人教版八年级上册分式方程教案
精锐教育学科教师辅导教案
学员编号： 年 级：八年级
课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：邱惠芳
课程主题：分式方程
授课时间：
学习目标 1.理解分式方程的定义
2．掌握分式方程的解法
3.学会解分式方程应用题
教学内容
1．方程
的解是． 2．解分式方程：．
3．解分式方程：+＝．
联系之前学的整式方程一元一次方程，如果未知数出现在分母，要怎么解方程呢？
3
2x 31-x 1+=3
x 911x 3x 32-=-+32x +1x
242x x +
【知识梳理1】
1.分式方程的定义
分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．
要点诠释：
（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.
（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和
都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.
【例题精讲】
题型一：分式方程的定义
例1.下列方程是关于x的分式方程的是（）
A．+x+1=0
B．=x-2
C．
D．3（x-2）=x-1
例2.下列各方程中是分式方程的是（其中a、b、c均为常数）（）
A．
B．
C．
D．
题型二：分式方程的解
例3.若关于x的方程无解，则m的值为（）
A．
B．-1
C．或-1
D．无法确定
例4.已知关于x的方程+=1的解为x=4，那么字母a的值是．
例5.若关于x的分式方程=a无解，则a的值为．
【变式练习】
1.下列方程中，是分式方程的个数是（）
①，②，③，④，⑤．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.阅读材料题
对于题目“若方程的解是正数，求a的取值范围．”有同学作了如下解答：【解析】
去分母，得 2x+a=-x+2
化简，得3x=2-a
所以欲使方程的解为正数，必须，得a＜2
所以当a＜2时，方程的解是正数．
上述解法是否有误？若有错误，请指出错误原因，并写出正确解法；
若无错误，请说明每一步变形的依据．
【知识梳理2】解分式方程
1.解分式方程的一般步骤
2．解分式方程的一般步骤
【温馨提示】
1．用分式方程中各项的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母．但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项．
2．解分式方程可能产生使分式方程无解的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤．
3.分式方程的解法：去分母法，换元法．
【例题精讲】
例1.解分式方程
（1）（2）
例2.用换元法解方程，可设y=，则原方程化为关于y的整式方程是．
例3.用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（）A．y2+2y-3=0
B．y2-2y-3=0
C．
D．
例4.方程-3有增根，则增根x= ．
【变式练习】
1.解分式方程
（1）（2）
11
1 32
x x
+-
-=-
2.若方程，设，则原方程可化为整式方程为．
3.如果方程产生增根，那么m的值为（）
A．3
B．0
C．-3
D．±1
【知识梳理3】解分式方程应用题
一．熟记一些常用的数量关系：
1.工程问题：工作量=工作效率×工作时间
2.行程问题：路程=速度×时间
3.销售问题：售价=进价+利润
4.数字问题：
二．列分式方程解应用题的一般步骤是：
找等量关系-设-列-解-检验-答。
1、审：审清题意，找出相等关系和数量关系；
2、设：根据所找的数量关系设出未知数；
3、列：根据所找的相等关系和数量关系列方程；
4、解：解方程；初中数学分式方程的解法 249
5、检：对所解的分式方程进行检验，包括两层，不仅要对实际问题有意义，还要对分式方程有意义；
6、答：写出分式方程的解。
【例题精讲】
例1：某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为（）
A．
B．
C．
D．
例2：(1)甲、乙两人同时从A地出发去B地,甲的速度是乙的1.5倍.已知A、B两地相距27千米,甲到达乙地3小时后,乙才到达,求甲、乙两人的速度.
(2)甲、乙两人同时从相距9千米的A、B两地同时出发,若相向而行,则1小时相遇,若同向而行,乙在甲前面,则甲走了18千米后追上乙,求甲、乙两人的速度.
