人教版八年级上册数学期末复习：分式方程
专题 分式方程
?解读考点
?2年中考
【2015年题组】
1．（2015海南省）方程322x x =-的解为（ ） A ．2x = B ．6x = C ．6x =- D ．无解
【答案】B ．
【解析】
试题分析：方程两边同乘以x （x ﹣2），得3（x ﹣2）=2x ，解得x=6，
将x=6代入x （x ﹣2）=24≠0，所以原方程的解为：x=6，故选B ．
考点：解分式方程．
2．（2015遵义）若x=3是分式方程0212=---x x a 的根，则a 的值是（ ）
A ．5
B ．﹣5
C ．3
D ．﹣3
【答案】A ．
【解析】
试题分析：∵x=3是分式方程0212=---x x a 的根，∴210332a --=-，∴
213a -=，∴a ﹣2=3，∴a=5，即a 的值是5．故选A ．
考点：分式方程的解．
3．（2015济宁）解分式方程22311x x x 时，去分母后变形为（ ）
A ．2+（x+2）=3（x ﹣1）
B ．2﹣x+2=3（x ﹣1）
C ．2﹣（x+2）=3（1﹣x ）
D ．2﹣（x+2）=3（x ﹣1）
【答案】D ．
【解析】
试题分析：方程两边都乘以x ﹣1，得：2﹣（x+2）=3（x ﹣1）．故选D ．
考点：解分式方程．
4．（2015齐齐哈尔）关于x 的分式方程52a x x =-有解，则字母a 的取值范围是
（ ）
A ．a=5或a=0
B ．a≠0 C．a≠5 D．a≠5且a≠0
【答案】D ．
考点：分式方程的解．
5．（2015枣庄）关于x 的分式方程211x a x -=+的解为正数，则字母a 的取值范围
为（ ）
A ．1a ≥-
B ．1a >-
C ．1a ≤-
D ．1a <-
【答案】B ．
【解析】
试题分析：分式方程去分母得：2x ﹣a=x+1，解得：x=a+1，根据题意得：a+1＞0
且a+1+1≠0，解得：a ＞﹣1且a≠﹣2．即字母a 的取值范围为a ＞﹣1．故选B ． 考点：分式方程的解．
6．（2015南宁）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号Max{a ，b}表示a 、b 中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程
{}21x Max x x x +-=，的解
为（ ）
A ．21-
B ．22-
C ．12+或21-
D ．12+或﹣1
【答案】D ．
考点：1．解分式方程；2．新定义；3．综合题．
7．（2015岳阳）岳阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本
作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为x 元，则下列
所列方程正确的是（ ） A ．2003503x x =- B ． 2003503x x =+ C ．2003503x x =+ D ．
2003503x x =- 【答案】B ．
【解析】
试题分析：设每个笔记本的价格为x 元，则每个笔袋的价格为（x+3）元，由题
意得：
2003503x x =+，故选B ． 考点：由实际问题抽象出分式方程．
8．（2015鄂尔多斯）小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月
再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x 本笔
记本，则根据题意可列方程（ ）
A ．120224=-+x x
B ．122420=+-x x
C ．=1
D ．=1
【答案】B ．
【解析】
试题分析：设他上月买了x 本笔记本，则这次买了（x+2）本，根据题意得：
2020412x x +-=+，即：122420=+-x x ．故选B ．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
9．（2015襄阳）分式方程21
10051025x
x x 的解是 ．
【答案】15x =．
【解析】
试题分析：去分母得：5100x --=，解得：15x =，经检验15x =是分式方程的
解．故答案为：15x =．
考点：解分式方程．
10．（2015龙东）关于x 的分式方程02142=+--x x m 无解，则m= ．
【答案】0或﹣4．
考点：1．分式方程的解；2．分类讨论．
11．（2015毕节）关于x 的方程2430x x -+=与121x x a =-+有一个解相同，则
a= ．
【答案】1．
【解析】
试题分析：由关于x 的方程2430x x -+=，得：（x ﹣1）（x ﹣3）=0，∴x ﹣1=0，
或x ﹣3=0，解得x=1或x=3；当x=1时，分式方程121x x a =-+无意义；当x=3
时，12313a =-+，解得a=1，经检验a=1是原方程的解．故答案为：1．
考点： 1．分式方程的解；2．解一元二次方程-因式分解法；3．分类讨论．
12．（2015淄博）为充分利用雨水资源，幸福村的小明家和相邻的爷爷家采取了
修建蓄水池、屋顶收集雨水的做法．已知小明和爷爷家的屋顶收集雨水的面积、蓄水池的容积和蓄水池已有水的量如表： 小明家 爷爷家
屋顶收集雨水面积（m 2） 160
120 蓄水池容积（m 3）
50 13 蓄水池已有水量（m 3）
34 11.5 气象预报即将会下雨，为了收集尽可能多的雨水，下雨前需从爷爷家的蓄水池中
抽取多少立方米的水注入小明家的蓄水池？【答案】6．
考点：分式方程的应用．
13．（2015嘉兴）小明解方程12
1
x
x x
-
-=
的过程如图．请指出他解答过程中的错
误，并写出正确的解答过程．
【答案】小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验，正确解法见试题解析．
【解析】
试题分析：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验，写出正确的解题过程即可．
试题解析：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；
正确解法为：方程两边乘以x，得：1﹣（x﹣2）=x，去括号得：1﹣x+2=x，移
项得：﹣x﹣x=﹣1﹣2，合并同类项得：﹣2x=﹣3，解得：
3
2
x=
，经检验
3
2
x=
是
分式方程的解，则方程的解为
3
2
x=
．
考点：1．解分式方程；2．阅读型．
14．（2015宜宾）列方程或方程组解应用题：近年来，我国逐步完善养老金保险
制度．甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲
计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老
保险金多少万元？
【答案】0.6万元，0.4万元．
考点：1．分式方程的应用；2．应用题．
15．（2015贵港）某工厂通过科技创新，生产效率不断提高．已知去年月平均生
产量为120台机器，今年一月份的生产量比去年月平均生产量增长了m%，二月
份的生产量又比一月份生产量多50台机器，而且二月份生产60台机器所需要时
间与一月份生产45台机器所需时间相同，三月份的生产量恰好是去年月平均生
产量的2倍．
问：今年第一季度生产总量是多少台机器？m 的值是多少？
【答案】590，m 的值是25．
【解析】
试题分析：今年一月份生产量为：120（1+m%）；二月份生产量：120（1+m%）+50；根据题意列出方程并解答．
试题解析：设去年月平均生产效率为1，则今年一月份的生产效率为（1%m +），二月份的生产效率为51%12m ++．根据题意得：6045
51%
1%12m m =+++，解得：m%=1
4，即25m =．经检验可知25m =是原方程的解．∴m=25．∴第一季度的总
产量=120×1.25+120×1.25+50+120×2=590．
答：今年第一季度生产总量是590台，m 的值是25．
考点：1．分式方程的应用；2．综合题．
16．（2015连云港）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优
惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买
的门票张数，现在只花费了4800元．
（1）求每张门票的原定票价；
（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票
价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．
【答案】（1）400；（2）10%．
考点：1．一元二次方程的应用；2．分式方程的应用；3．增长率问题．17．（2015成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
【答案】（1）120件；（2）150元．
考点：1．分式方程；2．一元一次不等式的应用；3．应用题．
18．（2015德阳）大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米，里料0.8米，已知面料的单价比里料的单价的2倍还多10元，一件外套的布料成本为76元．（1）求面料和里料的单价；
（2）该款外套9月份投放市场的批发价为150元/件，出现购销两旺态势，10月份进入批发淡季，厂方决定采取打折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用14元，为确保每件外套的利润不低于30元．
