数学物理方程公式总结
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 无限长弦的一般强迫振动定解问题
200(,)(,0)()
()
tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ?ψ==?=+∈>?
=??
=? 解()()().()
.0()
111(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττ??ψξξατατ++----??=
++-++??????????? 三维空间的自由振动的波动方程定解问题
()22
22222220001,,,,0(,,)
(,,)t t u u
u a x y z t t x y z u x y z u x y z t ??==???????=++-∞<<+∞>? ?????????
=????=???
在球坐标变换
sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θ?θ??πθπθ=??
=≤<+∞≤≤≤≤??=?
21()1
()
(,)44M M
at r S S M M u M t dS dS a t r a r
?ψππ??''?=+???????
????
(r=at)
221()1()
(,)44M M
at at
S S M M u M t dS dS a t t a t
?ψππ??''?=+???????
????
无界三维空间自由振动的泊松公式
()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θ?θ??πθπθ'=+??
'=+≤≤≤≤??'=+?
2()sin dS at d d θθ?=
二维空间的自由振动的波动方程定解问题
()22
2222200,,,0(,)(,)t t u u
u a x y t t x y u u x y x y t ?ψ==??????=+-∞<<+∞>? ????????
??
==???
22
at at ππ????
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 傅立叶变换
1()()2i x f x f e d λλλπ
+∞
-∞
=?
基本性质
[]1212[][]F f f F f F f αβαβ+=+ 1212[][][]F f f F f F f *=
12121
[][][]2F f f F f F f π
=
* [][]F f i F f λ'= ()[]()[]k k F f i F f λ= [][]d F f F ixf d λ=- 1[()]
d i x f F f d λλ
--= 00[()][()]i x F f x x e F f x λ--=
00
[()]()i x F e f x f λλλ=- ..1
[()][()]x F f d F f x i ξξλ
-∞
=
?
.0
.[)]1i x
i x
x F x x e
dx e
λλδδ∞--=-∞
===?（（） ()()..[]i x i F x x e dx e λλξδξδξ∞
---∞
-=-=?
1[()]()F f ax f a a
λ
=
若[()]()F f x g λ=则 [()]2()F g x f πλ=-
[]12()F πδλ= 2
2
2
42ax a
F e e λπ-
-??
??= ?????
1cos ()
2
1sin ()
2ia ia
ia ia a e e a e e i --=
+=- cos sin cos sin ia ia e a i a e a i a -=+=-
2
x e
dx +∞
--∞
=?
()()i x f f x e dx λλ+∞--∞
=?
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 拉普拉斯变换
()()sx f s f x e dx +∞-=?
[]Re Re ax c
L ce p a p a
=>-
21[]L x s
=
2
1
[]()x L e x s ββ-?=+
[]22
sin k
L kt s k
=
+ []22
cos s
L kt s k
==+ []22
[]2ax ax e e a
L shax L s a --==- Re Re s a > []22
[]2ax ax e e s
L chax L s a -+==+ Re Re s a >
基本性质
[]1212[][]L f f L f L f αβαβ+=+ 1111212[][]L f f L f L f αβαβ---??+=+??
[()][()],0s L f x e L f x τττ--=≥
[()](),Re()ax L e f x f s a s a σ=--> 1[()](),(0)s
L f cx f c c c
=
> ()12(1)[][](0)(0)(0)n n n n n L f s L f s f s f f ---'=----
..01
[()][()]x L f d L f x s
ττ=? [][()]n
n n d L f L x f ds
=- ..()[]p
f x f
s ds L x
∞
=?
（） 1212[][][]L f f L f F f *= 0[()]()1sx L x x e dx δδ+∞
-==?
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 三个格林公式 高斯公式：
设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P ,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：
V S
P Q R dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ??
???++=++ ??????????? 或
()()()cos ,cos ,cos ,V S
P Q R dV P n x Q n y R n z dS x y z ?????++=++?? ????????????? 第一格林公式
设u(x,y,z),V(x,y,z)在S?S V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：
S
V
V
u v dS u vdV u vdV ??=???+?????????
第二格林公式
设u(x,y,z),V(x,y,z)在S?S V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：
()()S
V
u v v u dS u v v u dV ?-??=?-??????
第三格林公式
设M 0，M 是V 中的点，v(M)=1/r MM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：
00001
11
1
1()44MM MM MM S V u u M u dS u dV r n n r r π
π??????
??=
--??? ? ? ? ?
????????
??????? 定理1：泊松方程洛平问题
(,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz S
S
S u u u u f x y z x y z V u
u x y z x y z n ?ψ?=++=∈??
??==???
连续）连续） 的解为： 01
1111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψ?π
π???????
=
-- ? ???????
???????? 推论1：拉氏方程洛平问题
0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz S
S S u u u u x y z V u
u x y z x y z n ?ψ?=++=∈??
??==???
连续）连续）
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 调和函数
1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在V S 具有二阶连续偏导数；(2) 0u ?= 称u 为V 上的调和函数。
2、调和函数的性质。
性质1 设 u(x,y,z) 是区域 V 上的调和函数，则有
0S
u
dS n
?=???
推论2：拉氏牛曼问题（牛曼问题解不稳定没有得到公式解）
0xx yy zz S u u u u u n
?
?=++=??
??=???有解的充分必要条件是：0S dS ?=?? 性质2 设u(x,y,z) 是区域V 上的调和函数，则有 :
0111()4S u u M u dS r n n r π
????
??=
- ????????
??? 性质3 : 设u(x,y,z)是区域V 上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的算术平均值，即:
02
1
()()4R
S u M u M dS R π=
?? 其中S
R 是以M 0为球心,R 为半径的球面
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
三维空间中狄氏问题格林函数 泊松方程狄氏问题为：
(,,),(,,)(,,),(xx yy zz S
S u u u u f x y z x y z V u x y z ??=++=∈???
