离散数学图论整理
总 结
第八章 图论
8.1 图的基本概念
8.1.1 图
定义8.1―1 一个图G 是一个三重组〈V (G ),E (G ),ΦG 〉,其中V (G )是一个非空的结点(或叫顶点)集合,E (G )是边的集合,ΦG 是从边集E 到结点偶对集合上的函数。一个图可以用一个图形表示。 定义中的结点偶对可以是有序的,也可以是无序的。若边e 所对应的偶对〈a ,b 〉是有序的,则称e 是有向边。有向边简称弧,a 叫弧e 的始点,b 叫弧e 的终点,统称为e 的端点。称e 是关联于结点a 和b 的,结点a 和结点b 是邻接的。若边e 所对应的偶对(a ,b )是无序的,则称e 是无向边。无向边简称棱,除无始点和终点的术语外,其它术语与有向边相同 每一条边都是有向边的图称为有向图。每一条边都是无向边的图称为无向图。 有向图和无向图也可互相转化。例如,把无向图中每一条边都看作两条方向不同的有向边,这时无向图就成为有向图。又如,把有向图中每条有向边都看作无向边,就得到无向图。这个无向图习惯上叫做该有向图的底图。
在图中,不与任何结点邻接的结点称为弧立结点。全由孤立结点构成的图称为零图。关联于同一结点的一条边称为自回路。
在有向图中,两结点间(包括结点自身间)若同始点和同终点的边多于一条,则这几条边称为平行边。在无向图中,两结点间(包括结点自身间)若多于一条边,则称这几条边为平行边。两结点a 、b 间互相平行的边的条数称为边［a ,b ］的重数。仅有一条时重数为1,无边时重数为0。
定义8.1―2 含有平行边的图称为多重图。非多重图称为线图。无自回路的线图称为简单图。仅有一个结点的简单图称为平凡图。
定义 8.1―3 赋权图G 是一个三重组〈V ,E ,g 〉或四重组〈V ,E ,f ,g 〉,其中V 是结点集合, E 是边的集合,f 是定义在V 上的函数,g 是定义在E 上的函数。
8.1.2 结点的次数
定义 8.1―4 在有向图中,对于任何结点v ,以v 为始点的边的条数称为结点v 的引出次数(或出度),记为deg +(v );以v 为终点的边的条数称为结点v 的引入次数(或入度),记为deg -(v );结点v 的引出次数和引入次数之和称为结点v 的次数(或度数),记作deg (v )。在无向图中,结点v 的次数是与结点v 相关联的边的条数,也记为deg (v )。孤立结点的次数为零。 定理8.1―1 设G 是一个(n ,m )图,它的结点集合为V ={v 1,v 2,…,v n},则
定理8.1―2 在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。
定义8.1―5 各结点的次数均相同的图称为正则图,各结点的次数均为k 时称为k ―正则图。 8.1.3 图的同构
定义8.1.6 设G =〈V ,E 〉和G ′=〈V ′,E ′〉是两个图,若存在从V 到V ′的双射函数1deg()2n i i m υ==∑
Φ,使对任意a 、b ∈V ,［a ,b ∈E 当且仅当［Φ(a ),Φ(b )］∈E ′,并且［a ,b ］和［Φ(a ),Φ(b )］有相同的重数,则称G 和G ′是同构的。 8.1.4 图的运算
定义8.1―7 设图G 1=〈V 1,E 1〉和图G 2=〈V 2,E 2〉。
(1)G 1与G 2的并,定义为图G 3＝〈V 3,E 3〉,其中V 3=V 1∪V 2,E 3=E 1∪E 2,记为G 3=G 1∪G 2。
(2)G 1与G 2的交,定义为图G 3＝〈V 3,E 3〉,其中V 3=V 1∩V 2,E 3=E 1∩E 2,记为G 3=G 1∩G 2。
(3)G 1与G 2的差,定义为图G 3＝〈V 3,E 3〉,其中E 3=E 1-E 2,V 3=(V 1-V 2)∪{E 3中边所关联的顶点},记为G 3=G 1-G 2。
(4)G 1与G 2的环和,定义为图G 3＝〈V 3,E 3〉,G 3=(G 1∪G 2)-(G 1∩G 2),记为G 3=G 1 G 2。
除以上4种运算外,还有以下两种操作:
(1) 删去图G 的一条边e ;
(2) 删去图G 的一个结点v 。它的实际意义是删去结点v 和与v 关联的所有边。
8.1.5 子图与补图
定义8.1―8 设G =〈V ,E 〉和G ′=〈V ′,E ′〉是两个图。 (1) 如果V ′?V 和E ′?E ,则称G ′是G 的子图。如果V ′?V 和E ′?E ,则称G ′≠G 的真子图。(注意:“G ′是图”已隐含着“E ′中的边仅关联V ′中的结点”的意义。)
(2) 如果V ′=V 和E ′?E ,则称G ′为G 的生成子图。
(3) 若子图G ′中没有孤立结点,G ′由E ′唯一确定,则称G ′为由边集E ′导出的子图。
(4)若在子图G ′中,对V ′中的任意二结点u 、v ,当［u ,v ］∈E 时有［u ,v ］∈E ′,则G ′由V ′唯一确定,此时称G ′为由结点集V ′导出的子图。
定义8.1―9在n 个结点的有向图G =〈V ,E 〉中,如果E =V ×V ,则称G 为有向完全图;在n 个结点的无向图G =〈V ,E 〉中,如果任何两个不同结点间都恰有一条边,则称G 为无向完全图,记为Kn 。
定义8.1―10 设线图G =〈V ,E 〉有n 个顶点,线图H =〈V ,E ′〉也有同样的顶点,而E ′是由n 个顶点的完全图的边删去E 所得,则图H 称为图G 的补图,记为 ,显然, 。
8.2 路径和回路
8.2.1 基本概念
定义8.2―1在有向图中,从顶点v 0到顶点vn 的一条路径是图的一个点边交替序列（v 0e 1v 1e 2v 2…envn ）,其中vi -1和vi 分别是边ei 的始点和终点,i =1,2,…,n 。在序列中,如果同一条边不出现两次,则称此路径是简单路径,如果同一顶点不出现两次,则称此路径是基本路径(或叫链)。如果路径的始点v 0和终点vn 相重合,即v 0=vn ,则此路径称为回路,没有相同边的回路称为简单回路,通过各顶点不超过一次的回路称为基本回路。
定义8.2―2 路径P 中所含边的条数称为路径P 的长度。长度为0的路径定义为单独一个顶点。(但注意习惯上不定义长度为0的回路。)
定理8.2―1 在一个具有n 个结点的简单图G =〈V ,E 〉中,如果从v 1到v 2有一条路径,则从v 1到v 2有一条长度不大于n -1的基本路径。
定理8.2―2 在一个具有n 个结点的简单图G =〈V ,E 〉中,如果经v 1有一条简单回路,则经v 1有一条长度不超过n 的基本回路。
定义8.2―3 在图G =〈V ,E 〉中,从结点vi 到v j 最短路径的长度叫从vi 到v j 的距离,记为H G =G G =
d (vi ,v j)。若从vi 到v j 不存在路径,则d (vi ,v j)=∞。
注意,在有向图中,d (vi ,v j)不一定等于d (v j,vi ),但一般地满足以下性质:
(1) d (vi ,v j)≥0;
