POJ 20 道线段树汇总
pojpku线段树题目20道汇总+简要算法+分类+难度来源：黑梦楠的日志
难度系数分为从1 到 5 （只对初学者有用对大牛来讲这些题的难度系数都是0..)
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=1151
Atlantis 扫描线+离散化+线段树
这是经典的扫描线求矩形面积交很好过没什么陷阱如果头一次接触扫描线那么难度系数大概算3吧如果熟练掌握扫描线难度系数为1
难度系数***
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=1177
Picture 扫描线+线段树
扫描线求矩形周长的并比求面积并难线段树中的域要多考虑几个部分需要掌握维护线段树存储线段的段数与长度和经典中的经典题目
难度系数****
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=1389
Area of Simple Polygons
直接拿1151的代码AC 没什么好说的
难度系数***
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=1823
Hotel
poj 3667的姊妹篇不要看AC率不高但是比3667容易些吧线段树线段的插入删除求线段树中最长的线段长度不错的题目
难度系数***
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=2104
K-th Number
线段树维护归并排序树+三次二分查找别以为这题AC率高就容易多数人没用这算法而是水过去的为了练习线段树还是好好做吧...~ 三次二分挺容易出错的
难度系数*****
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=2155
Matrix
楼教出的二维线段树..也可以用二维树状数组题目容易理解没有陷阱
难度系数**
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=2299
Ultra-QuickSort
线段树求逆序数最基础的线段树计数问题没什么好说的..
难度系数*
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=2352
Stars
也是线段树计数问题求比当前插入的数小的数的个数简单题
难度系数*
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=2482
Stars in Your Window
扫描线+离散化+线段树刘汝佳黑书中介绍过算法不过我觉得不是很好看懂
题目规定的矩形框高度为h。
比如，遇到一个星星S位置是(xi,yi)，亮度为bi。
那么线段树区间[yi,yi+h)增加bi。
线段树的每个区间节点保存了该区间内的最大值。
可以从贡献的角度来理解，星星S对区间[yi,yi+h)的贡献度为bi。
扫描线在x轴方向标记进出的线段和求矩形面积并似的进的话cover++ 出的话cover--
经典中的经典题题目描述还是感人的故事
难度系数*****
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=2528
Mayor's posters
了解线段树的估计都做过这题太典型了线段染色问题各种解题报告一大堆
我想说的是注意离散化的方法不要以为AC了的程序就是完全正确详情可以看这题的discus s
难度系数**
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=2761
Feed the dogs
据说wind养了100000只狗题目要求和2104基本一样但是2104的经典算法在这里不适用
一定要注意"Hence any feeding inteval will not contain another completely, though th e intervals may intersect with each other. "这句话为什么自己要仔细琢磨啊
做这题至少要会用线段树求第k小数
难度系数***
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=2777
Count Color
线段染色问题很好做解题报告也一大堆但希望自己敲敲
难度系数**
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=2823
Sliding Window
线段树求RMQ问题经典的问题貌似这题的时限挺有意思算法没啥好说的..
难度系数**
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=2828
Buy Tickets
朱泽园出的题线段树计数从队伍后往前做其实没啥好说的...
难度系数***
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=2886
Who Gets the Most Candies?
NB经典题啊约瑟夫环的升级版本绝对要掌握的题目用线段树解约瑟夫环问题
网络预赛就有个这样子的题不过我当时不会唉...这题比当时网络预赛难容易出错
难度系数****
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=3264
Balanced Lineup
线段树求RMQ问题没什么好说的...
难度系数**
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=3277
City Horizon
线段树求和线段插入等基础题不过USACO的标程挺NB的用set+pair构造线段树
有时间一定学学啊其实这就是说红黑树添加一个线段域也就成了线段树了..算导上有讲解
难度系数**
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=3468
A Simple Problem with Integers
线段树求和...不说了
难度系数*
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=3667
Hotel
NB题中的NB题真正理解了这题就真正理解了线段树解题报告有很多这题涉及了线段合并线段插入删除求线段树上最大连续线段长度线段求和等一定要做的题目
难度系数*****
https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/JudgeOnline/problem?id=3695
Rectangles
线段树求矩形面积并可以用融斥原理说实话...这题挺猥琐的算法没难度不过如果搞不好的话非常容易超时下面是我在discuss中留的言:
1 TLE的话应该是没离散化这题必须离散化原以为最长1000的线段可以不离散化可是最多有20个矩形那最多就有40个线段100000*log40和100000*log1000时间肯定是不一样...
2 只建立一次线段树..不要问一次建一次因为加入的线段过后肯定会被删除
3 最好只开始的时候对线段排次序然后开个mark[]数组记录哪几个矩形的线段是此次询问要选的不要每次询问都对线段排序..
4 别用G++交...G++比C++平均慢了500MS 这题就卡了那么点时间
5 前边的优化如果都做了的话..应该就过了
上边是poj的20道线段树题目欢迎大家分享与补充指正错误转帖请注明出处数据结构是门艺术算法也是门艺术线段树是门艺术中的艺术
证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分(推荐文档)
证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分 一、证明线段或角的倍分 1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍 2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问 题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。 3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或 利于利用已知条件而添。 4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与 被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。此时，添 线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。参考例 4、例 5、例6。 例1 AD 是^ ABC 的中线，ABEF 和ACGH 是分别以AB 和 AC 为边向形外作的正方形。求证：FH=2AD / BAC+ / ACN=180 证明：延长AD 至N 使AD=DN 则ABNC 是平行四边形 CN=AB=FA AC=AH 又/ FAH+ / BAC=180 ???△ FAHY NCA ??? FH=AN 例 2、△ ABC 中，/ B=2 / C , AD 是高，M 是BC 边上的中点。 $ ???
