∴由三垂线定理知道AB A C ''⊥
同理可以得到AD A C ''⊥
又Q AB AD A ''=I ，AB '?平面AB D ''，AD '?平面AB D ''
∴A C '⊥平面AB D ''
∴A H '⊥平面AB D ''，即点H 为A '在平面AB D ''的射影，A H '的长度为所求
Q //AC A C ''即//AC EG ，且1122EG EC C G A C A C A C AC ''''''''=+=+== ∴四边形ACGE 为平行四边形，∴//AE CG
在A CG '?由等比性质有 13A H AE A C EG '=='，∴13
A H A C ''= 而在正方体ABCD A
B
C
D ''''-中对角线2223A C A A AB BC a ''=++=
∴33
A H a '= 在本例中，未直接计算垂线段A H '的长度，而是找出了其与正方体ABCD A
B
C
D ''''-中对角线
A C '的数量关系，
从而转化为求正方体ABCD A B C D ''''-对角线A C '长度，而A C '长度是极易计算的，故用这种转化方法降低了运算量。本例运用的转化方法与依据(2)类似，都是寻求所要求的垂线段与某一已知或易求线段的数量关系，从而简化计算。
三、等体积法求点到平面距离
用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式13
V Sh =求出点到平面的距离h 。在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。下面用等体积法求解上面例子.
解法三(等体积法):如图7所示，作A H '垂直于平面AB D ''于点H ，则AB D ''长度为所求。对于四面体A AB D '''，易见底面AB D ''的高为A H '，底面A B D '''的高为AA '。对四面体A AB D '''的体积而言有：
A A
B D A AB D V V ''''''--=
图7
即有: 11
33
A B D AB D AA S A
H S
'''''
??
''
?=?，也即: A B D
AB D
AA S
A H
S
'''
?
''
?
'?
'=
由2
AB B D D A a
''''
===，从而AB D''
?为正三角形，0
60
AB D''
∠=，进而可求得
202
113
sin(2)sin60
22
AB D
S AB AD AB D a a
''
?
''''
=?∠==
又易计算得到Rt A B D
'''
?的面积为2
1
2
A B D
S a
'''
?
=
所以
2
2
1
3
2
3
3
A B D
AB D
a a
AA S
A H a
S
a
'''
?
''
?
?
'?
'===
我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。
四、利用二面角求点到平面距离
如图8所示，l为二面角l
αβ
--的的棱，AOB
∠为二面角l
αβ
--的一个平面角。下面考虑点B到平面α的距离。作BH OA
⊥，垂足为H，下面证明BH⊥平面α。
图8
Q AOB
∠为二面角l
αβ
--的一个平面角，∴OA l
⊥、OB l
⊥
又Q OA OB O
=
I，∴l⊥平面AOB
又Q BH?平面AOB，∴BH l
⊥
又Q BH OA
⊥，=
OA l O
I，OA?平面α，l?平面α，∴BH⊥平面α在Rt OBH
?中，有sin
BH OB BOH
=∠.....................①
这个公式就建立点到平面距离与二面角的一个数量关系。从而如果能将点与平面置于一个二面角中，则可利用通过所给点关于平面的一条斜线及二面角计算点与平面间的距离。
下面利用二面角法求解上面例子。
解法四(二面角法):如图9所示，连结A B'、AB'，A B'与AB'相交于点O，连结D O'。
Q A B'与AB'为正方形ABB A''的对角线
∴A B'AB'
⊥（即A O'AB'
⊥），O为AB'中点
图9
又Q AB D ''?中AD B D '''=， ∴D O AB ''⊥
∴A OD ''∠为二面角A AB D '''--的平面角
设A '到平面AB D ''的距离为d ，OA '是过点A '的关于平面AB D ''的一条斜线，又上面得到的公式 ①有 sin d OA A OD '''=∠
易见，D A ''⊥平面ABB A ''，从而.D A OA '''⊥在Rt A OD ''?中有
tan 222A D A OD
OA a ''''∠===' 从而点A '到平面AB D ''的距离为
2223sin sin(arctan 2)223
d OA A OD a a a '''=∠==?= 五、向量法求点到平面的距离
向量法求点到平面的距离主要是依据如下结论: 点到平面的距离等于这个与平面上任一点所连接的向量与该平面法向量方向上的单位向量数量积的绝对值。
证明:如图10所示，P 为平面α外一点，Q 为平面上任意一点，PO ⊥平面α于点O ，n r
为平面α的单位法向量。
Q ||||cos ,||cos ,PQ n PQ n PQ n PQ PQ n =<>=<>u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r r r r r g g
图10
∴||||cos |||cos ,||||cos ,|||PO PQ QPO PQ PQ n PQ PQ n PQ n =∠=<>=<>=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r r r r g
g
即||||PO PQ n =u u u r u u u r r g .....................②
这个公式将点到平面的距离转化为了过所给点的任意斜线上的起点和终点分别在所给点及所给平面上一点的向量与平面法单位法向量的内积。
下面用向量法从新求解上面例子
解法五(向量法) 如图11所示以D 点为原点，DA u u u r ，DC u u u r ，DD 'u u u u r 所在的正方向分别x ，y ，z 轴
的正方向建立空间直角坐标系。
图11
由所给条件知道坐标点(,0,0)A a 、(,0,)A a a '，(,,)B a a a '，(0,0,)D a '，从而有(0,,)AB a a '=u u u r ，
(,0,)AD a a '=-u u u u r ，(0,0,)AA a '=u u u r 。设平面AB D ''的任意一个法向量为0(,,)n x y z =u u r ,则有0n AB '⊥u u r u u u r ，
0n AD '⊥u u r u u u u r ， 即 0000
n AB n AD ?'=??'=??u u r u u u r g u u r u u u u r g 代入已知得到00
ay az ax az +=??-+=?
