【强烈推荐】高一数学必修3公式总结以及例题

高一数学必修3公式总结以及例题

§1 算法初步

◆秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只要作n次乘法和n次加法即可。表达式如下：

()

()

()

()

1

2

2

1

1

1

1

...

...a

x

a

x

x

a

x

a

x

a

a

x

a

x

a

n

n

n

n

n

n

n

+

+

+

+

+

=

+

+

+

-

-

-

-

例题：秦九韶算法计算多项式,

1

8

7

6

5

4

32

3

4

5

6+

+

+

+

+

+x

x

x

x

x

x,

0.4

x时

当=

?

运算

需要做几次加法和乘法答案： 6 ，6

()

()

()

()

()1

8

7

6

5

4

3x

:+

+

+

+

+

+x

x

x

x

x

即

理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意义具有广泛的含义，如：广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使用的算法…(algorithm)

1. 描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码）.

2. 算法的特征：

①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去

②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是

一个或多个。没有输出的算法是无意义的。

③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定

时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度

3. 算法含有两大要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等②控制结

构:顺序结构，选择结构，循环结构

?流程图：（flow chart）: 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。

注意：1. 画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯

2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇到判断

框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。

3. 在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起

终结到结束框。

直到型循环 当型循环

Ⅰ.顺序结构（sequence structure ）：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制

转移和重复执行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。

Ⅱ.选择结构（selection structure ）：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主要是注

意临界条件的确定。它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的A,B 两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行

某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。

Ⅲ.循环结构（cycle structure ）：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until ）

和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循

环次数时）用当型循环。

基本算法语句：本书中指的是伪代码（pseudo code ），且是使用 BASIC

语言

编写的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可以用y x = ，也可以

用 y x ← ; 表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“?”

Ⅰ. 赋值语句（assignment statement ）：用 ← 表示， 如：y x ← ，表示将y 的值赋给x ，

其中x 是一个变量，y 是一个与x 同类型的变量或者表达式.

一般格式：“表达式变量←” ，有时在伪代码的书写时也可以用 “y x =”，但

此时的 “ = ”不是数学运算中的等号，而应理解为一个赋值号。 注： 1. 赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。“ = ”具有计算功能。如： 3 = a ,b + 6 = a ,都是错误的，而a = 3*5 – 1 , a = 2a + 3 都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。 如：a = b = c = 2 , a , b ,

c =2 都是错误的，而 a = 3 是正确的.

例题：将x 和y 的值交换

p

y y x x

p ←←← , 同样的如果交换三个变量x,y,z 的值 : p

z z y y x x

p ←←←←

Ⅱ. 输入语句（input statement ）: Read a ,b 表示输入的数一次送给 a ,b

输出语句（out statement ） ：Print x ,y 表示一次输出 运算结果x ,y 注：1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！2. Read 语句输入的只能是变量而不是表达式 3. Print 语句不能起赋值语句，意旨不能在Print 语句中用 “ = ”4. Print 语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语句在一行书写时用 “ ； ”隔开. 例题：当x 等于5时，Print “x = ”; x 在屏幕上输出的结果是 x = 5 Ⅲ.条件语句（conditional statement ）：

1. 行If 语句: If A Then B 注：没有 End If

①End If ，当有If 语句嵌套使用时，

有几个If ，就必须要有几个End If ②. Else If 是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外Else If 后面也要有End If ③ 注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。④ 为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：

例题: 用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.

或者

注：1. 同样的你可以写出求三个数中最小的数。

2. 也可以类似的求出四个数中最小、大的数

Ⅳ.循环语句（ cycle statement ）： ◆ 当事先知道循环次数时用 For 循环 ，即使是 N 次也是已知次数的循环

当循环次数不确定时用While 循环 ? Do 循环有两种表达形式，与循环结构的两种循环相对应. While 循环是前测试型的，即满足什么条件才进入循环，其实质是当型循环，一般在解决有关问题时，可以写成While 循环，较为简单，因为它的条件相对好判断. 2. 凡是能

While 循环书写的循环都能用For 循环书写 While 循环和Do 循环可以相互转化 Do

循环的两种形式也可以相互转化，转化时条件要相应变化 5. 注意临界条件的判定.