1 求证：DM=2 AB / 2=Z B ???/ 2=2Z 1 ???/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND ? DM=2 A B 1 贝J BFAC ??? BF=AE ???△ AEC 心 BFD ?DF 二CE 二 CD=2CE 作业: 1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长 1 线交AC 于F ,求证：AF=2 FC 2、AB 和AC 分别切? O 于B 和C, BD 是直径。求证/ BAC 二Z CBD 3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。求证：BD=2CE 例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线，垂足为E , 证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN 贝J MN // AC / 1 = / C ??? DM=DN 例 3 △ ABC 中，AB=AC , E 是 AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且 DB=AC 。求证：CD=2CE 证明：过B 作CD 的中线BF V AB=AC , E 是AB 的中点 又 DB=AC
数据结构应用论文
数据结构应用论文 题目名称数据结构应用 课程名称数据结构（c语言版） 学生姓名宋杰伟王兵俞振光王黎明郭凯专业网络工程（2）班
数据结构应用 摘要 数据结构是计算机专业最基础也是最重要的学科之一。它和程序设计一起未计算科学其他后继课程的学习奠定了基础。在计算机广泛普及的今天，其应用几乎涵盖了人类社会的所有领域，而且在航空航天、军事、科学计算、信息检索、生产线控制等一些关键领域已经高度依赖计算机系统，而数据结构在其中起着无可替代的应用。 其实生活中也有好多应用数据结构的小事，只要留心观察，它无处不在。例如：我们的家族图谱，遗传病图谱，公司成员职位一览表都应用到了数据结构中的树；还有我们小的时候玩的丢手绢游戏其实也用到了数据结构中的循环列表，而且在换人时用到了循环列表的插入和删除。所以说，数据结构与我们的生活息息相关，学习和掌握好数据结构对我们处理日常生活中遇到的问题一定会有很大的帮助。 关键字 数据结构，计算机专业，学科，应用,逻辑结构,存储结构,算法优化。
参考文献 1、严蔚敏吴伟民数据结构（C语言版）清华大学出版社； 2、庄晋林杨彬实用数据结构与算法设计中国水利水电出版社； 3、翁惠玉俞勇数据结构：思想与实现； 4、百度百科。
正文 数据结构在计算机科学界至今没有标准的定义。个人根据各自的理解的不同而有不同的表述方法：Satartia Sahibah在他的《数据结构、算法与应用》一书中称：“数据结构是数据对象，以及存在于该对象的实例和组成实 例的数据元素之间的各种联系。这些联系可以通过定义相关的函数来给出。”他将数据对象（data object）定义为“一个数据对象是实例或值的集合”。Clifford A.Shaffer在《数据结构与算法分析》一书中的定义是：“数据结构是 ADT（抽象数据类型Abstract Data Type）的物理实现。” Robert L.Ruse在《数据结构与程序设计》一书中，将一个数据结构的设计过程分成抽象层、数据结构层和实现层。其中，抽象层是指抽象数据类型层，它讨论数据的逻辑结构及其运算，数据结构层和实现层讨论一个数据结构的表示和在计算机内的存储细节以及运算的实现。数据结构具体指同一类数据元素中，各元素之间的相互关系，包括三个组成成分，数据的逻辑结构，数据的存储结构和数据运算结构。 一般认为，一个数据结构是由数据元素依据某种逻辑联系组织起来的。对数据元素间逻辑关系的描述称为数据的逻辑结构；数据必须在计算机内存储，数据的存储结构是数据结构的实现形式，是其在计算机内的表示；此外讨论一个数据结构必须同时讨论在该类数据上执行的运算才有意义。在许多类型的程序的设计中，数据结构的选择是一个基本的设计考虑因素。许多大型系统的构造经验表明，系统实现
线段和差问题证明
线段的和差证明的问题 已知在△ ABC 中，/ B=60°, AD CE 分别平分/ BAC 和/ BCA 求证：AE+CD=AC 如图，在正方形 ABCD 中，点E 在BC 上移动，/ EAF=45°, AF 交CD 于 F ,连接EF ,求证: BE+DF=EF 在厶ABC 中，AB=CB / ABC=90 , AD 为角平分线交 CB 于点 AE 的数量关系，请说明理由 已知在△ ABC 中，/ B=2/ C,Z BAC 的平分线 AD 交BC 于点D,求证： AB+BD=AC 如图，/ ACB=90 ,
变式：已知 AF 平分/ DAE 求证：AE=BE+DF 变式：已知 EF=BE+DF 求证：/ EAF=45 已知在△ ABC 的BC 边上取两点D F , E 、G,求证： AB=ED+GF 如图，点A B C D 顺次在O O 上 , 如图，已知△ ABC 和△ BED 都是等边三角形，且 A 、E 、D 在一条直线上，求证： AB=BD+CD
如图，在梯形 ABCD 中, AD//BC , / BAD 和/ ABC 的平分线交于 E,且CD 过点E ,求证：AB=AD+BC 在四边形ABCD 中，对角线AC 平分/ DAB 1） 如图 1,当/ DAB=120 时，/ B=Z D=90° 时，求证： AB+AD=AC 2） 如图2.当/ DAB=120时，/ B 与/ D 互补时，线段 AB AD AC 有怎样的数量关系？写 出你的猜想并证明 3） 如图3,当/ DAB=90时，/ B 与/ D 互补时，线段 AB AD AC 有怎样的数量关系？写 △ ABC 为等边三角形，点D 为BC 边上一点，连接AD,以AD 为边作等边△ ADE （图1），连接CE, 易证：CE+DC=AC 当点D 在BC 延长线（或反向延长线）上时，其他条件不变，如图 2、3两 种情况下，上述结论是否成立？若成立，给予证明。若不成立，请写出 CE DC AC 之间的 关系，并证明 如图，已知在厶 ABC 中，/ A=108° 出你的猜想并证明 ,AB=AC
中考几何证明---线段的和差 根号