这是一个关于,,x y z 的不定方程，为了方便起见，不妨设1z =，这样上式变为
00
ay a ax a +=??-+=?，解该式得到1,1x y ==- 这样就得到平面AB D ''的一个法向量为1(1,1,1)n =-r
，将其单位化得到平面AB D ''的一个单位法向量为11||333
n n n ==r r r 。设点A '到平面AB D ''的距离为d ，结合②式所给出的结论有 3|||00|333
d AA n a '==++=r g 即点A '到平面AB D ''的距离为33
。
用向量法求解点到平面的距离比之前面提供的几种几何方法而言，这种方法不需要大量的几何证明，而主要是较为机械地进行代数运算。因而在实际使用这种方法时，第一步建立空间直角坐标系常常成为最为关键的步骤，如果所建立的坐标系不能确定所给几何图形中关键点（所给平面外点及所给平面上不共线的任意三个点）在建立的坐标系的坐标，则无法进行后续步骤;如果所建立的坐标系虽然能够表示的关键点的坐标，但在所建立的坐标系中得到关键点坐标的计算过程复杂，或者得到的关键点坐标表达式复杂，都将会导致繁琐的的计算。因此，选择恰当的直角坐标系对于使用本方法及简化计算都是相当重要的。
六、利用最值求点到平面距离
在介绍最值法之前，先介绍一个简单的知识，即点到平面的距离是点与平面上任意点连线的最小值。以下对这点做简要说明。
如图12所示，平面α外一点P 在平面α的射影为点P ',Q 为平面α上任意一点。
图12
若Q 不与P '重合，则0P Q '≠，PP Q '构成三角形。因PP '⊥平面α，P Q '?平面α,PP P Q ''⊥，三角形PP Q '为直角三角形，从而由勾股定理有 22PQ PP P Q PP '''=+>
这样就证得了结论。
有了上面这个结论，那么只要找到平面外一点到平面上任意一点的距离的函数表示，再求出该函数的最小值，则由上面结论即可知该最小值即为点到平面的距离。一般构造函数没有确定的方法，不同的角度构造出的函数表示很可能是不一样的，不过这并不影响最终结果。下面用常用的向量构造方法构造函数求解上面例子中点到平面的距离.
解法六（最值法）如图13所示，E 为平面AB D ''上任意一点，以D 点为原点，DA u u u r ，DC u u u r ，DD '
u u u u r 所在的正方向分别x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系。
图13
由所给条件知道(,0,0)A a 、(,0,)A a a '，(,,)B a a a '，(0,0,)D a '
从而有(0,,)AB a a '=u u u r (,0,)AD a a '=-u u u u r ，(0,0,)A A a '=-u u u r 。
设点E 在所建立的坐标系下的坐标为(,,)E x y z ，因E 在平面AB D ''上，从而向量(,,)AE x a y z =-u u u r 可由相交向量AB 'u u u r 、AD 'u u u u r 线性表示，不妨设AE AB AD λμ''=+u u u r u u u r u u u u r （,R λμ∈）
则
A E A A AE A A A
B AD λμ'''''=+=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r (,,)a a a a a μλλμ=-+- 因此222||()()()A E a a a a a μλλμ'=-+++-u u u u r 22222221a λμλμλμ=++--+
22111112()2()2()()33333a λμλμ=-+-+--+33a ≤ （当且仅当13
λμ==时取等号） 从而A '到平面AB D ''上点的距离最小值为33a ，也即点A '到平面AB D ''的距离为33
a 。 最值方法提供了求解点到平面距离的一种较为新颖的方法，同时这种方法是建立在对点到平面距离的深入理解的基础上的，也有助于加深理解点到平面距离的概念。不过这种方法对使用者的代数知识素养要求较高，要将几何图形中的几何关系转化为代数关系，构造出平面外点到平面上点的函数关系，而且对函数最值的求法也需要较高的变形技巧，否则即使构造出平面外点到平面上点的函数关系也难求出函数最值，故一般这种方法对水平较高的读者比较适用。
七、利用点到平面的距离公式求点到平面的距离
点到平面的距离公式主要是利用解析几何的知识，将所给点及平面均给予代数表式，从而用代数方法得到的点与平面距离的统一的代数表示。点到平面的距离公式的推导方法有相当多，如直接用两点间距离公式推导、利用直线参数方程中参数的几何性质推导、利用球的切平面性质推导、利用极值法推导等等。公式法的实质是几何量代数化的结果，因此绝大多数求解点到平面距离的几何方法转化为代数语言都可以得到一般意义上的点到平面的距离公式。限于本文篇幅，就不对这些方法一一介绍了，下面仅从利用两点间距离公式的角度给出点到平面的距离公式一种推导。
如图14所示，平面α外一点P 在平面α的射影为点P '。
图14
在某空间直角坐标系下，设平面α的代数方程为：0Ax By Cz D +++=，点P 的坐标为
000(,,)P x y z 。将平面α的方程改写为
000000()()()()A x x B y y C z z Ax By Cz D -+-+-=-+++.....................③
又由PP '⊥平面α及直线PP '过点000(,,)P x y z 知道直线PP '的方程为
000x x y y z z A B C
---== 下面不妨设
000x x y y z z t A B C
---=== .....................④ 将④代入③中得到 000222Ax By Cz D t A B C
+++=-++ 显然P '的坐标(,,)P x y z '在直线PP '上，从而满足④，即有
0000222
0000222
0000222()
()()A Ax By Cz D x x At A B C B Ax By Cz D y y Bt A B C C Ax By Cz D z z Ct A B C +++-==-
+++++-==-+++++-==-++ 进而根据两点间的距离公式
||d PP '==
=
即d = .....................⑤
这样就得到了点与平面的距离公式，依据⑤式，只要知道在同一空间直角坐标系下所给点的坐标与平面的方程即可求得点与平面的距离。
下面用公式法求解上面例子
解法七（公式法）如图15所示，以D 点为原点，以向量DA u u u r ，DC u u u r ，DD 'u u u u r 的正方向分别x ，y ，z 轴
的正方向建立空间直角坐标系。
由所给条件知道(,0,0)A a 、(,0,)A a a '，(,,)B a a a '，(0,0,)D a '。设平面AB D ''在该空间直角坐标系下的方程为0Ax By Cz D +++=，因A '，B '，D '均在平面AB D ''上，从而满足平面方程，即有