1.下面说法中，正确的是（）
A．分式方程一定有解
B．分式方程就是含有分母的方程
C．分式方程中，分母中一定含有未知数
D．把分式方程化为整式方程，则这个整式方程的解就是这个分式方程的解
2.设y=x2+x，则方程x2+x+1=可变形为（）
A．y2-y-2=0
B．y2+y+2=0
C．y2+y-2=0
D．y2-y+2=0
3.“清明”期间，几名同学包租一辆面包车前往“宜兴竹海”游玩，面包车的租价为600元，出发时，又增加了4名学生，结果每个同学比原来少分担25元车费，设原来参加游玩的同学为x人，则可得方
程（）
A．B．
C．D．
4如果解关于x的分式方程出现了增根，那么m= ．
5.解方程：
6.某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？
7.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．求第一次每支铅笔的进价是多少元？
1.课堂错题收集
2.学霸笔记本：要求学生自主总结本次课内容（利用思维导图）
【课后作业】
1下列方程中是分式方程的是（）
A．
B．
C．（a、b为常数）
D．
2.若分式方程-=无解，则m的值是（）
A．-1或-2
B．-1或2
C．1或2
D．1或-2
3.用换元法解分式方程时，如果设，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是．
4.解方程：
（1）．（2）（x2+2x）=-5
5.（1）先化简，再求值：2a（a+b）-（a+b）2，其中，b=．
（2）解方程：
6.若方程有增根，求m的值．
7.佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
8.某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠，若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1 936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1 936元，请问该学校九年级学生有多少人？
9．某校为了进一步开展“阳光体育”活动，计划用2000元购买乒乓球拍，用2800元购买羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵14元．该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗？请说明理由．
【预习思考】
课程主题：分式单元复习
人教版八年级上册数学教案：第十五章 分式
第十五章分式 15．1分式 15．1.1从分数到分式 1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念． 2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件． 重点:理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 难点:能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 一、复习引入 1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？ 2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？ ①8m＋n 3 ；②1＋x＋y2；③ a2b＋ab2 3 ；④ a＋b 2 ；⑤ 2 x2＋2x＋1 ；⑥ 3 a2＋b2 ；⑦ 3x2－4 2x . 二、探究新知 1．分式的定义
(1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v千米/时． 轮船顺流航行90千米所用的时间为 90 30＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为 60 30－v 小时，所以 90 30＋v ＝ 60 30－v . (2)学生完成教材第127页“思考”中的题． 观察：以上的式子 90 30＋v ， 60 30－v ， S a ， V s ，有什么共同点？它们与分数有什么 相同点和不同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是A B (即A÷B)的形式．分数的分子A与 分母B都是整数，而这些式子中的A，B都是整式，并且B中都含有字母． 归纳：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫 做分式． 巩固练习：教材第129页练习第2题． 2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？ 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0 时，分式A B 才有意义． 学生自学例1. 例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ (1) 2 3x ；(2) x x－1 ；(3) 1 5－3b ；(4) x＋y x－y . 思考：如果题目为：当x为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？巩固练习：教材第129页练习第3题． 3．补充例题：当m为何值时，分式的值为0? (1) m m－1 ；(2) m－2 m＋3 ；(3) m2－1 m＋1 . 思考：当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？ 分析：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零． 三、归纳总结
八年级上册数学-分式的概念
1.1 分式 1.1.1分式的概念 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？（交流讨论） （1）每位小朋友分3 4 （2）分法： ①每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这 六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（36 = 48 ，即： 3326 == 4428 ? ? ）由此表明了什 么？ 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为：3 n ， 3 3n n ÷、相等吗？（ 3 3= n n ÷）这里的n
可以是实数吗？（n不能为0） (2) 33 4n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分 式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？ 这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二合作交流，探究新知 1 分式的概念填空： （1 ）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。 （2）一个梯形木板的面积是6 2 m，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩，b亩的稻田m kg，n kg，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式： 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整 式，分母含有字母） 一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式f g 叫分 式。 说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考：33a 44a 与分式相等吗？ 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗？ 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义，那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗？ 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。 用式子表示为：设h≠0,则f f h g g h ?= ?