①设10月份厂方的打折数为m，求m的最小值；（利润=销售价﹣布料成本﹣固定费用）
②进入11月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对VIP客户在10月份最低折扣价的基础上实施更大的优惠，对普通客户在10月份最低折扣价的基础上实施价格上浮．已知对VIP客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个VIP 客户用9120元批发外套的件数和一个普通客户用10080元批发外套的件数相同，求VIP客户享受的降价率．
【答案】（1）面料的单价为50元/米，里料的单价为20元/米；（2）①8；②5%．【解析】
试题分析：（1）设里料的单价为x元/米，面料的单价为（2x+10）元/米，根据题意列方程求解即可；
（2）①设打折数为m，根据题意列不等式求解即可；
②设vip客户享受的降价率为x，然后根据VIP客户与普通用户批发件数相同列方程求解即可．
考点：1．分式方程的应用；2．一元一次方程的应用；3．一元一次不等式的应
用；4．最值问题．
19．（2015咸宁）在“绿满鄂南”行动中，某社区计划对面积为1800m2的区域
进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面
积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化
时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积．
（2）设甲工程队施工x 天，乙工程队施工y 天，刚好完成绿化任务，求y 与x
的函数解析式．
（3）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲乙
两队施工的总天数不超过26天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费
用最低？并求出最低费用．
【答案】（1）甲工程队每天能完成绿化的面积是100m2，乙工程队每天能完成绿
化的面积是50m2；（2）y=36﹣2x ；（3）安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低．
【解析】
试题分析：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意列方程求解
即可；
（2）由题意得到100x+50y=1800，整理得：y=36﹣2x ，即可解答．
（3）由甲乙两队施工的总天数不超过26天，得到x≥10，设施工总费用为w 元，由题意得：w=0.1x+9，根据一次函数的性质，即可解答．
试题解析：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：
40040042x x -=，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，则甲工程队每天能
完成绿化的面积是50×2=100（m2）；
答：甲工程队每天能完成绿化的面积是100m2，乙工程队每天能完成绿化的面积
是50m2；
（2）根据题意，得：100x+50y=1800，整理得：y=36﹣2x ，∴y 与x 的函数解析
式为：y=36﹣2x ；
（3）∵甲乙两队施工的总天数不超过26天，∴x+y≤26，∴x+36﹣2x≤26，解得：x≥10，设施工总费用为w元，根据题意得：w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25×（36﹣2x）=0.1x+9，∵k=0.1＞0，∴w随x减小而减小，∴当x=10时，w有最小值，最小值为0.1×10+9=10，此时y=36﹣20=16．
答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低．
考点：1．一次函数的应用；2．分式方程的应用；3．方案型；4．最值问题；5．综合题．
20．（2015牡丹江）夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调．已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题：（1）求甲、乙两种空调每台的进价；（2）若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过36000元购进空调，且甲种空调至少购进10台，并将所获得的最大利润全部用于为某敬老院购买1100元/台的A 型按摩器和700元/台的B型按摩器．直接写出购买按摩器的方案．
【答案】（1）甲种空调每台进价为2000元，乙种空调每台进价为1500元；（2）y=200x+6000；（3）有两种购买方案：①A型0台，B型12台；②A型7台，B型1
台．
考点：1．一次函数的应用；2．分式方程的应用；3．一元一次不等式组的应用；4．应用题；5．最值问题；6．方案型．
21．（2015赤峰）李老师家距学校1900米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取手机，
随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟．
（1）求李老师步行的平均速度；
（2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由．
【答案】（1）李老师步行的平均速度为76m/分钟；（2）李老师能按时上班．
考点：1．分式方程的应用；2．行程问题．
22．（2015泰安）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？
【答案】（1）甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件；（2）5960元．
【解析】
考点：分式方程的应用．
23．（2015葫芦岛）某中学要进行理、化实验加试，需用九年级两个班级的学生
整理实验器材．已知一班单独整理需要30分钟完成．
（1）如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由
二班单独整理15分钟才完成任务，求二班单独整理这批实验器材需要多少分
钟？
（2）如果一、二的工作效率不变，先由二班单独整理，时间不超过20分钟，剩
余工作再由一班独立完成，那么整理完这批器材一班至少还需要多少分钟？
【答案】（1）60；（2）20．
【解析】
试题分析：（1）设二班单独整理这批实验器材需要x 分钟，根据题意列方程：
111515()130x x ++=，求出x 的值，再进行检验即可；
（2）设一班需要m 分钟，则2013060m +≥，解不等式即可．
试题解析：（1）设二班单独整理这批实验器材需要x 分钟，则
111515()130x x ++=，解得x=60．
经检验，x=60是原分式方程的根．
答：二班单独整理这批实验器材需要60分钟；
（2）方法一：设一班需要m 分钟，则2013060m +≥，解得m≥20，
答：一班至少需要20分钟．
方法二：设一班需要m 分钟，则2013060m +=，解得m=20．
答：一班至少需要20分钟．
考点：1．分式方程的应用；2．一元一次不等式的应用；3．应用题．
24．（2015抚顺）某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个
甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元
购买乙礼品的数量相等．
（1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？
（2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的
总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？
【答案】（1）甲礼品100元，乙礼品60元；（2）5．
考点：1．分式方程的应用；2．一元一次不等式的应用；3．最值问题．
【2014年题组】
1.（2014年广西贵港3分）分式方程213x 1x 1=--的解是（ ）
A ．x=﹣1
B ．x=1
C ．x=2
D ．无解
【答案】C ．
【解析】
试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经
检验即可得到分式方程的解．去分母得：x+1=3，解得：x=2．
经检验x=2是分式方程的解．
故选C ．
考点：解分式方程．
2．（2014年广西来宾3分）将分式方程12x x 2=-去分母后得到的整式方程，正
确的是（ ）
A ．x ﹣2=2x
B ．x2﹣2x=2x
C ．x ﹣2=x
D ．x=2x ﹣4
【答案】A ．
【解析】
试题分析：分式方程两边乘以最简公分母x （x ﹣2）即可得到结果：
去分母得：x ﹣2=2x ，故选A ．
考点：解分式方程的去分母法则．
3.（2014年黑龙江龙东地区3分）已知关于x 的分式方程m 31x 11x +=--的解是
非负数，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞2
B ．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m ＞2且m≠3
