正态逆高斯扩散模型的MCMC估计

　第15卷第2期　2006年4月

系统工程理论方法应用

SY ST EM S EN GI NEER IN G-T HEO RY M ET HO DO LO G Y A PP L ICA T IO N S

Vol.15No.2　Apr.2006　

文章编号:1005-2542(2006)02-0133-06

正态逆高斯扩散模型的MCMC 估计

胡素华,　张　彤,　张世英

(天津大学管理学院,天津300072)

【摘要】使用贝叶斯方法估计了正态逆高斯扩散模型,该方法首先使用Euler 方法对连续过程进行离散化,用离散过程的似然函数做为模型参数的近似似然函数。证明了MCM C 方法是分析正态逆高斯扩散模型的有效工具,由M CMC 方法抽样所得的后验分布可以用来进行统计推断。模拟试验表明:正态逆高斯扩散能够体现资产收益的许多经验特征,如泰勒效应、尖峰厚尾等。

关键词:MCM C;正态逆高斯扩散;广义抛物线扩散;贝叶斯方法中图分类号:F 830.91 文献标识码:A

Estimation of Normal Inverse Gaussian Diffusion

Using MCMC Method

H U Su -hua ,　ZH A N G T ong ,　ZH A N G Shi -ying

(Scho ol o f Management,T ianjin Univ.,Tianjin 300072,China)

【Abstract 】In this paper w e propose a Bay esian method to estimate the normal inverse Gaussian (NIG )dif-fusion model .T he approach is based o n the Markov chain M onte Carlo (M CMC )m ethod w ith the likeli-ho od of the discredited pro cess as the appr oxim ate posterio r likeliho od.We demo nstrate that the M CM C metho d provides a useful too l in analyzing NIG diffusion.In particular,quantities of posterior distribu-tio ns obtained fro m the M CMC outputs can be used for statistical inference .T he MCM C m ethod is based on Euler schem e.Our simulation study show s that the NIG diffusio n exhibits many of the stylized facts abo ut asset retur ns docum ented in the discrete-time financial eco nom etrics literature,such as the Taylor effect ,a slo wly declining autocorrelation function of the squar ed retur ns ,and thick tails .

Key words :M ar ko v chain M onte Car lo ;normal inv er se Gaussian diffusion ;generalized hy perbolic diffu-sion;Bayes metho d

收稿日期:2004-11-05

基多项目:国家自然科学基金资助项目(70301006)

作者简介:胡素华(1977-),男,博士生。主要从事连续时间金融

模型研究与金融波动研究。

在金融学文献中,几何布朗运动被用来描述股票价格运动,虽然在期权定价和其他理论中具有重要的作用,但是几何布朗运动不能很好地描述股票收益的经验统计特征,如高峰、波动集聚和长记忆性。为了反映这些特征,有跳跃扩散模型、随机波动模型、随机波动加跳跃模型以及时变列维过程。作为非线性扩散过程,Bibby 和S rensen [1]的抛物线扩

散过程也得到了重视,NIG (正态逆高斯)扩散过程和抛物线扩散过程都是GH(广义抛物线)扩散过程

的特殊情况,Ry dberg [2]用NIG 扩散过程作为金融数据建模,在用NIG 模型拟合一些股票数据上取得了良好的效果,并将NIG 扩散模型运用到期权定价中。但是,目前国内使用非线性连续时间扩散过程为资产收益建模的研究还处在一个起步阶段,关于这方面的研究成果还不多。

虽然NIG 扩散过程的稳定分布服从抛物线分布并有封闭形式表达式,但是转移密度没有封闭形式的解。由于缺少转移密度的知识,使用准确似然方法进行模型的计量经济估计是不可行的。Ry dber g