线段和差根号 1.已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=2 OC．当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明． 图1 图2 图3 2.已知等腰△ABC中，AB=AC, ∠ACB=900 ,D为AB的中点，点E为平面内一点，连接DF、BE 。过点D作DE的垂线 交直线BE于点F ,且∠DEF=∠ABC ,连接CF .当点E在△ABC内时，如图1 ，易证：BF=CF+2DF . 当点E在△ABC外时，如图2、3两种情况，线段BF、CF、DF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对图3加以证明。 3.在△ABC中，∠ABC=450 , CD⊥AB ,BE⊥AC ,垂足分别为DE ,连接DE . 当点E与点C重合时，此时EC=0 (如图1) ，易证：EB－EC=2DE . 当点E与点C不重合时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，EBECDE又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。 4.如图，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是直线AC上的一动点，过点P作PF⊥CD ,交直线CD于F . (1)如图1，若点P在线段AO上（不与点A、O重合）时，PE⊥PB ,且PE交CD于点E.求证：DF=EF . (2) 若点P在线段OA上（不与点A、O重合）, PE⊥PB ,且PE交直线CD于点E ，求证：PC=PA+2CE . (3) 若点P在直线AC上（不与点A、C重合），PE⊥PB ,且PE交直线CD于点E ，（2）中的结论是否成立？若成立，说明理由。若不成立，请直接写出线段PC、PA、CE间的一个等量关系。 A B C D E F A B C D E F A B C D A B C D E A B C D E
树状数组及其应用
树状数组及其应用 ( Binary Indexed Trees ) 一、什么是树状数组 【引例】 假设有一列数{A i}（1<=i<=n），支持如下两种操作： 1.将A k的值加D。（k，D是输入的数） 2.输出A s+A s+1+…+A t（s，t都是输入的数，s<=t） 分析一：线段树 建立一颗线段树（线段长度1~n）。一开始所有结点的count值等于0。 对于操作1，如果把A k的值加D，则把所有覆盖了A k的线段的count值加D。只有log2n 条线段会受到影响，因此时间复杂度是O（log2n）。 每条线段[x..y]的count值实际上就是A x+A x+1+…+A y的值。 对于操作2，实际上就是把[s..t]这条线段分解成为线段树中的结点线段，然后把所有的结点线段的count值相加。该操作（ADD操作）在上一讲线段树中已介绍。时间复杂度为O （log2n）。 分析二：树状数组 树状数组是一种特殊的数据结构，这种数据结构的时空复杂度和线段树相似，但是它的系数要小得多。 增加数组C，其中C[i]=a[i-2^k+1]+……+a[i](k为i在二进制形式下末尾0的个数)。由c数组的定义可以得出：
为了对树状数组有个形象的认识，我们先看下面这张图。 如图所示，红色矩形表示的数组C[]就是树状数组。我们也不难发现，这个k就是该节点在树中的高度，因而这个树的高度不会超过logn。 【操作1】修改A[i]的值。可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。 定理1：若a[k]所牵动的序列为C[p1]，C[p2]……C[p m]，则p1=k，而p i+1=p i+2li （l i为p i在二进制中末尾０的个数）。 例如a[1]……a[8]中，a[3] 添加x； p1=k=3 p2=3+20=4 p3=4+22=8 p4=8+23=16>8 由此得出，c[3]、c[4]、c[8]亦应该添加x。 定理的证明如下： 【引理】 若a[k]所牵动的序列为C[p1]，C[p2] ……C[p m]，且p1 证明线段和差练习题 几何中有许多题目要证明一线段等于另两线段的和（或差），解决这类问题常用的方 法大体有五种，即，利用等量线段代换、截短法、接长法、利用面积证明、旋转等五种。下面分别列举几例逐一说明： 一、利用等量线段代换：证一线段等于另两线段的和（或差），只需证这条全线段的两部分，分别等于较短的两条线段，问题就解决了。 例1已知：如图，在△ABC 中，∠B 和∠C 的角平分线BD 、CD 相交于一点D ，过D 点作EF ∥BC 交AB 与点E ，交AC 与点F 。求证：EF=BE+CF 二、截短法或接长法：所谓截短法就是将长线段，截成几条线段，然后分别证明这几条线段等于要证明中的较短的线段，最后代入达到目的。所谓接长法是将较短的两条线段适当的连接起来，然后再证这条线段等于第三条线段，从而达到目的。 例2：如图所示已知 △ABC 中，0 90C ∠=，AC=BC ，AD 是∠BAC 的 角平分线.求证：AB=AC+CD. 三、面积法：利用三角形的面积进行证明。 例3：所示已知△ABC中，AB=AC，P是底边上的任意一点，PE⊥AC， PD⊥AB，BF是腰AC上的高，E、D、F为垂足。 求证：①PE+PD=BF ②当P点在BC的延长线上时，PE、PD、PF之间满足什么关系式？ 四、旋转法：通过旋转变换，而得全等三角形是解决正 方形中有关题目类型的一种技巧 例4、如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，则有结论EF=BE+FD成立； （1）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明？若不成立，请说明理由。 （2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，延长BC 到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。 D 转载自South_wind的专栏 常见的数据结构运用总结 考虑到Obsidian三个成员的擅长领域，这段时间都在做杂题，算是学习各种算法吧，趁现在休息的时间，而且大家马上要备战今年的比赛了，写写自己专攻方面的一些心得吧 扯开线段树、平衡树这些中高级的东西，先说说基础的数据结构 栈 算是代码量最小的数据结构？