【答案】C ．
考点：1. 解分式方程；2.解一元一次不等式．
4.（2014年山东德州3分）分式方程()()x 31x 1x 1x 2-=--+的解是（ ）
A. x=1
B. x 15=-+无解
【答案】D ．
【解析】
试题分析：去分母得：x （x+2）﹣（x ﹣1）（x+2）=3，去括号得：x2+2x ﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．
故选D ． 考点：解分式方程．
5.（2014年福建福州4分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每
天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A ．600450x 50x =+
B ．600450x 50x =-
C ．600450x
x 50=+ D ．600450x x 50=- 【答案】A ．
【解析】
试题分析：要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系.本题等量关系为：
生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，即
600450x 5x =+. 故选A ．
考点：由实际问题抽象出分式方程（工程问题）．
6.（2014年甘肃天水4分）若关于x 的方程ax 110x 1+-=-有增根，则a 的值
为 ．
【答案】﹣1．
考点：分式方程的增根．
7.（2014年四川巴中3分）若分式方程x m 2x 11x -=--有增根，则这个增根是
_．
【答案】x=1．
【解析】
试题分析：分式方程的增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增
根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．因
此，根据分式方程有增根，得到x 10-=，即x=1，则方程的增根为x=1．
考点：分式方程的增根．
8.（2014年贵州安顺4分）小明上周三在超市恰好用10元钱买了几袋牛奶，周
日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多用了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了
x 袋牛奶，则根据题意列得方程为 ．
【答案】()10x 20.512x ??+-= ???．
【解析】
试题分析：要列方程，首先要根据题意找出关键描述语，确定相等关系．本题关
键描述语为：“每袋比周三便宜0.5元”；等量关系为：周日买的奶粉的单价×
周日买的奶粉的总数=总钱数．因此，根据题意，得出方程：
()10x 20.512x ??+-= ???．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
9.（2014年广西南宁6分）解方程：2x 21x 2x 4-=--． 【答案】x 1=-．
【解析】
试题分析：首先去掉分母，观察可得最简公分母是（x+2）（x ﹣2），方程两边乘
最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．
试题解析：去分母得：
()2
x x22x4
+-=-，解得：x1
=-．经检验x1
=-是分式方
程的根．
∴原方程的解为x1
=-．
考点：解分式方程．
10.（2014年贵州贵阳10分）2014年12月26日，西南真正意义上的第一条高铁﹣贵阳至广州高速铁路将开始试运行，从贵阳到广州，乘特快列车的行程约为1800km，高铁开通后，高铁列车的行程约为860km，运行时间比特快列车所用的时间减少了16h．若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的2.5倍，求特快列车的平均速度．
【答案】特快列车的平均速度为91km/h
考点：分式方程的应用（行程问题）．
?考点归纳
归纳 1：分式方程的有关概念
基础知识归纳：
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
2、分式方程的增根
分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．
基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．
注意问题归纳：未知数的系数必须不能为零；判断一个数增根的条件缺一不可：1、这个数是解化成的整式方程的根，2、使最简公分母为零．
【例1】方程
1
1
2
=
+
-
x
x
的解是（）
A ．1或﹣1
B ．﹣1
C ．0
D ．1
【答案】D ．
考点：解分式方程．
归纳 2：分式方程的解法
基础知识归纳：
1、解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．
基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．
注意问题归纳： 解完方程后一定要注意验根．
【例2】（2015贺州）解分式方程：2134412142x x x x +=--+-．
【答案】x=6．
考点：解分式方程．
归纳 3：分式方程的应用
基础知识归纳：
1、分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
（4）解方程．
（5）检验，看方程的解是否符合题意．
（6）写出答案．
2、解应用题的书写格式：
设→根据题意→解这个方程→答．
基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．
注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．
【例3】端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260个，其中甲粽子比乙种粽子少用100元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？
【答案】解：设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x元，．
由题意得，()
300
400
260
120%x x
+=
+，解得：x=2.5，经检验：x=2.5是原分式方程的解，（1+20%）x=3，则买甲粽子为：
300
3=100个，乙粽子为：
400
2.5=160个．答：乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子各购买100个、160个．
【解析】
试题分析：方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解. 本题设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x元，根据甲粽子比乙种粽子少用100元，可得甲粽子用了300元，乙粽子400元，根据共购进甲、乙两种粽子260个，列方程求解．
考点：分式方程的应用．
?1年模拟
1．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）分式方程
3
1
1(1)(2)
x
x x x
-=
--+的解是（）
A．x=1 B．x=-1+5 C．x=2 D．无解
【答案】D．
考点：解分式方程．
2．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）若关于x的方程=+1无解，则a的值为（）
A．1 B．2 C．1或2 D．0或2
【答案】C．
【解析】
试题分析：根据分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．因此把方程去分母得：ax=4+x﹣2，解得（a﹣1）x=2，因此可以分情况知：
当a﹣1=0即a=1时，整式方程无解，分式方程无解；
当a≠1时，x=
2
1
a- x=2时分母为0
，方程无解，即
2
1
a-=2，因此a=2时方程无解．故选C．
考点：分式方程的解．
3．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）某工厂现在平均每天比原计划多生产30台机器，现在生产500台机器所需时间与圆计划生产350台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，下面所列方程正确的是（）
A．
500350
30
x x
=
+B．
500350
30
x x
=
-C．
500350
30
x x
=
-D．
500350
30
x x
=
+
【答案】A．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
4．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得（）
A．
253010
(180%)60
x x
-=
+ B．
2530
10
(180%)
x x
-=
+
C．
302510
(180%)60
x x
-=
+ D．
3025
10
(180%)x x
-=
+
【答案】A．
【解析】
试题分析：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，得：
