矩阵的意义

第三章第一節矩陣的意義

定義1. (矩陣(Matrix))

m 列n 行的矩陣A 可表成

11121

2122

n n ij m n

m m m n a a a

a a a A a a a a ?????????

==????????

其中ij a 表示第i 列第j 行的元素(Element)，m n ?稱為矩陣A 的階數

(Order)

定義2. (列矩陣(Row Matrix))

僅有一列(1m =)的矩陣稱為列矩陣或列向量(Row V ector)

定義3. (行矩陣(Column Matrix))

僅有一行(1n =)的矩陣稱為行矩陣或行向量(Column V ector)

定義4. (零矩陣(Zero Matrix))

元素均為0的矩陣，稱為零矩陣，m n ?階的零矩陣，記為m n ?0

定義5. (方陣(Square Matrix))

行數與列數相等的矩陣，稱為方陣

定義6. (上三角矩陣(Upper Triangular Matrix))

一方陣之對角線以下的元素均為零之矩陣稱為上三角矩陣

定義7. (下三角矩陣(Lower Triangular Matrix))

一方陣之對角線以上的元素均為零之矩陣稱為下三角矩陣

定義8. (對角矩陣(Diagonal Matrix))

一方陣除了對角線外的元素均為零之矩陣稱為對角矩陣

定義9. (單位矩陣(Unit Matrix))

對角矩陣中，若對角線的元素均為1，稱為單位矩陣，n 階單位矩陣以n

表示

例： []11I = ，21

001I ??=?

???

，31

000100

1I ??

??=??????

定義10. (子矩陣(Submatrix))

子矩陣ij M 為將矩陣A 中的第i 列及第j 行的元素刪除後所得的矩陣

例題1. 已知2

101

321

1A ??

=??????

，試求子矩陣122231,,M M M Sol ：

121

211M ??=???? ，222011M ??=???? ，311

032M ??

=????

定義11. (轉置矩陣(Transpose Matrix))

將矩陣A 之行與列互換，所得的矩陣稱為A 的轉置矩陣，記為T

例題2. 設1

302

1A -??

???

，試求A 的轉置矩陣 Sol ：

A 123

1??

??=-??????

定義11. (共軛矩陣(Conjugate Matrix))

將一矩陣A 的各個元素都改寫為該元素的共軛複數，所得的矩陣，稱為

原矩陣的共軛矩陣，記為A

例題3. 設324541635i A i

i i -+??

=--????+-??

，試求A 的共軛矩陣

Sol ：

A 324541635i

i i --??

?=++????-+-??

定義11. (共軛轉置矩陣(Conjugate -Transpose Matrix))

將矩陣A 的各個元素都改寫為該元素的共軛複數，並做轉置後所得的矩

陣，稱為A 的共軛轉置矩陣，記為A *

例題4. 設324541635i A i

i i -+??

=--????+-??

，試求A 的共軛轉置矩陣

Sol ：

A *

A 325463

15i

i i i

--+-+??=?

?+-??

定義12. (對稱矩陣(Symmetrix Matrix))

若一n 階方陣ij n n A a ???=??的元素均滿足ji ij a a =，則稱A 為對稱矩陣

定義13. (反對稱矩陣(Skew -Symmetrix Matrix))

若一n 階方陣ij n n A a ???=??的元素均滿足ji ij a a =-，

則稱A 為反對稱矩陣

定義14. (賀米特矩陣(Hermite Matrix))

若一n 階方陣ij n n A a ???=??的元素均滿足ji ij a a =，則稱A 為賀米特矩

陣

定義15. (反賀米特矩陣(Skew -Hermite Matrix))

若一n 階方陣ij n n A a ???=??的元素均滿足ji ij a a =-，

則稱A 為反賀米特矩陣

定義16. (反矩陣(Inverse Matrix))