出栈进栈都只有一句话而已 常见用途： 消去一个序列中的相同元素(做法大家应该都知道了吧，见过很多次了) 维护一个单调的序列(所谓的单调栈，dp的决策单调？) 表达式求值(经典的栈运用，如果使用的很熟悉的话，可以处理一元、二元运算，不过最近没见过类似的题目了) 用于辅助其他算法(计算几何中的求凸包) 队列 队列应该还是很常见的数据结构了，如果专攻图论的话，spfa应该是写烂了的 这里说到的队列，是狭义的普通的队列和循环队列，不包括后面讲的一些变形 注意循环队列的写法，尽量不要使用取模运算，不然的话，遇到不厚道的出题者，可以把取模的循环队列卡到死 常见用途： 主要用于辅助其他算法，比如说spfa，bfs等(建议习惯用stl的孩子手写queue，毕竟就几行代码而已，偷懒会付出代价的。。。) 双端队列 如果写dp写的多的话，这个东西应该还是算是比较基础的东西了，双端队列多用于维护一个满足单调性的队列 还是建议手写，stl的deque使用块状链表写的，那东西的复杂度是O(Nsqrt(N))的，不要被迷惑了。 常见用途： dp的单调性优化，包括单调队列优化和斜率优化，都要用到这个结构 计算几何中的算法优化，比如半平面交 树的分治问题中利用单调队列减少转移复杂度 链表Dancing Links 写图论的不要告诉我不会写这货，链表可以写单双向，循环非循环的，高级点儿的可以考虑十字链表，麻花链表 不过链表可以说是树形结构的基础，如果这个掌握的不好，那么树形结构写起来就会很纠结 链表的优势在于可以O(1)的插入删除，如果要求插入的位置只是在序列的两端的话，这个数据结构是最方便的了(无视双端队列) hash表就是用链表实现的，熟悉hash的同学可以试试看怎么使你的hash效率提高 树状数组 武钢三中 吴豪【引言】 在解题过程中，我们有时需要维护一个数组的前缀和S[i]=A[1]+A[2]+...+A[i]。但是不难发现，如果我们修改了任意一个A[i],S[i]、S[i+1]...S[n]都会发生变化。可以说，每次修改A[i]后，调整前缀和S[]在最坏情况下会需要O(n)的时间。当n非常大时，程序会运行得非常缓慢。因此，这里我们引入“树状数组”，它的修改与求和都是O(logn)的，效率非常高。 【理论】 为了对树状数组有个形 象的认识，我们先看下面这张图。 如图所示，红色矩形表示的数组C[]就是树状数组。 这里，C[i]表示A[i-2^k+1]到A[i]的和，而k则是i在二进制时末尾0的个数，或者说是i用 2的幂方和表示时的最小指数。( 当然，利用位运算，我们可以直接计算出2^k=i&(i^(i-1)) ）同时，我们也不难发现，这个k就是该节点在树中的高度，因而这个树的高度不会超过logn。所以,当我们修 改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。另外，对于求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开 成2的幂方和时的项数,因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。 接着，我们考察这两种操作下标变化的规律： 首先看修改操作： 已知下标i，求其父节点的下标。我们可以考虑对树从逻辑上转化： 如图，我们将子树向右对称翻折，虚拟出一些空白结点（图中白色），将原树转化成完全二叉树。 有图可知，对于节点i，其父节点的下标与翻折出的空白节点下标相同。 因而父节点下标 p=i+2^k (2^k是i用2的幂方和展开式中的最小幂，即i为根节点子树的规模)即 p = i + i&(i^(i-1)) 。 接着对于求和操作： 因为每棵子树覆盖的范围都是2的幂，所以我们要求子树i的前一棵树，只需让i减去2的最小幂即可。即 p = i - i&(i^(i-1)) 。 至此，我们已经比较详细的分析了树状数组的复杂度和原理。 在最后，我们将给出一些树状数组的实现代码，希望读者能够仔细体会其中的细节。 【代码】 求最小幂2^k: in t L o wb i t(in t t) { retur n t & ( t ^ ( t - 1 ) ); } 求前n项和： in t S um(in t e n d) { in t sum = 0; wh il e(e n d> 0) { 高一入学测试说明 一、命题指导思想 符合选拔性测试的规律和要求，反映各测试科目初中课程标准的整体要求，部分内容可 超出初中各科教学大纲，以有利于选拔具有学习潜能和创新精神的合格新生。 试题以能力测试为主导，在考查考生对基础知识、基本技能和方法掌握程度的同时，注 重能力和科学素养的考查，注重考查运用所学知识分析、解决具体问题的能力；强调知识之间的内在联系；注重理论联系实际。全面落实对“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与 价值观”三维目标的考查。 二、测试范围内容和测试能力要求 语文测试说明 主题内容 测试范围 依据初中、高中课程标准，根据广东奥林匹克学校对高一奥班新生 文化素质的要求，结合奥校初中、高中语文教学实际，确定语文科测 试内容。 考查内容主要分为“语言文字运用”、“古代诗文阅读”、“现代 文阅读”和“写作”四大板块。 一、语言文字运用 正确、熟练、有效地运用语言文字。 1.识记 (1)识记现代汉语普通话常用字的字音 (2)识记并正确书写现代常用规范汉字 2.表达应用 (1) 正确使用词语(包括熟语) (2) 辨析并修改病句 (3) 扩展语句，压缩语段 (4) 正确运用常见的修辞手法 (5) 语言表达简明、连贯、得体、准确 二、古代诗文阅读 阅读浅易的古代诗文。 1.识记常见的名句名篇。 2.理解 (1)理解常见的文言实词和虚词 (2)翻译文中的句子 3.分析综合 (1)筛选文中的信息 (2)归纳内容要点，概括中心意思 三、现代文阅读 (一)文学类文本阅读 阅读鉴赏中外文学作品。 