例题： . 99...531 的一个算法设计计算????（见课本21P ）

S

int Pr End I S S 2 Step 99 To 3 From I 1

For For S ?←← S

int Pr hile End I S S 2

I I

97 I hile 1

1

W W I S ?←+←≤←← S

int Pr hile End 2I I I

S S

99 I hile 1

1W W I S +←?←≤←←

◆ ?

S int Pr ) 99 I ( 001 I 2

I I I S S o

11>≥+←?←←←或者Until Loop D I S S int Pr 99 I I

S S 2

I I o

11≥?←+←←←Until Loop D I S

? ?

S

int Pr 2I I I S S ) 100 I ( 99 I While o 1

1Loop D I S +←?←<≤←←或者 S

int Pr I S S 2

I I )

99 I ( 97 I While o 1

1Loop D I S ?←+←<≤←←或者

颜老师友情提醒：1. 一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。

2. 在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。

3. 书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！

Ex: 1. N

n

n N >+

++

+1 (3)

12

11 , , 使得一定存在自然数

对于任意给定的

2. .100

1...4131211的一个算法用循环语句写出求-

-+-

3. .,,100

1...31211写出伪代码并画出流程图

的一个算法

设计一个计算+

+++

答案：1 Whlie n

1S S 1n n N

S While 0n 0S N Re End ad +←+←≤←← 2. ()

S Print For 1-a a I

a S S 100

to 1 From I 1

0End For a S *=+

=== 3.S

1I I I 1

S S 100 I 1

I 0S : 3

321否则输出转则

如果算法S S S S +←+←≤←←

7. 市话话费计算方式为：自接通起。3分钟内（含3分钟）0.2元，超过3分钟的部分每分钟0.1

元（不足1分钟按1分钟计），输入一个证书作为通话时长，用条件语句描述通话话费。

8. 某电视机厂2002年全年生产电视机60万台，计划从2003年开始每年的产量比上一年增长15%，设计一个算法，计算从哪一年开始，该厂的电视机产量超过300万台，只写出伪代码. 9. （斐波那契数列） 假定一对大兔子没一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就有生育能力，问从一对小兔子开始，一年后能繁殖多少兔子？这就是著名的斐波那契数列问题，其规律是从第三个月开始，每个月的兔子数量都是前两个月的兔子数量的和。用循环语句描述这一算法。

10. 一个三位数的十位和个位上的数字交换，得到一个新的三位数，新旧两个三位时都能被4整

除，设计一个算法求满足条件的三位数的个数，并写出伪代码. 11.若y , x 是两个互质的数，则一定存在整数 v , u ，使得设计设 35y , 33 x , 1vy x ===+u ., v , 并用伪代码表示

条件的一个算法求出一组满足

u

答案：1. 15 2. 求m , n 的最大公约数 3. !

1...!

31!

211n e ++++= 4. n 的所有约数

5 . 计算1——100能被7整除的数的个数 6. a= 2 b= 3 c= 2 7. 解： 8. 解：

()()()()()Y

int Pr 1.03-X Int 0.2Y

Else 1.013-X Int 0.2Y Then 3-X 3-X Int If Else 0.2

Y Then 3X If X Re If End ad *+=*++=><=≤ ()I P r i n t

W h i l e 1

0.151S 300S 200260End I I S

While I S +←*+←≤←←

9.解：

P

Print or F End P T S T S P 12 to 1 From I 1

1←←+←←←T For T S 或者

S P r i n t

or F End C b b a S b a C 12

to 3 From I 2

11←←+←+←←←←C S For S b a

10.解：

(

)