若,A B 均為n 階方陣，且n AB I =，則稱B 為A 之反矩陣或逆矩陣，

記作

A B -=或1

A -=

定義17. (正交矩陣(Orthogonal Matrix)) 若n 階方陣A 滿足 T

n A A I =或1

A -=，則稱A 為正交矩陣

定義18. (單式矩陣(Unitary Matrix)) 若n 階方陣A 滿足 n A A I *

=或1

A A -*

=，則稱A 為單式矩陣

理解矩阵,矩阵背后的现实意义

理解矩阵，矩阵背后的现实意义作者：郭博这是很早以前已经看过的，最近无意中又把保存的文章翻岀来时，想起很多朋友问过矩阵，虽对矩阵似懂非懂，但却很想弄懂它，希望这几篇文章能帮你一下，故转之：线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说, 在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给岀行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题一一把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不岀这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太无厘头了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的岀场一一矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说："如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”然而按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，…，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了第二代数学模型”的畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在第一代数学模型”即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shif t，不感到困难才是奇怪的。大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提岀的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说: 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不

矩阵特征值、特征向量的研究【开题报告】

毕业论文开题报告数学与应用数学矩阵特征值、特征向量的研究一、选题的背景、意义（1）选题的背景、意义 “矩阵(Matrix)”术语是由西尔维斯特创用并由凯莱首先明确其概念的。19世纪50年代，西尔维斯特引入“矩阵”一词来表示“一项由几行H列元素组成的矩形阵列”或“各种行列式组”，凯莱作为矩阵理论的创立者，首先为简化记法引进矩阵，然后系统地阐述了矩阵的理论体系。随后，弗罗伯纽斯等人发展完善了矩阵的理论体系形成了矩阵的现代理论。然而，矩阵思想的萌芽由来已久，早在公元前l世纪中国的《九章算术》就已经用到类似于矩阵的名词。但那时矩阵仅是用来作为一种矩形阵列解决实际问题，并没有建立起独立完善的矩阵理论。18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式等理论的发展提供了矩阵发展的条件，矩阵概念由此产生，矩阵理论得到系统的发展。20世纪初，无限矩阵理论得到进一步发展[]1。线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中[]2。由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量

空间的过渡矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。 “代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今[]3[]4。线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。（2）国内外研究现状和发展趋势主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）[]5。 ①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位； ②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分； ③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的； ④随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如

矩阵的物理意义

矩阵的物理意义如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，这就带来了教学上的困难。” * 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？ * 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？ * 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？* 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？ * 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？ * 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2. 这些点之间存在相对的关系；3. 可以在空间中定义长度、角度；4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动，事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是： 1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？ 2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？

矩阵的基本概念

§1 矩阵及其运算教学要求：理解矩阵的定义、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵（比如零矩阵，单位矩阵，对称矩阵和反对称矩阵 ) 的定义与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同。能熟练正确地进行矩阵的计算。知识要点：一、矩阵的基本概念矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。

当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即：。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，是一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成的集合，而用或者表示数域上的阶方阵构成的集合。二、矩阵的运算 1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：。

给定矩阵，我们定义其负矩阵为：。这样我们可以定义同型矩阵的减法为：。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：（ 1）交换律：；（ 2）结合律：；（ 3）存在零元：；（ 4）存在负元：。 2 、数与矩阵的乘法：设为一个数，，则定义与的乘积仍为中的一个矩阵，中的元素就是用数乘中对应的元素的道德，即。由定义可知：。容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律：（1 ）；（2 ）；（3 ）；（4 ）。

读《理解矩阵》的一点心得及整理归类

线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没

矩阵特征值和特征向量的研究

矩阵特征值与特征向量的研究

目录一矩阵特征值与特征向量研究的背景及意义 (3) 二、特征值与特征向量的定义及其性质 (4) 2.1 定义 (4) 2.2 性质 (4) 三特征值及其特征向量的求法及其MATLAB的实现 (5) 3.1 QR方法 (5) 3.1.1 基本原理 (5) 3.1.2 具体实例 (5) 3.2 用多项式的方法来求解特征值 (10) 四特征值与特征向量的简单应用 (12) 五小结 (16)