2 / 7 1、整体把握文学作品的内容、情感、形象 2、理清作者思路和作品线索 3、揣摩作品中的精彩细节 4、品味语言，领悟内涵 5、鉴赏作品的写作技巧和艺术特色 6、探索作品蕴涵的民族心理和人文精神 (二)实用类文本阅读 1、整体把握实用类文本的主要内容 2、阅读科技、社科、新闻作品，筛选信息，概括要点 3、运用文中知识对相关实际问题进行分析推断 4、阅读论述类文章，理解观点与材料之间的联系 5、联系实际，对文中的观点作出自己的判断 6、体会和分析实用类文本的语言特点 四、写作 能熟练写作记叙文，会写简单的论述类、实用类等文章。 能力要求考查考生识记、理解、分析综合、鉴赏评价、表达应用和探究六种能力，其中阅读理解、分析归纳和写作能力是考查的重点。 测试题型1.选择题约25% 2.非选择题约75% 数学I 测试说明 主题内容 测试范围 命题范围为国家教育部2001 年颁布的《全日制义务教育数学课程标 准（实验稿）》、《义务教育课程标准实验教科书——数学（七、八、 九年级）》（人民教育出版社）所规定的内容。主要包括： (1)实数及其运算 (2)整式、分式、二次根式的概念与运算 (3)一元一次方程、一元二次方程、方程组 (4)一元一次不等式、一元一次不等式组 (5)一次函数、反比例函数、二次函数的性质及其图象 (6)三角形、四边形、多边形、圆及相应图形的性质 (7)平移、对称、旋转、相似等图形变换的性质 (8)概率、统计中的概念与运算 3 / 7 (9)以上内容在实际问题中的应用 能力要求 主要考查五种数学能力和四种思想方法，即： (1)空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数 据处理能力 (2)等价转换思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想 测试题型 (1)选择题，共6 道 (2)填空题，共6 道 (3)解答题，共4 道 怎样证明线段平方的和、差关系 1．如图所示，在ABC ?中，BC AD ⊥于D ，M 为AD 上任意一点，求证：2 2 2 2 AC AB MC MB -=-． 2．如图所示，已知ABC ?中，?=∠90A ，M 为AC 的中点，BC MD ⊥于D ，求证：2 2 2 CD BD AB -=． 3．已知：如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠90BAC ， D 是BC 上一点．求证：2 2 2 2AD CD BD =+． 4．如图所示，已知D 、E 为等腰ABC Rt ?斜边BC 上两点，且?=∠45DAE ，求证：2 22DE BE CD =+． A M B D C A M C D B A D C B A B E D 5．已知：如图所示，在四边形ABCD 中，?=∠+∠90CBA DAB ．求证：2 222AB CD BD AC +=+． 6．如图所示，在ABC Rt ?中，?=∠90C ，D 是AB 的中点，E 、F 分别在AC 和BC 上，且DF DE ⊥，求证：222BF AE EF +=． 7．如图所示，在ABC ?中，?=∠90ACB ，D 是AC 上任意一点，连结BD ，求证：2222AC BD AB CD +=+ 8．如图所示，在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，且?=∠90MDN ．如果2 2 2 2 DN DM CN BM +=+，求证：() 222 4 1 AC AB AD +=． A D B A F E C B C D A A M N C D B 9．已知：如图所示，AD 是ABC ?的中线，AB DE C ⊥?=∠,90于E ．求证：2 22AC BE AE =-． 10．已知：如图所示，在ABC ?中，?=∠90C ，D 是AC 的中点．求证：2 2 2 34BC AB BD +=． 11．已知：如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，M 是BC 上的点．求证：2 2 AB MC MB MA =?+． 12．已知：如图所示，在P 、Q 分别是ABC Rt ?两直角边AB 、AC 上的点，M 为斜边BC 的中点，且 MQ PM ⊥．求证：2222QM PM QC PB +=+． D E A C A C D B A B C A P Q M B C 树状数组求区间和的一些常见模型 树状数组在区间求和问题上有大用，其三种复杂度都比线段树要低很多……有关区间求和的问题主要有以下三个模型（以下设A[1..N]为一个长为N的序列，初始值为全0）： （1）“改点求段”型，即对于序列A有以下操作： 【1】修改操作：将A[x]的值加上c； 【2】求和操作：求此时A[l..r]的和。 这是最容易的模型，不需要任何辅助数组。树状数组中从x开始不断减lowbit(x)（即x&(-x)）可以得到整个[1..x]的和，而从x开始不断加lowbit(x)则可以得到x 的所有前趋。代码： void ADD(int x, int c) { for (int i=x; i<=n; i+=i&(-i)) a[i] += c; } int SUM(int x) { int s = 0; for (int i=x; i>0; i-=i&(-i)) s += a[i]; return s; } 操作【1】：ADD(x, c); 操作【2】：SUM(r)-SUM(l-1)。 （2）“改段求点”型，即对于序列A有以下操作： 【1】修改操作：将A[l..r]之间的全部元素值加上c； 【2】求和操作：求此时A[x]的值。 这个模型中需要设置一个辅助数组B：B[i]表示A[1..i]到目前为止共被整体加了多少（或者可以说成，到目前为止的所有ADD(i, c)操作中c的总和）。 则可以发现，对于之前的所有ADD(x, c)操作，当且仅当x>=i时，该操作会对A[i] 的值造成影响（将A[i]加上c），又由于初始A[i]=0，所以有A[i] = B[i..N]之和！而ADD(i, c)（将A[1..i]整体加上c），将B[i]加上c即可——只要对B数组进行操作就行了。 这样就把该模型转化成了“改点求段”型，只是有一点不同的是，SUM(x)不是求B[1..x]的和而是求B[x..N]的和，此时只需把ADD和SUM中的增减次序对调即可（模型1中是ADD加SUM减，这里是ADD减SUM加）。代码： void ADD(int x, int c) { for (int i=x; i>0; i-=i&(-i)) b[i] += c; } int SUM(int x) { int s = 0; for (int i=x; i<=n; i+=i&(-i)) s += b[i]; return s; } 操作【1】：ADD(l-1, -c); ADD(r, c); 操作【2】：SUM(x)。 （3）“改段求段”型，即对于序列A有以下操作： 【1】修改操作：将A[l..r]之间的全部元素值加上c； 【2】求和操作：求此时A[l..r]的和。 这是最复杂的模型，需要两个辅助数组：B[i]表示A[1..i]到目前为止共被整体加了多少（和模型2中的一样），C[i]表示A[1..i]到目前为止共被整体加了多少的总和（或者说，C[i]=B[i]*i）。 对于ADD(x, c)，只要将B[x]加上c，同时C[x]加上c*x即可（根据C[x]和B[x]间的关系可得）； 而ADD(x, c)操作是这样影响A[1..i]的和的：若x 线段树 目录 定义 基本结构 实现代码 树状数组 编辑本段定义 区间在[1,5]内的线段树 线段树又称区间树，是一种对动态集合进行维护的二叉搜索树，该集合中的每个元素 x 都包含一个区间 Interval [ x ]。 线段树支持下列操作： Insert(t,x)：将包含区间 int 的元素 x 插入到树中； Delete(t,x)：从线段树 t 中删除元素 x； Search(t,i)：返回一个指向树 t 中元素 x 的指针。 编辑本段基本结构 线段树是建立在线段的基础上，每个结点都代表了一条线段[a , b]。长度为1的线段称为元线段。非元线段都有两个子结点，左结点代表的线段为[a , (a + b ) / 2]，右结点代表的线段为[( a + b ) / 2 , b]。 右图就是一棵长度范围为[1 , 5]的线段树。 长度范围为[1 , L] 的一棵线段树的深度为log ( L - 1 ) + 1。这个显然，而且存储一棵线段树的空间复杂度为O(L)。 线段树支持最基本的操作为插入和删除一条线段。下面以插入为例，详细叙述，删除类似。 将一条线段[a , b] 插入到代表线段[l , r]的结点p中，如果p不是元线段，那么令mid＝（l＋r）/2。如果b 插入（删除）操作的时间复杂度为O (Log N)。 上面的都是些基本的线段树结构，但只有这些并不能做什么，就好比一个程序有输入没输出，根本没有任何用处。 最简单的应用就是记录线段有否被覆盖，并随时查询当前被覆盖线段的总长度。那么此时可以在结点结构中加入一个变量int count；代表当前结点代表的子树中被覆盖的线段长度和。这样就要在插入（删除）当中维护这个count值，于是当前的覆盖总值就是根节点的count值了。 另外也可以将count换成bool cover；支持查找一个结点或线段是否被覆盖。[1] 相信对算法设计或者数据结构有一定了解的人对线段树都不会太陌生。它是能够在log(MaxLen)时间内完成线段的添加、删除、查询等操作。但一般的实现都有点复杂而线段树应用中有一种是专门针对点的。（点树？）它的实现却非常简单。 这种数据结构有什么用？我们先来考虑一下下面的需求（全部要求在LogN 时间内完成）：如何知道一个点在一个点集里的大小“排名”？很简单，开一个点数组，排个序，再二分查找就行了；如何在一个点集内动态增删点？也很简单，弄个平衡树就行了（本来平衡树比线段树复杂得多，但自从世界上有了STL set 这么个好东东，就……^_^）那如果我既要动态增删点，也要随时查询到一个点的排名呢？那对不起，可能就要出动到我们的“点树”了。 其实现原理很简单：每当增加（或删除）一个大小为X的点时，就在树上添加（或删除）一条(X,MaxLen)的线段（不含端点），当要查询一个点的排名时，只要看看其上有多少条线段就可以了。针对这一需求，这里有个非常简单的实现（见以下代码，十多行，够短了吧？）其中clear()用于清空点集；add()用于添加一个点；cntLs()返回小于n的点的个数，也就是n的升序排名，类似地cntGt 是降序排名。 这个点树有什么用呢？其中一个应用时在O(NlogN)时间内求出一个排列的逆序数（https://www.360docs.net/doc/af9066874.html,/show_problem.php?pid=1484，你有更好的算法吗？欢迎交流）方法是每读到一个数x，就让逆序数+=cntGt(x);然后再 add(x)。 这个实现还可以进行一些扩展。比如删除del(int n)，只要把add(int n)中的++size换成--size，把a[i/2]++改成a[i/2]--即可。另外还可以通过二分查找功能在O(logN)时间内查到排名第n的点的大小。应该也可以三四行内搞定。 补充:杨弋同学在2008年信息学奥赛冬令营上新发明了一种线段树的省空间堆式存储法,具体方法可以见08年冬令营课件. 编辑本段实现代码 template < int N > // 表示可用区间为[0,N)，其中N必须是2的幂数; class PointTree { int a[ 2 * N]; int size; void clear() { memset( this , 0 , sizeof ( * this ));} void add( int n) { 线段的和差证明的问题 如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，求证：DE=AD-BE ' 已知在△ABC 中，∠B=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 和∠BCA ，求证：AE+CD=AC 、 在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，AD 为角平分线交CB 于点E ，AD ⊥CD ，请判断线段CD 与AE 的数量关系，请说明理由 ； 已知在△ABC 中，∠B=2∠C ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，求证：AB+BD=AC | 如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 上移动，∠EAF=45°，AF 交CD 于F ，连接EF ，求证： A C BE+DF=EF — 、 变式：已知AF 平分∠DAE ，求证：AE=BE+DF 变式：已知EF=BE+DF ，求证：∠EAF=45° { 