()()()()()I

Print or F End If nd 1I I Then 4/Y 10Z 100X 4/Y 10Z 100X Int If 10Y

-100X -N 10/100Y 100

X 4 step 999 to 100 From N 0

E Z X N Int N

Int For I +←++=++←-←←←

11.解： ()()()()

v ,u int Pr 33/35v -1u 133/35v -1 33/35v -1Int 1

=+=><=While End v v While v

算法案例

这一节要求较低，但要掌握几个重要的算法，对于今后的进一步学习和提高数学的素养都有着重要的意义。（要求掌握的用矩形框框起来）

1．求最大公约数(greatest common factor) 辗转相除法----Euclid algorithm

辗转相除法-----VB程序

Private Sub Command1_Click()

Dim M As Long, N As Long, r As Long

M = V al(Text1.Text) '取数据M

N = V al(Text2.Text) '取数据N

If M <> Int(M) Or M < 1 Or N <> Int(N) Or N < 1 Then ' 检验数据合法性！

Text3.Text = "数据错误！"

Else

Do

r = M Mod N

M = N '求出最大公约数

N = r

Loop Until r = 0

Text3.Text = CStr(M)

End If

End Sub

Private Sub Command2_Click()

If Text1.Text <> "" Then Text1.Text = "" '清除文本框1

If Text2.Text <> "" Then Text2.Text = "" '清除文本框2

If Text3.Text <> "" Then Text3.Text = "" '清除文本框3

End Sub

Private Sub Command3_Click()

End

End Sub

★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★Private Sub Command1_Click()

a = InputBox("输入第一个自然数")

While a Mod b <> 0

r = a Mod b

a = b

b = r

Wend

MsgBox ("最大公约数为：" & b)

End Sub

Private Sub Command2_Click()

End

End Sub

2．孙子定理-----VB程序

Private Sub Command1_Click()

m = 2

While m Mod 3 <> 2 Or m Mod 5 <> 3 Or m Mod 7 <> 2

m = m + 1

Wend

MsgBox "不定方程的一个解为" & m

End Sub

Private Sub Command2_Click()

End

End Sub

Private Sub Command3_Click()

m = 2

Do While m < 10000

Do

m = m + 1

Loop Until m Mod 3 = 2 And m Mod 5 = 3

And m Mod 7 = 2

Print m

Loop

End Sub

孙子问题-----Excel宏程序

Sub 孙子问题()

m = 2

While m Mod 3 <> 2 Or m Mod 5 <> 3 Or m Mod 7 <> 2

m = m + 1

Wend

MsgBox "不定方程的一个解为" & m

End Sub

它的运算涉及到数轮的知识，如数轮倒数，同余式等，这在以后的高校中会有更深入地介绍。

意义为：2

7-

m

m2

5-

m3

3-

3. 二分法问题不作要求，有兴趣的同学可以自行阅读，它是一种很重的数学思想，

我们以后在高校里会再学习。（见课本

P）

29

说明：里面出现了跳转语句的表达方法：也就是在各语句的前面标上标号，在需要运行跳转时就可用“Go to X ”,其中X表示某行语句的标号。这种表达方式比较自由，在不知用何种语句才能实现想到达的地方时，就可以以Go to…直接跳转，方便易行，但在以后的编程终究要尽量少用这种跳转，因为特别是对于大型的程序设计，Go to语句用多了，就不易于检查，而且它破坏了语言结构的规范性，容易出错。由于我们高一阶段的要求比较低，所以也就不要有这种担心。，

一些常用的函数

1. Int(x) ：求小于等于x的最大整数

2. Fix(x) ：返回x的整数部分

3. Cint(x) ：将x的小数部分四舍五入取整

4. Exp(x) ：求e的x次方

5. Sqr(x) ：求x的平方根

6. Sgn(x) ：符号函数，即当x>0时，返回1；0；当x<0时，返回-1

7. RND(x) ：产生一个（0 ，1）之间的随机数，当x<0时，返回相同的随机数；当x>0时，

返回随机系列的下一个随机数；当x>0时，返回上一次生成的随机数

8. Int(Rand((上界-下界)+1))+1 产生上界——下界之间的随机数

颜老师说明：不要求大家都记忆，以后在计算机语言的学习中还会再学习

§2 统计

◆ 基本定义：

（1）总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体.