=??连续）
0000(,)()(,)(,)S V
G M M u u M G M M u dS G M M fdV n n ???
?=--??????????? 其中：001(,)(,,)4MM G M M v x y z r π=- 如果G(M,M 0)满足：0(,)0S
G M M = 则可得泊松方程狄氏解定理
定理：泊松方程狄氏解为：
000(,)()()(,)()S V
G M M u M M dS G M M f M dV n ???
?=--?????????? 其中G(M,M 0)满足：
0000(,)()
,(,)0S S G M M M M M M V G M M δ?=--??∈?=??
00
MM 1G(M,M )=4r π 推论：拉氏方程狄氏解为：
00(,)()()S G M M u M M dS n ????=-????
??? ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 平面中的三个格林公式 首先证明一个定理：
设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，且f(x,y)在D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，则：
2222D L
f f f
dxdy ds x y n ?????+= ????????? (1) 第一格林公式
设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，且u(x,y),v(x,y)在D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，则：
()D
L
v
u v u v dxdy u
ds n
???+?=????
(2) 第二格林公式
()()l
D
u v v u dS u v v u dxdy ?-?=?-????
(3) 第三格林公式
设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，且u(x,y)在D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，令：
11
(,)ln
2MM v x y r π=
0001111
11
()ln ln ln 222MM MM L D
u u M u dS ud r n
n r r σπππ??????=?--??? ? ?????????
??? 定理：平面泊松方程洛平问题
(,),(,)(,),(,)L
L u f x y x y D u u x y x y n ?ψ?=∈??
??
==???
的解为： 0
001111
1
1
()ln ln ln
(,)222MM MM L D
u M dS f x y d r n r r
ψ?σπππ?????=--?? ? ????????
??? 推论：平面拉氏方程洛平问题
0,(,)(,),(,)L
L u x y D u u x y x y n ?ψ?=∈??
??
==???
的解为： 0001111
()ln ln 22MM MM L u M dS r n r ψ?ππ??
???=-?? ? ???????
?
? 定理：平面泊松方程狄氏问题的解为：
0()(,)L
D
G
u M dS Gf x y d n ?
σ?=--???? 推论：平面拉氏方程狄氏解为：
0()L
G u M dS n ?
?=-??
平面狄氏格林函数
0000(,)()
,(,)0
S L G M M M M M M D G M M δ?=--??∈?
=?? 0
0M M 1G (M ,M )=l n r
2π ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
00222200(,)()
(,)(,)0
S G M M M M x y z R M V G M M δ?=--??++≤∈?
=?? 格林函数为：
00011111(,)44R G M M r r r r r ππ=--- 其中： 20
100
r R r r r =
球域内狄式问题的解
()00022
00322200(,)()()(,)()1()(,)()42cos S V
S V G M M u M M dS G M M f M dV n R r M dS G M M f M dV R
R r Rr ??πγ??
?=--???????-??
=+????+-??
?????????? 其中：
()
22
032
22
00142cos S
S
R r G
G n
r
R
R r Rr πγ-??==-
??+-
球域上狄氏问题的解的球坐标表达式
sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θ?θ??πθπθ=??
=≤<+∞≤≤≤≤??=?
所以：()()
()22
22
20033
222
222
00001(),,sin 442cos 2cos S R r R r R M dS R d d R R r Rr R
r Rr ππ
??θ?θθ?ππγγ??--??
=????+-+-??
????
2．上半空间狄氏问题的Green 函数
()0000,,,(
0)
0z G x x y y z z
z G δ=?=---->???
=?? 01012(,)111144MM MM G M M u u r r π
π=+????=-==
????
??
01000
3311
44MM MM z z z z z G G n z r r ππ??-+??=-=-=-????????
所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：
()()()000..0
03
..2222
000(,)()(,),1(,,)(,)2S V V
G M M u M dS G M M fdV n x y z dxdy f x y z G M M dxdydz
x x y y z ??π
+∞+∞
-∞
-∞
???=--?????=-??-+-+??
???????
???
上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：
()()()()..0
0003
..2222
000,1,,2x y z u x y z dxdy x x y y z ?π
+∞+∞
-∞
-∞
=
??-+-+??
??
3．上半平面狄氏问题的Green 函数
01
01111
(,)22MM MM G M M Ln Ln
r r ππ=- G G
n y ??=-??
22
0011
[2()L
y y G n
y x x y ππ=??=-
-=-
??-+
上半平面上泊松方程狄氏解
0022001()(,)()(,)()L D D
y G u M dS Gf x y d x dx Gf x y d n x x y ?σ?σπ+∞
-∞?=--=-?-+?????? 上半平面上拉氏方程狄氏解
022
00
1
()()
()y u M x dx x x y ?π
+∞
-∞
=
-+?
4．圆域上泊松与拉氏方程狄氏解的GREEN 函数
0222
0(,),()0L
G M M M M D x y R G δ?=-??∈+≤?=?? 10100
0111111(,)ln ln ln ln 2222MM M M MM M M r R G M M r r r r ππππ=-=- 圆域上泊松与拉氏方程狄氏解
02
2
22
00()()
(,)1
()
(,)22cos L
D
L
D G
u M dS Gf x y d n R r dS Gf x y d R R Rr r ?θσ?θσ
πγ?=--?-=--+??????
5．第一象限上狄氏问题的Green 函数
0123
02222
00002222
000011111111(,)ln ln ln ln 2222()()()()1ln 4()()()()MM MM MM MM G M M r r r r x x y y x x y y x x y y x x y y πππππ=
--+????++--++????=????-+-+++????