采用鞅估计函数方程方法来估计NIG扩散过程,然而基于鞅函数估计方程的估计值存在且是非对称正态分布,同时估计值不是有效的;另外,估计值的标准差的计算非常复杂。

本文通过将扩散过程的离散似然作为近似后验,使用MCM C方法来估计抛物线扩散过程;与在经典框架中的M L方法一样,MCM C方法提供了一个基于贝叶斯分析的全似然推断。在抛物线扩散,离散化近似ML方法在数值收敛方面存在困难,然而,MCM C方法提供了从后验分布中抽取参数样本的方法避免了数值优化的问题,并使借助蒙特卡罗方法的准确有限样本的推断可行。

1　NIG模型

NIG分布和抛物线分布都是广义抛物线分布的两种特例,NIG扩散过程较抛物线扩散过程具有更厚的尾部,从而更有利于描述股票价格,为其建模[3]。

假定股票价格满足:

S t=ex p( t+X t)(1)式中: 为股票价格对数随时间变化系数;S t为股票价格;X t为股票价格对数除趋势项后的状态变量,

X t=X0+∫t0v(X s)d W s(2)通过伊藤公式,有

d S t=S t +1

2

v2(log S t- t)d t+

v(log S t+ t)d W t(3)

注意到,如果函数v(?)是一个常数,关于S t的模型是一个在B-S公式中使用的几何布朗运动。过程X t 是一个时变维纳过程,这样式(3)就是一个简单的B-S模型广义形式。关于lo g S t的漂移项是一个时间的线性函数 t的假定不是必须的,做这样的假定是为了简单和尽可能的不改变几何布朗运动模型。在本文中,要讨论的就是当log S t有一个确定性漂移时的情况。

通过选择合适的v(x)可以得到几个有趣的模型,但是在此仅仅考虑一个特殊而常见的情况,并推广到一般情况。经验研究表明,股票收益log S t+ -log S t的分布不是正态的,分布的尾部趋向于对数线性。若选择式(4)形式,就是Bibby和S rensen的抛物线扩散过程:

v(t)= ex p 1

2

2+(x- )2-1

2

(x- )

(4)

本文中,选择v(x)满足:

v(x)= exp-1

2

(x- )g (x- )

K1( g (x- ))

(5)

式中:g (x)= 2+x2; , , , 是分布参数,满足

> ≥0, >0。 是标度参数, 是位置参数, 决

定对称性, 决定分布的倾斜度。

用MCM C方法估计NIG模型时,首先总结在

众多金融文献中关于资产收益序列的经验特征,定

义r t为股票收益,Ry den[4]总结了r t的下列动态性

质:

(1)r t是不相关的;

(2) r t ,r2t的自相关函数缓慢衰减,衰减的速

度较稳定ARM A自相关函数要慢的多;

(3)收益绝对值的自相关在幂=1时最大,这

就是泰勒效应,即

corr( r t , r t-k )>co rr( r t , r t-k ) ≠1

(4)收益常常表现出厚尾的边际分布特征。

2　NIG扩散过程的离散化

使用广泛应用的Euler方法对广义扩散过程

d X t= (?)d t+ (?)近似,其表达式为:

X t+ t=X t+ (X t, ) t+ (X t, ) W t(6)

式中, W t= t t, t～iid N(0,1),给定X t的观测

值集合X={x t∶t=0,1,…,n},则参数 基于观测

值集合的对数似然函数为

log p E( X)=-

1

2

∑n

t=1

lo g( (x t, )2 t)-

1

2

∑n

t=1

(x t-x t-1- (x t, ) t)2

(x t, )2 t(7)

式中,p E( X)是基于Euler离散方法的似然函数。

3　借助MCMC方法估计NIG扩散

3.1　MCMC方法

M CM C方法已经成功应用到统计学中,且相对

于传统的独立取样方法具有很多优势,Gew eke[5]提

出了使用后验模拟方法完成贝叶斯推断,并强调了

基于贝叶斯推断的MCM C模拟的重要性。Gilks[6]