八年级上册分式方程应用题分类讲解与训练(直接打印版)
八年级上册分式方程应用题分类讲解与训练 一、【行程中的应用性问题】 例1 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？ 分析： 等量关系：慢车用时=快车用时+ （小时） 例2 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度． 分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等． 解：设普通快车车的平均速度为x km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5x km ／h ，依题意，得 x x 6828-=x 5.1828 ，解得46x =， 经检验，46x =是方程的根，且符合题意． ∴46x =，1.569x =， 即普通快车车的平均速度为46km ／h ，直达快车的平均速度为69km ／h ． 评析：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，要要检验是否符合题意，即满足实际意义． 例3 A 、B 两地相距87千米，甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B 地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来，两人在距离B 地45千米C 处相遇，求甲乙的速度。 分析： 等量关系：甲用时间=乙用时间+ （小时） 例4 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？ 解： 设步行速度为x 千米／时，骑车速度为2x 千米／时，依题意，得： 603060
八年级上册数学-分式练习题
分式 一 下列各有理式中，哪些是整式，哪些是分式。 1x ， 2x π， 23a b ， 20.5xy y +， b c a +， 32y -+， 5x z y -， 18- 二 x 等于什么数时，分式的值为零。 （1） 3289x x -+ （2） 26412x x x -+- （3） 33x x -+ 三 当x 满足什么条件时，分式 211x x +-满足 （1）分式的值为零 （2）分式没有意义 （3）分式的值是1
四 不改变分式的值，把下列各式分子和分母中各项的系数都化为整数，并且使各项系数 最小。 （1）11231134 a b a b +- （2） 0.3 1.20.051 x x +- （3）22230.41010.64x y x y + - 五 不改变分式的值，使下列各式的分子与分母的最高次项的系数为正数。 （1）2 2311a a a a --+- （2）211x x -- （3）3 211 a a a ---+ 六 约分 （1）322222x x y x y xy -- （2）()()()()32 247474x y a b x y a b -+-+ （3）33222 y y y y y +-+-
分式的计算 一 先化简再求值 （1）2 232712 x x x x +--+ 其中13x =- （2）22 26362x xy y x x y xy ----+ 其中9x =-， 13y =- （3）22222222a b c bc c a b ab --+--+ 其中3a =， 7b =，2c =- 二 计算 （1）232231049x y a b ab xy ? （2）22346b a a b -? （3）322243x z xz y y ÷- （4）3 4224189xy x y x y ÷- （5）22212221 a a a a a a -+-+?+- （6）222233a b a a b a b a b ++÷-- （7）()22 22 4442x xy y x y x y -+-÷- （8）23222222x y x x x y x xy y x y x xy y -+÷?++--+
(完整版)人教版八年级数学上分式教案
15．1 分 式 第1课时 从分数到分式 教学目标 1．了解分式的概念，知道分式与整式的区别和联系． 2．了解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件． 3．理解分式的值为零、为正、为负时，分子分母应具备的条件． 教学重点 分式的意义． 教学难点 准确理解分式的意义，明确分母不得为零． 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： ) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h ，它沿江以最大船速顺流航行100 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等．江水的流速是多少？ 提示：顺流速度＝水速＋静水中的速度；逆流速度＝静水中的速度－水速． ●自主学习 指向目标 1．自学教材第127至128页． 2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分． 三、合作探究，达成目标 探究点一 分式的概念 活动一：阅读教材思考问题：式子S a ，V S 以及式子10020＋v 和6020－v 有什么共同特点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 展示点评：如果A ，B 表示两个________(整式)，并且B 中含有________(字母)，那么式子A B 叫做分式． 小组讨论：如何判断一个式子是否为分式？分式与整式有什么区别？