一矩阵特征值与特征向量研究的背景及意义矩阵的特征值与特征向量是高等代数的重要组成部分，通过对矩阵特征值与特征向量的性质介绍，以及对矩阵特征值与特征向量理论的分析，将特征值与特征向量应用于方程组的求解问题是高等代数中的重要内容。随着社会到的进步，计算机的飞速发展，高等代数这门课程已经渗透到各行各业里面。在许多方面都有着很重要的应用。在多数高等代数教材中,特征值与特征向量描述为线性空间中线性变换A的特征值与特征向量。从理论上来讲只要求出线性变换A的特征值和特征向量就可以知道矩阵A的特征值和特征向量。因此求矩阵的特征值与特征向量就变得尤为重要的引入是为了研究线性空间中线性变换A的属性。在物理，力学，工程技术中有很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量的问题。现在教材中给出的求解特征值和特征性向量的方法基本上都是通过求解特方程来求解。有时候特征方程会极其的麻烦。有一些文章中虽然给了初等行列变换的方法来较少计算量，但是仍未摆脱参数行列式计算的问题。本文中我们将首先讲解有关特征值和特征向量的相关知识，另外介绍一些简单实用的方法来求解矩阵的特征值与特征向量。

特征值和特征向量的几何意义是什么

特征值和特征向量的几何意义是什么？特征向量的几何意义特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵(既然讨论特征向量的问题，当然是方阵，这里不讨论广义特征向量的概念，就是一般的特征向量)乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx,你就恍然大悟了,看到了吗？cx 是方阵A 对向量x 进行变换后的结果，但显然cx 和x 的方向相同)，而且x 是特征向量的话，ax 也是特征向量(a 是标量且不为零)，所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族，另外，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不是那么重要，虽然我们求这两个量时先求出特征值，但特征向量才是更本质的东西！比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是 A=??? ? ??-1001 显然??? ? ??-=???? ?????? ??-b a b a 1001 这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么? 想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变 (记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化) 所以可以直接猜测其特征向量是 )0( ,0≠??? ? ??a a 还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以 )0( ,0≠??? ? ??b b 也是其特征向量，去求求矩阵A 的特征向量就知道对不对了! （来自百度网站）

苏教版高中数学高二选修4-2 矩阵乘法的概念

选修4－2矩阵与变换 2.3.1 矩阵乘法的概念编写人：编号：008 学习目标 1、熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法。 2、理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，从几何变换的角度来看，它表示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换。学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解决下列问题：问题：如果我们对一个平面向量连续实施两次几何变换,结果会是怎样?举例说明。归纳1：矩阵乘法法则: 归纳2：矩阵乘法的几何意义：（二）初等变换：在数学中，一一对应的平面几何变换都可看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵。练习、.?? ??????????10110110=（） A 、???? ??1110 B 、??????1011 C 、? ? ? ???0111 D 、??????0110 、已知矩阵X 、M 、N,若M =?? ? ???--1111, N =??????--3322，则下列X 中不满足:XM=N ,的一个是（） A 、X =???? ??--2120 B 、X =??????--1211 C 、X =??????--3031 D 、X =? ? ? ???-3053

二、课堂训练：例1．（1）已知A= 11 22 11 22 ?? ? ? ? ? ?? ，B= 11 22 11 22 ?? - ? ? ? - ? ?? ,计算AB （2）已知A= 10 02 ?? ? ?? ，B= 14 23 ?? ? - ?? ，计算AB,BA (3)已知A= 10 00 ?? ? ?? ，B= 10 01 ?? ? ?? ，C= 10 02 ?? ? ?? 计算AB,AC 例2、已知梯形ABCD，其中A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转0 90 (1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M (2)求点A,B,C,D在 M T作用下所得到的结果 (3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证(2)中的结论。