000aA D aA aB aC D aC D +=??+++=??+=?
图15
由这个方程组得到:::1:1:1:A B C D a =--
从而平面AB D ''的方程为0x y z a -+-+=
设点A '到而平面AB D ''的距离为d ，由点到平面的距离公式有
000222222
33(1)1(1)d A B C ===++-++- 即点A '到而平面AB D ''3。 有了⑤这个公式之后，求点与平面的距离将变得更加简单，同时也变得更加机械化。对于机械化的方法，一般都有较多的计算过程，从而也使得在使用公式法时更加注重运算效率，从而选取恰当坐标系以简化计算特别是求平面方程的计算就显得尤为重要。一般地，如果所要求得距离在一个立方体中，则应首先考虑以立方体三条互相垂直的棱作为坐标轴，在一般的几何体中建立坐标系时，也应选择互垂线条数多的作为坐标轴以达到简化的目的。
总之，本质上来说，求解点到平面的距离每种解法都是特定的数学工具,都包涵了其所必需的条件及相应的程序过程 。这也就决定了点到平面的距离不存在一种普遍适用的解法，各种解法各有所长，各有其特定的适用范围。
点到平面的距离的计算
预备知识 (1)正射影的定义:(如图1所示)从平面外一点P 向平面α引垂线，垂足为P '，则点P '叫做点P 在平面α上的正射影，简称为射影。同时把线段PP '叫作点P 与平面α的垂线段。 图1 (2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。 (3) 四面体的体积公式 13 V Sh = 其中V 表示四面体体积，S 、h 分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。 (4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 (5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。 (6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线l 把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。图2所示为平面α与平面β所成的二面角，记作二面角l αβ--，其中l 为二面角的棱。如图在棱l 上任取一点O ，过点O 分别在平面α及平面β上作l 的垂线OA 、OB ，则把平面角AOB ∠叫作二面角l αβ--的平面角，AOB ∠的大小称为二面角l αβ--的大小。在很多时候为了
简便叙述，也把AOB ∠称作α与平面β所成的二面角。 图2 1、定义法求点到平面距离(直接法) 定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。 以下几条结论常常作为寻找射影点的依据: (1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。 (2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。 (3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。 (4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。 例如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D '''' -棱长为a，求点A'到平面AB D''的距离。
怎样求点到平面的距离
怎样求点到平面的距离 徐加生 在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离。本文总结几种求点到平面距离的常用方法，供参考。 一 直接法 根据空间图形的特点和性质，找到垂足的位置，直接向平面引垂线，构造可解的直角三角形求解。 例1. （1998年全国高考题）已知斜三棱柱111C B A ABC -的侧面11ACC A 与底面ABC 垂直，32AC ,2BC ,90ABC ==?=∠，且C A AA ,C A AA 1111=⊥；（I ）求侧棱A A 1与底面ABC 所成角的大小；（II ）求侧面11ABB A 与底面ABC 所成二面角的大小；（III ）求顶点C 到侧面11ABB A 的距离。 图1 简析：（I ）如图1，取AC 中点D ，易得侧棱1AA 与底面ABC 所成的角为?=∠45AD A 1。 （II ）由于⊥D A 1底面ABC ，过D 作AB DE ⊥于E ，连E A 1，知AB E A 1⊥，则ED A 1∠为所求二面角的平面角。易求得?=∠60ED A 1。 （III ）要求C 到平面11ABB A 的距离，可直接作⊥CH 面11ABB A 于H ，CH 的长就是点到平面的距离。关键是怎样求CH 的长。注意到AB BC ⊥，连BH ，则由三垂线定理得AB HB ⊥，即HBC ∠为二面角的平面角。由（II ）知HBC ∠?=60，所以360sin BC CH =?=为所求。 注：此法的关键是要找到可解的直角三角形来求解。 二. 找垂面法 找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到 平面的垂线段。 例2. 正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2，侧棱长为3，11C A 的中点为D 。（1）求证//BC 1平面D AB 1；（2）求点B 到平面D AB 1的距离。
点到平面的距离的几种求法_人教版
点到平面的距离的几种求法 2 基本概念 从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长. 例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长． 点到平面的距离有如下三条性质： (1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离. (2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解 已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、Ａ Ｄ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长 解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ， 连 结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ 作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ ∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离 易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝ 2， 32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ?中 BN PB BQ PN ?=? 11112=∴BQ 图 1