(2) 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体. (3) 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本. (4) 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量.

抽样方法：

（1）简单随机抽样（simple random sampling ）：设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单的随机抽样,简单随机抽样常用的方法有抽签法和随机数表法. （关于制签和随机数表的制作，请参照课本第41页）

(2)系统抽样(systematic sampling):将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每一部分抽取一个个体作为样本。先用随机的方法将总体进行编号，如果整除不能被n N 就从中用随机数表法剔除几个个体，使得能整除，然后分组，一般是样本容量是多少，就分几组，间隔n

N k =

，

然后从第一组中用简单实际抽样的方法抽取一个个体，假设编号为 l ，然后就可以将编号为

()k n l k l k l l 1...2,,-+++++ 的个体抽出作为样本，

实际就是从每一组抽取与第一组相同编号的个体。

(3)分层抽样（stratifed sampling ）：当已知总体是由有差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层.

样本容量越大，估计越精确！

颜老师友情提醒：1. 把每一种抽样的具体步骤看清楚，要求会写过程 2. 个体数N 的总体中抽取一个样本容量为n 的样本，那么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等，且等于

N

n .其实三种抽样的每一个个体都是等几率的被抽到的

3. 三种抽样都是不放回的抽样

4. 在具体问题中对于样本，总体，个体应该时代单位的,如考察一个班级的学生的视力状况，从中抽取20个同学，则个体应该是20名同学的视力，而不是20名同学，样本容量则为20，同样的总体也是全班级同学的视力

? 两种抽样方法的区别与联系：

例1、一个总体含有6个个体，从中抽取一个样本容量为2的样本，说明为什么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等.

解：设任意一个个体为α，那么个体α被抽到分两种情况：

（1）第一次被抽到：根据等可能事件概率得P 1=

6

1，

（2）第二次被抽到：即是个体α第一次没被抽到、第二次被抽到这两件事都发生. 个体α第一次没被抽到的概率是

6

5, 个体α第一次没被抽第二次被抽到的概率是51

.

根据相互独立事件同时发生的概率公式, 个体α第二次被抽到的概率是P 2=

65×

5

1=

6

1.(也

可这样分析：根据等可能事件的概率求得，一共取了两次，根据分步原理所有可能结果为6×5=30，个体α第一次没被抽到第二次被抽到这个随机事件所含的可能结果为5×1=5，所以个体α第二次被抽到的概率是P 2=

30

5=

6

1)

个体α在第一次被抽到与在第二次被抽到是互斥事件,根据互斥事件的概率加法公式,在先后抽取2个个体的过程中,个体α被抽到的概率P= P 1+ P 2=

6

1+

6

1=

3

1.

由个体α的任意性,说明在抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等(都等于3

1)

点评：注意区分“任一个个体α每次抽取时被抽到的概率”与“任一个个体α在整个抽样过程中个体α被抽到的概率”的区别,一般地,如果用简单随机抽样从个体数为N 的总体中抽取一个容量为n 的样本,那么“任一个个体α每次抽取时被抽到的概率”都相等且等于N

1,“任一个个体α在整个抽

样过程中被抽到的概率”为

N

n .

例2、（1）在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，从中抽取一个容量为20的一个样本，

求 ① 每个个体被抽到的概率，

② 若有简单随机抽样方法抽取时，其中个体α第15次被抽到的的概率，

③ 若用分层抽抽样样方法抽取时其中一级品中的每个个体被抽到的概率.