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 三种典型方程的基本解问题 1． 泊松方程的基本解
方程(,,)u x y z δ?=-的解称为泊松方程(,,)u f x y z ?=-的基本解。 三维空间泊松方程的基本解1,04U r r
π=
≠
平面泊松方程基本解为：11
ln ,02U r r
π=
≠ 特解应该为基本解与函数f 的卷积 2．热传导方程柯西问题基本解
定解问题：20,(,0)()t xx t u a u x R t u x δ==∈>???=??的解，称为2
,(,0)
()t xx t u a u x R t u x ?==∈>???=??定解问题的基本解。
2
2x -
定解为基本解与初始函数()x ?的卷积 3．热传导方程混合问题基本解
定解问题2
00()()(0,)(,)0(,0)0xx u a u x x t t t u t u l t u x δδ??=+--???==??=?
?
的解称为20(,),(0,0)(0,)0,(,)00
t xx t u a u f x t x l t u t u l t u =?=+<<>?
==??=?定解问题的基本解
22202
()
0001
2(,;,)sin
sin n a t t L n n x n x
U x t x t e
l l l
πππ∞-
-==∑ 定解与基本解的关系为00000000
(,)(,;,)(,)t
L
u x t U x t x t f x t dx dt =??
4．波动方程柯西问题基本解
定解问题22
002()(),(,0)
(,0)0,(,0)0
xx t u a u x x t t x t t u x u x δδ??=+---∞<<+∞>????==?的解
称为22
2(,),(,,,0)(,0)0,(,0)0
xx t u a u f x t x y z t t u x u x ??=+-∞<<+∞>????==?
定解问题的基本解
基本解为：0000
121(,;,)sin ()sin sin n n a n a n x
U x t x t t t x a n l l l
ππππ+∞==-∑ 定解与基本解的关系为：00000000
(,)(,;,)(,)t L
u x t U x t x t f x t dx dt =??
贝塞尔函数
222()()()()0()0,(0)P P n P P R P ρρρρλρρ'''?++-=??
=<+∞
?? 》 222
()()()()0r F r rF r r n F r '''++-=
&()r F r P == 》 2
222
2()0d y dy x x x n y dx dx ++-= 2120
()(1),(0)2!(1)n m
m
n m m x y x n m n m +∞
+==-≥Γ++∑
220
()(1)2!(1)n m
m
n n m
m x J x m n m +∞
+==-Γ++∑ 正、负n 阶第一类贝塞尔函数 ()10
(r)=0r x x e dx r ∞
--Γ>?
201
()2y e dy ∞-Γ==?()()1n n n Γ+=Γ
()1!n n Γ+=
()cos ()
()sin n n
J x J x Y x Lim
ααααπαπ
-→-= 第二类Bessel 函数
Bessel 函数的母函数
1()2(,)()x z n
z
n
n G x z e
J
x z ∞
-=-∞
==
∑ 当x 为实数时可得
cos 01
()2()cos ix n n n e
J x i J x n θ
θ∞
==+∑
021
cos(cos )()2(1)()cos 2m m m x J x J x m θθ∞
==+-∑
Bessel 函数的积分表达式 1
()21.1()2x n n C e
J x d i ζζ
ζπζ
-+=
? 当n 为整数时：
..1
()cos(sin ),(0,1,2,)2n J x x n d n π
πθθθπ
-
=
-=±±?
贝塞尔函数的递推公式
11()()n
n n n x J x x J x -'??=??、 12()()n n n n x J x x J x --+'??=-??
、 112
3()()()n n n J x J x nJ x x
-++=
、 114()()2()n n n
J x J x J x -+'-=、
n 阶整数阶贝塞尔函数有：()(1)()cos ()n n n n J x J x n J x π-=-=
12
()J x x =
12
()c o s J x x
-= 贝塞尔函数的正交性
贝塞尔函数系 ()
1
n m n J r R
μ+∞
?????
???
???????
()()22()22()
110,()
11()(),()22
n n R
m k n n n n n m n m m k rJ r J r dr R R
R J R J m k μμμμ-+≠??????
?=? ? ?==???????
定义：定积分：
2
()
n R
m n rJ r dr R
μ??
???
?
称为贝塞尔函数()
n m n J r R μ??
???
的模。 2、贝塞尔级数展开定理
定理：设(),()f r f r '在区间[0,R]上至多有有限个跳跃间断点，则f(x)在(0,R)连续点处的贝塞尔级数收敛与该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的平均值
()1()n m
m n m f r A J r R
μ+∞
=??=
???∑ 其中 ()
()2
2()11
()2
n R
m
m n n n m A rf r J r dr R R J μμ+??=
???
?
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 勒让德方程
考虑球域内拉氏方程定解问题()2222221
0,1(,,)xx yy zz x y z u u u x y z u f x y z ++=?++=++
?=??
在球坐标系下22222221
111sin 0sin sin (,),(01,0,02)r u u u
r r r r r r u f r θθθθθ?θ?θπ?π=??????????++
=? ? ????????????=≤<≤≤≤≤?
勒让德方程 222
2cot (1)0sin d d m n n d d θθθθ??
ΘΘ+++-Θ=????
令cos x θ=，()y θΘ= 取m=0时得 22
2(1)2(1)0d y dy
x x
n n y dx dx
--++= 勒让德多项式 当n 为正偶数时2
210
(22)!
(1)2!()!(2)!n m n m n
m n m y x m n m n m -=-=
---∑ 当n 为正奇数时1
2
220
(22)!(1)2!()!(2)!
n m
n m
n
m n m y x m n m n m --=-=
---∑ M
0()1P x = 1()P x x =
221
()(31)2P x x =
- 331
()(53)2
P x x x =-
4241
()(35303)8P x x x =-+
5351
()(637015)8
P x x x x =-+
(1)1n P = (1)(1)n n P -=-
勒让德多项式的罗得利克公式 21()(1)2!n n
n n n
d P x x n dx
=- 勒让德多项式的积分表达式 21
!(1)()22()n
n n n C n P z d i z ξξπξ+-=
-? 勒让德多项式的母函数
(,)(),1,1n n n G x z P x z z x +∞
==
=<≤∑
勒让德多项式的递推公式(重点) （n=1,2,3….. ）
111,(21)()()(1)()n n n n xP x nP x n P x -++-=+ 12,()()()n n n P x xP x nP x -''=- 113,()()()n n n P x xP x nP x --''=+ (1)1n P = (1)(1)
n n P -=- n ()()(1)()n ()n n n n n P x P x P x P x ?-=-?