(2) d (vi ,vi )=0;
(3) d (vi ,v j)+d (v j,v k)≥d (vi ,v k)。
8.2.2 图的连通度
定义8.2―4设G =〈V ,E 〉是图,且vi 、v j ∈V 。如果从vi 到v j 存在一条路径,则称v j 从vi 可达。vi 自身认为从vi 可达。
定义8.2―5在无向图G 中,如果任两结点可达,则称图G 是连通的;如果G 的子图G ′是连通的,没有包含G ′的更大的子图G ″是连通的,则称G ′是G 的连通分图(简称分图)。
一个无向图或者是一个连通图,如图8.2―2(a )所示,或者是由若干个连通分图组成,如图
8.2―2(b )所示。
图 8.2―2
定理8.2―3 设G 是任一(n ,m )无向简单图,ω是其分图个数,则
定义8.2―11在有向图中,如果在任两结点偶对中,至少从一个结点到另一个结点是可达的,则称图G 是单向连通的;如果在任两结点偶对中,两结点都互相可达,则称图G 是强连通的;如果它的底图是强连通的,则称图G 是弱连通的。
显然,强连通的也一定是单向连通和弱连通的,单向连通的一定是弱连通的,但其逆均不真。在图8.2―3中,(a )是强连通的,(b )是单向连通的,(c )是弱连通的。
图 8.2―3
定义8.2―12 在有向图G =〈V ,E 〉中,G ′是G 的子图,若G ′是强连通的(单向连通的,弱连通的),没有包含G ′的更大子图G ″是强连通的(单向连通的,弱连通的),则称G ′是G 的强分图(单向分图,弱分图)。
在图8.2―4中,强分图集合是:
{〈{1,2,3},{e 1,e 2,e 3}〉,〈{4},φ〉,〈{5},φ〉,〈｛6｝,φ〉,〈｛7,8｝,{e 7,e 8}〉｝
单向分图集合是:
{〈{1,2,3,4,5},{e 1,e 2,e 3,
e 4,
e 5}〉,〈{6,5},{e 6}〉,〈｛7,8｝,{e 7,e 8}〉｝
弱分图集合是:
1()(1)2
n m n n ωωω-≤≤--+
{〈{1,2,3,4,5,6},{e 1,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6}〉,〈｛7,8｝,{e 7,e 8}〉｝
图 8.2―4
8.2.3 赋权图中的最短路径
设G =〈V ,E ,W 〉是个赋权图,W 是从E 到正实数集合的函数,边［i ,j ］的权记为W (i ,j ),称为边的长度。若i 和j 之间没有边,那么W (i ,j )=∞。路径P 的长度定义为路径中边的长度之和,记为W (P )。图G 中从结点u 到结点v 的距离记为d (u ,v ),定义为
min{W (P )|P 为G 中从u 到v 的路径}
∞ 当从u 到v 不可达时
本小节主要讨论在一个赋权的简单连通无向图
G =〈V ,E ,W 〉中,求一结点a (称为源点)到其它结点x 的最短路径的长度,通常称它为单源问题。下面介绍1959
年迪克斯特拉(E .W.Dijkstra)提出的单源问题的算法,其要点如下:
(1) 把V 分成两个子集S 和T 。初始时,S={a },T =V -S 。
(2) 对T 中每一元素t 计算D (t ),根据D (t )值找出T 中距a 最短的一结点x,写出a 到x 的最短路径的长度D (x )。
(3)置S 为S ∪{x },置T 为T -{x },若T = ,则停止,否则再重复2。
8.2.4 欧拉路径和欧拉回路
哥尼斯堡(Ko nig s berg ,现加里宁格勒)位于普雷格尔(Prege l)河畔,河中有两岛。城市的各部分由7座桥接通,如图8.2―8(a )所示。古时城中居民热衷于一个问题:游人从任一地点出发,怎样才能做到穿过每座桥一次且仅一次后又返回原出发地。1736年欧拉用图论方法解决了此问题,写了第一篇图论的论文,从而成为图论的创始人。
不难看出,如果用结点代表陆地,用边代表桥,哥尼斯堡七桥问题就等价在于图8.2―8(b )中找到这样一条路径,它穿程每条边一次且仅一次。
穿程于图G 的每条边一次且仅一次的路径,称为欧拉路径。穿程于图G 的每条边一次且仅一次的回路,称为欧拉回路,具有欧拉回路的图称为欧拉图。
显然,具有欧拉路径的图除孤立结点外是连通的,而孤立结点不影响欧拉路径的讨论。因此,下边讨论欧拉路径有关问题时均假定图是连通的。
图 8.2―8
定理8.2―10无向连通图G具有一条欧拉路径当且仅当G具有零个或两个奇数次数的顶点。
定理8.2―11一个有向连通图具有欧拉回路,当且仅当它的每个顶点的引入次数等于引出次数。一个有向连通图具有欧拉路径,当且仅当它的每个顶点的引入次数等于引出次数,可能有两个顶点是例外,其中一个顶点的引入次数比它的引出次数大1,另一个顶点的引入次数比它的引出次数小1。
8.2.5 哈密尔顿路径与哈密尔顿回路
在无向图G=〈V,E〉中,穿程于G的每个结点一次且仅一次的路径称为哈密尔顿路径。穿程于G的每个结点一次且仅一次的回路称为哈密尔顿回路。具有哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图。
哈密尔顿,爱尔兰数学家,1859年他首先提出这一类问题。它的问题如下:
如何沿12面体的棱线,通过每个角一次且仅一次?(称为环游全世界游戏。)
定理8.2―12若G=〈V,E〉是哈密尔顿图,则对V的每个非空真子集S均成立:
ω(G-S)≤｜S｜
这里|S|表示S中的顶点数,ω(G-S)表示G删去顶点集S后得到的图的连通分图个数。
应用本定理可以判定某些图不是哈密尔顿图,例如,图8.2―12所示的图,删去其中3个黑点,即知此图不符合必要条件,因而不是哈密尔顿图。但一般要考察多个真子集,应用不方便,例4给出了一种较简便的否定一个图是哈密尔顿图的方法,但也不是通用的。
例4证明图8.2―13(a)中的图没有哈密尔顿路径。
证用A标记顶点a,所有与A邻接的顶点标记为B。继续不断地用A标记所有邻接于B 的顶点,用B标记所有邻接于A的顶点,直到所有顶点标记完,得到如图8.2―13(b)所示的图,图中有3个顶点标A和5个顶点标B,标号A和B崐相差2个,因此不可能存在一条哈密尔顿路径。
图 8.2―13
定理8.2―6中的条件不是充分的,图8.1―5中给出的彼得森图,它对任意SV 都满足ω(G -S )≤|S |,但不是哈密尔顿图。
定理8.2―13设G =〈V ,E 〉是具有n 个顶点的简单无向图,若在G 中每一对顶点的次数之和大于等于n ,则在G 中存在一条哈密尔顿回路。 推论8.2―13在简单无向图中,若每一顶点的度数 , 则该图是哈密尔顿图。 在有向图中,也可类似地定义出哈密尔顿有向回路和哈密尔顿有向路径。
8.３ 图的矩阵表示
定义8.3―1设G =〈V ,E 〉是有向线图,其中V ={v 1,v 2,…,vn },并假定各结点已经有了从v 1到vn 的次序。定义一个n ×n 的矩阵A ,其中各元素ij a 为
:
,
1i j ij j v v E a E ∈??