解：① 因为总体个数为120，样本容量为20，则每个个体被抽到的概率P 1=120

20=

6

1

② 因为总体个数为120，则体α第15次被抽到的的概率P 2=120

1

③ 用分层抽样方法：按比例120

20=

6

1分别在一级品、二级品、三级品中抽取24×

6

1=4个，

36×

6

1=6个，60×

6

1=10，所以一级品中的每个个体被抽到的概率为P 3=

24

4=

6

1.

注：其实用分层抽样方法抽取时二级品、三级品中每个体被抽到的概率也都为6

1.

点评：本题说明两种抽样方法都能保证在抽样过程中，每个个体被抽到的概率都相等.且为N

n .

例3、某地区有3000人参加今年的高考，现从中抽取一个样本对他们进行分析，每个考生被抽到的概率为

10

1，求这个样本容量.

解：设样本容量为n ，则

3000

n =

10

1，所以n=300.

点评：“在整个抽样过程中个体α被抽到的概率”为N

n 这一结论的逆用.

例4、下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?说明理由. (1) 从无限多个个体中抽取50个个体作样本.

(2) 盒子里共有100个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.

解：(1) 不是简单随机抽样.由于被抽取样本的总体个数是无限的.

(2) 不是简单随机抽样.由于不符合“逐个抽取”的原则,且抽出的结果可能是只有一个零件重复出现.

点评：简单随机抽样的特点：

(1) 它要求被抽取样本的总体个数是有限的. (2) 它是从总体中逐个地进行抽取. (3) 它是一种不放回抽样. 例5、 某校有学生1200人,为了调查午休对学习成绩的影响情况,计划抽取一个样本容量为60的样本,问此样本若采用简单随机抽样将如何进行?

解：可用两种方法： 方法一：（抽签法）

（1）编号： 将1200名学生进行随机编号为1，2， …，1200，（可按学生的学号或按学生的生日进行编号）.

（2）制签：做1200个大小、形状相同的号签，分别写上这1200个数，放在个容器里，并进行均匀搅拌.

（3）逐个抽取：连续抽取60个号签，号签对应的同学即为样本. 方法二：（随机数表法）

（1）编号： 将1200名学生进行编号分别为0000，0001，…， 1199， （2）选数：在课本附表1随机数表中任选一个数作为开始.(如从第11行第7列的数9开始) (3) 读数：从选定的数开始向右（或向上、向下、向左）读下去，选取介于范围的号码，直到满60个号码为止.

(4) 抽取：抽取与读出的号码相对应的学生进行分析.

点评：抽签法和随机数表法是常见的两种简单随机抽样方法，本问题显然用随机数表法更方便一些，因为总体个数较多.另外随机数表法编号时,位数要一样,首数确定后,可向左、向右、向上、向下各个确定的方向进行抽取.

例6、某工厂中共有职工3000人,其中,中、青、老职工的比例为5∶3∶2，从所有职工中抽取一个样本容量为400的样本，应采取哪种抽样方法较合理？且中、青、老年职工应分别抽取多少人？

解：采用分层抽抽样样方法较为合理.由样本容量为400,中、青、老职工的比例为5∶3∶2,所以应抽取中年职工为400×10

5=200人, 应抽取青年职工为400×

10

3=120人,

应抽取青年职工为400×

10

2=80人.

例6. 见课本43P 例1.

点评：因为总体由三类差异较明显的个体构成，所以应采用分层抽抽样样方法进行抽取.

