实变函数引论课后习题解答

习题2.1

1．若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集，求b E E E E ,,,' ．

解 E =? ；[0,1][0,1]b E E E '===?。 2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ??????=≤<=x y x y x E ，求b E E E E ,,,' ．解 E =? ；{(,):0,

11}.b E E x y x y E E '==-≤≤== 3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明． (1) 11n n n n E E ∞∞=='??'= ??? ； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==???? ??11 ； (4) B A B A =； (5) ???=B A B A )(； (6) .)(???=B A B A 解 (1) 不一定。如设12={,,,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1()n n E ∞

=''==Q R , 而1.n n E ∞='=? 但是，总有11n n n n E E ∞∞=='??'? ??? 。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=? 而.A B ''=R R =R (3) 不一定。如设12={,,,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1n n E ∞

===Q R , 而1.n n E ∞==Q 但是，总有11n n n

n E E ∞∞==??? ??? 。 (4) 不一定。如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =? ，而{}A B b = 。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b = , (,)B b c = ，而 ()(,)A B a c = ，(,)\{}A B a c b = .

(6) 成立。因为A B A ? , A B B ? , 所以()A B A ? , ()A B B ? 。因此，有()A B A B ? 。设x A B ∈ , 则存在10δ>，20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ? 。故有()x A B ∈ ，即()A B A B ? 。因此，()A B A B = .

4．试作一点集A ，使得A '≠?，而?='')(A ．解令1111{1,,,,,,}23

4A n = ，则{0}A '=，()A ''=?. 5．试作一点集E ，使得b E E ?．解取E =Q ，则b E =R 。

6．证明：无聚点的点集至多是可数集．

证明因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈，都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ= 。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈，从而(,){}x x B P r A x = 。显然，对于任意的,x y A ∈，当x y ≠时，有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠，从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x f x P r =，

则得到单射:n f A +→?Q Q 。由于n +?Q Q 可数，所以，A 是最多可数。

7．无聚点的点集与只有孤立点的点集是否相同? 答不相同。例如，点集1111{1,,,,,,}234A n = 只有孤立，但是有一个聚点：{0}A '=。

8．对无聚点的点集, 是否一定存在一个正数d , 使得该点集中任意二点间的距离大于d ?

答不一定。例如，取 1{(,0):1,2,}{(,):1,2,}A n n n n n -=== ，则A 无聚点。但是()

11(,0),(,)0()d n n n n n --=→→∞，这说明：不存在一个正数d , 使得该点集中任意二点间的距离大于d 。

9．点集的聚点与点列的极限点有何异同? 证明：若E x '∈0，则存在E x n ?}{且),(m n x x m n ≠≠ 使得)(0∞→→n x x n ．

证明不同。聚点是针对点集的概念，而极限点（子列的极限）是针对点列的概念。对于一个点列1{}n k k x ∞=?R ，可以得到一个点集{:1,2,}k E x k == 。如果0x E '∈, 则0x 必是点列1{}k k x ∞=的极限点。反之不真。如取1(1,2,)k x k == ，则1是点列1{}k k x ∞

=的极限点，

但它不是点集{:1,2,}k E x k == 的聚点（因为{1}E =没有聚点）。对于可数点集 12{,,,,}(())n k i j E x x x x x i j =?≠≠R ，得到点列1{}k k x ∞=。显然，点集E 的聚点与点列1{}k k x ∞=的极限点是相同的。

设E x '∈0，则对11ε=, 01(,)B x ε中有E 的无限个点。任取一点1001(\{})(,)x E x B x ε∈ 。令1210min{(,),2}d x x ε-=，则02(,)B x ε中有E 的无限个点。任取一点2002(\{})(,)x E x B x ε∈ 。如此下去, 可得点列1{}k k x ∞=满足： 00(\{})(,)k k x E x B x ε∈ ，110min{(,),2}k k k d x x ε-+-=(k +?∈Z ). 易见，1{}k k x ∞=是E 的各项互不相同的点列且0(,)20()k k d x x k -<→→∞。可见，0()k x x k →→∞。

10．证明：E x '∈0的充要条件是对任意0>δ，),(0δx B 含有一个异于0x 的E 的点．证明必要性显然.