零图的邻接矩阵的元素全为零,称为零矩阵。每一顶点都有自回路而无其它边的图的邻接矩阵是单位矩阵。设有向线图G =〈V ,E 〉的邻接矩阵是A ,则G 的逆图的邻接矩阵是A 的转置矩阵,记T A 。
定义8.3―2设G =〈V ,E 〉是有向线图,其中｜V ｜=n ,并假定各结点是有序的,定义一个n ×n 的矩阵P ,它的元素
, 当vi 到vj 至少存在一条非零长度的路径0 ,
当vi 到vj 不存在一条非零长度的路径
称矩阵P 为图G 的可达性矩阵。 8.5 二部图
定义8.5―1若无向图G =〈V ,E 〉的顶点集合V 可以划分成两个子集X 和Y ,使G 中的每一条边e 的一个端点在X 中,另一个端点在Y 中,则称G 为二部图或偶图。二部图可记为G =〈X,E,Y 〉,X 和Y 称为互补结点子集。 定义8.5―2二部图G =〈X,E ,Y 〉中,若X
的每一顶点都与Y 的每一顶点邻接,则称G 为完全二部图,记为Km ,n ,这里m =｜X ｜,n =｜Y ｜。
1(3)2n n ≥≥10ij P ?=??
图8.5―1给出K2,4和K3,3的图示。
图8.5―1
定理8.5―1无向图G=〈V,E〉为二部图的充分必要条件为G中所有回路的长度均为偶数。
定义8.5―3给定一个二部图G=〈X,E,Y〉,如果E的子集M中的边无公共端点,则称M 为二部图G的一个匹配。含有最多边数的匹配称为G的最大匹配。如果二部图G中的一条链由不属于匹配M的边和属于M的边交替组成,且链的两端点不是M中边的端点,那么称此链为G中关于匹配M的交替链。
例如,图8.5―2中的(x2,y1,x3,y4)是交替链。最短的交替链是由一条边组成,该边的两端点不是M中边的端点。
交替链可用标记法找出,标记法的过程如下:
首先把X中所有不是M的边的端点用()加以标记,然后交替进行以下所述的过程Ⅰ和Ⅱ。
Ⅰ.选一个X的新标记过的结点,比如说xi,用(xi)标记不通过在M中的边与xi邻接且未标记过的Y的所有结点。对所有X的新标记过的结点重复这一过程。
Ⅱ.选一个Y的新标记过的结点,比如说y i,用(y i)标记通过M的边与y i邻接且未标记过的X的所有结点。对所有Y的新标记过结点重复这一过程。
8.6 平面图和图的着色
8.6.1 平面图
定义8.6―1一个无向图G=〈V,E〉,如果能把它图示在一平面上,边与边只在顶点处相交的图叫平面图。
图8.6―1所示的是非平面图,而图8.6―2所示的都是平面图的例子。
8.6.2 欧拉公式
欧拉1750年提出任何一个凸多面体的顶点数n,棱数m和面数k满足公式:
n-m+k=2
参看图8.6―3
为了介绍平面图的欧拉公式,我们首先介绍什么是平面图的面。我们在平面上画一个平面图,用小刀沿着边切下,则这平面将分割成几块,这种块就称为图的面,即一个平面图的面定义为平面的一块,它用边作界线,并且不再分为子块。例如图8.5―4(a)有3个图,如图8.5―4(b)所示。注意沿边a切,不再分割面1,沿边b和c切,也不再分割面3。如果面的面积是有限的,称该面为有限面,否则,称为无限面。显然,平面图恰有一个无限面。
定理8.6―1 对任何连通平面图恒有
n-m+k=2
即顶点数-边数+面数=2
定理8.6―2在n≥3的任何连通平面简单(n,m)图中有m≤3n-6成立。
K是非平面图。
推论8.6―2
5
K不是平面图。
推论8.6―3
3,3
8.6.3 库拉托夫斯基(Kurat ows ki)定理
定义8.6―2K5和K3,3称为库拉托夫斯基图。
定义8.6―3两个图G1和G2称为在2度顶点内同构的(或称同胚),如果它们是同构的,或者通过反复插入和(或)除去2度顶点,它们能变换成同构的图。.