总体分布的估计

ⅰ.频率分布表：见课本第51页： ★ 例1

1. 注意全距，组距的确定。一般是先查出最大值，最小值，其差值取适当的量作为全距，

正常情况下分为十组左右，组数

全距组距=

，也就是合理分组

2. 分组的时候一般取左闭右开区间，最后一个区间取闭区间，然后填写分组、频数、频率、合计

3. 如果全距不利于分组（如不能被组数整除）就可适当的增大全距，即在左右两端增加相同的量

4.分组过少，总体的特征不明显；分组过多，总体特征不利于比较

ⅱ.频率分布直方图：1.横轴表示数据的内容，每一线段表示一个组的组距，注意横轴要有单位

2.纵轴表示的是：

组距

频率 3.每个小矩形的面积都是该组所对应的频率

ⅲ.频率分布折线图： 1. 由频率分布直方图直接得到，取值区间的两端点分别向外延伸半个组

距并取此组距上再x 轴上的点，然后顺次连接直方图中每一个小矩形上底边的中点，形成折线图 2.当样本容量足够大，分组的组距取得足够小时，折线图取与一条平滑的曲线，称这条曲线为总体分布的密度曲线，而且曲线与横轴围成的面积为1 3. 在总体密度曲线中，总体在区间（a,b ）内取值的可能性就是直线x=a , x=b , y=0 和总体密度曲线围成的面积 4. 累计频率分布曲线上任意一点 ()b a P , 的纵坐标标b 表示的连续型总体，取小于等于 a 的值的可能性

ⅳ. 三者的特点

频率分布表：数据翔实、具体、清晰明了，便于查阅 频率分布直方图：形象直观，对比效果强烈 频率分布折线图：能够反映变化趋势

ⅴ.茎叶图的特点： 优点——简单易行，杂乱的数据在用茎叶图表示后能直观地反映出数据的

水平状况、稳定程度；所有的数据都可以在茎叶图中找到. 缺点——分析只是粗略的，对差异不大的两组数据不易分析，另外，对位数较多的数据不易操作，数据较多时效果不是很好.

注意点： 1. 对重复出现的数据要重复记录，不能遗漏 2. 茎要从小到大自上而下的排列，中

间用一条竖线隔开 3. 叶也要按照从小到大的顺序排列，对于两组数据的可以用两条竖线把茎和叶隔开，左边的叶最好按照从大到小的顺序排列，右边的叶按照从小到大的顺序排列 4. 茎叶图一般在衡量一位或者两位运动员在比赛时的得分情况 （ 例题见课本 58P ）

总体特征数的估计

反映总体某种特征的量较总体特征数，比如平均数、中位数、方差、众数等

ⅰ.平均数（average ） 或均值（mean ）： ∑==

+++=

n

i i

n

a

n

n

a a a a 1

211...

其原理：最小二乘法 ——设与实验数据近似的值为 x 则它与这n 个实验数据的离差为

..., , , , 321n a x a x a x a x ----由于上面的离差有正有负，故不易直接相加，就考虑离差

的平方和()()()()2

2

22

1... n a x a x a x x f -++-+-=

()n n a a a x a a a nx +++++++-= (22)

22

1212

所以当∑==

+++=

n

i i

n

a

n

n

a a a x 1

211...时，离差的平方和的函数取得最小，误差也就最小，故

而用

n

a a a n

+++...21 作为这组数据的理想近似值.

ⅱ.平均数的求法: 题目类型有离散型和连续型两种情况

① ∑==+++=

n

i i

n

x n

n

x x x x 1

211

... ②加权平均数: ∑==

+++=n

i i i

n n p x

p x p x p x x 1

2211...

（其中i 21p , ... , p , p 为i 21 x , ... , x , x 对应的频率），这里也是为我们今后将要学习的数学期望作铺垫

见课本 例2 6564-P 注：特别地，对于连续型的随机变量在分好组后，其i 21 x , ... , x , x

应该取每一组的组中值近似的表示

ⅲ.样本方差（variance ）: ()

2

1

2

1∑=-=

n

i i

x

x

n s

=

2

2

2

2

1231[()()()()]n x x x x x x x x n

-+-+-++-

样本标准差(standard deviation)：()