充分性. 对11δ=, 在0(,1)B x 中有一点1x E ∈, 而10x x ≠。令 2101min{(,),}2d x x δ=, 在02(,)B x δ中有一点2x E ∈且21x x ≠。令 3201min{(,),}3d x x δ=, 在03(,)B x δ中有3x E ∈且30x x ≠。这样继续下去，得到E 中各项互不相同的点列{}n x 使得10(,)0()k d x x k k -<→→∞。从而，0lim n n x x →∞=，由上题知E x '∈0. 11．E x E x k ???∈}{0使得)(0∞→→k x x k ．证明必要性。设0x E ∈，则10,(,)k k x E B x k +-?∈?∈Z 。显然，{}k x E ?且)(0∞→→k x x k 。

充分性设{}k x E ??使得)(0∞→→k x x k ，则0,N ε?>?使得当n N >时有0(,)k d x x ε<，从而10(,)N x B x E ε+∈ 。可见，0x E ∈。

12. 设点列)(∞→→n a x n ,)(∞→→n b x n ,证明: b a =.

证明由(),()n n x x n y y n →→∞→→∞可知：对任意的120,,N N ε>?使得当1n N ≥时, 有(,)2n d x a ε<; 当2n N ≥时, (,)2n d x b ε<。令{}12max ,N N N =, 则当

n N ≥时, 有(,)2n d x a ε<且(,)2n d x b ε<. 从而，当n N ≥时，有 11(,)(,)(,)22N N d a b d a x d x b εεε++≤+<+=。所以(,)d a b ε<。由ε的任意性知，a b =.

13. 设点列)(∞→→n x x n ,)(∞→→n y y n ,证明: R ∈?βα,,有

(1) )(∞→+→+n y x y x n n βαβα;

(2) ))(,(),(∞→→n y x d y x d n n .

证明（1）由(),()n n x x n y y n →→∞→→∞, 可知对任意的120,,N N ε>?使得当1n N >时，有(,)2||1n d x x εα<+; 当2n N >时，有(,)2||1n d y y εβ<+.令{}

12max ,N N N =, 则当n N >时, 有 (,)2||1n d x x εα<+且(,)2||1n d y y εβ<+. 所以，当n N >，有 (,)||(,)||(,)22n n n n d x y x y d x x d y y εεαβαβαβε++≤+<+=。从而n n x y αβ+x y αβ→+()n →∞.

（2）因为 (,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,),n n n n n n n n d x y d x x d x y d y y d x y d x x d x y d y y ≤++≤++ 所以 |(,)(,)|(,)(,)0()n n n n d x y d x y d x x d y y n -≤+→→∞。

因此，))(,(),(∞→→n y x d y x d n n 。

习题2.2

1．点集E 为闭集当且仅当E 中的收敛点列的极限仍然属于E ．

证明必要性. 设E 为闭集, 即E E '?。取任一收敛点列{}n x E ?, 且 0n x x →()n →∞. 下证0x E ∈. 事实上, 若存在n 使得0n x x =, 则0x A ∈；否则，对任一N n +∈都有0n x x ≠。因为0()n x x n →→∞, 所以对任意0>δ，),(0δx B 中必有E 的异于0x 的点n x 。从而，由习题2.1.10可知:0x 是E 的聚点, 所以0x E ∈.

充分性. 设E 中任何一个收敛点列必收敛于E 中的一点, 则对任意的0x E '∈, 存在点列{}n x E ?使得0n x x →()n →∞, 由假设知0x E ∈。所以E E '?, 即E 为闭集. 2．证明：?E 是含于E 内的一切开集的并．

证明设{}F αα∈∧, 为所有含于E 内的开集所组成的集合, 则F E α?(任意的α∈∧). 记F F αα= , 下证F E = 。一方面, E 显然是一个含于E 的开集, 所以E F ? 。另一方面, α?∈Λ，有F E α?,从而F E α? 。但是F F α= (F α为开集), 所以F F E αα=? .因此，F F E αα=? 。因此E F = . 3．证明：E 是包含E 的一切闭集的交．

证明设{}F αα∈∧为所有包含了E 的闭集之集, 则E F α?(任意的α∈∧). 记F F αα= ，下证F E =. 一方面，E 显然是一个含E 的闭集，所以E F ?。另一方面, 对α?∈Λ，有E F α?，从而E F α?。但F F αα= (F α为闭集), 所以E F α?（α?∈Λ）。因此，E F ?. 故F E =.