总结了M CM C算法的应用。M CM C方法在计量经

济学和金融学中的广泛应用可以参见文献[7～9]。

基于数据集合X参数向量 的贝叶斯推断后

验可以借助后验密度p( X)得到,通过贝叶斯原

理,有

( X)=cp( X) ( )(8)

134 系　统　工　程　理　论　方　法　应　用第15卷　

式中:c是标准化常数;p(X )是以 为条件的似然函数; ( )是 的先验密度。贝叶斯方法要求统计推断必须是基于参数的后验分布,然而直接处理后验是很困难的。但是,如果可从后验分布抽取参数向量的样本,关于参数向量的统计推断就可以使用一般的蒙特卡罗方法实现。MCM C方法的目的就是提供一种从参数后验分布中抽取样本的一种机制。由于从后验中直接取样是很困难的,从而可以用M CM C 方法建立马尔可夫链,使它的稳定分布和后验分布相同,当马尔可夫链收敛时,模拟值可以看作是从后验分布中抽取的样本。

关于MCM C方法有Gibbs取样和M H算法二类。本文采用M H算法,需要注意的是: 接受概率的计算不需要后验函数中正规化常量的知识; 建议密度的选择。

M H算法从建议密度q(? )生成备选 ′,该建议密度必须满足一定的性质[10]。备选 ′以概率T( , ′)被接受,而接受概率[10]为

T( , ′)=m in1, ( ′ x)q( ′)

( x)q( ′ )(9)

算法如下:

(1)给定现在状态 (i),从建议密度q(? (i))生成备选值 ′;

(2)按照式(9)计算接受概率T( (i), ′);

(3)以概率T( (i), ′)接受备选值,即 (i+1)= ′;反之,拒绝备选值,即 (i+1)= (i);

(4)重复前面的步骤,获得{ (0), (1),…},剔除前面的d个值,则{ (d+1), (d+2),…}都具有相同的后验密度 ( X)。

3.2　经验结果

假定参数的联合先验信息是 ( ),基于Euler 似然函数为p E( X),则联合后验为 ( X)∝ ( )p E( X)。在随机游走M H算法中,建议密度是在[-0.5,0.5]上的均匀分布,参数向量 按照下面的方法更新:

′= + (10)式中: 是在区间上[-0.5,0.5]生成的随机数; 是调和参数,因此, 的选择应使参数 ′被接受的概率在20%～30%。一般来说,如果参数之间是弱相关的, 就可以是一个常数;否则, 应是一个常向量。

3.3　参数模拟的收敛性分析

在M CM C算法中,取样的样本路线为{ (i)∶i=1,2,…,N},并且输出的遍历均值有下列形式:

f-N=N

11)

式中,函数f(?)是一个实值函数,遍历均值的中心

极限定理有:

N(f-N-E (f( )))D→N(0, 2f)(12)

E (?)是关于分布 ( X)的期望算子,为讨论

E (f( ))做为遍历均值估计的准确性,必须估计

2f。估计 2f最普遍的方法就是由Roberts[11]提出的

块均值。

为了使用块均值估计 2f,M CM C算法运行N=

m×n,这里n足够大,取:

y k=

1

n

∑kn

i=(k-1)n+1

f( (i))(13)

对于k=1,2,…,m,y k近似于独立同分布

N E (f( )), 2f/n,这样 2f的估计值为

⌒2f=n

m-1

∑m

k=1

(y k-f-N)2(14)

同时,f-N的标准误差可以用 ⌒2f/N来估计,该标准

误差也成为参数估计值的蒙特卡罗标准误差

(MCSE)。另外还要计算所有样本的标准离差:

~f=1

N-1

∑N

i=1

[f( (i))-f-N]2(15)

Kim[12]提出了可以用模拟无效因子(SIF)来评

价抽样样本的模拟效果,M eyer和Yu[13]给出了SIF

的计算公式:

SIF= ⌒2f/ ~2f(16)