∑=-=

n

i i

x

x

n

s 1

2

1

说明：1. 平均数、中位数、众数是描述数据集中趋势的统计量

2. 方差、标准差是反映一组数据波动大小或稳定程度或各个数据与平均数的离散程

度的统计量，记住它们的表达形式，在选择题中常出现关于它们的判断 3. 一个重要结论：2

1

22

1

x x n

s n

i i

-=

∑=

4. 方差与越大，稳定性越差

5. 关于它们的运算，分连续型和离散型两种情况，见课本 6867-P 对于离散型的

随机变量也要注意选择组中值

例题：从两块玉米地里各抽取10株玉米苗，分别测得它们的株高如下（单位：cm ）:

乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 根据以上数据回答下面的问题： （1）哪种玉米苗长得高？ （2）哪种玉米苗长得齐？

[分析] ：看哪种玉米苗长得高，只要比较甲乙两种玉米苗的平均高度即可；要比较哪种玉米苗长得齐，只要比较哪种玉米苗高的方差即可，方差越小，越整齐，因为方差反映的是一组数据的稳定程度

解：（1）

()()

()()

cm x cm x 3140164040164427441627

10

13042213919142237404125101=+++++++++=

=+++++++++=

乙甲

乙种玉米长得高

乙甲 ∴

（2）

()()()()()()()()()()??

?

?????-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=2

2222

222222

3042302130393019301430223037304030413025101甲

s (

)2

2.104cm

=

()

()()()

[]()2

2

2

2

2

2

8.1283144231403316133127210

1cm s =-?+-?+-?+-?=

乙

甲种玉米长得齐

乙甲 2

2

∴

评： 1. 特别注意本题中的两问的说法的不同，所以算法就不同2. 一般的说哪组数据齐、稳定、

波动情况等都是通过方差来判断

ⅳ.几个重要的结论：对于一组数据n 21 x , ... , x , x 的平均数为x 方差为2s 标准差为s

① 若()n , ... , 2 1,i , =i x 都增加a ,则平均数为 a x + 方差为 2

s 标准差为 s

也可以这样解释：同时增加a ，也就是相当数据平移了，不会改变数据的波动程度，所以方差

和标准差都不会变.

②若()n , ... , 2 1,i , =i x 都递增a %，则平均数为 ()x a %1+ 方差为 ()2

2

%1s a + 标准差为

()s a %1+

③若()n , ... , 2 1,i , =i x 都变为原来的a 倍，则平均数为 x a 方差为 2

2s a 标准差为 as

例题: 已知n 21 x , ... , x , x 的方差为2，则32x

, ... , 32x

, 32n

2

1+++x 的标准差为 ？

解法1：（公式推导法）

x n

x x x n

=+++ (21)

()()()3232 (32322)

1+=++++++∴

x n

x x x n

()()()

()

82446

1

43

2326

1

2

2

1

2

1

=?=?=-?

=+-+=

∴∑∑==s

x

x x x n

i i

n

i i

方差

22=∴标准差

解法2：（推理法）

因为数据的每一项都是先2倍后加上3，而加上3对方差没有影响，2倍后则方差变

为原来的4倍，即方差标为8 ，则标准差为 22.

线性回归方程

ⅰ.变量之间的关系：① 确定的函数关系 ② 相关关系（有一定的关系，但不能用函数表达出来） ⅱ. 对于一组数据探讨它们满足的关系，可以先画出散点图，看它们的大致趋势，然后选择一种

函数进行数据拟合，电脑和计算器一般给出6种拟合函数，也就是说对于一组数据可以用各种函数模型来拟合，只不过拟合度不同而已，当拟合度2R 越接近于1则拟合得越好，本教材之研究线性拟合，也就是求线性回归方程

ⅲ. 线性回归分析：理论依据——最小二乘法 见课本 72P ⅳ. 设线性回归方程为 a bx y +=

，关键在于求b a ,

()()

()

∑∑∑∑∑∑∑

∑∑=========---=

--=

??????-?

?

?