253010
(180%)60
x x
-=
+，故选A．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
5．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）某市政工程队准备修连一条长1200m的污水处理管道．在修建完400m后，为了能赶在讯期前完成，采用新技
术，工效比原来提升了25%．结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天修建管道xm，依题意列方程得（）
A．12001200
4
(125%)
x x
-=
+
B．
12004001200400
4
(125)%
x x
--
-=
+
C．
12001200400
4
(125%)
x x
-
-=
+ D．
12004001200400
4
(125)%
x x
--
-=
+
【答案】D．
【解析】
试题分析：设原计划每天修建管道xm，则实际每天修建管道（1+25%）xm，由题意得，
12004001200400
4
(125)%
x x
--
-=
+故选D．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
6．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）已知方程
3
55
x a
x x
=-
--有增根，则a的值为．
【答案】﹣5．
考点：分式方程的增根．
7．（2015届山东省日照市中考模拟）当m= 时，方程
1
33
x m
x x
=
-
--无解．【答案】2．
【解析】
试题分析：原方程化为整式方程得：x-1=m，因为方程无解，所以：x-3=0，∴x=3，当x=3时，m=3-1=2．故答案为：2．
考点：分式方程的解．
8．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）解分式方程：2
1
1
24
x
x x
-=
--．【答案】x=-1.5．
【解析】
试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
试题解析：去分母得：x（x+2）-x2+4=1，解得：x=-1.5，经检验x=-1.5是分式方程的解．
考点：解分式方程．
八年级上册数学-分式的概念
1.1 分式 1.1.1分式的概念 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？（交流讨论） （1）每位小朋友分3 4 （2）分法： ①每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这 六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（36 = 48 ，即： 3326 == 4428 ? ? ）由此表明了什 么？ 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为：3 n ， 3 3n n ÷、相等吗？（ 3 3= n n ÷）这里的n
可以是实数吗？（n不能为0） (2) 33 4n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分 式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？ 这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二合作交流，探究新知 1 分式的概念填空： （1 ）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。 （2）一个梯形木板的面积是6 2 m，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩，b亩的稻田m kg，n kg，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式： 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整 式，分母含有字母） 一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式f g 叫分 式。 说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考：33a 44a 与分式相等吗？ 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗？ 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义，那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗？ 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。 用式子表示为：设h≠0,则f f h g g h ?= ?
(完整版)人教版八年级数学上分式教案.docx
15 ． 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1．了解分式的概念，知道分式与整式的区别和联系． 2．了解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件． 3．理解分式的值为零、为正、为负时，分子分母应具备的条件． 教学重点 分式的意义． 教学难点 准确理解分式的意义，明确分母不得为零． 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h，它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间， 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等．江水的流速是多少？ 提示：顺流速度＝水速＋静水中的速度；逆流速度＝静水中的速度－水速． ● 自主学习指向目标 1．自学教材第 127 至 128 页． 2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分． 三、合作探究，达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一：阅读教材思考问题：式子a ，S以及式 子20＋ v 和 20－ v 有什么共同特点？它们与 分数有什么相同点和不同点？ 展示点评：如果 A，B 表示两个 ________( 整式 ) ，并且 B 中含有 ________( 字母 ) ，那么式A 子B叫做分式．
小组讨论：如何判断一个式子是否为分式？分式与整式有什么区别？
反思小结： 判断一个式子是否为分式，可根据：①具有分数的形式；②分子、分母都是整式；③分母中含有字母，分式与整式的区别在于：分式的分母中含有字母，而整式的分母中不含字母． 针对训练： 见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二： (1) 当 x ≠0时，分式 2 有意义； 3x (2) 当 x ≠1时，分式 x 有意义；x － 1 5 1 (3) 当 b ≠3时，分式 5－ 3b 有意义； x ＋ y (4)x ， y 满足 __x ≠y __时，分式 x － y 有意义． 展示点评： 教师示范解答的一般步骤，强调分母不为零． 小组讨论： 归纳分式有意义的条件． 反思小结： 对于任何分式，分母均不能为零，即当分母不为零时，分式有意义；反之，分母为零时，分式无意义． 针对训练： 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．知识小结—— (1) 学习了分式， 知道了分式与分数的区别． (2) 知道了分式有意义和值 为零的条件． 2．思想方法小结——类比、转化等数学思想． 五、达标检测，反思目标 2 x ＋ y 1 x 1．下列各式① x ，② 5 ，③ 2－ a ，④ π－ 1中，是分式的有 ( C ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 2．当 x 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是( C ) x － 1 x ＋ 1 x － 1 x － 1 A. x 2 B. x 2－ 1 C. x 2＋1 D. x ＋ 2 3．某食堂有煤 m t ，原计划每天烧煤 a t ，现每天节约用煤 b(b 八年级上册分式方程应用题分类讲解与训练 一、【行程中的应用性问题】 例1 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？ 分析： 等量关系：慢车用时=快车用时+ （小时） 例2 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度． 分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等． 解：设普通快车车的平均速度为x km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5x km ／h ，依题意，得 x x 6828-=x 5.1828 ，解得46x =， 经检验，46x =是方程的根，且符合题意． ∴46x =，1.569x =， 即普通快车车的平均速度为46km ／h ，直达快车的平均速度为69km ／h ． 