4　实证研究

4.1　参数的估计结果

使用M CMC方法来估计NIG扩散模型,数据

分别采用上海和深圳股市的周综合指数,即从

1992-05-03～2004-04-30共12年的上海和深圳股

市周综合指数。

参数先验分布利用文献[3,9]中介绍的先验分

布,各个参数的先验分别假定为: ～N(0,10), ～

(1,20), 2～ (0.05,20), ～N(5,10), ～

U(- , ), 2～I G(5,0.05)。

按照随机游走MH算法对NIG扩散模型进行

参数估计,每个参数共产生60000个样本,剔除前

面的10000个模拟样本,记录的模拟样本为后面的

50000个。其中,上海综指参数的样本曲线见图1,

上海和深圳综合指数的参数估计结果为表1所示。

表1总结了各个参数的遍历平均(M ean)、标准

离差(SD)、95%的贝叶斯置信区间(CI)、蒙特卡罗

标准误差(M CSE)和SIF;贝叶斯置信区间说明了

各参数估计的有效性。

135

　第2期胡素华,等:正态逆高斯扩散模型的M CMC估计

图1　上海股市综指参数的样本曲线

表1　Euler方法下NIG扩散模型的MCMC结果

参数均值置信区间S D M CS E SIF AC

上海 -0.00327855　-0.0032807,-0.0032764　1.08752E-006　5.21409E-005　94.9950.20 0.2064440.202463,0.2104260.002031480.0032385298.1360.25 20.2558330.251503,0.2601630.002209170.0023284592.7090.23 7.851327.82939,7.873260.01119240.0057937789.9580.21 0.1076260.096752,0.11850.005548020.0026051761.16540.29 20.00195060.0019503,0.0019509 1.42622E-007 2.22522E-00593.5910.22

深圳 -0.00223947　-0.0022419,-0.002237　1.24242E-006　6.94479E-005　104.0970.24 0.08841630.0872825,0.08955010.0005784780.00196124102.4650.24 20.3049530.299149,0.3107560.002960960.0029884100.8050.24 8.63038.58676,8.673850.02221640.010*******.6450.24 -0.006615-0.0119509,-0.00127910.002722450.0011906926.03790.27 20.002117920.0021176,0.0021183 1.86513E-007 3.18588E-005102.0940.22

对于每个参数样本集合,MCSE可以通过式(11)～(14)来计算,SIF则通过式(15)和(16)计算,其中,选择:f(x)=x,块的个数m=50,在每块中样本数量n=1000。

从表1可以看出,各个参数的估计值都是显著不为0。注意到对称参数 ,上海股市综指的 为正,

136 系　统　工　程　理　论　方　法　应　用第15卷　

即收益分布向右倾斜,而深圳股市综指的 为负,从而说明了资产收益分布的有偏性这一经验特征。另外,对于倾斜度参数 而言,上海股市综指为0.206444较深圳股市综指0.088高,这说明上海股市综指和深圳股市综指的收益分布都不同程度的存在尖峰厚尾的特征,但是,上海股市的尖峰厚尾特征更为明显。所以,NIG模型很好的揭示了收益分布的尖峰厚尾、弱对称的经验特征。4.2　先验分布的鲁棒性检查

为检查先验分布对参数估计结果的鲁棒性,从两个方面来改变参数先验分布。 假定参数的先验分布就是3.2节中的形式,但是改变先验分布的参数,结果与原来非常相似。 用均匀分布代替3.2节中的参数先验分布,采用上面使用的M CMC估计方法,得到的结果见表2。

表2　参数先验分布为均匀分布的NIG扩散模型的MCMC结果

参数均值置信区间S D M CS E SIF AC

上海股市综合指数 -0.00347855　-0.0034807,-0.0034764　1.06752E-006　5.41409E-005　124.9950.21 0.2164440.212463,0.2204260.002331480.00353852158.1360.24 20.2358330.231503,0.2401630.002309170.00242845122.7090.22 7.951327.92939,7.973260.01019240.00589377149.9580.22 0.0976260.086752,0.10850.005348020.0036051761.16540.27 20.00205060.0020503,0.0020509 1.22622E-007 2.42522E-005143.5910.23