反思小结：判断一个式子是否为分式，可根据：①具有分数的形式；②分子、分母都是整式；③分母中含有字母，分式与整式的区别在于：分式的分母中含有字母，而整式的分母中不含字母． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二：(1)当x ≠0时，分式23x 有意义； (2)当x ≠1时，分式x x －1 有意义； (3)当b ≠53时，分式15－3b 有意义； (4)x ，y 满足__x≠y __时，分式x ＋y x －y 有意义． 展示点评：教师示范解答的一般步骤，强调分母不为零． 小组讨论：归纳分式有意义的条件． 反思小结：对于任何分式，分母均不能为零，即当分母不为零时，分式有意义；反之，分母为零时，分式无意义． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．知识小结——(1)学习了分式，知道了分式与分数的区别．(2)知道了分式有意义和值为零的条件． 2．思想方法小结——类比、转化等数学思想． 五、达标检测，反思目标 1．下列各式①2x ，②x ＋y 5，③12－a ，④x π－1 中，是分式的有( C ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 2．当x 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是( C ) A.x －1x 2 B.x ＋1x 2－1 C.x －1x 2＋1 D.x －1x ＋2 3．某食堂有煤m t ，原计划每天烧煤a t ，现每天节约用煤b(b 2.5.1可化为一元一次方程的分式方程 一 教学目标: (一) 知识教育点 1. 理解分式方程的意义,掌握分式方程的一般解法. 2. 了解解分式方程时可能产生增根的原因,并掌握验根的方法. (二) 能力训练点 1. 培养学生的分析能力. 2. 训练学生的运算技巧,提高解题能力. (三) 德育渗透点 转化的数学思想. (四) 美育渗透点. 通过本节的学习,进一步渗透化归的数学美. 二 学法引导: 1. 教学方法: 演示法和同学练习相结合，以练习为主． 2. 学生学法:选择一个较简单的题目入手,总结归纳出解分式方程的一般步骤.. 三 重点 难点 疑点及解决办法: (一) 重点 分式方程的解法及把分式方程化为整式方程求解的转化思想的渗透. (二) 难点 了解产生增根的原因,掌握验根的方法. (三) 疑点 分式方程产生增根的原因. (四) 解决办法 注重渗透转化的思想，同时要适当复习一元一次方程的解法. 四 课时安排: 一课时 五 教具准备: 投影仪 六 教学过程: (一) 课堂引入 1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程16 3242=--+x x 2．提出P53的问题 李老师的家离学校3千米,某一天早晨7点30分,她离开家骑自行车去学校.开始以每分钟150米的速度匀速行驶了6分钟,遇到交通堵塞,耽搁了4分钟;然后她以每分钟v 米的速度匀速行驶到学校.设她从家到学校总共花的时间为t 分钟. 问: (1) 写出t 的表达式; (2) 如果李老师想在7点50分到达学校,v 应等于多少? 分析:① 李老师在遇到交通堵塞时,已经走了多少米?还剩下多少米? ② 剩下的这一段路需要多少分钟? ③ 如果李老师想在7点50分到达学校,那么她从家到学校总共花的时间t 等于多少? 由此可以得出: 第十五章 分式 15.1分式 15.1.1从分数到分式 一、教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同 点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 1-m m 3 2 +-m m 11 2+-m m 45 22--x x x x 235 -+2 3 +x x x 57+x x 3217-x x x --221 第八讲 分式方程 考点综述： 中考对于分式方程的主要要求包括分式方程的概念以及解法，会检验分式方程的根，分式方程的应用也是中考考查的重点和热点。 典型例题： 例1：解方程： （1）（2007连云港） 11322x x x -=--- （2）（2007德州）解方程：120112x x x x -+=+- （3）（2007宁波）解方程21124x x x -=-- 解：（1）方程两边同乘(2)x -，得1(1)3(2)x x =----． 解这个方程，得2x =． 检验：当2x =时，20x -=，所以2x =是增根，原方程无解 （2）两边同乘以(1)(12)x x +-， 得(1)(12)2(1)0x x x x --++=； 整理，得510x -=； 解得 15 x = ． 经检验，15x =是原方程的根． （3）方程两边同乘(x-2)(x+2)，得 x(x+2)-(x 2-4)=1， 化简，得2x=－3 x=－3/2， 经检验，x=－3/2是原方程的根． 例2：（2007沈阳）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队 单独完成此项工程所需天数的45 ，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 解：设甲施工队单独完成此项工程需x 天， 则乙施工队单独完成此项工程需45 x 天， 根据题意，得 10x ＋1245x ＝1 解这个方程，得x ＝25 经检验，x ＝25是所列方程的根 当x ＝25时，45 x ＝20 答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天． 实战演练： 1.（2008安徽）分式方程112 x x =+的解是（ ） A . x=1 B . x =－1 C . x=2 D . x =－2 2.（2008荆州）方程21011x x x -+=--的解是（ ） A .2 B .0 C .1 D .3 3.（2008西宁）“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（ ） A ．12012045x x -=+ B ． 12012045x x -=+ C ．12012045x x -=- D ．12012045x x -=- 4.（2008襄樊）当m = 时，关于x 的分式方程213 x m x +=--无解． 5.（2008大连）轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同．已知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x 千米/时，可列方程为_________________________________． 6.（2008泰州）方程 22123=-+--x x x 的解是=x __________. 7.解方程： （1）（2008赤峰）2112323x x x -=-+ （2）（2008南京）22011 x x x -=+- 8.（2008咸宁） A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 初中数学人教版八年级上册实用资料 第十五章 分式 15．1 分 式 15．1.1 从分数到分式 1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念． 2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件． 