3.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角 引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有 αsin a d = （1） 其中的α也就是二面角的大小，而并不强 求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线 于Ｐ，易知 2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ 的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ 易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2， ∴ ＣＨ＝23 ，ＧＨ＝22 ∴ 222 sin =∠GHC ， 于是由（1）得所求之距离 11112222 2sin =?=∠?=GHC BP d (2) 利用斜线和平面所成的角 引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有 θsin l d = （2） 注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线 与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ． 解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作 GM BR ⊥，Ｒ为垂足． 图3 图 4 图 5
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典型求法 目录 1.引言 (1) 2.预备知识 (1) 3.求点到平面距离的若干求法 (3) 3. 1 定义法求点到平面距离 (3) 3. 2 转化法求点到平面距离 (5) 3. 3 等体积法求点到平面距离 (7) 3.4 利用二面角求点到平面距离 (8) 3. 5 向量法求点到平面距离 (9) 3.6最值法求点到平面距离 (11) 3.7公式法求点到平面距离 (13) 1.引言 求点到平面的距离是高考立体儿何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握难点问题之一。点到平面的距离的求解方法是多种多样的，本讲将着重介绍了儿何方法（如体积法，二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值法）等角度等七种较为典型的求解方法，以达到秒杀得分之功效。 2.预备知识 （1）正射影的定义：（如图1所示）从平面外一点向平面。引垂线，垂足为P,则点P'叫 做点〃在平面。上的正射影，简称为射影。同时把线段PP'叫作点P与平面。的垂线段。
图1 (2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离, 也即点与平面间垂线段的长度。 (3)四面体的体积公式 V=-Sh 3 其中V表示四面体体积，S、/?分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。 (4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 (5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。 (6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线/把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。图2所示为平面a与平面“所成的二面角，记作二面角a-1-p,其中/为二面角的棱。如图在棱/上任取一点。，过点。分别在平面。及平面”上作/的垂线。4、OB，则把平面角匕叫作二面角a-1-p的平面角，匕4彼的大小称为二面角a-1-p的大小。在很多时候为了简便叙述，也把匕称作a与平面“所成的二面角。 (7)空间向量内积： 代数定义：设两个向量刁=(而,》1，4)，/；=(易况，全)，则将两个向量对应分量的乘积之和 定义为向量。与片的内积,记作沁，依定义有必。二%工2 +凹)‘2 +4弓
点面距离的几种求法
点面距离的几种求法 距离的计算是历年高考的重点与热点，求距离问题可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点。而点到平面的距离是是距离问题中的重中之重，线到面的距离及面到面的距离都转化为点到面的距离，线面角、二面角，多面体的体积等都可以借助点面距离使之得以解决。 求点到面的距离方法多而且灵活，可以根据定义从改点作平面的 垂线，有时直接利用已知点求距离比较困难，我们可以把点到平面的距离转化到其它点到面的距离或用空间向量法、或利用三棱锥等体积法等。下面通过几道例题介绍常用的点到面的距离求法： 1、 利用定义作垂线，解三角形。 例1， 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点P 在棱1CC 上，且 1CC =4CP ,求点P 到平面1ABD 的距离。 解: ∵!DC //AB ,∴平面1ABD 与平面D ABC 1是一个平面，∴点P 到平面11D ABC 的距离即为所求。过点P 作PM ⊥!BC 于M ，∵AB ⊥面 C C BB 11,PM ?面C C BB 11,∴AB ⊥PM 。AB 1C B ?=B ， 1 C 1 D 1 A P M D A B C 1 B ，
∴PM ⊥1!D ABC ，∴PM 就是所求的距离，又∵ 0!45=∠BCC ，4 3!= P C ,在PM C R t !?中， 8 2 343224510= ?=?= PM P C PM Sin . 2、 转化成其它点到面的距离： 2 C A A
、向量法： 例3、 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点E, F 分别是 11,D A BC 的中点，求点A 到平面EDF B 1的距离。∥⊥ 解: 建系，如图,设点A 到平面EDF B 1的距离为 d , 平面EDF B 1的法 向量 =(x,y,z),则： AB → →?， y n → )1,2 1,0(),0,2 1,1(=→-=→DF DE