如图8.6―8(a)和(b)所示。图8.5―8(c)中的两个图是在2度顶点内同构的。
定理8.6―4(库拉托夫斯基定理)一个图是平面图,当且仅当它不包含任何在2度顶点内和库拉托夫斯基图同构的子图。
8.5.4 对偶图
将平面图G嵌入平面后,通过以下手续(简称D过程):
(1) 对图G的每个面Di的内部作一顶点且仅作一顶点v*i;
(2)经过每两个面Di和Dj的每一共同边界e*k作一条边e*k=(v*i,vj)与ek相交;
(3)当且仅当ek只是面Di的边界时,v*i恰存在一自回路与ek相交。
所得的图称为图G的对偶图,记为G。
图8.6―9中,虚线构成的图是实线构成的图的对偶图。
8.6.6 五色问题
1852年英国一个青年名叫盖思里(Gut h rie)提出地图四色问题。在画地图时,如果规定一条边界分开的两个区域涂不同颜色,那么任何地图能够只用4种颜色涂色。这个问题成为数学难题,一百多年来,许多人的证明都失败了。直至1976年6月美国伊利诺斯大学两位教授阿佩尔(Appe l)和海肯(H aken)利用电子计算机,计算了1200小时,证明了四色问题。这件事曾轰动一时。但是用“通常”证明方法来解决四色问题,至今仍未解决。
引理在平面连通的简单图中至少有一个顶点v0,其次数d(v0)≤5。
定理8.6―7 用5种颜色可以给任一平面简单连通图G=〈V,E〉正常着色。
8.7 树
8.7.1 无向树
定义8.7―1连通而无简单回路的无向图称为无向树,简称树。树中次数为1的顶点称为树叶。次数大于1的顶点称为分枝点或内部结点。
定义8.7―2一个无向图的诸连通分图均是树时,称该无向图为森林,树是森林。
例如图8.7―1(a)、(b)所示的都是树,(c)所示的是森林。
定理8.7―1无向图T是树,当且仅当下列5条之一成立。(或者说,这5条的任一条都可作为树的定义。)
(1)无简单回路且m=n-1。这里m是边数,n是顶点数,下同。
(2) 连通且m=n-1。
(3)无简单回路,但增加任一新边,得到且仅得到一条基本回路。
(4)连通但删去任一边,图便不连通(n≥2)。
(5)每一对顶点间有唯一的一条基本路径。(n≥2)。
定理8.7―2任一树T中,至少有两片树叶(n≥2时)。
8.7.2 生成树
定义8.7―3给定一个无向图G,若G的一个生成子图T是树,则称T为G的生成树或支撑树。
图G的生成树不是唯一的,如图8.7―2所示,右侧两个图都是左侧图G的生成树。
定理8.7―3任何连通无向图至少有一棵生成树。
生成树T中的边称为树枝,不在生成树T中但属于图G的边,称为树T的弦。弦的集合称
为树T 的补。在图8.6―2(a)中,若生成树取为(b)图,则e 2,e 6,e 8,e 3是树枝,e 1,e 5,e 7,e 4都是弦,{e 1,e 5,e 7,e 4}是该生成树的补。
设连通图G 有n 个顶点,m 条边,则G 的任一生成树有n -1条树枝,m -n +1条弦。在图G 中,给定生成树T 后,根据定理8.6―1的第(3)条,每加一条弦,则得一个基本回路,例如在图
8.6―2中,若树的边集是{e 2,e 3,e 6,e 8},则:
加弦e 1,得基本回路{e 1,e 2,e 6,e 8}。
加弦e 5,得基本回路{e 5,e 2,e 6}。
加弦e 7,得基本回路{e 7,e 6,e 3}。
加弦e 4,得基本回路{e 4,e 8,e 6,e 3}。
因为有m -n +1条弦,一般地可得m -n +1个基本回路,此m -n +1个基本回路称为图G 的关于生成树T 的基本回路系统。
从树T 中删去一条枝,将T 分为两棵树,G 的顶点集划分为两个子集,连结这两个子集的边集就是对应于这条枝的割集,称为对应于这条边的基本割集。
定理8.7―4 一条简单回路和任何生成树的补至少有一条共同边。
定理8.7―5 一个割集和任何生成树至少有一条共同边。
定理8.7―6 任一个简单回路和任一个割集有偶数(包括0)条共同边。
定理 8.7―7 设D ={e 1,e 2,e 3,…,ek }是一个基本割集,其中e 1是树枝,e 2,e 3,…,ek 是生成树的弦。则e 1包含在对应于e i(i =2,3,…,k )的基本回路中,而不包含在任何其它的基本回路中。
定理8.7―8 对给定的一棵生成树,设C ={e 1,e 2,…,ek }是一条基本回路,其中e 1是弦,e 2,…,ek 是生成树的枝,则e 1包含在对应于ei (i =2,…,k )的基本割集中,而不包含在任何其它的基本割集中。
8.7.3 最小生成树
设图G =〈V ,E,W 〉是赋权连通简单无向图,W 是E 到非负实数的函数,边〈i ,j 〉的权记为
W (i ,j )。若T 是G 的生成树,T 中树枝的权之和称为T 的权,记为 。
所有生成树中具有最小权的生成树称为最小生成树。
定理8.7―9设G 是边权全不相同的连通简单图,C 是一条简单回路,则C 上权最大的边e 必定不在G 的最小生成树中。
在这个定理的基础上,建立了克鲁斯克尔(Krus k al)算法:
设G 有n 个顶点,m 条边,先将G 中所有的边按权的大小次序进行排列,不妨设
W (e 1)＜W (e 2)＜…＜W (em )
(1) k ←1,A ← 。
(2)若A ∪{ek }导出的子图中不包含简单回路,则A ←A ∪{ek }。
(3)若
A 中已有n -1条边,则算法终止,否则k ←k +1,转至(2)。
图8.7―5给出了求最小生成树的例子,要注意带权4和7的边是怎样在一步一步作图的过程中被排除掉。
(,)()(,)i j T W T W i j ∈=∑
?
8.8 有向树
8.8.1 有向树的定义和性质
定义8.8―1有向树是结点集合非空的,并符合以下3条的有向图。
(1) 有且仅有一个结点叫树根,它的引入次数是0。
(2) 除树根外每一结点的引入次数是1。
(3)树的每一结点a,都有从树根到a的一条有向路径。
有向树亦称根树,通常采用根在顶上,所有弧向下,弧的箭头略去的图表示。
定义8.8―2设a和b是有向树T的结点,如果有一弧从a到b,那么说a是b的父亲,而b 是a的儿子。如果从结点a到结点b有一有向路径,那么说a是b的祖先,而b是a的后裔;如果a≠b,那么a是b的一个真祖先而b是a的一个真后裔。由结点a和它的所有后裔导出的子有向图叫做T的子树,a叫子树的根。如果a不是T的根,那么子树是T的真子树。引出数是0的结点叫树的叶;一结点若不是叶叫做内部结点(或分枝点)。从树根r到一结点a的路径长度称为a的路径长度,亦称a的层次。树T中层次的最大值叫做树T的高度。
定理8.8―1设T是一棵有向树,根是r,并设a是T的任一结点,那么从r到a有唯一的有向路径。
推论8.8―1有向树中的每一有向路径是基本路径。
定理8.8―2有向树没有非零长度的任何回路。
定理8.8―3有向树成立公式m=n-1这里m是边数,n是结点数。
定理8.8―4 有向树的子树是有向树。
定义8.8―3有向树T的括号表示按以下规则得出:
(1)如果T只有一个结点,则此结点就是它的括号表示。
(2)如果T由根r和子树T1,T2,…,Tn组成,则T的括号表示是:根r,左括号,T1,T2,…,Tn的括号表示(两子树间用逗号分开),右括号。
定义8.8―4一个有向图,如果它的每个连通分图是有向树,则称该有向图为(有向)森林;在森林中,如果所有树都是有序树且给树指定了次序,则称此森林是有序森林。
8.8.3 搜索树和决策树
使用二元树作数据结构时,有时需要周游整个树,即遍访每一结点。有3个周游算法,依据根结点被处理的先后不同,分别称为前序、中序、后序周游算法。设二元树的根为r,左子树为T1,右子树为T2(但T1和T2崐可以不存在),3个周游算法的递归定义如下: 前序:
(1)处理T的根结点r,
(2)如果T1存在,那么用前序方法处理T1,
(3)如果T2存在,那么用前序方法处理T2。
中序:
(1)如果T1存在,那么用中序方法处理T1,
(2)处理T的根结点r,
(3)如果T2存在,那么用中序方法处理T2。
后序:
(1) 如果T1存在,那么用后序方法处理T1,
(2) 如果T2存在,那么用后序方法处理T2,
(3)处理T的根结点r。
例8有8个硬币,如果恰好有一个硬币是假的且比其它的都重,要求我们以比较重量的方法用一架天平去找出伪币。
8.9 运输网络
定义8.9―1设G=〈V,E,W〉是一个连通赋权有向简单图,W是E上的非负实函数,若G 中恰有一个没有引入边的顶点a,恰有一个没有引出边的顶点z,则称G为运输网络。
定理8.9―1 在给定的运输网络中,任何流的值小于或等于网络中任何割的容量。
定理8.9―2 (福特—富克逊(For d ―Ful ke rso n )定理)在任一运输网络中,从a 到z 的最大流的值等于最小割(P , )的容量。