重点 理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 难点 能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 一、复习引入 1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？ 2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？ ①8m ＋n 3；②1＋x ＋y 2；③a 2b ＋ab 23；④a ＋b 2；⑤2x 2＋2x ＋1；⑥3a 2＋b 2；⑦3x 2－42x . 二、探究新知 1．分式的定义 (1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时． 轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为60 30－v 小时， 所以9030＋v ＝60 30－v . (2)学生完成教材第127页“思考”中的题． 观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，V s ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是A B (即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是 整数，而这些式子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母． 归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 巩固练习：教材第129页练习第2题． 2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？ 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B 才有意义． 典型题: 1．把分式)0(2≠-a a b a 中的字母的a ，b 都同时缩小3倍，那么分式的 值是 A 、扩大3倍 B 、缩小3倍 C 、改变 D 、不改变 2.将分式323x y xy -中的字母x ，y 都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A ．不变; B ．扩大为原来的3倍 C ．扩大为原来的9倍; D ．缩小为原来的 1 3 3．⑴若 1 3 +a 表示一个整数，则整数a ＝ . ⑵若分式23 x x -的值为负数，则x 的取值范围 ． 4. ⑴当x 时，分式 7 2 53-+÷ -+x x x x 有意义； ⑵ 若022(1)(1)2 x x x x -+--++-有意义，则x . 5．已知 322(2)(5)25 x a b x x x x -=-+-+-，则a =________．b =________． 6．⑴已知31=+ x x ，分式221 x x +=________； ⑵已知m 满足01102 =+-m m ，则4 4-+m m ＝____． 7．⑴若x 2 －4x ＋1＝0，则2 421 x x x ++的值为________； ⑵已知2 1 12=+-x x x ，则24 21x x x ++＝________． 8．⑴若 2 1 =-y y x ，则y x ＝___________； ⑵已知 b a b a +=+511，则b a a b +＝________________． 9．已知1=ab ，设11+++=b b a a M ，1 1 11++ +=b a N ，则M 和N 的大小关系是________． 10．已知1=ab ，2=+b a 则式子 b a a b +＝________；221 1b a +＝________； 11．⑴已知已知2 111=-b a ，则b a ab -的值为 ； ⑵已知11m n -＝3，那么2322m mn n m mn n +---的值为________． 12．⑴若234a b c ==，则325a b c a b c -+++＝ ； ⑵已知5:3:2::=c b a ，则分式c b a c b a 32+-++＝ ． 13. 一件工作,甲独做a 小时完成,乙独做b 小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时. A. 11a b + B.1ab C.1a b + D.ab a b + 14．一个人要翻过两座山到另外一个村庄，途中的道路不是上山就是下山，已知他上山的速度为u ，下山的速度为u ′，单程的路程为s ．则这个人往返这个村庄的平均速度为（ ） '2'2' . . . . 2' ' ' u u s suu uu A B C D s u u u u u u ++++ 分式方程的增根 15．⑴若分式方程 a x a x =-+1 无解，则a 的值为_________； ⑵若关于x 的分式方程13 1=---x x a x 无解，则a ＝ . 16．m 为 ，关于x 的方程2 34222+=-+-x x mx x 会产生增根？ 17.当k ＝ 时，方程x k x -- =-111 3 会产生增根； 分式方程的解 18.若关于x 的方程212 x a x +=--的解是非负数,则a 的取值范围是 一、八年级数学分式解答题压轴题（难） 1．已知分式 A =2344(1)11 a a a a a -++-÷-- （1）化简这个分式； （2）当 a ＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B ，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由； （3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和． 【答案】（1） 22a a +-；（2）原分式值变小了，见解析；（3）11 【解析】 【分析】 （1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得； （2）根据题意列出算式2622 a a A B a a ++-=--+，化简可得16(2)(2)A B a a -=-+，结合a 的范围判断结果与0的大小即可得； （3）由24122 a A a a += =+--可知，2a -=±1、±2、±4，结合a 的取值范围可得． 【详解】 解：（1）A=2344(1)11 a a a a a -++-÷-- =22 1311(2)a a a a ---?