求点到平面距离的基本方法
利用两个平面垂直，直接作出点到平面的距离. 2, A .AM为点A到平面的距 求点到平面距离的基本方法 北京农大附中闫小川 求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也 是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出 求点到平面的距离的几种基本方法. (I )求证：AE 平面BCE ; (n )求二面角B AC E的大小; (m )求点D到平面ACE的距离. (I)、( n)解略，(m)解如下: 、直接法 例 (2005年福建高考题)如图1,直二面角 D AB E中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE EB，F为CE上的点, 且BF 平面ACE. D B
解：如图3,过点A 作AG 峑EC ，连结DG,CG ，则平面ADG //平面BCE , ???平面BCE 平面ACE , ???平面ADG 平面ACE , 作DH AG,垂足为H ，则DH 平面ACE. ??? DH 是点D 到平面ACE 的距离. 二、平行线法 ,B 为I 上任意一点，AM , BN ,则AM BN . 点A 到平面的距离转化为平行于平面 的直线I 到平面的距离，再转化为直 线I 上任意一点B 到平面 的距离. 解：如图5,过点D 作DM 屯AE ，连结CM ，则DM //平面ACE , 点D 到平面ACE 的距离转化为直线 DM 到平面ACE 的距离，再转化为点 M 到平面ACE 的距离. 作MN CE,垂足为N , 在 Rt ADG 中, DH AD DG 2 迈 2/3 AG 76 3 如图 4, A 1,1 // C B
???平面CEM 平面ACE , ??? MN 平面 ACE , ??? MN 是点M 到平面ACE 的距离. 三、斜线法 利用平面的斜线及三角形相似，转化为求斜线上的点到平面的距离 .如图 AO O , A,B l , AM , BN ,若竺 t,则 AM t BN.点 A 到 BO 平面 的距离转化为求直线I 上的点B 到平面 的距离. 解：如图8, BD 与AC 的交点为Q ，即BD 平面ACE Q , ??? DQ BQ , ???点D 到平面ACE 的距离与点B 到平面ACE 的距离相等. ???平面BCE 平面ACE ，BF 平面ACE , ? BF 是点B 到平面ACE 的距离. 在 Rt CEM 中，MN EM CM 2 72 C E 7 6 6、7, l N
向量法求空间点到平面的距离教案
学习必备 欢迎下载 向量法求空间点到面距离（教案） 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？ 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、 空间中如何求点到面距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） 二、向量法求点到平面的距离 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。
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学习必备 欢迎下载 若AB 是平面α的任一条斜线段，则在BOA Rt ? ABO COS ∠? ? 如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z = 则n AB n AC ⊥⊥，.∵(3,4,0)AB =-,(3,0,2)AC =- ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z ?-=???-=?即340320x y x z -+=??-+=? ∴3432y x z x ?=????=?? 取4x =,则(4,3,6)n = ∴(4,3,6)n =是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E =-=--=设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z = 2202420 11(,,1)33 n EF n EG x y x y n ⊥⊥-=?∴?--+=?∴=，
向量法求空间点到平面的距离教案
向量法求空间点到面距离（教案） 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？ 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、 空间中如何求点到面距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） 二、向量法求点到平面的距离 剖析：如图， BO 平面 ，垂足为O ，则点B 到平面 的距离是线段BO 的长度。 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。
若AB 是平面 的任一条斜线段，则在BOA Rt ABO COS ? 如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z r 则n AB n AC r u u u r r u u u r ，.∵(3,4,0)AB u u u r ,(3,0,2)AC u u u r ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z 即340320x y x z ∴3432y x z x 取4x ,则(4,3,6)n r ∴(4,3,6)n r 是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E u u u r u u u r u u u r 设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z r 2202420 11(,,1)33 n EF n EG x y x y n r u u u r r u u u r r ，
向量法求空间点到平面的距离教案
向量法求空间点到面距离（教案） 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、 空间中如何求点到面距离 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） 二、向量法求点到平面的距离 剖析：如图，⊥BO 平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离是线段BO 的长度。 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。