评析：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，要要检验是否符合题意，即满足实际意义． 例3 A 、B 两地相距87千米，甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B 地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来，两人在距离B 地45千米C 处相遇，求甲乙的速度。 分析： 等量关系：甲用时间=乙用时间+ （小时） 例4 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？ 解： 设步行速度为x 千米／时，骑车速度为2x 千米／时，依题意，得： 603060 分式 一 下列各有理式中，哪些是整式，哪些是分式。 1x ， 2x π， 23a b ， 20.5xy y +， b c a +， 32y -+， 5x z y -， 18- 二 x 等于什么数时，分式的值为零。 （1） 3289x x -+ （2） 26412x x x -+- （3） 33x x -+ 三 当x 满足什么条件时，分式 211x x +-满足 （1）分式的值为零 （2）分式没有意义 （3）分式的值是1 四 不改变分式的值，把下列各式分子和分母中各项的系数都化为整数，并且使各项系数 最小。 （1）11231134 a b a b +- （2） 0.3 1.20.051 x x +- （3）22230.41010.64x y x y + - 五 不改变分式的值，使下列各式的分子与分母的最高次项的系数为正数。 （1）2 2311a a a a --+- （2）211x x -- （3）3 211 a a a ---+ 六 约分 （1）322222x x y x y xy -- （2）()()()()32 247474x y a b x y a b -+-+ （3）33222 y y y y y +-+- 分式的计算 一 先化简再求值 （1）2 232712 x x x x +--+ 其中13x =- （2）22 26362x xy y x x y xy ----+ 其中9x =-， 13y =- （3）22222222a b c bc c a b ab --+--+ 其中3a =， 7b =，2c =- 二 计算 （1）232231049x y a b ab xy ? （2）22346b a a b -? （3）322243x z xz y y ÷- （4）3 4224189xy x y x y ÷- （5）22212221 a a a a a a -+-+?+- （6）222233a b a a b a b a b ++÷-- （7）()22 22 4442x xy y x y x y -+-÷- （8）23222222x y x x x y x xy y x y x xy y -+÷?++--+ 2.5.1可化为一元一次方程的分式方程 一 教学目标: (一) 知识教育点 1. 理解分式方程的意义,掌握分式方程的一般解法. 2. 了解解分式方程时可能产生增根的原因,并掌握验根的方法. (二) 能力训练点 1. 培养学生的分析能力. 2. 训练学生的运算技巧,提高解题能力. (三) 德育渗透点 转化的数学思想. (四) 美育渗透点. 通过本节的学习,进一步渗透化归的数学美. 二 学法引导: 1. 教学方法: 演示法和同学练习相结合，以练习为主． 2. 学生学法:选择一个较简单的题目入手,总结归纳出解分式方程的一般步骤.. 三 重点 难点 疑点及解决办法: (一) 重点 分式方程的解法及把分式方程化为整式方程求解的转化思想的渗透. (二) 难点 了解产生增根的原因,掌握验根的方法. (三) 疑点 分式方程产生增根的原因. (四) 解决办法 注重渗透转化的思想，同时要适当复习一元一次方程的解法. 四 课时安排: 一课时 五 教具准备: 投影仪 六 教学过程: (一) 课堂引入 1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程16 3242=--+x x 2．提出P53的问题 李老师的家离学校3千米,某一天早晨7点30分,她离开家骑自行车去学校.开始以每分钟150米的速度匀速行驶了6分钟,遇到交通堵塞,耽搁了4分钟;然后她以每分钟v 米的速度匀速行驶到学校.设她从家到学校总共花的时间为t 分钟. 问: (1) 写出t 的表达式; (2) 如果李老师想在7点50分到达学校,v 应等于多少? 分析:① 李老师在遇到交通堵塞时,已经走了多少米?还剩下多少米? ② 剩下的这一段路需要多少分钟? ③ 如果李老师想在7点50分到达学校,那么她从家到学校总共花的时间t 等于多少? 由此可以得出: 第八讲 分式方程 考点综述： 中考对于分式方程的主要要求包括分式方程的概念以及解法，会检验分式方程的根，分式方程的应用也是中考考查的重点和热点。 典型例题： 例1：解方程： （1）（2007连云港） 11322x x x -=--- （2）（2007德州）解方程：120112x x x x -+=+- （3）（2007宁波）解方程21124x x x -=-- 解：（1）方程两边同乘(2)x -，得1(1)3(2)x x =----． 解这个方程，得2x =． 检验：当2x =时，20x -=，所以2x =是增根，原方程无解 （2）两边同乘以(1)(12)x x +-， 得(1)(12)2(1)0x x x x --++=； 整理，得510x -=； 解得 15 x = ． 经检验，15x =是原方程的根． （3）方程两边同乘(x-2)(x+2)，得 x(x+2)-(x 2-4)=1， 化简，得2x=－3 x=－3/2， 经检验，x=－3/2是原方程的根． 例2：（2007沈阳）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队 单独完成此项工程所需天数的45 ，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 解：设甲施工队单独完成此项工程需x 天， 则乙施工队单独完成此项工程需45 x 天， 根据题意，得 10x ＋1245x ＝1 解这个方程，得x ＝25 经检验，x ＝25是所列方程的根 当x ＝25时，45 x ＝20 答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天． 实战演练： 1.（2008安徽）分式方程112 x x =+的解是（ ） A . x=1 B . x =－1 C . x=2 D . x =－2 2.（2008荆州）方程21011x x x -+=--的解是（ ） A .2 B .0 C .1 D .3 3.（2008西宁）“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（ ） A ．12012045x x -=+ B ． 12012045x x -=+ C ．12012045x x -=- D ．12012045x x -=- 4.（2008襄樊）当m = 时，关于x 的分式方程213 x m x +=--无解． 5.（2008大连）轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同．已知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x 千米/时，可列方程为_________________________________． 6.（2008泰州）方程 22123=-+--x x x 的解是=x __________. 7.解方程： （1）（2008赤峰）2112323x x x -=-+ （2）（2008南京）22011 x x x -=+- 8.（2008咸宁） A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 15．1 分 式 第1课时 从分数到分式 教学目标 1．了解分式的概念，知道分式与整式的区别和联系． 2．了解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件． 3．理解分式的值为零、为正、为负时，分子分母应具备的条件． 教学重点 分式的意义． 教学难点 准确理解分式的意义，明确分母不得为零． 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： ) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h ，它沿江以最大船速顺流航行100 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等．江水的流速是多少？ 提示：顺流速度＝水速＋静水中的速度；逆流速度＝静水中的速度－水速． ●自主学习 指向目标 1．自学教材第127至128页． 2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分． 三、合作探究，达成目标 探究点一 分式的概念 活动一：阅读教材思考问题：式子S a ，V S 以及式子10020＋v 和6020－v 有什么共同特点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 展示点评：如果A ，B 表示两个________(整式)，并且B 中含有________(字母)，那么式子A B 叫做分式． 