-- =2 (2)(2)11(2)a a a a a +--?-- =22 a a +-； （2）变小了，理由如下： ∵22 a A a += -， ∴62 a B a +=+， ∴261622(2)(2)a a A B a a a a ++-=-=-+-+； ∵2a >， ∴20a ->，24a +>， ∴0A B ->， ∴分式的值变小了； （3）∵A 是整数，a 是整数， 则24122 a A a a += =+--， ∴21a -=±、2±、4±， ∵1a ≠， ∴a 的值可能为：3、0、4、6、-2； ∴3046(2)11++++-=； ∴符合条件的所有a 值的和为11． 【点睛】 本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 2．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时，∵2()20a b a ab b -=-+≥，∴2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当0x >时，1x x +的最小值为_______；当0x <时，1x x +的最大值为__________． (2)当0x >时，求2316x x y x ++=的最小值． (3)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值． 【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25 【解析】 【分析】 （1）当x ＞0时，按照公式ab a=b 时取等号）来计算即可；x ＜0时，由于-x ＞0，-1x ＞0，则也可以按照公式ab a=b 时取等号）来计算； （2）将2316x x y x ++=的分子分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】 15．1分式 15．1.1从分数到分式 1．了解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，会求分式的值．(重点) 2．理解当分母不为零时分式才有意义；在分式有意义的条件下，会求分式的分母中所含字母的取值范围；会确定分式的值为零的条件．(难点) 一、情境导入 多媒体展示，学生欣赏一组图片(长江三峡)． 长江三峡自古以来就是四川通往中原的重要水路，也是秀美壮丽、享誉中外的世界旅游胜地．早在1500多年前的魏晋时期，地理学家郦道元就在他的著作《水经注》中留下一段生动的描述：“有时朝发白帝城，暮至江陵，期间千二里，虽乘龙御风，不以疾也．” 多媒体出示以下问题： (1)如果客船早6时从白帝城启航，顺水而下，傍晚6时到达江陵，航程600千米，客船航行的平均速度约为多少千米/小时？ (2)如果客船8小时航行了s千米，该船航行的平均速度是多少？ (3)如果客船在静水中的航行速度为v千米/小时，江水流动的平均速度为20千米/小时．那么客船顺水而下，航行600千米需多少时间？如果客船逆水航行s千米，需要多少时间？ 你能解答情境导入中的问题吗？与同学交流． 二、合作探究 探究点一：分式的概念 【类型一】 判断代数式是否为分式 在式子1a 、2xy π、3a 2b 3 c 4、56＋x 、x 7＋y 8、9x ＋10y 中，分式的个数有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 解析：1a 、56＋x 、9x ＋10y 这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．其他式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选B. 方法总结：分母中含有字母的式子就是分式，注意π不是字母，是常数． 【类型二】 探究分式的规律 观察下面一列分式：x 3y ，－x 5y 2，x 7y 3，－x 9 y 4，…(其中x ≠0)． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n (n 为正整数)个分式，并简单说明理由． 解析：(1)根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系得出答案；(2)利用(1)中数据的变化规律得出答案． 解：(1)观察各分式的规律可得：第6个分式为－x 13 y 6；(2)由已知可得：第n (n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1 ×x 2n ＋1 y n ，理由：∵分母的底数为y ，次数是连续的正整数，分子底数是x ，次数是连续的奇数，且偶数个为负，∴第n (n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1 ×x 2n ＋1 y n . 方法总结：此题主要考查了分式的定义以及数字变化规律，得出分子与分母的变化规律是解题关键． 【类型三】 根据实际问题列分式 每千克m 元的糖果x 千克与每千克n 元的糖果y 千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为( ) A. nx ＋my x ＋y 元 B.mx ＋ny x ＋y 元 C.m ＋n x ＋y 元 D.12(x m ＋y n )元 解析：由题意可得杂拌糖每千克的价格为 mx ＋ny x ＋y 元．故选B. 方法总结：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，列出代数式． 八年级上册数学分式方程应用题及答案 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT 八年级数学下分式方程应用练习1、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要40分完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分才能完工。问：乙单独整理需多少分钟完工 2、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900千克和1500千克，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300千克，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克 3、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。