若AB 是平面α的任一条斜线段，则在BOA Rt ? ABO COS ∠? 如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z = 则n AB n AC ⊥⊥，.∵(3,4,0)AB =-,(3,0,2)AC =- ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z ?-=???-=?即340320x y x z -+=??-+=? ∴3432y x z x ?=????=?? 取4x =,则(4,3,6)n = ∴(4,3,6)n =是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E =-=--=设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z = 220242011(,,1)33 n EF n EG x y x y n ⊥⊥-=?∴?--+=?∴=，
空间点到面的距离练习题
空间点到面的距离 一、选择题 (每小题6分，共36分) 1．平面α内的∠MON ＝60°，PO 是α的斜线，PO ＝3，∠POM ＝∠PON ＝45°，那么点P 到平面α的距离是( ) 2．在正三棱锥P —ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a ，则点P 到平面ABC 的距离为( ) A ．a a a a 3．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( ) 4．空间四点A 、B 、C 、D 每两点的连线长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上， 则点P 与Q 的最小距离为( ) a a a 5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6 .过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( ) A ．2∶1 B ．3∶1 C ．3∶2 D ．4∶3 6．已知平面α∥平面β，直线m ?α，直线n ?β，点A ∈m ，点B ∈n ，记点A 、B 之间的距离为a ，点A 到直线n 的距离为b ，直线m 和n 的距离为c ，则( ) A ．b ≤c ≤a B ．a ≤c ≤b C ．c ≤a ≤b D ．c ≤b ≤a 二、填空题(每小题6分，共18分)
7．如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝1.若二面角C—AB—C1的大小为60°，则点C到平 面ABC1的距离为________． 8．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M为AC边上的一个动点，则PM 的最小值为________． 9．(2008年全国Ⅰ)已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A—BD—C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于________． 三、解答题 (10,11每题15分，12题16分，共46分) 10．如图所示，棱长均为a的正三棱柱中，D为AB中点，连结A1D，DC，A1C. (1)求证：BC1∥面A1DC； (2)求BC1到面A1DC的距离．
向量法求空间点到平面的距离教案
向量法求空间点到面距离（教案） 教材分析 重点：点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点：找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1.能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2.能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3.加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、空间中如何求点到面距离 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a ? b = a b cos 0（0为a与b的夹角） 二、向量法求点到平面的距离
如果令平面的法向量为 n ，考虑到法向量的方向，可以得到点 B 到平面的距离为 _r BA?n BO=—:— n 因此要求一个点到平面的距离， 可以分为以下三步：(1)找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量 (2)求出该平面的一个法向量 (3)求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标，如何求经过这三点的平面的一个法向量 ? 例1、在空间直角坐标系中，已知A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0,2),试求平面 ABC 的一个 法向量. 解：设平面ABC 的一个法向量为 r n (x, y, z) r uuu r uuur uuu unr 则 n AB , n AC . v AB (3,4,0), AC (3,0, 2) ? (x, y, z)( 3,4,0) 0即 3x 4y 0 3 y x (x, y, z)( 3,0,2) 0 3x 2z 0 . 4 取x 4,则n (4, 3,6) 3 z x 2 ??? n (4, 3,6)是平面 ABC 的一个法向量 例2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为4, E 、F 分别是AB 、AD 的 中点，GC 丄平面 ABCD ，且GC = 2,求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2). uuir uuur EF (2, 2,0), EG ( 2, 4,2), uuu BE (2,0,0) 设平面EFG 的一个法向量 若AB 是平面 的任一条斜线段，则在 Rt BOA 中，BO = BA?COS ABO BA?BO B A B O BO 剖析：如图，BO 平面 ，垂足为0，则点B 到平面 的距离是线段 BO 的长度。 =网? BA? BO