?为奇数奇函数为偶数
偶函数
勒让德多项式正交性定理
()1
10,,,0,1,2...()()2,(,0,1,2....)21
m n
m n m n P x P x dx m n n n -≠=??
=?==?
+?? 勒让德多项式展开定理：若 ()[1,1]f x C '∈-且：f ‘’(x)在[-1,1]上分段连续，则在[-1,1]上可以展开为绝对且一致收敛的级数：
()()n n n f x C P x +∞
==∑ 其中 1
121()()2
n n n C f x P x dx -+=
?
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 牛顿二项式展开式
2(1)
(1)(1)
(1)1n n x x x x ααααααα---++=++
++
+
泰勒级数
211
1(,)2!!
x n e x x x x n =++
+++∈-∞+∞ 213511sin (1)(,)3!5!(21)!
n n
x x x x x x n +∴=-+-+-+∈-∞+∞+
22411cos 1(1)2!4!(2)!
n n x x x x n ∴=-+-+-+ 231
1(1)(1,1)1n n x x x x x =-+-++-+-+ 231
11x x x x
=++++-
231113(23)!!1(1)[1,1]224246(2)!!
n n n x x x x n ?-=+
-+++-+-??? 23113135(21)!!1(1)[1,1]
224246(2)!!n n
n x x x x n ???-=-+-++-+-???
246
131351224246x x x ???=++++??? 23111ln(1)(1)
23n
n x x x x x n -+=-+-+-+ 21
352011arctan (1)13521
n x
n dx x x x x x x n +==-+-+-+++? 111
1(1), 1.43521
n x n π
=-+-+-+=+ 357
111131135arcsin 325247246
x
x x x x x ???==+
+++????
231011ln(1)(1)123n
x
n dx x x x x x x n
-+==-+-+-++?
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高中物理公式、知识点、规律汇编表 一、力学公式 1、 胡克定律： F = kx (x 为伸长量或压缩量,K 为倔强系数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关) 2、 重力： G = mg (g 随高度、纬度、地质结构而变化) 3 、求F 1、F 2两个共点力的合力的公式： Ｆ＝θCOS F F F F 2122212++ 合力的方向与F 1成α角： tg α=F F F 212sin cos θθ+ 注意：(1) 力的合成和分解都均遵从平行四边行法则。 (2) 两个力的合力范围： ? F 1－F 2 ? ≤ F ≤ F 1 +F 2 (3) 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 4、两个平衡条件： （1） 共点力作用下物体的平衡条件：静止或匀速直线运动的物体，所受合外力 为零。 ∑F=0 或∑F x =0 ∑F y =0 推论：[1]非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。 [2]几个共点力作用于物体而平衡，其中任意几个力的合力与剩余几个力 （一个力）的合力一定等值反向 ( 2 ) 有固定转动轴物体的平衡条件： 力矩代数和为零． 力矩：M=FL (L 为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离） 5、摩擦力的公式： (1 ) 滑动摩擦力： f= μN 说明 ： a 、N 为接触面间的弹力，可以大于G ；也可以等于G;也可以小于G b 、 μ为滑动摩擦系数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面 积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N 无关. (2 ) 静摩擦力： 由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解,与正压力无关. 大小范围： O ≤ f 静≤ f m (f m 为最大静摩擦力，与正压力有关) 说明： a 、摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反，还可以与运动方向成一 定 夹角。 b 、摩擦力可以作正功，也可以作负功，还可以不作功。 c 、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。 d 、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。 6、 浮力： F= ρVg (注意单位) 7、 万有引力： F=G m m r 12 2 (1)． 适用条件 (2) ．G 为万有引力恒量 (3) ．在天体上的应用：（M 一天体质量 R 一天体半径 g 一天体表面重力 加速度） a 、万有引力=向心力 1
高中物理公式大全一览表
高中物理公式大全一览表 高中物理有很多公式，经过高中三年的学习相信大家都有很多物理知识点需要总结，为了方便大家学习物理，小编为大家整理了高中物理公式，希望对大家有帮助。 一、质点的运动(1)------直线运动 1)匀变速直线运动 1.平均速度V平=s/t(定义式) 2.有用推论Vt2-Vo2=2as 3.中间时刻速度Vt/2=V平=(Vt+Vo)/2 4.末速度Vt=Vo+at 5.中间位置速度Vs/2=[(Vo2+Vt2)/2]1/2 6.位移s=V平t=Vot+at2/2=Vt/2t 7.加速度a=(Vt-Vo)/t {以Vo为正方向，a与Vo同向(加速)a0;反向则a0｝ 8.实验用推论s=aT2 {s为连续相邻相等时间(T)内位移之差｝ 9.主要物理量及单位:初速度(Vo):m/s;加速度(a):m/s2;末速度(Vt):m/s;时间(t)秒(s);位移(s):米(m);路程:米;速度单位换算:1m/s=3.6km/h。 注：(1)平均速度是矢量; (2)物体速度大,加速度不一定大; (3)a=(Vt-Vo)/t只是量度式,不是决定式; (4)其它相关内容:质点.位移和路程.参考系.时间与时刻;速度与速率.瞬时速度。 2)自由落体运动
1.初速度Vo=0 2.末速度Vt=gt 3.下落高度h=gt2/2(从Vo位置向下计算) 4.推论Vt2=2gh 注:(1)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，遵循匀变速直线运动规律; (2)a=g=9.8m/s210m/s2(重力加速度在赤道附近较小,在高山处比平地小，方向竖直向下)。 (3)竖直上抛运动 1.位移s=Vot-gt2/2 2.末速度Vt=Vo-gt (g=9.8m/s210m/s2) 3.有用推论Vt2-Vo2=-2gs 4.上升最大高度Hm=Vo2/2g(抛出点算起) 5.往返时间t=2Vo/g (从抛出落回原位置的时间) 注:(1)全过程处理:是匀减速直线运动，以向上为正方向，加速度取负值; (2)分段处理：向上为匀减速直线运动，向下为自由落体运动，具有对称性; (3)上升与下落过程具有对称性,如在同点速度等值反向等。 二、质点的运动(2)----曲线运动、万有引力 1)平抛运动 1.水平方向速度：Vx=Vo 2.竖直方向速度：Vy=gt 3.水平方向位移：x=Vot 4.竖直方向位移：y=gt2/2 5.运动时间t=(2y/g)1/2(通常又表示为(2h/g)1/2) 6.合速度Vt=(Vx2+Vy2)1/2=[Vo2+(gt)2]1/2