求步行的速度和骑自行车的速度。 4、小兰的妈妈在供销大厦用元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜元，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多，问：她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶 5、某商店经销一种纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。 ⑴求这种纪念品4月份的销售价格。 ⑵若4月份销售这种纪念品获利800元，问：5月份销售这种纪念品获利多少元 6、、某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款万元，乙工程队款万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天； 方案三：若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独完成，也正好如期完成。 试问：在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款请说明理由。7、一个分数的分母比分子大7，如果把此分数的分子加17，分母减4，所得新分数是原分数的倒数，求原分数。 8、今年某市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也行动起来捐款打井抗旱，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少 9、、某超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了元，购进苹果数量是试销时的2倍。⑴试销时该品种苹果的进价是每千克多少元 ⑵如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元 10、某公司开发的960件新产品必须加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工48件产品的时间与乙工厂单独加工72件产品的时间相等，而且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导。⑴甲、乙两个工厂每天各能加工多少件产品 ⑵该公司要选择既省时又省钱的工厂加工产品，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，有望加工这批产品 八年级数学上册《分式的概念》教案 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质 难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？ （交流讨论） （1）每位小朋友分 34 （2）分法： ① 每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的34 ② 为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这六块占一个苹果的68 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（ 36=48，即：3326==4428??）由此表明了什么？ 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为： 3n ，33n n ÷、相等吗？（33=n n ÷）这里的n 可以是实数吗？（n 不能为0） (2) 3 34n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？ 这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二合作交流，探究新知 1 分式的概念填空： （1 ）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。（2）一个梯形木板的面积是6 2 m，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩，b亩的稻田m kg，n kg，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式： 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，分母 含有字母） 一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式f g 叫分式。 说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考：33a 44a 与分式相等吗？ 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗？ 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义，那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗？ 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。 用式子表示为：设h≠0,则f f h g g h ?= ? 3 分式的值为零的条件和分式有意义的条件 例1 求分式 5 6 x x - + 的值，（1）x=3, (2)x= 2 5 - 思考：（1）要是分式 5 6 x x - + 的值为零，x应等于多少？要使分式 (5) (6)(-5) x x x - + 的值为零，x 应等于多少？ 分式值为零的条件是什么？（分子为零，分母不等于零） 15．2 分式的运算 第1课时 分式的乘除(一) 教学目标 1．理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算． 2．经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性． 教学重点 理解并掌握分式的乘除法则． 教学难点 运用法则，熟练地进行分式乘除运算． 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： ) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 1．