如图，点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC ，垂足为M ，求证AM=DC+CM " 已知在△ABC 的BC 边上取两点D 、 F ，使BD=FC ，过D 、F 分别作BA 的平行线，依次交AC 于E 、 G ，求证：AB=ED+GF ~ 如图，已知△ABC 和△BED 都是等边三角形，且A 、E 、D 在一条直线上，求证：AB=BD+CD O B A M D B A G F E D C \ 如图，在梯形ABCD 中，AD ∠DAB=120°时，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系写出你的猜想并证明 3）如图3，当∠DAB=90°时，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系写出你的猜想并证明 》 △ABC 为等边三角形，点D 为BC 边上一点，连接AD,以AD 为边作等边△ADE(图1)，连接CE,易证：CE+DC=AC.当点D 在BC 延长线（或反向延长线）上时，其他条件不变，如图2、3两种情况下，上述结论是否成立若成立，给予证明。若不成立，请写出CE 、DC 、AC 之间的关系，并证明 A D B C E A B C D Vijos 1448校门外的树 校门外有很多树，有苹果树，香蕉树，有会扔石头的，有可以吃掉补充体力的…… 如今学校决定在某个时刻在某一段种上一种树，保证任一时刻不会出现两段相同种类的树，现有两个操作： K=1，读入l,r表示在l~r之间种上的一种树 K=2，读入l,r表示询问l~r之间能见到多少种树 （l,r>0） 输入第一行n,m表示道路总长为n，共有m个操作 接下来m行为m个操作 输出对于每个k=2输出一个答案 样例输入 5 4 1 1 3 2 2 5 1 2 4 2 3 5 样例输出 1 2 括号序列+树状数组 什么是括号序列下面简单介绍一下（感谢tiger教会我） 假设有一个长度是20的数轴，现在我们要在2 15之间种上一种树，那么我们可以在2处添加一个‘（’,在15的地方添加一个‘）’，这就是简单的括号序列。 如果要统计某个区间树的种类，例如3 10，我们只需要统计10之前（包括10）有多少个‘（’，统计3之前有多少个‘）’，（不包括3）。 这样光说可能很难理解，下面给一个实例。 左括号和右括号表示的是在这些区间内种上了树。（日，感觉有点像在画大便） 假设这时候需要统计的是 5 10之间有多少种树，那么，只要在10之前种的树都是有效的（这时候先不管5的限制），也就是统计左括号的个数，一共是6个，下面加上5个限制，也就是说，在5之前，我们统计一下有多少右括号，也就是能与左括号匹配掉的括号有多少个？换句话说，就是有多少种树被限制了（自己意会下把，实在是用文字说不出来）； 把程序也拿出来晒晒把（脑残的vijos，用writeln6个点超时，用write过了，还9ms） program vijos; var c1,c2:array[0..50000]of longint; n,m:longint; function lowbit(x:longint):longint; begin lowbit:=x and (x xor (x-1)); end; procedure addl(i:longint); begin while i<=n do begin inc(c1[i]); inc(i,lowbit(i)); end; end; procedure addr(i:longint); begin while i<=n do begin inc(c2[i]); inc(i,lowbit(i)); end; end; function findl(i:longint):longint; begin findl:=0; while i>0 do 从《Cash》谈一类分治算法的应用 分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同．求出子问题的解，就可得到原问题的解．分治算法非常基础，但是分治的思想却非常重要，本文将从今年NOI 的一道动态规划问题Cash开始谈如何利用分治思想来解决一类与维护决策有关的问题： 例一．货币兑换(Cash)1 问题描述 小Y最近在一家金券交易所工作．该金券交易所只发行交易两种金券：A ．每个持有金券的顾 纪念券（以下简称A券）和B纪念券（以下简称B券） 客都有一个自己的帐户．金券的数目可以是一个实数． 每天随着市场的起伏波动，两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金 券当天可以兑换的人民币数目．我们记录第K天中A券和B券的价值 分别为A K 和B K（元/单位金券）． 为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法．比例交易法分为两个方面： A) 卖出金券：顾客提供一个[0，100]内的实数OP 作为卖出比例，其意义为：将OP%的A券和OP%的B券以当时的价值兑换为人民币； B) 买入金券：顾客支付IP 元人民币，交易所将会兑换给用户总价值为IP 的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第K天恰好为Rate K； 例如，假定接下来 3 天内的A 假定在第一天时，用户手中有100 元人民币但是没有任何金 券．用户可以执行以下的操作： 1NOI 2007，货币兑换 注意到，同一天内可以进行多次操作． 小Y 是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算， 他已经知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate．他还希望 能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能够获得多少元钱． 算法分析 不难确立动态规划的方程： 设f [i]表示第i天将所有的钱全部兑换成A, B券，最多可以得到多少A券．