8.8.2 标记法
1.标记过程
通常设初始流为0,标记形式是(+x ,Δy ),表示从顶点x 流到顶点y 的流量可增加Δy ,或(-x ,Δy ),表示从顶点y 流到顶点x 的流量可减少Δy 。
第一步:给源点a 以标记(-,∞)。表示结点a 流到其它结点的量可以任意。
第二步:选择一个已标记的顶点x ,对于x 的所有未标记的邻接顶点y 按下列规则处理。 (a )如果Φ(y ,x )＞0,令Δy =min ［Φ(y ,x ),Δx ］,给顶点y 以标记(-x ,Δy )。(即后向边有回流情况。)
(b )如果Φ(x ,y )＜W (x ,y ),令Δy =min ［W (x ,y )-Φ(x ,y ),Δx ］,给顶点y 以标记(+x ,Δy )。即前向边未饱和情况。)
(c)除上述两种情况外,不标记。
第三步:重复第二步直至阱点被标记,或不再有顶点可以标记为止。如果z 点给了标记,说明存在一条可增值道路,转向增值过程。如果z 点不能标记,而且不存在其它可标记的顶点时算法结束。所得的流便是最大流。
2.增值过程
第一步:取出z 的标记(+v ,Δz ),令δ=Δz ,u =z 。
第二步:若u 的标记为(+v ,Δu ),则
Φ(v ,u )←Φ(v ,u )+δ
若u 的标记为(-v ,Δu ),则
Φ(u ,v )←Φ(u ,v )-δ
P
第三步:若v =a ,则把全部标记去掉转回标记过程。如v ≠a ,令u =v ,返回第二步。
现实中的运输网络可能有多个源点a 1,a 2,…,an ,和多个阱点z 1,z 2,…,zm ,如图8.8―6(a )所示。对于这种情况,只需添上一个虚设的源点a 和阱点z ,添上容量为∞的a a 1,a 2,…,an 的有
向边和z1,z2,…,zm到z的有向边,如图8.8―6(b)所示,即可把问题转化为本节介绍的形式求解,方法完全一样,不再举例了。
运输网络的用途不限于解决运输问题。例如求一个二部图G=〈X,E,Y〉的最大匹配问题,可转化为运输网络求解。方法是把X的元素都看作源点,Y的元素都看
作阱点,边的方向都是从源点指向阱点,再用上述方法,虚设一个源点a和一个阱点z,并设所有边的权均为1。对所得的图求得最大流的值就是最大匹配的边数,最大流通过的属于E的边集,就是最大匹配。
离散数学图论与系中有图题目
离散数学图论与系中有图题目
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图论中有图题目 一、 没有一个简单的办法能确定图的色数以及用尽可能少的颜色给图的节点着色。Welch-Powell 给出了一个使颜色数尽可能少（不一定最少）的结点着色方法，在实际使用中比较有效： 第1步、 将图的结点按度数的非增顺序排列；第2步、用第1种颜色给第1个结点着色，并按照结点排列顺序，用同一种颜色给每个与前面已着色的结点不邻接的结点着色；第3步、换一种颜色对尚未着色的结点按上述方法着色，如此下去，直到所有结点全部着色为止。 例1 分别求右面两图的色数 （1）由于（1）中图G 中无奇数长的基本回路，由定理可知()2G χ=。 （2）由于（2）中图G 含子图轮图4W ，由于()44W χ=，故()4G χ≥。又因 为此图的最大度()4G ?=，G 不是完全图，也不是奇数长的基本回路，由定理可知()()4G G χ≤?=，因而()4G χ=。 （对n 阶轮图n W ，n 为奇数时有()3n W χ=，n 为偶数时有()4n W χ=；对n 阶零图n N ，有()1n N χ=；完全图n K ，有()n K n χ=；对于二部图12,,,G V V E E =<>=Φ时即()1n N χ=，E ≠Φ时即()2G χ=；在彼得森图G 中，存在奇数长的基本回路，因而()3G χ≥，又彼得森图既不是完全图也不是长度为奇数的基本回路，且()3G ?=，由定理()3G χ≤，故()3G χ=） 例 2 给右边三个图的顶点正常着 色，每个图至少需要几种颜色。 答案：（1） ()2G χ=；（2） ()3G χ=； （3）()4G χ= 例3 有8种化学品A,B,C,D,P,R,S,T 要放进贮藏室保管。出于安全原因， 下列各组药品不能贮在同一个室内：A-R, A-C, A-T, R-P, P-S, S-T, T-B, B-D, D-C, R-S, R-B, 4个结点、6个结点和8个结点的三次正则图 (2) (1) (3) (2)(1)
《离散数学》复习提纲(2018)
《离散数学》期末复习大纲 一、数理逻辑 [复习知识点] 1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价?），复合命题 2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足）， 公式的基本等值式 3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式 4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法） 5、命题逻辑的推理理论 6、谓词、量词、个体词（一阶逻辑3要素）、个体域、变元（约束出现与自由出 现） 7、命题符号化、谓词公式赋值与解释，谓词公式的类型（永真、永假、可满足） 8、谓词公式的等值式（代换实例、消去量词、量词否定和量词辖域收与扩、量 词分配）和置换规则（置换规则、换名规则） 9、一阶逻辑前束范式（定义、求法） 本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、 公式类型的判定、命题逻辑的推理、谓词与量词、命题符号化、谓词公式赋值与 解释、求前束范式。 [复习要求] 1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方 法。 2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简 其它公式，公式在解释下的真值。 3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取） 范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。 4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公 式等价方法。 5、掌握命题逻辑的推理理论。 6、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑
联结词描述一个简单命题；掌握命题的符号化。 7、理解公式与解释的概念；掌握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定 解释下真值的方法；了解谓词公式的类型。 8、掌握求一阶逻辑前束范式的方法。 二、集合 [复习知识点] 1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂 集 2、集合的交、并、差、补以及对称差等运算及有穷集的计数（文氏（Venn）图、包含排斥原理） 3、集合恒等式（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、矛盾律、德摩根 律等）及应用 本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明。 [复习要求] 1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。 2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补、对称差等基本运算。 3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。 三、二元关系 [复习知识点] 1、序偶、迪卡儿积，迪卡儿积的性质及运算。 2、二元关系（定义、空关系、全域关系、恒等关系）、关系表达式、关系矩阵与 关系图 3、关系的定义域、值域、限制、像、复合关系（右复合）与逆关系 4、关系的性质（自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性） 5、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包） 6、等价关系与等价类、商集、划分 7、偏序关系与哈斯图、极大/小元、最大/小元
离散数学测验题--图论部分(优选.)