数学物理方程小结85856
数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题 数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。 §7.1数学物理方程的导出 一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。 （一） 三类典型的数学物理方程 （1）波动方程： 0 :),(:),(:22222222==??-??=?-??→f 当无外力时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.） （2）输运方程： 0 :).(:),(:2222==??-??=?-??→f 无外源时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。
（3）Laplace 方程： . 0(:0 :).程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==?=?→ 稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。 §7.2定解条件 定解条件包含初始条件与边界条件。 （1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数 的次数。例如波动方程应有二个初始条件, 一般 选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。而输 运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）, 而Laplace 方程没有初始条件。 （2） 三类边界条件 第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1） 第二类边界条件： u n |Σ = f （2） 第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3） 其中H 为常数. 7.3 二阶线性偏微分方程分类 判别式 , ,0,,0,,0221121222112122211212抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=?<-=?>-=? 波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.
初中物理所有公式总结
1. 电功(W)：电流所做的功叫电功， 2. 电功的单位：国际单位：焦耳。常用单位有：度(千瓦时)，1度=1千瓦时= 3.6×106焦耳。 3. 测量电功的工具：电能表(电度表) 4. 电功计算公式：W=UIt(式中单位W→焦(J);U→伏(V);I→安 (A);t→秒)。 5. 利用W=UIt计算电功时注意：①式中的W.U.I和t是在同一段电路;②计算时单位要统一;③已知任意的三个量都可以求出第四个量。 6. 计算电功还可用以下公式：W=I2Rt ;W=Pt;W=UQ(Q是电量); 7. 电功率(P)：电流在单位时间内做的功。单位有：瓦特(国际);常用单位有：千瓦 8. 计算电功率公式： (式中单位P→瓦(w);W→焦;t→秒;U→伏(V); I→安(A) 9. 利用计算时单位要统一，①如果W用焦、t用秒，则P的单位是瓦;②如果W用千瓦时、t用小时，则P的单位是千瓦。 10.计算电功率还可用右公式：P=I2R和P=U2/R 11.额定电压(U0)：用电器正常工作的电压。 12.额定功率(P0)：用电器在额定电压下的功率。 13.实际电压(U)：实际加在用电器两端的电压。 14.实际功率(P)：用电器在实际电压下的功率。 当U > U0时，则P > P0 ;灯很亮，易烧坏。当U < U0时，则P < P0 ;灯很暗，当U = U0时，则P = P0 ;正常发光。 (同一个电阻或灯炮，接在不同的电压下使用，则有 ;如：当实际电压是额定电压的一半时，则实际功率就是额定功率的1/4。例220V100W是表示额定电压是220伏，额定功率是100瓦的灯泡如果接在110伏的电路中，则实际功率是25瓦。) 15.焦耳定律：电流通过导体产生的热量跟电流的二次方成正比，跟导体的电阻成正比，跟通电时间成正比。 16.焦耳定律公式：Q=I2Rt ，(式中单位Q→焦; I→安(A);R→欧
高一物理知识点归纳大全
高一物理知识点归纳大全 从初中进入高中以后，就会慢慢觉得物理公式比以前更难学习了，其实学透物理公式并不是难的事情，以下是我整理的物理公式内容，希望可以给大家提供作为参考借鉴。 基本符号 Δ代表'变化的 t代表'时间等,依情况定,你应该知道' T代表'时间' a代表'加速度' v。代表'初速度' v代表'末速度' x代表'位移' k代表'进度系数' 注意,写在字母前面的数字代表几倍的量,写在字母后面的数字代表几次方. 运动学公式 v=v。+at无需x时 v2=2ax+v。2无需t时 x=v。+0.5at2无需v时 x=((v。+v)/2)t无需a时 x=vt-0.5at2无需v。时 一段时间的中间时刻速度(匀加速)=(v。+v)/2
一段时间的中间位移速度(匀加速)=根号下((v。2+v2)/2) 重力加速度的相关公式,只要把v。当成0就可以了.g一般取10 相互作用力公式 F=kx 两个弹簧串联，进度系数为两个弹簧进度系数的倒数相加的倒数 两个弹簧并联,进度系数连个弹簧进度系数的和 运动学： 匀变速直线运动 ①v=v(初速度)+at ②x=v(初速度)t+?at平方=v+v(初速度)/2×t ③v的平方-v(初速度)的平方=2ax ④x(末位置)-x(初位置)=a×t的平方 自由落体运动(初速度为0)套前面的公式，初速度为0 重力：G=mg(重力加速度)弹力：F=kx摩擦力：F=μF(正压力)引申：物体的滑动摩擦力小于等于物体的最大静摩擦 匀变速直线运动 1.平均速度V平=s/t(定义式) 2.有用推论Vt2-Vo2=2as 3.中间时刻速度Vt/2=V平=(Vt+Vo)/2 4.末速度Vt=Vo+at 5.中间位置速度Vs/2=[(Vo2+Vt2)/2]1/2 6.位移s=V平t=Vot+at2/2=Vt/2t 7.加速度a=(Vt-Vo)/t{以Vo为正方向，a与Vo同向(加速)a>0;反向则a<0｝ 8.实验用推论Δs=aT2{Δs为连续相邻相等时间(T)内位移之差｝ 9.主要物理量及单位:初速度(Vo):m/s;加速度(a):m/s2;末速度(Vt):m/s;
数学物理方法学习心得