很容易可以得到一个O(n2)的算法： f [1]←S * Rate[1] / (A[1] * Rate[1] + B[1]) Ans←S For i← 2 to n For j← 1 to i-1 x←f [j] * A[i] + f [j] / Rate[j] * B[i] If x > Ans Then Ans←x End For f [i] ←Ans * Rate[i] / (A[i] * Rate[i] + B[i]) End For Print(Ans) O(n2)的算法显然无法胜任题目的数据规模．我们来分析对于i的两个决策j 和k，决策j比决策k优当且仅当： (f [j] –f [k]) * A[i] + (f [j] / Rate[j] –f [k] / Rate[k]) * B[i] > 0． 不妨设f [j] < f [k]，g[j] = f [j] / Rate[j]，那么 (g[j] –g[k]) / (f[j] –f[k]) < -a[i] / b[i]． 这样我们就可以用平衡树以f [j]为关键字来维护一个凸线，平衡树维护一个点 几何证明——线段和差模型(中级) 【知识要点】 在几何证明中，我们经常遇到要求证明两条线段之和等于一条线段（c b a +=），或者两条线段之差等于一条线段（c b a -=）。在处理这类线段和差关系的问题时，我们常用“截长”与“补短”的方法。 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何问题化难为易的一种思想。截长就是在一条线段上截取成两段（一分为二），补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边（合二为一）。 截长法：如果要证明线段等式c b a +=，可以在长的一条线段a 上截取一条线段等于b （或者c ），然后只需证明线段a 上去掉b （或者c ）之后剩下的线段等于c （或者b ）就行了。 补短法：如果要证明线段等式c b a +=，可以先将短的两条线段b 和c 拼接在一起形成一条长线段d ，然后只需要证明d a =就行了。 截长补短的方法比较灵活，要根据具体的题目条件，作出相应的辅助线。 对于一些经典的截长补短模型，希望同学们能记住并掌握其用法，以便在遇到类似的几何情境时能迅速作出反应。 【经典例题】 例1、（1）正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，ο 45=∠EAF 。求证：BF DE EF +=。 F （2）正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，ο 45=∠EAF 。请问现在 BF DE EF 、、又有什么数量关系？ E （3）正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上，ο 45=∠EAF 。请问现在 BF DE EF 、、又有什么数量关系？ 例2、正三角形ABC 中，E 在AB 上，F 在AC 上ο60=∠EDF 。ο 120=∠=BDC DC DB ，。 线段的和差证明的问题 如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，求证：DE=AD-BE 已知在△ABC 中，∠B=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 和∠BCA ，求证：AE+CD=AC 在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，AD 为角平分线交CB 于点E ，AD ⊥CD ，请判断线段CD 与AE 的数量关系，请说明理由 已知在△ABC 中，∠B=2∠C ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，求证：AB+BD=AC 如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 上移动，∠EAF=45°，AF 交CD 于F ，连接EF ，求证：BE+DF=EF A C 变式：已知AF 平分∠DAE ，求证：AE=BE+DF 变式：已知EF=BE+DF ，求证：∠EAF=45° 如图，点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC ，垂足为M ，求证AM=DC+CM 已知在△ABC 的BC 边上取两点D 、F ，使BD=FC ，过D 、F 分别作BA 的平行线，依次交AC 于E 、G ，求证：AB=ED+GF 如图，已知△ABC 和△BED 都是等边三角形，且A 、E 、D 在一条直线上，求证：AB=BD+CD B C 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠BAD 和∠ABC 的平分线交于E ，且CD 过点E ，求证：AB=AD+BC 如图，已知在△ABC 中，∠A=108°，AB=AC ，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AC+CD=BC 在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠DAB 1）如图1，当∠DAB=120°时，∠B=∠D=90°时，求证：AB+AD=AC 2）如图2.当∠DAB=120°时，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明 3）如图3，当∠DAB=90°时，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明 △ABC 为等边三角形，点D 为BC 边上一点，连接AD,以AD 为边作等边△ADE(图1)，连接CE,易证：CE+DC=AC.当点D 在BC 延长线（或反向延长线）上时，其他条件不变，如图2、3两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给予证明。若不成立，请写出CE 、DC 、AC 之间的关系，并证明 B证明线段和差练习题(三角形全等)
数据结构总结
树状数组
华附高一入学测试说明
怎样证明线段平方的和、差关系
树状数组求区间和的一些常见模型
线段树
线段和差问题证明
Vijos 1448校门外的树(树状数组与线段树)
从《Cash》谈一类分治算法的应用
几何证明——线段和差模型(中级)
线段和差问题证明