离散数学图论单元测验题 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 1、在图G ＝
离散数学的基础知识点总结
离散数学的基础知识点总结 第一章命题逻辑 1.前键为真，后键为假才为假；＜—＞，相同为真，不同为假；2?主析取范式：极小项（m）之和；主合取范式：极大项（M）之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0,求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有2n个极小项或极大项，这2n为（0~2n-1）刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法（=＞）:真值表法；分析法（假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假） 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第二章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含T,存在量词用合取“； 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；
第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0; 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|; 3.幕集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幕集P(A)有2°个元素，|P(A)|= 2|A|= 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔AXB的基数为mn , A到B上可以定义2mn种不同的关系； 2.若集合A有n个元素，则|A X\|= n2, A上有2n个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全圭寸闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域（domR）:所有元素x组成的集合；
离散数学图论练习题
图论练习题 一.选择题 1、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。 (1) 欧拉图(2) 树(3) 平面图(4)连通图 2、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？() (1) {0，10，110，101111}(2) {01，001，000，1} (3) {b，c，aa，ab，aba}(4) {1，11，101，001，0011} 3、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中()的路。 4、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。 (1) 0(2) 1(3) 2(4) 不能确定 5、n阶无向完全图Kn 的边数是( )，每个结点的度数是( )。 6、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是()。 7、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。 8、有n个结点的树，其结点度数之和是()。 9、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。 (1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1} (3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011} 10、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。 11、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。 12、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则 (1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。 13、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。 14、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。 15、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于: (1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。 16、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。 17、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 16 18、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 12
离散数学图论复习
离散数学11春图论部分综合练习辅导 大家好！本学期的第二次教学辅导活动现在开始，本次活动主要是针对第二单元图论的重点学习内容进行辅导，方式同样是通过讲解一些典型的综合练习作业题目，帮助大家进一步理解和掌握图论的基本概念和方法． 图论作为离散数学的一部分，主要介绍图论的基本概念、理论与方法．教学内容主要有图的基本概念与结论、图的连通性与连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用等． 本次综合练习主要是复习这一单元的主要概念与计算方法，与集合论一样，也安排了五种类型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算题、证明题．这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这一部分主要内容的学习． 下面是本学期第4，5次形考作业中的部分题目． 一、单项选择题 单项选择题主要是第4次形考作业的部分题目． 第4次作业同样也是由10个单项选择题组成，每小题10分，满分100分．在每次作业在关闭之前，允许大家反复多次练习，系统将保留您的最好成绩，希望大家要多练几次，争取好成绩．需要提醒大家的是每次练习的作业题目可能不一样，请大家一定要认真阅读题目． 1．设图G ＝
东北大学离散数学复习总结
方法、知识点总结（知识重点和考题重点） 前三章重点内容（知识重点）： 1、蕴含（条件）“→”的真值 P→Q的真值为假，当且仅当P为真，Q为假。 2、重言(永真)蕴涵式证明方法 <1>假设前件为真，推出后件也为真。 <2>假设后件为假，推出前件也为假。 易错 3、等价公式和证明中运用 4、重要公式 重言蕴涵式：P∧Q => P or Q P or Q => p∨Q A->B =>(A∧or∨C)->(B∧or∨C) 其他是在此基础上演变
等价公式：幂等律 P∧P=P P∨P=P 吸收律 P∧(P∨Q)=P P∨(P∧Q)=P 同一律 P∨F=P P∧T=P P∨T=T P∧F=F P <-> Q = (P->Q)∧(Q->P) = (P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q) 5、范式的写法（最方便就是真值表法） 6、派遣人员、课表安排类算法： 第一步：列出所有条件，写成符号公式 第二步：用合取∧连接 第三步：求上一步中的析取范式即可 7、逻辑推理的写法 直接推理论证：其中I公式是指重言蕴涵式那部分 其中E公式是指等价公式部分 条件论证: 形如 ~ , ~, ~ => R->S R P(附加条件) ... ... S T
R->S CP 8、谓词基本内容 注意：任意用—> 连接 存在用∧连接 量词的否定公式 量词的辖域扩充公式 量词分配公式 其他公式 9、带量词的公式在论域内的展开 10、量词辖域的扩充公式 11、前束范式的写法 给定一个带有量词的谓词公式， 1)消去公式中的联接词→和←→(为了便于量词辖域的扩充)； 2)如果量词前有“﹁?”，则用量词否定公式﹁?”后移。再用摩根定律或求公式的否定公式，将“﹁?”后移到原子谓词公式之前； 3)用约束变元的改名规则或自由变元的代入规则对变元换名(为量词辖域扩充作准备)；
数学建模入门基本知识
数学建模知识 ——之新手上路一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析
离散数学图论部分综合练习讲解.doc
离散数学图论部分综合练习 1．设图G＝