竭诚为您提供优质文档/双击可除数学物理方法学习心得 篇一：数学物理方程的感想 数学物理方程的感想 通过对数学物理方程一学期的学习，我深深的感受到数学的伟大与博大精深。 当应用数学发展到一定高度时，就会变得越来越难懂，越来越抽象，没有多少实际的例子来说明；物理正好也要利用数学来进行解释和公式推导，所以就出现了数学物理方法。刚开始到结束这门课程都成了我的一大问题。很难理解它的真正意义（含义），做题不致从何入手，学起来越来越费劲。让我很是绞尽脑汁。 后来由于老师耐心的指导与帮助下我开始有了点理解。用数学物理方法来解释一些物理现象，列出微分方程，当然这些微分方程是以物理的理论列出来的，如果不借助于物理方法，数学也没有什么好办法来用于教学和实践，而物理的理论也借助于数学方法来列出方程，解出未知的参数。这就是数学物理方法的根本实质所在。真正要学好数学物理方程
不仅要数学好物理也不能够太差。 接下来我想先对数学物理方程做一个简单的介绍与解 释说明。数学物理方程——描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式 特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的 数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。例如，18世纪初期及对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及和对流体力学、对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。 然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发 展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势：
数学物理方程小结
数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题 数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。 §7.1数学物理方程的导出 一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。 （一） 三类典型的数学物理方程 （1）波动方程： 0 :) ,(:) ,(:22 2222 22==??-??=?-??→f 当无外力时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.） （2）输运方程： 0 :).(:) ,(:2 2 2 2 ==??-??=?-??→f 无外源时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。
（3）Laplace 方程： . 0(:0 :) .程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==?=?→ 稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。 §7.2定解条件 定解条件包含初始条件与边界条件。 （1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。 例如波动方程应有二个初始条件, 一般选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）,而Laplace 方程没有初始条件。 （2） 三类边界条件 第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1） 第二类边界条件： u n |Σ = f （2） 第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3） 其中H 为常数. 7.3 二阶线性偏微分方程分类 判别式 , ,0,,0, ,022112 1222112 12 22112 12抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=?<-=?>-=? 波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.
初中物理公式总结大全(最新归纳)
初中物理公式汇总 速度公式： t s v = 公式变形：求路程——vt s = 求时间——t=s/v 重力与质量的关系： G = mg 密度公式： V m = ρ 浮力公式： F 浮= G 物 – F 示 F 浮= G 排=m 排g F 浮=ρ液gV 排 F 浮= G 物 压强公式：P=F/S （固体） 液体压强公式： p =ρgh 物理量 单位 p ——压强 Pa 或 N/m 2 ρ——液体密度 kg/m 3 h ——深度 m g=9.8N/kg ，粗略计算时取g=10N/kg 面积单位换算： 1 cm 2 =10--4m 2 1 mm 2 =10--6m 2 注意：S 是受力面积，指有受到压力作用的那部分面积 注意：深度是指液体内部某一点到自由液面的竖直距离； 单位换算：1kg=103 g 1g/cm 3=1×103kg/m 3 1m 3=106cm 3 1L=1dm 3=10-3m 3 物理量 单位 p ——压强 Pa 或 N/m 2 F ——压力 N S ——受力面积 m 2 物理量 单位 F 浮——浮力 N G 物——物体的重力 N 提示：[当物体处于漂浮或悬浮时] 物理量 单位 v ——速度 m/s km/h s ——路程 m km t ——时间 s h 单位换算： 1 m=10dm=102cm=103mm 1h=60min=3600 s ； 1min=60s 物理量 单位 G ——重力 N m ——质量 kg g ——重力与质量的比值 g=9.8N/kg ；粗略计算时取 物理量 单位 ρ——密度 kg/m 3 g/cm 3 m ——质量 kg g V ——体积 m 3 cm 3 物理量 单位 F 浮——浮力 N ρ ——密度 kg/m 3 V 排——物体排开的液体的体积 m 3 g=9.8N/kg ，粗略计算时取g=10N/kg G 排——物体排开的液体 受到的重力 N m 排——物体排开的液体 的质量 kg
高中物理公式大全整理版)
高中物理公式大全 一、力学 1、胡克定律：f = k x (x 为伸长量或压缩量，k 为劲度系数，只与弹簧的长度、粗细和材料有关) 2、重力： G = mg (g 随高度、纬度、地质结构而变化，赤极g g >，高伟低纬g >g ) 3、求F 1、F 2的合力的公式： θcos 2212221F F F F F ++= 合，两个分力垂直时： 2 221F F F +=合 注意：(1) 力的合成和分解都均遵从平行四边行定则。分解时喜欢正交分解。 (2) 两个力的合力范围：? F 1－F 2 ? ≤ F ≤ F 1 +F 2 (3) 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 4、物体平衡条件： F 合=0 或 F x 合=0 F y 合=0 推论：三个共点力作用于物体而平衡，任意一个力与剩余二个力的合力一定等值反向。 解三个共点力平衡的方法： 合成法,分解法，正交分解法，三角形法，相似三角形法 5、摩擦力的公式： (1 ) 滑动摩擦力： f = μN （动的时候用，或时最大的静摩擦力） 说明：①N 为接触面间的弹力（压力），可以大于G ；也可以等于G ；也可以小于G 。 ②μ为动摩擦因数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N 无关。 (2 ) 静摩擦力： 由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解，与正压力无关。 大小范围： 0≤ f 静≤ f m (f m 为最大静摩擦力) 说明：①摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反。 ②摩擦力可以作正功，也可以作负功，还可以不作功。 ③摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。 ④静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。 6、万有引力： （1）公式：F=G 2 2 1r m m （适用条件：只适用于质点间的相互作用） G 为万有引力恒量：G = 6.67×10-11 N ·m 2 / kg 2 （2）在天文上的应用：（M ：天体质量；R ：天体半径；g ：天体表面重力加速度；r 表示卫星或行星的轨道半径，h 表示离地面或天体表面的高度）） a 、万有引力=向心力 F 万=F 向 即 '4222 22mg ma r T m r m r v m r Mm G =====πω 由此可得： ①天体的质量： ，注意是被围绕天体（处于圆心处）的质量。 2 3 24GT r M π=r GM v =
高中物理公式大全总结
高中物理公式、规律汇编表 一、力学公式 1、 胡克定律： F = kx (x 为伸长量或压缩量,K 为倔强系数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关) 2、 重力： G = mg (g 随高度、纬度、地质结构而变化) 3 、求F 、 的合力的公式： Ｆ＝θCOS F F F F 2122212++ 合力的方向与F 1成α角： tg α= 注意：(1) 力的合成和分解都均遵从平行四边行法则。 (2) 两个力的合力范围： ? F 1－F 2 ? ≤ F ≤ F 1 +F 2 (3) 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 4、两个平衡条件： （1） 共点力作用下物体的平衡条件：静止或匀速直线运动的物体，所受合外力 为零。 ∑F=0 或∑F x =0 ∑F y =0 推论：[1]非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。 [2]几个共点力作用于物体而平衡，其中任意几个力的合力与剩余几个力 （一个力）的合力一定等值反向 ( 2 ) 有固定转动轴物体的平衡条件： 力矩代数和为零． 力矩：M=FL (L 为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离） 5、摩擦力的公式： (1 ) 滑动摩擦力： f= μN 说明 ： a 、N 为接触面间的弹力，可以大于G ；也可以等于G;也可以小于G b 、 μ为滑动摩擦系数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面 积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N 无关. (2 ) 静摩擦力： 由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解,与正压力无关. 大小范围： O ≤ f 静≤ f m (f m 为最大静摩擦力，与正压力有关) 说明： a 、摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反，还可以与运动方向成一 定 夹角。 b 、摩擦力可以作正功，也可以作负功，还可以不作功。 c 、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。 d 、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。 6、 浮力： F= ρVg (注意单位) α F 2 F F 1 θ
数学物理方程总结
数学物理方程总结 Revised by Jack on December 14,2020
浙江理工大学数学系 第一章：偏微分方程的基本概念 偏微分方程的一般形式：221 1 (,,, ,,,)0n u u u F x u x x x ???=??? 其中12(,,...,)n x x x x =是自变量，12()(,,...,)n u x u x x x =是未知函数 偏微分方程的分类：线性PDE 和非线性PDE ，其中非线性PDE 又分为半线性PDE ，拟线性PDE 和完全非线性PDE 。 二阶线性PDE 的分类（两个自变量情形）： 2221112222220u u u u u a a a a b cu x x y y x y ?????+++++=?????? （一般形式 记为 PDE （1）） 目的：可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部，从而据此分类 (,) (,)x y x y ξξηη=?? =? 非奇异 0x y x y ξξηη≠ 根据复合求导公式最终可得到： 22211122222 20u u u u u A A A A B Cu ξξηηξη ?????+++++=??????其中： 考虑22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=????如果能找到两个相互独立的解 那么就做变换(,) (,)x y x y ξφηψ=??=? 从而有11220A A == 在这里要用到下面两个引理： 引理1：假设(,)z x y φ=是方程22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=???? (1)的特解，则关系式(,)x y C φ=是常微分方程：22111222()2()0a dy a dxdy a dx -+= （2）的一般积分。 主
高中物理公式大全(W汇总)
2F 高中物理公式大全 一、力学 1、胡克定律：kx F = (x 为伸长量或压缩量；k 为劲度系数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关。) 2、重力：mg G = (g 随高度、纬度而变化) 3、求 、 两个共点力的合力： (1) 力的合成和分解都遵从平行四边行定则。 (2) 两个力的合力范围： ? F 1－F 2 ? ≤ F ≤ F 1 +F 2 (3) 合力可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 4、物体平衡条件：静止或匀速直线运动的物体，所受合外力为零。 或 5、摩擦力的公式： (1) 滑动摩擦力： 说明：a 、N 为接触面间的弹力，可以大于G ；也可以等于G;也可以小于G b 、μ为滑动摩擦系数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N 无关. (2) 静摩擦力： 由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解,与正压力无关. 大小范围： O ≤ f 静≤ f m (f m 为最大静摩擦力，与正压力有关) 说明：a 、摩擦力方向可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反，还可以与运动方向成一定 夹角。 b 、摩擦力可以作正功，也可以作负功，还可以不作功。 c 、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。 d 、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。 ☆6、 牛顿第二定律： ma F =合 或者 x ma F =合x y y ma F =合 理解：（1）矢量性 （2）瞬时性 （3）独立性 （4） 同一性 ☆7、匀变速直线运动： N F f μ= 0=合F 0=合x F 0 =合y F 1F