计算，并叙述你应用的运算法则． (1)34×59；(2)34÷59 . 2．(1)见课本P 135的问题1：长方体容器的高为V ab ，水面的高度就为：V ab ·m n . (2)见课本P 135的问题2：大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的? ?? ??a m ÷b n 倍． 从上面的问题可知，讨论数量关系有时需要进行分式的乘除运算，如何进行相关运算呢，这就是我们这节课学习的主要内容． 二、自主学习，指向目标 1．自学教材第135至137页． 2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分． ●合作探究 达成目标 探究点一 分式的乘除法运算法则 活动一：阅读教材，思考问题：类比分数乘除法则，你能说出分式乘除法法则吗？ 观察下列运算： 23×45＝2×43×5；57×29＝5×27×9，23÷45＝23×54＝2×53×4，57÷29＝57×92＝5×97×2. 【小组讨论】 1.a b ×d c ＝？ b a ÷d c ＝？ 如何进行运算？ 2．其运算方法和分数的乘除法有何联系？ 展示点评：类似于分数，分式有： (1)分式的乘法法则：分式乘以分式，用________的积做积的分子，________的积作为积的分母． (2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的________．________颠倒位置后，与被除式________． a b ÷c d ＝a b ×________＝________. 小组讨论：分式的乘除运算与分数的乘除运算有什么联系？ 反思小结：分数的乘除法运算实际上就是分式乘除运算的一种特殊形式，分式的乘除法运算就是对分数乘除法运算的深化． 活动二：计算： (1)4x 3y ·y 2x 3 (2)ab 3 2c 2÷－5a 2b 2 4cd 解：(1)原式＝23x 2 (2)原式＝－2bd 5ac 例2 计算： (1)a 2 －4a ＋4a 2－2a ＋1·a －1 a 2－4 (2)149－m 2÷1m 2 －7m 解：(1)原式＝a －2 （a －1）（a ＋2） (2)原式＝－m m ＋7 展示点评：分式的乘除时不漏项，结果要化成最简． 小组讨论：例2和例1有什么不同？分式的乘除运算时应注意什么问题？ 反思小结：分式乘除运算，结果是分式应化为最简分式；运算过程中分子、分母是多项式时，先分解因式再运算． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二 分式乘除法的简单运用 活动三：如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m 的正方形去掉一个边长为1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a －1) m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg. (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 思考完成下列3个问题： 1．列出表示两块试验田单位面积产量的代数式：“丰收1号”________；“丰收2 分式练习题 一、选择题 1．在下列各式中：22a ，1 a b +，1 a x -，2x x ，2m -，x y x +，分式的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．2 2．下列各式中不是分式的是（ ） A ．3x B ． x x C ． ab xy D ． 1 1x - 3．已知分式2133x x -+的值等于零，x 的值为（ ） A ．1 B ．1± C ． 1- D ． 1 2 4．实数a 、b 在数轴上的对应点如图，则代数式a b a b -+的值（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不能确定 5.下列各式正确的是（ ） A 、11++=++b a x b x a B 、22x y x y = C 、()0,≠=a ma na m n D 、a m a n m n --= 6.下列各分式中，最简分式是（ ） A 、()()y x y x +-8534 B 、y x x y +-22 C 、222 2xy y x y x ++ D 、() 2 22y x y x +- 7.在等式22 211a a a a a M +++=+中，M 的值为 （ ） A. a B. 1a + C. a - D. 2 1a - 8．如果分式1 3 x x +-有意义，那么x 的取值范围是 （ ） A ．0x ≠ B ．1x ≠- C ．3x ≠± D ．3x =± 9．下列式子正确的是（ ） A ．22b b a a = B ．0a b a b +=+ C ．1a b a b -+=-- D ．0.10.330.22a b a b a b a b --= ++ 10.下列分式中，计算正确的是( ) A 、32)(3)(2+=+++a c b a c b B 、b a b a b a +=++1 2 2 C 、1)()(22-=+-b a b a D 、 x y y x xy y x -=---1 222 11.若把分式xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值( ) A 、扩大3倍 B 、不变 C 、缩小3倍 D 、缩小6倍 12．已知1m +1n =1m n +，则n m +m n 等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．2 13． 6 1x +表示一个整数，则整数x 的可能取值的个数是（ ） A ．8 B ．6 C ．5 D ．4 14.若0≠-=y x xy ，则分式=-x y 11（ ） A 、xy 1 B 、x y - C 、1 D 、-1 15．汽车从甲地开往乙地，每小时行驶1v 千米，t 小时后可以到达，如果每小时多行驶2v 千米，那么可以提前到达的 小时数是 （ ） A ．212v t v v + B ．112v t v v + C ．1212v v v v + D ．1221 v t v t v v - 二、填空题 1.x 时，分式 4 2 -x x 有意义；当x 时，分式1223+-x x 有意义.八年级上册数学-分式方程教案
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