8．无向图G 存在欧拉通路 ,当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点 9．设G 是有n 个结点 ,m 条边的连通图 ,必须删去G 的( )条边 ,才能确定G 的一棵生成树． A ．1m n -+ B ．m n - C ．1m n ++ D ．1n m -+ 10．无向简单图G 是棵树 ,当且仅当( )． A ．G 连通且边数比结点数少1 B ．G 连通且结点数比边数少1 C ．G 的边数比结点数少1 D ．G 中没有回路． 二、填空题 1．已知图G 中有1个1度结点 ,2个2度结点 ,3个3度结点 ,4个4度结点 , 则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示) ,则图G 的点割 集是 ． 3．若图G=
离散数学之图论
第四篇图论 自从1736年欧拉（L.Euler）利用图论的思想解决了哥尼斯堡（Konigsberg）七桥问题以来，图论经历了漫长的发展道路。在很长一段时期内，图论被当成是数学家的智力游戏，解决一些著名的难题。如迷宫问题、匿门博奕问题、棋盘上马的路线问题、四色问题和哈密顿环球旅行问题等，曾经吸引了众多的学者。图论中许多的概论和定理的建立都与解决这些问题有关。 1847年克希霍夫（Kirchhoff）第一次把图论用于电路网络的拓扑分析，开创了图论面向实际应用的成功先例。此后，随着实际的需要和科学技术的发展，在近半个世纪内，图论得到了迅猛的发展，已经成了数学领域中最繁茂的分支学科之一。尤其在电子计算机问世后，图论的应用范围更加广泛，在解决运筹学、信息论、控制论、网络理论、博奕论、化学、社会科学、经济学、建筑学、心理学、语言学和计算机科学中的问题时，扮演着越来越重要的角色，受到工程界和数学界的特别重视，成为解决许多实际问题的基本工具之一。 图论研究的课题和包含的内容十分广泛，专门著作很多，很难在一本教科书中概括它的全貌。作为离散数学的一个重要内容，本书主要围绕与计算机科学有关的图论知识介绍一些基本的图论概论、定理和研究内容，同时也介绍一些与实际应用有关的基本图类和算法，为应用、研究和进一步学习提供基础。
第4-1章无向图和有向图 学习要求：仔细领会和掌握图论的基本概论、术语和符号，对于图论研究的一些最基本的课题，如道路问题、连通性问题和着色的问题等，应掌握主要的定理内容和证明方法以及基本的构造方法，以便为下一章研究提供理论工具。学习本章要用到集合和线性代数矩阵运算的知识，特别是集合数和矩阵秩的概念。 §4-1-1 图的基本概念 图是用于描述现实世界中离散客体之间关系的有用工具。在集合论中采用过以图形来表示二元关系的办法，在那里，用点来代表客体，用一条由点a指向点b的有向线段来代表客体a和b之间的二元关系aRb，这样，集合上的二元关系就可以用点的集合V和有向线的集合E构成的二元组（V，E）来描述。同样的方法也可以用来描述其它的问题。当我们考察全球航运时，可以用点来代表城市，用线来表示两城市间有航线通达；当研究计算机网络时，可以用点来表示计算机及终端，用线表示它们之间的信息传输通道；当研究物质的化学结构时，可以用点来表示其中的化学元素，而用线来表示元素之间的化学键。在这种表示法中，点的位置及线的长短和形状都是无关紧要的，重要的是两点之间是否有线相连。从图形的这种表示方式中可以抽象出图的数学概念来。 一、图 定义4-1-1.1一个（无向）图G是一个二元组（V（G），E（G）），其中V （G）是一个有限的非空集合，其元素称为结点；E（G）是一个以不同结点的无序对为元素，并且不含重复元素的集合，其元素称为边。 我们称V（G）和E（G）分别是G的结点集和边集。在不致引起混淆的地方，常常把V（G）和E（G）分别简
离散数学复习提纲(图论)1
离散数学复习提纲（图论） 1. 判别图6－1的两幅图是否可以一笔画出？ 解 在图6－1(a ) 中， deg(v 1)=deg(v 2)=deg(v 3)＝3 有两个以上的结点的度为3. 故在(a )中不存在欧拉通路，不能一笔画出. 在图6－1(b ) 中，deg(A )=2, deg(B ) =deg(C )= deg(D )=4，deg(E ) =deg(F )=3 只有两个奇数度的结点，所以存在欧拉通路，可以一笔画出. 一条欧拉通路，如EDBEFCABCDF . 2． 画出具有下列条件的有5个结点的无向图. (1) 不是哈密顿图，也不是欧拉图； (2) 有哈密顿回路，没有欧拉回路； (3) 没有哈密顿回路，有欧拉回路； (4) 是哈密顿图，也是欧拉图. 解 作图如图6－3(不唯一). (1) (2) (3) (4) 在图(1)中，可以走遍5个点，但不是回路，无哈密顿回路，故不是哈密顿图。无论指定怎样的方向，可以走遍所有边，但不是回路，不能构成欧拉路。 在图(2)中，容易找出走遍5个点的回路，即有哈密顿回路，故是哈密顿图。但是构成 回路，要么出现重复边，要么漏掉边，即不存在欧拉回路，因此不是欧拉图。 在图(3)中，不重复地走遍5个点是不可能的，故不是哈密顿图。如指定右边垂直边方 向向上，就可以画出一个走遍所有的边，又不重复的回路，所以有欧拉回路，故是哈欧拉图。 v 4 v 5 E F A v 2 v 3 B C v 1 D （a ） (b ) 图6－1
第1个面，边界为a b e a ，次数为3；第2个面，边界为b d e b ，次数为3； 第3个面，边界为a b c a ，次数为3；第4个面，边界为a d e a ，次数为3； 第5个面，边界为a c b d a ，次数为4。 （b ）图中共有两个面，第1个面，边界为 g f c d e f g ，次数为6； 第2个面，边界为 a b c d e f c b a ，次数为8。 4．在具有n 个结点的完全图K n 中，需要删去多少条边才能得到树？ 解 n 个结点的完全图共有2 ) 1(2 -= n n C n 条边，而n 个结点的树共有n －1条边. 因此需要删去2 )2)(1()1(2 --=--n n n C n 条边后方可得到树. 5．设G 是图，无回路，但若外加任意一条边于G 后，就形成一回路. 试证明G 必为树. 证明 由树的定义可知，只需证G 连通即可. 任取不相邻两点u ,v , 由题设，加上边就形成一回路，于是去掉边,从u 到v 仍有路u ,…,v ，即u ,v 连通，由u ,v 的任意性可知，G 是连通的，故G 必是树. 6．如图6－5是有6个结点a ,b ,c ,d ,e ,f 的带权无向图，各边的权如图所示. 试求 其最小生成树. 解 构造连通无圈的图，即最小生成树， b ? 23 1 15 c ? 25 ? a 4 ? f 28 9 16 3 d ? 15 ? e 图6－5
图论基础知识
图论基本知识 对于网络的研究，最早是从数学家开始的，其基本的理论就是图 论，它也是目前组合数学领域最活跃的分支。我们在复杂网络的研究中将要遇到的各种类型的网络，无向的、有向的、加权的……这些都可以用图论的语言和符号精确简洁地描述。图论不仅为物理学家提供了描述网络的语言和研究的平台，而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络的研究中。图论，尤其是随机图论已经与统计物理并驾齐驱地成为研究复杂网络的两大解析方法之一。考虑到物理学家对于图论这一领域比较陌生，我在此专辟一章介绍图论的基本知识，同时将在后面的章节中不加说明地使用本章定义过的符号。进一步研究所需要的更深入的图论知识，请参考相关文献[1-5]。 本章只给出非平凡的定理的证明，过于简单直观的定理的证明将 留给读者。个别定理涉及到非常深入的数学知识和繁复的证明，我们将列出相关参考文献并略去证明过程。对于图论知识比较熟悉的读者可以直接跳过此章，不影响整体阅读。 图的基本概念 图G 是指两个集合(V ，E)，其中集合E 是集合V×V 的一个子集。 集合V 称为图的顶点集，往往被用来代表实际系统中的个体，集合E 被称为图的边集，多用于表示实际系统中个体之间的关系或相互作用。若{,}x y E ，就称图G 中有一条从x 到y 的弧（有向边），记为x→
y ，其中顶点x 叫做弧的起点，顶点y 叫做弧的终点。根据定义，从任意顶点x 到y 至多只有一条弧，这是因为如果两个顶点有多种需要区分的关系或相互作用，我们总是乐意在多个图中分别表示，从而不至于因为这种复杂的关系而给解析分析带来困难。如果再假设图G 中不含自己到自己的弧，我们就称图G 为简单图，或者更精确地叫做有向简单图。以后如果没有特殊的说明，所有出现的图都是简单图。记G 中顶点数为()||G V ν=，边数为()||G E ε=，分别叫做图G 的阶和规模，显然有()()(()1)G G G ενν≤-。图2.1a 给出了一个计算机分级网络的示意图，及其表示为顶点集和边集的形式。 图2.1：网络拓扑结构示意图。图a 是10阶有向图，顶点集为 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，边集为{1→2,1→3,1→4,2→5,2→6,2→7,3→6,4→7,4→8,6→9,7→9,8→10}；图b 是6阶无向图，顶点集为{1,2,3,4,5,6}，边集为{13,14,15,23,24,26,36,56}。 从定义中可以看到，从任意顶点x 到y 不能连接两条或以上 边，本文所讨论的图，均符合上述要求，既均为不含多重边的图。如
离散数学图论部分经典试题及答案
离散数学图论部分综合练习 一、单项选择题 1．设图G 的邻接矩阵为 ??? ???? ? ????? ???0101 010******* 11100100110 则G 的边数为( )． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 2．已知图G 的邻接矩阵为 ， 则G 有（ ）． A ．5点，8边 B ．6点，7边 C ．6点，8边 D ．5点，7边 3．设图G ＝