数学物理方程总结材料
理工大学数学系 第一章：偏微分方程的基本概念 偏微分方程的一般形式：2211 (,,,,,,)0n u u u F x u x x x ???=???L L 其中12(,,...,)n x x x x =是自变量，12()(,,...,)n u x u x x x =是未知函数 偏微分方程的分类：线性PDE 和非线性PDE ，其中非线性PDE 又分为半线性PDE ，拟线 性PDE 和完全非线性PDE 。 二阶线性PDE 的分类（两个自变量情形）： 2221112222220u u u u u a a a a b cu x x y y x y ?????+++++=?????? （一般形式 记为 PDE （1）） 目的：可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部，从而据此分类 (,) (,)x y x y ξξηη=?? =? 非奇异 0x y x y ξξηη≠ 根据复合求导公式最终可得到： 22211122222 20u u u u u A A A A B Cu ξξηηξη ?????+++++=??????其中： 22111112221211 122222221112 22()2()()()2()A a a a x x y y A a a a x x x y x y y y A a a a x x y y ξξξξξηξηηξξη ηηηη ?????=++???????????????=+++?????????? ?????=++?????? 考虑22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=????如果能找到两个相互独立的解 (,)z x y φ= (,)z x y ψ= 那么就做变换(,) (,)x y x y ξφηψ=?? =? 从而有11220A A == 在这里要用到下面两个引理： 引理1：假设(,)z x y φ=是方程22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=???? (1)的特解，则关主部
初中物理知识点总结(大全)
初中物理知识点总结（大全） 第一章声现象知识归纳 1 . 声音的发生：由物体的振动而产生。振动停止，发声也停止。 2．声音的传播：声音靠介质传播。真空不能传声。通常我们听到的声音是靠空气传来的。 3．声速：在空气中传播速度是：340米/秒。声音在固体传播比液体快，而在液体传播又比空气体快。 4．利用回声可测距离：S=1/2vt 5．乐音的三个特征：音调、响度、音色。(1)音调:是指声音的高低，它与发声体的频率有关系。(2)响度:是指声音的大小，跟发声体的振幅、声源与听者的距离有关系。 6．减弱噪声的途径：(1)在声源处减弱；(2)在传播过程中减弱；(3)在人耳处减弱。 7．可听声：频率在20Hz～20000Hz之间的声波：超声波：频率高于20000Hz的声波；次声波：频率低于20Hz 的声波。 8．超声波特点：方向性好、穿透能力强、声能较集中。具体应用有：声呐、B超、超声波速度测定器、超声波清洗器、超声波焊接器等。 9．次声波的特点：可以传播很远，很容易绕过障碍物，而且无孔不入。一定强度的次声波对人体会造成危害，甚至毁坏机械建筑等。它主要产生于自然界中的火山爆发、海啸地震等，另外人类制造的火箭发射、飞机飞行、火车汽车的奔驰、核爆炸等也能产生次声波。 第二章物态变化知识归纳 1. 温度：是指物体的冷热程度。测量的工具是温度计, 温度计是根据液体的热胀冷缩的原理制成的。 2. 摄氏温度(℃):单位是摄氏度。1摄氏度的规定：把冰水混合物温度规定为0度，把一标准大气压下沸水的温度规定为100度，在0度和100度之间分成100等分，每一等分为1℃。
３．常见的温度计有(1)实验室用温度计；(2)体温计； (3)寒暑表。 体温计：测量范围是35℃至42℃，每一小格是0.1℃。 4. 温度计使用：(1)使用前应观察它的量程和最小刻度值；(2)使用时温度计玻璃泡要全部浸入被测液体中，不要碰到容器底或容器壁；(3)待温度计示数稳定后再读数；(4)读数时玻璃泡要继续留在被测液体中，视线与温度计中液柱的上表面相平。 5. 固体、液体、气体是物质存在的三种状态。 6. 熔化：物质从固态变成液态的过程叫熔化。要吸热。 7. 凝固：物质从液态变成固态的过程叫凝固。要放热. 8. 熔点和凝固点：晶体熔化时保持不变的温度叫熔点；。晶体凝固时保持不变的温度叫凝固点。晶体的熔点和凝固点相同。 9. 晶体和非晶体的重要区别：晶体都有一定的熔化温度（即熔点），而非晶体没有熔点。 10. 熔化和凝固曲线图：
数学物理方程学习总结
数学物理方程学习总结 四年前匡老师作为我的高数老师走进我的大学生活，如今作为一名研究生，很荣幸又能跟着匡老师学习数学。我本科主修土木工程专业，现在学的是岩石力学专业，主要是跟着导师从事一些关于应力波的研究，所以数学物理方程这门课成了我的必修课。 数学物理方程研究的主要对象是从物理学中提出来的一些偏微分方程。这些方程中的自变量和函数有着鲜明的物理意义，有些问题的解可以通过实验给出，这给偏微分方程的研究指明了方向，同时由于物理学上的需求，就诞生了专门研究有物理意义的偏微分方程的解法。 本学期数学物理方程起初学习了拉普拉斯和傅立叶变换概念、性质以及卷积定理，了解其在微分方程求解中的应用，并着重介绍了Γ函数和β函数的性质以及其两者的关系。然后介绍了三大经典方程的建立和定解条件（泊松方程与拉普拉斯方程都是描述恒稳场状态，与初始状态无关，所以不提初始条件）的提出和表示。第四章和第五章分别详细的讲了分离变量法、行波法和积分变换法在求解经典方程中的应用，主要针对求解热传导方程和波动方程。三种方法有时候可以通用但有时候还是有区别，分离变量法主要用来求解有限区域内定解问题；行波法是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法；积分变换法主要是求解一个无界域上不受方程类型限制的方法。第六章主要讲述用格林函数法求解拉普拉斯方程，伊始提出两种拉普拉斯方程的边值问题（狄氏内问题、狄氏外问题、牛曼内问题、牛曼外问题），然后介绍几种格林函数的取得，最后简介求解狄氏问题。最后三章分别介绍几个特殊类型的常微分方程（贝塞尔方程和勒让德方程）的引入和他们性质和求解。数学物理方程概括起来就是使用四种方法求解三种经典方程，介绍求解过程中产生的两种特殊函数的一门学科。 作为数理方程的学习者，本人觉得它确实是一门比较难的课程，真正的难点却并不是只有数理方程课程本身，而是对以前高等数学学过的知识的理解与记忆的加深。所以，我觉得想学好这门课程，不仅要把时间放在对相关内容的巩固、复习上，还得多做课本上的例题、习题。