4．设R ?F 是非空有界闭集，令,sup ,inf F F a ==β证明：F a ∈β,．

证明 F x ∈?>?,0ε使得εα+

于是(,)x B αε∈，因此(,)B F αε=? . 再由ε的任意性知F F α∈=.

同理可得：,,0F y ∈?>?δ使得,y βδββδ-<≤<+ 所以(,)y B βδ∈. 因此，

知(,)B F βδ≠? . 由δ的任意性知F F β∈=.

5．设}{k G 是渐张开集列，令k k G G ∞==1 ，点集F 是有界闭集且G F ?．证明：存在自然数0k ，当0k k ≥时，有k G F ?．证明由F 是有界集, ?F 1k k G ∞= , 必存在},,,{21n k k k 使得?F 1i n

k k G = . 又因为n k G G G ??? 21, 所以?F n i k n i K G G == 1

. 取01,n k k =+则当0k k ≥时，有k G F ?. 6．证明：n R 中的任何闭集F 都可表示为可数个开集的交；n R 中的任何开集G 都可表示为可数个闭集的并．提示：考虑)1,(n x B G F x n ∈= ．证明当F 为空集时，显然。下设F 为非空集。令)1,(n x B G F x n ∈= ，则(1,2,)n F G n ?= ，从而 ∞=?1n n G F . 另一方面，设01n n x G ∞=∈ ，则,n ?有0n x G ∈, 所

以n x F ?∈,使得01(,)n x B x n ∈, 即01(,)n d x x n <. 当∞→n , 则0n x x →. 由于F 是闭集, 必有0x F ∈. 因此 ∞=?1n n F G . 综上可知：1n n G F ∞== 。对n R 中的任何开集G ，:c F G =为闭集，从而由已证结论知：存在一列开集{}n G 使得1n n G F ∞== ，所以1c c n n G F G ∞=== .显然，c n G 都是闭集。 7．设E 是n R 中的点集，证明：b E 是闭集．证明因为b E E E =__且?=b E E ,所以c b E E E E E )(\____ ==,故b E 是闭

集.

8．设m n B A R R ??,是两个有界闭集，证明： },:),{(B y A x y x B A ∈∈=? 是m n +R 中的有界闭集．

证明有界性. 因为,A B 有界, 所以存在,M N 0>使得对任意的x A ∈,有(,0),d x M ≤对任意的y B ∈, 有(,0)d y N ≤, 从而任意的(,)x y A B ∈?，有 2222((,),0)(,0)(,0)d x y d x d y M N =+≤+,

于是A B ?且有界的闭性. 设1{(,)}k k k x y ∞=为A B ?中的收敛点列，且 (,)(,)()n m n m k k x y x y k +→??=→∞R R R .

由于 (,),(,)((,),(,))0()k k k k d x x d y y d x y x y k ≤→→∞,

可见()k x x k →→∞，()k y y k →→∞. 因为,A B 为闭集，所以x A ∈，y B ∈即(,)x y A B ∈?, 故A B ?为闭集.

9．两个完备集的交集是否一定是完备集？两个完备集的并集是否一定是完备集？可数多个完备集的并集呢？

证明两个完备集的交集不一定是完备集，如}1{]2,1[]1,0[= 不完备. 两个完备集的并集是完备集. 事实上，设,n E F ?R 完备，则 ,)(F E F E F E =''='

所以F E 是完备的. 可数个完备集的并集不一定是完备集. 如：)1,0(]211,11[1=+-+∞=

n n n 不完备. 10．若G 是n R 中的开集，证明：G G '=． 11．设f 在整个数轴上有定义，其函数值只取整数，证明：f 的连续点之集f C 是开集，间断点之集f D 是闭集．

证明设A 表示f 的连续点之集, 则0x A ?∈, 有 0()f x n =)(为整数n 。

对于0.1ε=，0>?δ使得0(,),x B x δ?∈有0|()()||()|0.11f x f x f x n -=-<<. 因为()f x 为整数，所以，0(,),x B x δ?∈有()f x n =。因此，0(,)B x A δ?, 故A 为开集. 进而，f 的间断点之集c A 是闭集. 12．证明：直线上任何一列稠密开集的交集是稠密的δG 型集,即若),2,1( =?k G k R 为开集且),2,1( ==k G k R ，则1k k G ∞