图三 7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是 ( )． 图四 A ．（a ）是强连通的 B ．（b ）是强连通的 C ．（c ）是强连通的 D ．（d ）是强连通的 应该填写：D 8．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ ）时，K n 中存在欧拉回路． A ．m 为奇数 B ．n 为偶数 C ．n 为奇数 D ．m 为偶数 9．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )． A ．e －v ＋2 B ．v ＋e －2 C ．e －v －2 D ．e ＋v ＋2 10．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点 11．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树． A ．1m n -+ B ．m n - C ．1m n ++ D ．1n m -+ 12．无向简单图G 是棵树，当且仅当( )． A ．G 连通且边数比结点数少1 B ．G 连通且结点数比边数少1 C ．G 的边数比结点数少1 D ．G 中没有回路． 二、填空题 1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结 点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割 ? ? ? ? ? c a b e d ? f 图四
北邮离散数学期末复习资料题
北邮离散数学期末复习题 第一章集合论 一、判断题 （1）空集是任何集合的真子集． （ 错 ） （2）{ }φ是空集． （ 错 ） （3）{}{ }a a a },{∈ （ 对 ） （4）设集合{}{}{}{}A A 22,1,2,1,2,1?=则. ( 对 ） （5）如果 B A a ??，则A a ?或B a ?． （ 错 ） 解 B A a ??则B A B A a ?=?∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ?且B a ? （6）如果A ∪.,B A B B ?=则 （ 对 ） （7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则 },,,,,{332211><><><=?b a b a b a B A （ 错 ） （8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A 2到A 的关系． （ 对 ） 解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =?A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><>∈ 图论中有图题目 一、 没有一个简单的办法能确定图的色数以及用尽可能少的颜色给图的节点着色。Welch-Powell 给出了一个使颜色数尽可能少（不一定最少）的结点着色方法，在实际使用中比较有效： 第1步、 将图的结点按度数的非增顺序排列；第2步、用第1种颜色给第1个结点着色，并按照结点排列顺序，用同一种颜色给每个与前面已着色的结点不邻接的结点着色；第3步、换一种颜色对尚未着色的结点按上述方法着色，如此下去，直到所有结点全部着色为止。 例1 分别求右面两图的色数 （1）由于（1）中图G 中无奇数长的基本回路，由定理可知()2G χ=。 （2）由于（2）中图G 含子图轮图4W ，由于()44W χ=，故()4G χ≥。又因 为此图的最大度()4G ?=，G 不是完全图，也不是奇数长的基本回路，由定理可知()()4G G χ≤?=，因而()4G χ=。 （对n 阶轮图n W ，n 为奇数时有()3n W χ=，n 为偶数时有()4n W χ=；对n 阶零图n N ，有()1n N χ=；完全图n K ，有()n K n χ=；对于二部图12,,,G V V E E =<>=Φ时即()1n N χ=，E ≠Φ时即()2G χ=；在彼得森图G 中，存在奇数长的基本回路，因而()3G χ≥，又彼得森图既不是完全图也不是长度为奇数的基本回路，且()3G ?=，由定理()3G χ≤，故()3G χ=） 例 2 给右边三个图的顶点正常着 色，每个图至少需要几种颜色。 答案：（1） ()2G χ=；（2） ()3G χ=； （3）()4G χ= 例3 有8种化学品A,B,C,D,P,R,S,T 要放进贮藏室保管。出于安全原因， 下列各组药品不能贮在同一个室内：A-R, A-C, A-T, R-P, P-S, S-T, T-B, B-D, D-C, R-S, R-B, 4个结点、6个结点和8 个结点的三次正则图 (2) (1) (3) (2) (1) 图论部分 第七章、图的基本概念 7.1 无向图及有向图 无向图与有向图 多重集合: 元素可以重复出现的集合 无序积: A&B={(x,y) | x∈A∧y∈B} 定义无向图G= 通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指 无向图和有向图, 用e k表示无向边或有向边. V(G), E(G), V(D), E(D): G和D的顶点集, 边集. n 阶图: n个顶点的图 有限图: V, E都是有穷集合的图 零图: E=? 平凡图: 1 阶零图 空图: V=? 顶点和边的关联与相邻：定义设e k=(v i,v j)是无向图G= 《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明） 一、命题逻辑 [复习知识点] 1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价?），复合命题 2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式 3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式 4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法） 5、命题逻辑的推理理论 本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理 [复习要求] 1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。 2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。 3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。 4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。 5、掌握命题逻辑的推理理论。 [疑难解析] 1、公式类型的判定 判定公式的类型，包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。具体方法有两种，一是真值表法，二是等值演算法。 2、范式 求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律），结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语（或子句）只保留一个。 3、逻辑推理 掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法（直接证明法、附加前提证明法和归谬法）。 例1.试求下列公式的主析取范式： 第八章图论 例1、下面哪些数的序列,可能是一个图的度数序列?如果可能,请试画出它的图. 哪些可能不是简单图?a) (1,2,3,4,5) b) (2,2,2,2,2) c) (1,2,3,2,4) d) (1,1,1,1,4) e) (1,2, 2,4,5) 解:a)不是, 因为有三个数字是奇数. b) c) d)是. e) 不是简单图,因为它有5个结点, 有一个结点度为5, 必然有环或平行边. 例2、已知无向简单图G中,有10条边,4个3度结点,其余结点的度均小于或等于2,问G中至少有多少个结点?为什么? 解:已知边数|E|=10, ∑deg(v)=2|E|=20其中有4个3度结点, 余下结点度之和为: 20-3×4=8 因为G是简单图, 其余每个结点度数≤2, 所以至少还有4个结点.所以G中至少有8个结点. 强连通、单侧连通和弱连通 在简单有向图G中,如果任何两个结点间相互可达, 则称G是强连通. 如果任何一对结点间, 至少有一个结点到另一个结点可达, 则称G是单侧连通. 如果将G看成无向图后(即把有向边看成无向边)是连通的,则称G是弱连通. 在简单有向图中,具有强连通的最大子图,称为强分图.具有单侧连通的最大子图,称为单侧分图. 具有弱连通的最大子图,称为弱分图. 注：我每次都会被各种分图弄糊涂！！考试时要注意啊，千万不要错了 利用可达性矩阵求强分图，注意初等矩阵变换的知识不要忘了！！ 令图G=离散数学图论与关系中有图题目
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