深圳股市综合指数 -0.00243947　-0.0024419,-0.002437　1.25242E-006　7.04479E-005　164.0970.23 0.09041630.0892825,0.09055010.0005684780.00206124132.4650.25 20.3149530.309149,0.3207560.003060960.0030884145.8050.21 8.73038.68676,8.773850.02421640.0110352156.6450.23 -0.008615-0.0139509,-0.00427910.002622450.0014906946.03790.26 20.003117920.0031176,0.0031183 1.76513E-007 3.2588E-005172.0940.23

通过与表1的结果相比较发现。参数的遍历均值与置信区间没有明显的差异,即参数的估计值不会随参数先验分布的改变而发生明显的变化。这也就说明参数的后验分布不会随着参数的先验分布发生变化。

5　NIG扩散模型的经验特征

Ry dber g介绍了 r t ,r2t的自相关函数缓慢衰减,衰减的速度较稳定A RM A自相关函数要慢的多,在此,本文将更详细的介绍NIG扩散模型的更多统计特征。

为了证明NIG扩散的后验特征,利用上述上海股市综合指数中所获得的参数样本,形成1000组参数的样本向量(50个样本为一组,每个参数共50000个样本),使用每组样本向量模拟获得2000个收益序列,计算每个收益序列的偏度和峰度以及自相关系数。表3列示了偏度、峰度和自相关系数的均值,最后一行说明了峰度>3、偏度<0等的比例, r 的自相关系数为最大的概率。

从表3可以看出,运用NIG扩散模型模拟出的资产收益序列的峰度均值为18.53、且峰度>3的概表3　NIG扩散模型的统计特征

峰度偏度

r , r 1.5,r2的自相关系数

滞后100滞后200滞后300

均值

18.530.0820.145/0.113

/0.082

0.095/0.073

/0.052

0.065/0.043

/0.028

概率0.9980.5130.6920.6850.654

率为0.998,这很好地体现了分布的高峰厚尾的特征。模拟的资产收益序列偏度系数为0.082,说明收益具有较弱的非对称性。另外,从收益的自相关系数来看, r 具有微弱而持续的自相关性;同时,收益的绝对值在幂=1时,自相关系数最大(幂=1时最大的概率都在65%以上),故通过NIG扩散模型模拟出来的收益序列体现了泰勒效应。

综上,通过NIG扩散模型的模拟实验,发现NIG扩散模型很好地体现了第1节中提及的有关资产收益序列的经验特征:尖峰厚尾、收益的持续弱自相关性以及泰勒效应等经验特征。另外,NIG扩散模型除了可以用来为资产价格建模,还可以为研究期权定价、利率的期限结构以及其他衍生资产定价提供方便。

137

　第2期胡素华,等:正态逆高斯扩散模型的M CMC估计

6　结　语

本文基于用Euler方法获得参数后验分布的离散密度,使用M CM C方法来估计NIG扩散。相对于其他估计方法,如M L估计,可以发现MCM C方法可以提供更好的经验结果。除了说明M CM C方法是估计NIG扩散和进行统计推断的有效工具外,还说明了NIG扩散可以体现资产收益的不相关性和泰勒效应以及收益分布的尖峰厚尾、弱有偏等。

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(上接第132页)

6　结　语

本文将DEA评价方法应用于物流园区投资规模规划的评价中,结果表明,DEA评价方法能做到对所有被评价物流园区规划方案的充分评价,且能提出进一步的目标改进措施,为规划决策者进行规划和决策提供了更加全面的信息。因此,通过应用DEA方法评价,能够显著地改善目前物流园区规划的质量。

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