高一数学点到平面距离的求法
例谈点到平面距离的求法 立体几何的空间距离是历年高考考查的重点和热点。由于线面距离、面面距离以及两异面直线间的距离都可以转化为点到平面的距离来解决，因此点到平面的距离更值得我们关注。 点到平面的距离的求法可分为三大类： 一、由点向平面引垂线，且垂足位置可确定 转化到在某平面内，求出点和垂足间的线段的长。 1、 用定义直接构造法 例1、如图，三棱锥S-ABC 中，ABC ?是等腰三角形， 2AB BC a ==， 0120ABC ∠=,且SA ⊥面ABC ，SA=3a 。求点A 到平面SBC 的距离。 解：作 AD BC ⊥交BC 于D,连结SD. SA ⊥平面ABC,根据三垂线定理有SD BC ⊥ 又SD AD D ?=,BC ∴⊥平面SAD 。又BC ?平面SBC ， ∴平面SBC ⊥平面ADS ，且平面SBC ?平面ADS=SD ∴过点A 作AH SD ⊥于H ，则AH ⊥平面SBC 。在Rt SAD ?中， SA=3a, 0sin60AD AB == ，32 a AH ∴= = 故点A 到平面SBC 的距离为 32 a 。 【点评】利用构造法关键是定位点在面内的射影。常常要寻找过已知点且与所给面垂直的面，再过已知点作两垂面交线的垂线。 2、转移构造法 （1）利用平行线转换点 例2、在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC ⊥,1,AB CC a BC b ===（b >a ） （1）求证： 11AC AB ⊥ (2)求点1B 到平面1ABC 的距离. 解：(1)连结 1A B ,则11AB A B ⊥，又11AB BC ⊥，故111AB A BC ⊥面。知 111AC AB ⊥，得1111AC ABB A ⊥面,知11AC AB ⊥。 （2）由（1）得1 11ABC AAC ⊥面面. 11111,A B AB A B ABC ∴平面1111A ABC ABC ∴到平面的距离等于B 到平面的距离 过1A 作 11AG AC ⊥于G , 11AB ACC A ⊥平面, 1AB AG ∴⊥ 从而11AG ABC ⊥平面. 故1 AG 即为所求的距离。易求1AG b =。 【点评】利用直线与平面平行，把所求的点到平面的距离转移到平行线上另一点到平面的距离来求， 是我们常用的方法。 （2）对称转移或利用定比分点 C C
用点到面的距离公式求距离
用点到平面的距离公式求点到平面的距离 河南省延津县一中 解永红 453200 点到平面的距离是立体几何部分的重点内容之一，也是高考常考查的知识点。常用的方法有等体积法，向量法;||n d = (其中A 是平 面α外的一点，P 是α内的一点，是α的一个法向量，d 是点A 到平面α的距离），下面类比点到直线的距离公式介绍一下点到平面的距离公式，希望能对大家的解题有所帮助。 二元一次方程0=++Cz By Ax 在平面上表示一条直线，点),(00y x P 到直线0=++Cz By Ax 的距离2200| |B A C By Ax d +++= 三元一次方程0=+++D Cz By Ax 在空间中表示一个平面，记作α，点),,(000z y x P 到平面α：0=+++D Cz By Ax 距离222000| |C B A D Cz By Ax d +++++=， 因此我们只要建立空间直角坐标系，找平面α上不在同一直线上的三个点),,();,,();,,(333222111z y x F z y x E z y x G ，将其坐标分别代入 0=+++D Cz By Ax 中得: 0 00 333222111=+++=+++=+++D Cz By Ax D Cz By Ax D Cz By Ax (i)若平面过原点，则0=D ，则上述方程能够求出C B A ,,的值，从而得到平面α的方程 (ii)若平面不经过原点，则0≠D ，则上述方程能够用D 表示C B A ,,，然后将C B A ,,代入0=+++D Cz By Ax 中，约去D 得到平面α的方程。 最后用距离公式222000| |C B A D Cz By Ax d +++++=求出),,(000z y x P 到平面α的距
向量法求空间点到平面的距离教案
向量法求空间点到平面 的距离教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
向量法求空间点到面距离（教案） 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？ 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、 复习引入： 1、空间中如何求点到面距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） 二、向量法求点到平面的距离 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。
剖析：如图，⊥ BO平面α，垂足为O，则点B到平面α的距离是线段BO的长度。 若AB是平面α的任一条斜线段，则在BOA Rt? ABO COS∠ ? 如果令平面的法向量为n，考虑到法向量的方向，可以得到点B到平面的距离为BO 因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0) A B,(0,0,2) C,试求平面ABC的一个法向量. 解:设平面ABC的一个法向量为(,,) n x y z = 则n AB n AC ⊥⊥ ，.∵(3,4,0) AB=-,(3,0,2) AC=- ∴ (,,)(3,4,0)0 (,,)(3,0,2)0 x y z x y z ?-= ? ? ?-= ? 即 340 320 x y x z -+= ? ? -+= ?∴ 3 4 3 2 y x z x ? = ?? ? ?= ?? 取4 x=,则(4,3,6) n = ∴(4,3,6) n =是平面ABC的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2), EF EG =-=--
点面距离的几种求法
点面距离的几种求法 距离的计算是历年高考的重点与热点，求距离问题可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点。而点到平面的距离是是距离问题中的重中之重，线到面的距离及面到面的距离都转化为点到面的距离，线面角、二面角，多面体的体积等都可以借助点面距离使之得以解决。 求点到面的距离方法多而且灵活，可以根据定义从改点作平面的垂线，有时直接利用已知点求距离比较困难，我们可以把点到平面的距离转化到其它点到面的距离或用空间向量法、 或利用三棱锥等体积 法等。下面通过几道例题介绍常用的点到面的距离求法：1、 利用定义作垂线，解三角形。 例1，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD 中,点P 在棱1CC 上，且 1CC =4CP ,求点P 到平面1ABD 的距离。 解: ∵!DC //AB ,∴平面1ABD 与平 面D ABC 1是一个平面，∴点P 到平面11D ABC 的距离即为所求。过点 P 作PM ⊥!BC 于M ，∵AB ⊥面 C C BB 11,PM 面C C BB 11,∴AB ⊥PM 。AB 1C B =B ， 1 C 1 D 1 A P M D A B C 1 B ，