第一讲矩阵的概念、运算

第一讲 Ⅰ 授课题目（章节）： §2.1 矩阵的概念； §2.2 矩阵的计算 Ⅱ 教学目的与要求：理解矩阵概念；掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律。 Ⅲ 教学重点与难点：矩阵的乘法 Ⅳ 讲授内容： §2.1 矩阵定义2.1 由n m ?个数),,2,,1;,,2,1(n j m a ij =排成的m 行n 列的数表 mn m m n n a a a a a a a a a 21222 21112 11 称为m 行n 列矩阵,简称n m ?矩阵.为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记作 ??????? ??=?mn m m n n n m a a a a a a a a a A 212222111211 两个矩阵B A ，，如果都是m 行n 列的，称它们是同型矩阵。否则，称它们是不同型的。 n 行n 列的矩阵n n A ?称为n 阶矩阵（或n 阶方阵），简记为n A 。只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵,又称行向量.只有一列的矩阵 ?????? ? ??=n b b b B 21 称为列矩阵,又称列向量. 定义2.2 如果)()(ij ij b B a A ==与是同型矩阵,并且它的对应元素相等 ,即

),,2,1;,,2,1(,n j m i b a ij ij === 那么就称矩阵A 与B 相等,记作B A =. 元素都是零的m 行n 列矩阵称为零矩阵,记作n m O ?，简记为O .不同型的零矩阵是不同的. ??????? ??=100010001 n I 称为n 阶单位矩阵,简记作I .这个矩阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上的元素都是1,其它元素都是0. §2.2 矩阵的运算 1. 矩阵的加法定义2.3 设有两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B , 规定为 n m ij ij b a B A ?+=+)( 设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-. 2. 数与矩阵相乘: 定义2.4 数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ?=)(λλ 数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ= )(ii A A A μλμλ+=+)( )(iii B A B A λλλ+=+)( 3. 矩阵与矩阵相乘: 定义 2.5 设)(ij a A =是一个s m ?矩阵,)(ij b B =是一个n s ?矩阵,那么规定矩阵

浅谈矩阵的特征向量特征值的意义

浅谈矩阵的特征向量特征值的意义描述了矩阵的特征向量和特征值的定义，简述了矩阵的特征向量特征值在数学、物理、信息和哲学上的一些意义，对于从多角度深入理解矩阵的特征向量特征值有积极意义。标签：线性代数；矩阵；特征向量；特征值 1 线性变换与矩阵的特征向量特征值[1] 线性变换是指一个n维列向量被左乘一个n阶矩阵后得到另一个n维列向量，它是同维向量空间中的把一个向量线性映射成了另一个向量。即 Y=AX （Y，X∈Rn A=（aij）A=（aij）n×n）如果对于数λ，存在一个n维零列向量X（即X∈Rn且X≠0），使得 AX=？姿X 则称数λ为矩阵A的一个特征值，X为矩阵A对应于λ的特征向量。在线性代数中研究线性变换就是研究相应的矩阵A，矩阵A的特征向量和特征值是线性变换研究的重要内容。 2 在数学上的意义矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。这里可以将特征值为负，特征向量旋转180度，也可看成方向不变，伸缩比为负值。所以特征向量也叫线性不变量。特征向量的不变性是他们变成了与其自身共线的向量，他们所在的直线在线性变换下保持不变；特征向量和他的变换后的向量们在同一根直线上，变换后的向量们或伸长或缩短，或反向伸长或反向缩短，甚至变成零向量（特征值为零时）[2]。对对称矩阵而言，可以求得的特征向量是正交的，就是把矩阵A所代表的空间，进行正交分解，使得A的向量集合可以表示为每个向量a在各个特征向量上面的投影长度。例如，对于x，y平面上的一个点（x，y），我对它作线性变换A，这个线性变换相当于关于横轴x做镜像。我们可以求出矩阵A的特征向量

理解矩阵(个人认为这是关于矩阵最精彩的理解,推荐~~)