小组讨论：如何判断一个式子是否为分式？分式与整式有什么区别？ 反思小结：判断一个式子是否为分式，可根据：①具有分数的形式；②分子、分母都是整式；③分母中含有字母，分式与整式的区别在于：分式的分母中含有字母，而整式的分母中不含字母． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二：(1)当x ≠0时，分式23x 有意义； (2)当x ≠1时，分式x x －1 有意义； (3)当b ≠53时，分式15－3b 有意义； (4)x ，y 满足__x≠y __时，分式x ＋y x －y 有意义． 展示点评：教师示范解答的一般步骤，强调分母不为零． 小组讨论：归纳分式有意义的条件． 反思小结：对于任何分式，分母均不能为零，即当分母不为零时，分式有意义；反之，分母为零时，分式无意义． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．知识小结——(1)学习了分式，知道了分式与分数的区别．(2)知道了分式有意义和值为零的条件． 2．思想方法小结——类比、转化等数学思想． 五、达标检测，反思目标 1．下列各式①2x ，②x ＋y 5，③12－a ，④x π－1 中，是分式的有( C ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 2．当x 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是( C ) A.x －1x 2 B.x ＋1x 2－1 C.x －1x 2＋1 D.x －1x ＋2 3．某食堂有煤m t ，原计划每天烧煤a t ，现每天节约用煤b(b 典型题: 1．把分式)0(2≠-a a b a 中的字母的a ，b 都同时缩小3倍，那么分式的 值是 A 、扩大3倍 B 、缩小3倍 C 、改变 D 、不改变 2.将分式323x y xy -中的字母x ，y 都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A ．不变; B ．扩大为原来的3倍 C ．扩大为原来的9倍; D ．缩小为原来的 1 3 3．⑴若 1 3 +a 表示一个整数，则整数a ＝ . ⑵若分式23 x x -的值为负数，则x 的取值范围 ． 4. ⑴当x 时，分式 7 2 53-+÷ -+x x x x 有意义； ⑵ 若022(1)(1)2 x x x x -+--++-有意义，则x . 5．已知 322(2)(5)25 x a b x x x x -=-+-+-，则a =________．b =________． 6．⑴已知31=+ x x ，分式221 x x +=________； ⑵已知m 满足01102 =+-m m ，则4 4-+m m ＝____． 7．⑴若x 2 －4x ＋1＝0，则2 421 x x x ++的值为________； ⑵已知2 1 12=+-x x x ，则24 21x x x ++＝________． 8．⑴若 2 1 =-y y x ，则y x ＝___________； ⑵已知 b a b a +=+511，则b a a b +＝________________． 9．已知1=ab ，设11+++=b b a a M ，1 1 11++ +=b a N ，则M 和N 的大小关系是________． 10．已知1=ab ，2=+b a 则式子 b a a b +＝________；221 1b a +＝________； 11．⑴已知已知2 111=-b a ，则b a ab -的值为 ； ⑵已知11m n -＝3，那么2322m mn n m mn n +---的值为________． 12．⑴若234a b c ==，则325a b c a b c -+++＝ ； ⑵已知5:3:2::=c b a ，则分式c b a c b a 32+-++＝ ． 13. 一件工作,甲独做a 小时完成,乙独做b 小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时. A. 11a b + B.1ab C.1a b + D.ab a b + 14．一个人要翻过两座山到另外一个村庄，途中的道路不是上山就是下山，已知他上山的速度为u ，下山的速度为u ′，单程的路程为s ．则这个人往返这个村庄的平均速度为（ ） '2'2' . . . . 2' ' ' u u s suu uu A B C D s u u u u u u ++++ 分式方程的增根 15．⑴若分式方程 a x a x =-+1 无解，则a 的值为_________； ⑵若关于x 的分式方程13 1=---x x a x 无解，则a ＝ . 16．m 为 ，关于x 的方程2 34222+=-+-x x mx x 会产生增根？ 17.当k ＝ 时，方程x k x -- =-111 3 会产生增根； 分式方程的解 18.若关于x 的方程212 x a x +=--的解是非负数,则a 的取值范围是 一、八年级数学分式解答题压轴题（难） 1．已知分式 A =2344(1)11 a a a a a -++-÷-- （1）化简这个分式； （2）当 a ＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B ，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由； （3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和． 【答案】（1） 22a a +-；（2）原分式值变小了，见解析；（3）11 【解析】 【分析】 （1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得； （2）根据题意列出算式2622 a a A B a a ++-=--+，化简可得16(2)(2)A B a a -=-+，结合a 的范围判断结果与0的大小即可得； （3）由24122 a A a a += =+--可知，2a -=±1、±2、±4，结合a 的取值范围可得． 【详解】 解：（1）A=2344(1)11 a a a a a -++-÷-- =22 1311(2)a a a a ---?-- =2 (2)(2)11(2)a a a a a +--?-- =22 a a +-； （2）变小了，理由如下： ∵22 a A a += -， ∴62 a B a +=+， ∴261622(2)(2)a a A B a a a a ++-=-=-+-+； ∵2a >， ∴20a ->，24a +>， ∴0A B ->， ∴分式的值变小了； （3）∵A 是整数，a 是整数， 则24122 a A a a += =+--， ∴21a -=±、2±、4±， ∵1a ≠， ∴a 的值可能为：3、0、4、6、-2； ∴3046(2)11++++-=； ∴符合条件的所有a 值的和为11． 【点睛】 本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 2．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时，∵2()20a b a ab b -=-+≥，∴2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当0x >时，1x x +的最小值为_______；当0x <时，1x x +的最大值为__________． (2)当0x >时，求2316x x y x ++=的最小值． (3)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值． 【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25 【解析】 【分析】 （1）当x ＞0时，按照公式ab a=b 时取等号）来计算即可；x ＜0时，由于-x ＞0，-1x ＞0，则也可以按照公式ab a=b 时取等号）来计算； （2）将2316x x y x ++=的分子分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】 八年级上册数学分式方程应用题及答案 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT 八年级数学下分式方程应用练习1、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要40分完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分才能完工。问：乙单独整理需多少分钟完工 2、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900千克和1500千克，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300千克，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克 3、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。求步行的速度和骑自行车的速度。 