∴PM ⊥1!D ABC ，∴PM 就是所求的距离，又∵ !45 BCC ， 4 3!P C ,在 PM C R t !中， 8 2 34 32 245 10 PM P C PM Sin . 2、转化成其它点到面的距离： 2 B D C B C B C A A A
.a 4 33、向量法： （其中，为平面α的法向量） 例3、在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD 中,点E, F 分别是 11,D A BC 的中点，求点A 到平面EDF B 1的距离。∥⊥解: 建系，如图,设点A 到平面EDF B 1的距离为 d , 平面EDF B 1的法向量 =(x,y,z),则：A C D 1 A 1 D E F n n n AB d ， B x y z 1 B 1 C n )1,2 1 ,0(),0,21, 1(DF DE
点到平面的距离的几种求法 高中数学 高考 立体几何
点到平面的距离的几种求法 求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题，概括出求‘点到平面的距离’的几种基本方法． 例：已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离． 一、直接通过该点求点到平面的距离 １．直接作出所求之距离，求其长． 解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结GM，作BN⊥BC，交GM于N，则有BN∥CG，BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM于P，易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG．于是BQ是点B到平面EFG的 距离．易知BN＝，BP＝，PZ＝，由BQ·PN＝PB·BN，得BQ＝ ． 图1 图2 ２．不直接作出所求之距离，间接求之． （１）利用二面角的平面角． 课本Ｐ．４２第4题，Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ-Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ，则有ｄ＝ａｓｉｎα．① ①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角． 解法2．如图3，过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ，易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝４，ＡＨ＝，∴ＣＨ＝３，ＧＨ＝，ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/，于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠ ＧＨＣ＝·＝．解略．
透视点到平面距离的求法
透视点到平面距离的求法 一、定义法求点到平面距离(直接法) 定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。 以下几条结论常常作为寻找射影点的依据: (1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。 (2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。 (3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。 (4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。 例 如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ，求点A '到平面AB D ''的距离。(注:本文所有解法均使用本例) 图4 解法一(定义法):如图5所示，连结交B D ''于点E ，再连结AE ，过点A '作A H '垂直于AE ，垂足为H ，下面证明A H '⊥平面AB D ''。 图5 Q AA '⊥平面A B C D '''' ∴B D ''⊥AA ' 又Q 在正方形A B C D ''''中，对角线B D A C ''''⊥，且AA A C A ''''=I AA '?平面AA E ', A C ''?平面AA E '
点到平面的距离问题
【例1】 已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的 中点到平面α的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0或1 【例2】 ABC ?的三个顶点A B C ， ，到平面α的距离分别为234，，，且它们在平面α的同一侧， 则ABC ?的重心到平面α的距离为___________． 【例3】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11 ABC D 的距离． A 1 D 1 C B A 【例4】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ， PD a =，求点D 到平面PAB 的距离． H A C B D P 典例分析 板块一.点到平面的距离问题
【例5】 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C AB C --的大小为60， 求点C 到面1ABC 的距离. E D C 1 B 1A 1 C B A 【例6】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体1 2 PD AB = 中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） A B C D A A 1 【例7】 （2007湖北文5） 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1 D EF 的距离为（ ） A B C D A B C E