理解矩阵（个人认为这是关于矩阵最精彩的理解，推荐~~）来源：曾雅文的日志线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说： * 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？ * 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？ * 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本

矩阵特征值的意义

矩阵特征值的意义数学里面的特征值和特征矩阵到底有什么用，它的物理意义在于什么矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！特征值时针对方阵而言的。两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。引入特征值与特征向量的概念 ? 引例在一个n 输入n 输出的线性系统y=Ax 中，其中 ? 我们可发现系统A 对于某些输入x ，其输出y ? 恰巧是输入x 的倍，即；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。 ??????? ??=??????? ??=??????? ??=n n nn n n n n y y y y x x x x a a a a a a a a a A M M L L L L L L L 2121212222111211,,λx y λ=

? 例如，对系统，若输入 ? 则 ? ? 若输入，则 ? 所以，给定一个线性系统A ，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数等于多少这显然是控制论中感兴趣的问题。基于此给出特征值与特征向量的概念： ? 定义设A 是一个n 阶方阵，若存在着一个数和一个非零n 维向量x ，使得则称是方阵A 的特征值，非零向量x 称为A 对应于特征值的特征向量，或简称为A 的特征向量 ???? ??=4312A ? ?? ? ??=31x x Ax y 5315155314312=???? ??=???? ??=???? ?????? ??==???? ??=52x x Ax y λ≠???? ??=???? ?????? ??==269524312λx Ax λ=λλ

新理解矩阵(1-6全)

新理解矩阵1 前边我承诺过会写一些关于自己对矩阵的理解。其实孟岩在《理解矩阵》这三篇文章中，已经用一种很直观的方法告诉了我们有关矩阵以及线性代数的一些性质和思想。而我对矩阵的理解，大多数也是来源于他的文章。当然，为了更好地理解线性代数，我还阅读了很多相关书籍，以求得到一种符合直觉的理解方式。孟岩的blog已经很久没有更新了，在此谨引用他的标题，来叙述我对矩阵的理解。当然，我不打算追求那些空间、算子那些高抽象性的问题，我只是想发表一下自己对线性代数中一些常用工具的看法，比如说矩阵、行列式等。同时，文章命名为“理解矩阵”，也就是说这不是矩阵入门教程，而是与已经有一定的线性代数基础的读者一起探讨关于矩阵的其他理解方式，仅此而已。我估计基本上学过线性代数的读者都能够读懂这篇文章。首先，我们不禁要追溯一个本源问题：矩阵是什么？我们不妨回忆一下，矩阵是怎么产生的。矩阵可以看成是一个个向量的有序组合，这说明矩阵可以类比向量；但是向量又是怎么产生的？向量则是一个个数字的有序组合，这又把我们的研究方向指向了“数字是什么”这个问题上。比如，数字1是什么？它可以代表1米，可以代表1千克，也可以代表1分钟、1摄氏度甚至1个苹果。它为什么有这么多的表示意义？答案很简单，因为在本质上，它什么都不是，它就是数字1，一个记号，一个抽象的概念。正因为它抽象，它才可以被赋予各种各样直观的意义！回到矩阵本身，我们才会明白，矩阵的作用如此之大，就是因为书本上那个很枯燥的定义——矩阵就是m行n列的一个数表！它把矩阵抽象出来，让它得到了“进化”。它是一个更一般化的概念：一个向量可以看作一个矩阵，甚至一个数都可以看成一个矩阵，等等。代数方面的理解当然，上述说法是含糊的，我们还是需要确切知道它究竟有什么用？这可以从代数和几何的角度来分析，因为做到数形结合才是最完美的。首先我们知道数学最基本的元素就是数字，严格来说是自然数，如0，1，2，...；有了数字，我们就可以做到很多东西。但是数字是单一的，而我们很多时候都要批量处理一些类似的运算，比如同时要计算1+2，1+3，2+3，4+5这四个算式。不论是从记录还是从研究的角度来说，分开研究它们都是比较繁琐的。于是一种“批量”的记号产生了，我们记为(1,1,2,4)+(2,3,3,5)，用两个不同记号记录它们，比如 A =(1,1,2,4), B =(2,3,3,5)，我们就可以将它记为A +B 。这样不论在研究还是记录方面都能够给我们方便。于是一个我们称之为“向量”的东西产生了，也就是说，从代数的角度来讲，向量是为了研究批量运算而产生的。但是向量并没有解决所有的批量运算的问题。比如3元一次方程组 a11x1+a12x2+a13x3=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2

苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第01课时矩阵的概念

第01课时矩阵的概念一、要点讲解 1．矩阵的概念： 2．矩阵的相等：二、知识梳理 1．在数学中，将形如13?????? ，80908688??????，23324m ????-??这样的__________________称做矩阵．_____________________________________叫做矩阵的行，______________________ ________________叫做矩阵的列．通常称具有i 行j 列的矩阵为i ×j 矩阵． 2．__________________称为零矩阵；______________________称为行矩阵；____________ _______________称为列矩阵． 3．平面上向量α = (x ，y )的坐标和平面上的点P (x ，y )看作行矩阵可记为________，看作列矩阵可记为_________． 4．当两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的_______________________，并且____________________也分别相等时，才有A = B ．三、例题讲解例1．用矩阵表示△ABC ，其中A (－1,0)，B (0，2)，C (2，0)．例2．设31,422x y A B z ????==????--???? ，若A = B ，求x ，y ，z ．例3．已知n 阶矩阵11221 21247712j n j n i i i j in n n n j nn a a a a A a a a a a a a a ????????=???????????? ，其中每行、每列都是等差数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数． (1)写出45a 的值； (2) 写出ij a 的计算公式．四、巩固练习 1. 画出矩阵143111-????-?? 所表示的三角形，并求该三角形的面积．

浅谈矩阵计算

浅谈矩阵计算一丶引言矩阵是高等代数学中的常见的工具。在应用数学，物理学，计算机科学中都有很大的作用。研究矩阵的计算，可以简化运算，并深入理解矩阵的性质。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。矩阵的研究历史悠久，发展也是历久弥新，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词。英国数学家凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年给出的。1854年时法国数学家埃尔米特（C.Hermite）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。无限维矩阵的研究始于1884年。庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年，希尔伯特引入无限二次型（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上，施密茨、赫林格和特普利茨发展出算子理论，而无限维矩阵成为了研究函数空间算子的有力工具。二、矩阵的介绍与基本运算由m×n个数a ij（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m ×n矩阵。只有一行的矩阵A=(a1,a2…a n)称为行矩阵或行向量，只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量。矩阵计算的合适出发点是矩阵与矩阵的乘法。这一问题在数学上虽然简单，但从计算上来看却是十分丰富的。矩阵相乘可以有好几种不同的形式，还将引入矩阵划分的概念，并将其用来刻画计