?????????-=

n

i i

n

i i i

n i i

n

i i i

n

i n

i i i n

i n i i n i i i i x

x

y y x x

x n x

x n y x

x x n y x y x n b 1

2

1

1

2

2

1

12

12

1

11

y

x b y a -=

ⅴ. 相关系数： ??

? ??-??? ??--=

∑∑∑===n

i i n

i i n

i i i

y n y x n x x n y x

r 1221221

y

称为的样本相关系数

与x y

线性相关程度越高越接近于并且负相关时当正相关时当1 r , 1 ; ,0 ; ,0r ≤<>r r

线性相关程度越低

越接近于0 r

ⅵ. 颜老师说明：

1. 由于公式的复杂，数据有的也较多，所以在具体做题目时可以列出表格来，对应填进去，然后用公式计算，这样就不会产生慌乱的感觉

2.做题目时要细心，不要乱，在我们高一阶段一般只给出5～6组数据，算起来已经不是很

3. 当然这种拟合（我们主要学习线性拟合——就是求线性回归方程）在电脑里都可作出来图像来，而且求出相应的拟合度，有兴趣的同学可以在Excel 软件里试一试

4.表格形式：

§3. 概率

◆

事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event )

随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件A 在n 次实验中发生了m 次，当实

验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n

m A P ≈

说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件

时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

? 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P

② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不

和用③如果事件

()()()

B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和

? 古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生

的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型

如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n

1，

A m A 为

()n

m A P =

? 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记

事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为

()的侧度

的侧度D d A P =

（ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线

段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ） 几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多

颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。

互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件

对立事件（complementary events ）：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件 ，

事件A 的对立事件 记为：A

独立事件的概率：()()()B P A P A =A B P , B , 则为相互独立的事件事件

若，

若()()()()n 21n 2121A ...A A ...A A A P , , ... , , P P P A A A n =则为两两独立的事件

颜老师说明：① 若, B , , B , 中最多有一个发生则为互斥事件A A 可能都不发生，但

不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 ②

对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件B A ,是互斥事件，则有()()()B P A P B A P +=+ ⑦ 一般地，如果

n A A A ,...,,21 两两互斥，则有()()()()n n A P A P A P A A A P +++=+++......2121 ⑧ ()()

A P A P -=1 ⑨ 在本教材中n A A A +++...21 指的是n A A A ,...,,21 中至少发生一个

⑩ ★ 在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照我们课本上（新课标试验教科书-苏教版）的例题

例题选讲：

例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？

【分析】题目所给的6个球中有4个红球，2个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不

解法1：（互斥事件）设事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，则其互斥事件为A 意

义为“选取2个球都是其它颜色球” ()

()()

15

14

151 - 1A P - 1 A P 151

2

)

56(1A P ===∴=

?=

答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为

15

14 .

解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有

152

56=?种情况，设事件 A 为“选取2个

球至少有1个是红球” ，而事件A 所含有的基本事件数有142

3424=?+

?

所以()15

14=

A P

答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 15

14 .

解法3：（独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件 A 为“选取2个球至少有1

个是红球” ，事件A 有三种可能的情况：1红1白；1白1红；2红，对应的概率分别为：

5

364

, 5462

, 5264???， 则有 ()15145364 5462 52

6

4=?+?+?

=

A P 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为

15

14 .

评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法，但是基本的解题步骤不能少!

变式训练1： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？

解法1：（互斥事件）设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为A ， 意

义为“选取3个球都是白球”

()

()()

5

4 51 - 1A P - 1 A P 51425364 1

23)456(1

232

34A P 3

6

3

4===∴=??=????????=

=

C

C

答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为

5

4 .

解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有201234563

6=????=

C 种情况，设事件 A 为“选

取3个球至少有1个是红球” ，而事件A 所含有的基本事件数有

162

3424122

4=??

=?+?C ， 所以 ()5

420

16==

A P

答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 5

4 .

解法3：（独立事件概率）设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球” ，则事件A 的情况如