4、小兰的妈妈在供销大厦用元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜元，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多，问：她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶 5、某商店经销一种纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。 ⑴求这种纪念品4月份的销售价格。 ⑵若4月份销售这种纪念品获利800元，问：5月份销售这种纪念品获利多少元 6、、某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款万元，乙工程队款万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天； 方案三：若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独完成，也正好如期完成。 试问：在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款请说明理由。7、一个分数的分母比分子大7，如果把此分数的分子加17，分母减4，所得新分数是原分数的倒数，求原分数。 8、今年某市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也行动起来捐款打井抗旱，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少 9、、某超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了元，购进苹果数量是试销时的2倍。⑴试销时该品种苹果的进价是每千克多少元 ⑵如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元 10、某公司开发的960件新产品必须加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工48件产品的时间与乙工厂单独加工72件产品的时间相等，而且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导。⑴甲、乙两个工厂每天各能加工多少件产品 ⑵该公司要选择既省时又省钱的工厂加工产品，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，有望加工这批产品 八年级数学上册《分式的概念》教案 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质 难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？ （交流讨论） （1）每位小朋友分 34 （2）分法： ① 每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的34 ② 为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这六块占一个苹果的68 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（ 36=48，即：3326==4428??）由此表明了什么？ 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为： 3n ，33n n ÷、相等吗？（33=n n ÷）这里的n 可以是实数吗？（n 不能为0） (2) 3 34n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？ 这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二合作交流，探究新知 1 分式的概念填空： （1 ）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。（2）一个梯形木板的面积是6 2 m，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩，b亩的稻田m kg，n kg，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式： 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，分母 含有字母） 一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式f g 叫分式。 说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考：33a 44a 与分式相等吗？ 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗？ 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义，那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗？ 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。 用式子表示为：设h≠0,则f f h g g h ?= ? 3 分式的值为零的条件和分式有意义的条件 例1 求分式 5 6 x x - + 的值，（1）x=3, (2)x= 2 5 - 思考：（1）要是分式 5 6 x x - + 的值为零，x应等于多少？要使分式 (5) (6)(-5) x x x - + 的值为零，x 应等于多少？ 分式值为零的条件是什么？（分子为零，分母不等于零） 第15章《分 式》 同步练习 （§ 分式的运算） 班级 学号 姓名 得分 一、选择题 1．(河南)一种花瓣的花粉颗粒直径约为 006 5米， 006 5用科学记数法表示为( )． A ．×10－5 B ．×10－6 C ．×10－7 D ．65×10－6 2．(山东淄博)化简2221121 a a a a a a +-÷--+的结果是( )． A ．1a B ．a C ． 1 1 a a +- D ． 1 1 a a -+ 3．化简：2 3 32x y xz yz z y x ?? ???? ?? ? ? ??? ????等于( )． A ．23 2y z x B ．xy 4z 2 C ．xy 4z 4 D ．y 5z 4．计算 37444x x y y x y y x x y ++----得( )． A ．264x y x y +- - B ． 264x y x y +- C ．－2 D ．2 5．化简111a ??+ ?-? ?÷2 21 a a a -+的结果是( )． A ．a ＋1 B ．11 a - C ． 1 a a - D ．a －1 6．下列运算中，计算正确的是( )． (A) ) (212121b a b a +=+ (B)ac b c b a b 2= + (C)a a c a c 1 1=+- (D) 01 1=-+-a b b α 7．a b a b a -++2 的结果是( )． (A)a 2- (B)a 4 (C)b a b --2 (D) a b - 8．化简2 2)11(y x xy y x -? -的结果是( )． (A) y x +1 (B)y x +- 1 (C)x －y (D)y －x 二、填空题 分式练习题 一、选择题 1．在下列各式中：22a ，1 a b +，1 a x -，2x x ，2m -，x y x +，分式的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．2 2．下列各式中不是分式的是（ ） A ．3x B ． x x C ． ab xy D ． 1 1x - 3．已知分式2133x x -+的值等于零，x 的值为（ ） A ．1 B ．1± C ． 1- D ． 1 2 4．实数a 、b 在数轴上的对应点如图，则代数式a b a b -+的值（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不能确定 5.下列各式正确的是（ ） A 、11++=++b a x b x a B 、22x y x y = C 、()0,≠=a ma na m n D 、a m a n m n --= 6.下列各分式中，最简分式是（ ） A 、()()y x y x +-8534 B 、y x x y +-22 C 、222 2xy y x y x ++ D 、() 2 22y x y x +- 7.在等式22 211a a a a a M +++=+中，M 的值为 （ ） A. a B. 1a + C. a - D. 2 1a - 8．如果分式1 3 x x +-有意义，那么x 的取值范围是 （ ） A ．0x ≠ B ．1x ≠- C ．3x ≠± D ．3x =± 9．下列式子正确的是（ ） A ．22b b a a = B ．0a b a b +=+ C ．1a b a b -+=-- D ．0.10.330.22a b a b a b a b --= ++ 10.下列分式中，计算正确的是( ) A 、32)(3)(2+=+++a c b a c b B 、b a b a b a +=++1 2 2 C 、1)()(22-=+-b a b a D 、 x y y x xy y x -=---1 222 11.