==R . 证明设00(,)I a b =为直线上任一有限开区间，则由1G =R 知：1I G 为非空开集，从而存在闭区间111[,]a b I G ? 使得111b a -<。再由2G =R 知：112(,)a b G 为非空开集，从而存在闭区间22112[,](,)a b a b G ? 使得1222b a --<。如此可得闭区间列{[,]}n n a b 满足： 1111[,](,),(1,2,)n n n n n n n a b a b G b a n n -+++?-<= 。

根据闭区间套定理知：存在唯一一点[,](1,2,)n n c a b n ∈= 。因为 [,](1,2,)n n n a b G n ?= ，

从而(1,2,)n c G n ∈= ，即1n n c G ∞=∈ 。又由111[,]c a b I G ∈? 知，c I ∈。因此，1n n c I G ∞=??∈ ??? 。所以，1n n I G ∞=??≠? ??? 。这就证明了1n n G ∞==R 。 13. 全体有理点之集Q 不是δG 型集；全体无理点之集c Q 不是σF 型集。证明假设全体有理点之集Q 是δG 型集，则存在开集(1,2,)n G n = 使得Q =1

n n G ∞= 。

由于n

G ?Q ，所以),2,1( ==k G k R 。令2n n F G =+，则n F 为开集且 22(1,2,)k k k F G G k =+=+==R ，且 111(2)22c n n n n n n F G G ∞∞∞====+=+=+?Q Q 。所以 11n n n n G F ∞∞==????=? ? ????? 。记221,(1,2,)k k k k H F H G k -=== ，则k H 是开集且(1,2,)k H k ==R ，但是， 1n n H ∞== 11n n n n G F ∞∞==????=? ? ????? 。这与习题12的结论矛盾. 这就证明了：全体有理点之集Q 不是δG 型集；从而，全体无理点之集c Q 不是σF 型集。

14. 证明：]1,0[中的全体无理点之集[0,1]c Q 不是σF 型集．证明假设不然，则存在闭集(1,2,)n F n = 使得[0,1]c Q =1n n F ∞= 。令()2n f x n x n =-，则()n n f F 为闭集(1,2,)n = ，且 [,]([0,1])()([0,1])c c c n n n n n f f f -===Q Q Q 1()n k k f F ∞= 。因此， ()111[,]()c c n k n n k n n f F ∞∞∞====-=Q Q 。容易看出：()n k f F 都是闭集。因而，全体无理点之集c Q 也是σF 型集。这与习题13的结论矛盾。

15．设D 是由]1,0[中所有三进无穷小数表示不含1的点之集，证明：c D =．证明对任一x D ∈，令其三进无穷小数表示为 120.n x x x x = 其中{0,2}(1,2,)i x i ∈= 。令1,2;0,0,i i i x y x =?=?=?

12()0.n f x y y y = ，则得到一个双射:[0,1]f D →。从而，[0,1]D c ==。

习题2.3

1．若开圆族}{λO 覆盖了集E ，则对应的闭圆族是否一定覆盖E ? 答不一定。例如，取12{,,,,},n E x x x ==Q 令(2,2)k k k k k G x x --=-+，则1k k E G ∞=? 。但是，11,[2,2]k k k k k k k E G x x ∞∞--====-+R 。假设1k k E G ∞=? ，则 1[0,1](32,32)k k k k k x x ∞--=??-?+?R 。根据有限覆盖定理知：存在自然数N 使得 1[0,7](32,32)N k k k k k x x --=?-?+? 。令(32,32)k k k k k I x x --=-?+?，则1[0,7]N k k I =? 。取有限开区间1(,)N k k a b I =? 。从而，[0,7]1k N I k χχ=?∑。于是，有 [0,7]111137()d ()d ()d 62k k N N N b b b k I I a a a k k k x x x x x x χχχ-====≤∑=∑=∑

答不一定。例如，设I 中的全体有理点之集 1212{,,,,},(,,,)n k k k n k n E I P P P P x x x ===Q ，取01r <<使得26>1n n n n r r --，作开球(,)k k k O B P r -=，则1k k E O ∞=? 。假设1k k I O ∞=? ，则111[3,2]n k k O ∞--=? 。根据有限覆盖定理知：存在自然数N 使得 111[3,2]N n k k O --=? 。令1(,)n k k k k k i i i I x r x r --==∏-+，则111[3,2]N n k k I --=? 。取有限开区间1N k k I I =? 。从而，11[3,2]1n k N I k χχ--=?∑。于是，有 111212[3,2]121211212116(,,,)d d d (,,,)d d d (,,,)d d d (2)2 <.1n k k n n n I N n n I I k N n n I I k N k n k n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x r r r χχχ---====≤∑=∑=∑-?????????