矩阵特征值求解

矩阵特征值求解的分值算法 12组 1．1 矩阵计算的基本问题 (1)求解线性方程组的问题.即给定一个n 阶非奇异矩阵A 和n 维向量b ,求一个n 维向量x ,使得 b Ax = （1.1.1） (2)线性最小二乘问题,即给定一个n m ?阶矩阵A 和m 维向量b ,求一个n 维向量 x ,使得 },min{n R y b Ay b Ax ∈-=- （1.1.2） (3)矩阵的特征问题,即给定一个n 阶实(复)矩阵A ,求它的部分或全部特征值以及对应的特征向量,也就是求解方程 x Ax λ= （1.1.3）一对解(λ,x ),其中)(),(n n C R x C R ∈∈λ,即λ为矩阵A 的特征值,x 为矩阵 A 的属于特征值λ的特征向量。在工程上,矩阵的特征值具有广泛的应用,如大型桥梁或建筑物的振动问题:机械和机件的振动问题；飞机机翼的颤振问题;无线电电子学及光学系统的电磁振动问题;调节系统的自振问题以及声学和超声学系统的振动问题.又如天文、地震、信息系统、经济学中的一些问题都与矩阵的特征值问题密切相关。在科学上,计算流体力学、统计计算、量子力学、化学工程和网络排队的马尔可夫链模拟等实际问题,最后也都要归结为矩阵的特征值问题.由于特征值问题在许多科学和工程领域中具有广泛的应用,因此对矩阵的特征值问题的求解理论研究算法的开发软件的制作等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的重大课题,国际上这方面的研究工作十分活跃。 1.2 矩阵的特征值问题研究现状及算法概述对一个n n ?阶实(复)矩阵A,它的特征值问题,即求方程(I.1.3)式的非平凡解,是数值线性代数的一个中心问题.这一问题的内在非线性给计算特征值带来许多计算问题.为了求(l.1.3)式中的λ,一个简单的想法就是显式地求解特征方程 0)det(=-I A λ （1.2.1）除非对于个别的特殊矩阵,由于特征方程的系数不能够用稳定的数值方法由行列式的计算来求得,既使能精确计算出特征方程的系数,在有限精度下,其特征多项式)det()(I A f λλ-=的根可能对多项式的系数非常敏感.因此,这个方法只能在理论上是有意义的,实际计算中对一般矩阵是不可行的.首先,若矩阵A 的阶数较大,则行列式)det(I A λ-的计算量将非常大;其次,根据Galois 理论,对于次数大于四的多项式求根不存在一种通用的方法,基于上述原因,人们只能寻求其它途径.因此,如何有效地!精确地求解矩阵特征值问题,就成为数值线性代数领

企业战略管理里矩阵的意义

企业战略管理里矩阵的意义最近一些朋友问我，企业为什么要实施矩阵管理？我想从项目管理、绩效管理与知识管理三个方面来回答这个问题。一，项目管理。企业可以被看作是一个饥渴的生物体，而它的食物就是它所接洽的每一个项目。每一个项目从市场中来，到企业中去，通过企业的作业，成为最终的作品，为市场和企业都带来了新鲜的营养。在此期间，矩阵管理为每个“项目”提供了有效的“消化过程”，使得企业不会因“消化不良”而“缺乏营养”，也不会因“吃错喝高”而“上吐下泻”，这就是矩阵管理为企业的项目管理所带来的“理顺作用”。二，绩效管理。没有懒惰的员工，只有低效的管理。绩效管理机制就像是企业的开胃药，让所有的“组织机能”都加快地运作起来。然而，这味开胃药却需要一个“药引”——团队。员工就像是企业中的“细胞”，而“细胞”只有形成“器脏”，即团队矩阵，组织才能有所作为，绩效管理机制才能施展作业。因此，实施绩效管理机制有两大前提：第一，目标管理。德鲁克曾说过，没有目标的机构，不能称之为组织。然而目标管理，不是想当然，不是凭感觉，而是靠组织的战略性思维文化。第二，团队管理。团队化的实际操

作包括团队构成、团队责任、团队合作、团队考核与团队学习。这些战略性的组织安排都要产生于矩阵模式之上才会发生应有的功效。三，知识管理。知识管理是一个开始进入人力资源中层管理难度的、跨专业、跨行业的研究课题（由于涉及领域越发广泛，前两项与之相比只是人力资源的初级管理）。知识管理，是建立学习型企业的过程，是个人发展与组织成长的途径，是激发企业凝聚力、形成企业文化的重要手段，是组织实现经久不衰神话的、变革管理的前提。然而，实现这一切的前提，是人。是以人为本的、健康的组织形态。因此，作为一切中层次和高层次人力资源管理的基石，矩阵管理，从一开始就起着决定性的作用。综上所述，矩阵管理是强健企业的生命力的基础，是加速企业“新陈代谢”的绩效管理与目标管理的硬件，是实现深层次组织发展的必要的前提。