若把分式xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值( ) A 、扩大3倍 B 、不变 C 、缩小3倍 D 、缩小6倍 12．已知1m +1n =1m n +，则n m +m n 等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．2 13． 6 1x +表示一个整数，则整数x 的可能取值的个数是（ ） A ．8 B ．6 C ．5 D ．4 14.若0≠-=y x xy ，则分式=-x y 11（ ） A 、xy 1 B 、x y - C 、1 D 、-1 15．汽车从甲地开往乙地，每小时行驶1v 千米，t 小时后可以到达，如果每小时多行驶2v 千米，那么可以提前到达的 小时数是 （ ） A ．212v t v v + B ．112v t v v + C ．1212v v v v + D ．1221 v t v t v v - 二、填空题 1.x 时，分式 4 2 -x x 有意义；当x 时，分式1223+-x x 有意义. 分式方程 一、教学目标 1．知识目标: (1)理解分式方程的意义; (2)了解解分式方程的基本思路和解法; (3)理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握分式方程的验根方法. 2.能力目标: 经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程,发展学生分析问题﹑解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识. 3.情感目标: 在活动中培养学生乐于探究﹑合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值. 二、教学重点和难点 1.重点：解分式方程的基本思路和解法． 2.难点：理解解分式方程时可能无解的原因. 3．疑点及分析和解决办法： 解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握． 三、教学过程 (一)创设情境，导入新课 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间, 与以最大航速航行60千米所用时间相等, 江水的流速为多少? (学生依照第31页的分析,完成填空.根据“两次航行所用时间相等”这一相等关系列 出方程 ) 分析：设江水的流速为v 千米/时， 则轮船顺流航行的速度为（20＋v ）千米/时，逆流航行的速度为（20－v ）千米/时，顺流航行100千米所用的时间为v 20100＋小时，逆流航行60千米所用的时间为v 2060－小时。可列方程v 20100＋＝v 2060－ 这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．板书课题: 16.3 分式方 程（1） (二)探究新知: 1.教师提出下列问题让学生探究: (1)方程 与以前所学的整式方程有何不同? v v ?=+206020100 分式（一） 一、选择题 1、在x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、m a 1+中分式的个数有( ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2、要使分式1(1)(2) x x x ++-有意义，则x 应满足 （ ） A ．x≠-1 B ．x≠2 C ．x≠±1 D ．x≠-1且x≠2 3、下列约分正确的是（ ） A 、326x x x =； B 、0=++y x y x ； C 、x xy x y x 12=++； D 、2 14222=y x xy 4、如果把分式y x xy +中的x 和y 都扩大2倍，则分式的值（ ） A 、扩大4倍； B 、扩大2倍； C 、不变； D 缩小2倍 5、化简2 293m m m --的结果是（ ） A 、3+m m B 、3+-m m C 、3-m m D 、m m -3 6、下列分式中,最简分式是 （ ） A.a b b a -- B.22x y x y ++ C.242x x -- D.4 422+++a a a 7、根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 8、对分式2y x ，23x y ，14xy 通分时， 最简公分母是（ ） A ．24x 2y 2 B ．1222y x C ．242xy D ．122xy b a a --b a a --b a a +b a a --b a a +- 9、下列式子（1）y x y x y x -=--122；（2）c a b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y x y x y x y x +-=--+-中正确个数有 （ ） A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个 10、x -y （x≠y ）的倒数的相反数 （ ） A ．-1x y + B ．y x --1 C ．y x -1 D ．y x --1 二、填空题 11、当x 时，分式5 1-x 有意义. 12、当x 时，分式1 1x 2+-x 的值为零。 13、1 x-y 当x=,y=1时，分式的值为2xy-1 _________________ 14、计算：y x y x y x ??÷?- ??? =___________________ 15、用科学计数法表示：0.000302 =__________. 16、如果 32=b a ，那么=+b a a ____ 。 17、若54145=----x x x 有增根，则增根为___________。 18、20080-22+113-?? ??? =_______________. 19、方程x x 527=-的解是 。 20、某工厂库存原材料x 吨，原计划每天用a 吨，若现在每天少用b 吨，则可以多用 天。 三、解答题 21、计算题 分式方程知识点复习总结大全 重点： 1理解分式的概念、有意义的条件，分式的值为零的条件。 2理解分式的基本性质. 3会用分式乘除的法则进行运算. 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘方的运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8掌握整数指数幂的运算性质. 9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根. 10利用分式方程组解决实际问题. 难点： 1能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2灵活应用分式的基本性质将分式变形. 3灵活运用分式乘除的法则进行运算 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8会用科学计数法表示小于1的数. 9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根. 10会列分式方程表示实际问题中的等量关系. 16.1 分式及其基本性质 1.分式的概念：形如B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式。其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。分母0 B ，分式 B A 才有意义 整式和分式统称有理式, 即有有理式=整式+分式. 分式值为0的条件：分子等于0，分母不等于0（两者必须同时满足，缺一不可） 例1： （ 2011重庆江津）下列式子是分式的是( ) A. 2x B.1+x x C. y x +2 D. 3 x 【答案】B. 注意：1 π 不是分式 例2：已知 24 2 x x -+ ，当x 为何值时，分式无意义? 当x 为何值时，分式有意义? 例3：（2011四川南充市） 当分式 2 1 +-x x 的值为0时，x 的值是（ ） （A ）0（B ）1 （C ）－1 （D ）－2 【答案】B 2.分式的基本性质 (1)分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. M B M A M B M A B A ÷÷=??=，0,0≠≠B M ，且M B A ,,均表示的是整式。 （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。符号法则： A -A -A A B -B B -B A A A A B B B B --==-=-=-==--或- A ， B 或 B A 同时改变其中两个的符号，分式的值不变 例：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号。 2 5(1) y x -- (2)2a b - 4(3)3m n - (4)2x y -- （3）分式约分与通分： 与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.八年级上册分式方程应用题分类讲解与训练(直接打印版)
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