因此，26<.1n n n n r r --这与26>.1n n n n r r --矛盾。这就证明了1k k I O ∞=? 。 3．证明：平面不可能被任意多个互不相交的开圆覆盖．证明假设平面可以被一族互不相交的开圆{}I λλ∈O 覆盖，即2I O λλ∈=R ，则对任一0I λ∈，有002\{}I O O λλλλ∈??= ???R 。所以，002\{}\I O O λλλλ∈=R 为闭集，这是不可能的。 4．设Ω集合X 上的一个σ-代数, R →X f :为任一映射, 证明： (1) })(,:{:1Ω∈?=-Y f Y Y M R 是R 上的一个σ-代数；

(2) 以下等价: (i) Ω∈∈?-)(),(1B f B B 有R ，即()B M ?R ； (此时，称f 为可测空间),(ΩX 上的一个随机变量) (ii) ()B O ?∈R ，有1()f B -∈Ω，即()O M ?R (iii) Ω∈∞<<<∞-?-)),((,1b a f b a 有，即()OI M ?R . 证明（1）因为11(),()X f f --=∈Ω?=?∈ΩR ，所以,M ?∈R 。设Y M ∈，

则

1()f Y -∈Ω，从而1(())c f Y -∈Ω，即11()(())c c f Y f Y --=∈Ω。可见，c Y M ∈。设(1,2,)k Y M k ∈= ，则1()k f Y -∈Ω(1,2,)k = 。从而，1111()k k k k f Y f Y ∞∞--==??=∈Ω ??? 。因此，1k k Y M ∞=∈ 。故M 是R 上的一个σ-代数。（2） (i)(ii)(iii)??：显然。 (iii)(i)?：设（iii ）成立，则()G O ?∈R ，由定理2.3.4知：G 是有限或可数个开区间 (,)(1,2,,)i i a b i d =

之并，其中d ≤∞，即1(,)d

i i i G a b == ，从而 111()((,))d i i i f G f a b --==∈Ω 。因此，（ii ）成立。所以，()O M ?R 。因为Borel 代数()B R 是包含所有开集的最小σ-代数，所以由（1）知()B M ?R ，即（i ）成立。

习题2.4

1．证明：在n R 中既开又闭的点集只有n R 和?．证明设E 是n R 中既开又闭的点集，如果它不是n R 和?，则由界点存在定理（定理

2.1.3）知它至少有界点0P 。因为它是闭集，所以0P E ∈。又因为E 是开集，所以存在0(,)B P r E ?。这与0P 是E 的界点矛盾。因此，n E =R 或E =?。

2．在]1,0[中构造一个无处稠密的完备集，使其邻接区间的总长度等于定数()10<

解应用与构造康托集类似的方法。第一步：在]1,0[=?中去掉以中点为中心、长度为2a 的开区间112211,2222a a I ??=-+ ???，得到两个闭区间： 111222110,,,12222a a ?????=-?=+????????；第二步：在这两个闭区间中，去掉以中点为中心、长度为32a 的两个开区间 2123423411,222222a a a a I ??=---+ ???，22223422341111,2222222222a a a a a a I ??=++--++-+ ???。得到四个闭区间：22221234,,,????。第三步：在这四个闭区间中，去掉以中点为中心、长度为52a 的四个开区间33331234,,,I I I I ，得到32个闭区间：33333312342,,,,,????? 。 …… 第n 步：在上一步余下的12n -个闭区间中，去掉以中点为中心、长度为212n a -的12n -个开区间112342,,,,,n n n n n n I I I I I - ，得到2n 个闭区间：12342,,,,,n n n n n n ????? 。。

如此继续……。

将最后余下的点集记为a P ，去掉的所有开区间的并记为a G ，则 11221[0,1]\,[]n n n n a a a n P G G I I I -∞=== 。类似于Cantor 集的证明方法，可以证明a P 为无处稠密的完备集，其邻接区间的总长度为 2135210122222222n n n n a a a a a a ∞--=??+?+?++?+== ???∑

。 3．举例说明，平面上有些开集不可能是可数个互不相交的开区间(开矩形)的并．

习题2.5

1．开集的连续像是否一定为开集?