盐城市2020届高三年级第一学期期中考试

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数学试题

(总分160分，考试时间120分钟)

注意事项：

1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．

3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题

卡上．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题

纸的指定位置上. 1.已知集合{

}

2

10A x x =-=，[0,)B =+∞，则A

B = ▲ ．

2.已知角α的始边为x 轴的正半轴，点(1P 是其终边上一点，则cos α的值为 ▲ ．

3.“1m >”是“2m >”的 ▲ 条件. （选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）

4.若向量(1,)a m =，(3,2)b =，a //b ，则实数m 的值为 ▲ ．

5.函数y =

的定义域为 ▲ ．

6.若函数()y f x =为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =+，则(7)f -的值为 ▲ ．

7.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =且公差0d ≠，则1

a d

的值为 ▲ ． 8.若4

sin()5

π+α=-

，则cos2α的值为 ▲ ．

9.若函数()sin f x x x =的图象关于直线x a =对称，则||a 的最小值是 ▲ ．

10.若函数221, 0,

(), 0

x ax x a x f x e x ?++-

是 ▲ ．

11.若数列{}n a 满足121a a ==，32a =，且数列{}1n n a a +?是等比数列，则数列{}n a 的前19项和的值为 ▲ ．

12.如图，在ABC ?

中，AB =

，AC =，2

3

AD AB =

，1

3

AE AC =

，DM ME =，BN NC =，若M N B C

⊥，则c o s A

的值为 ▲ ．

13.在ABC ?中，1AC =

，AB =，D 为BC 的中点，

2CAD BAD ∠=∠，则BC 边的长为 ▲ ．

14.设函数32()23f x x x a =--，若对任意的实数a ，总存在0[0,2]x ∈，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，

请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)

若函数()2sin()(0,0)2

f x x π

ω?ω?=+><<

的图象经过点，且相邻的两个零

点差的绝对值为6.

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）若将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数g()x 的图象，当[1,5]x ∈-时，

求g()x 的值域.

16. (本小题满分14分)

设:p “,sin 2x R x a ?∈≤+”；:q “2

()f x x x a =--在区间[1,1]-上有零点”．

（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；

（2）若p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．

第12题图

如图所示是某社区公园的平面图，ABCD 为矩形，200AB =米，100BC =米，为了

便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD 内修建5条道路,,,,AE DE EF BF CF ，道路的宽度忽略不计.考虑对称美，要求直线EF 垂直平分边AD ，且线段EF 的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值.

第17题图

18. (本小题满分16分)

如图，在ABC ?中，5AB =，4AC =，点D 为ABC ?内一点，满足2BD CD ==，

且50AB AC DB DC ?+?=.

（1）求

sin sin ABC

BCD

∠∠的值；

（2）求边BC 的长.

第18题图

在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成一个新数列，这样的操作叫做该数列的

一次拓展. 如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，

4，3，5，2. 设数列a ，b ，c 经过第n 次拓展后所得数列的项数记为n P ，所有项的和记为n S .

（1）求1P ，2P ，3P ；

（2）若2019n P ≥，求n 的最小值；

（3）是否存在实数a ，b ，c ，使得数列{}n S 为等比数列？若存在，求a ，b ，c 满足

的条件；若不存在，请说明理由.

20. (本小题满分16分)

设函数()(1)x

f x e x x a =---,a 为常数.

（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(0,(0))P f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x . ① 当a Z ∈时，求a 的最小值； ② 当1a =时，求12x x +的值.

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数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. {}1 2.

13 3. 必要不充分 4. 2

3

5. [2,)+∞

6. 3-

7. 7

2

-

8. 725- 9. 6

π

10.[]0,1 11. 1534 13.

14.

5(,]2

-∞

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.解：(1)

()f x 相邻的两个零点差的绝对值为6，

记()2sin()(0,0)2

f x x π

ω?ω?=+><<的周期为T ，则62

T

=, 又

2T π

ω

=

，

6

πω∴=

. ...............................................................................2分

()2sin()(0)62

f x x ππ

??∴=+<<;

()f x 的图象经过点，

(0)2sin )

2

f π

??∴==<<，

3

π

?∴=

， ..................................................4分 ∴

函

数

()

f x 的解析式为

()2sin()63

f x x ππ

=+. ..................................................6分 (2)

将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数g()x 的图象,

由(1)得，()2sin(

)63

f x x π

π

=+，

∴

函数

g x

的解析式为

g()2sin[(3)]2sin()6366

x x x ππππ

=-+=-； ..............10分

当[1,5]x ∈-时，2,6

633x π

π

ππ??

-

∈-????

，则2sin()[2]66

x ππ-∈. 综

上

，

当

[1,5]

x ∈-时

，

g (

x 的值域

为

[3,2].

..................................14分 16.解：(1) p 为真命题，

则max 2(sin )a x +≥,1a ∴≥-； ........................... 4分

(2) ""p q ∨为真命题，""p q ∧为假命题, 则

,p q

一真一

假. ......................................6分 若q 为真命题，则2

a x x =-在[1,1]x ∈-在有解， 又

2,[1,1]

y x x x =-∈-的值域为

1,24??-????

，

1

24

a ∴-≤≤ ......................................8分

① p 真q 假,1,1

24

a a a ≥-??

?<->??或

则

1

21.

4a a >-≤<-或

......................................10分 ②

p

假

q

真,

1,1

24

a a <-??

?-≤≤??

则

a

无

解 .......................................12分

综上，实数a 的取值

范围是

1

[1,)(2,)4

--+∞. ......................................14分

17.解：（法一）设((0,

))2

ADE π

θθ∠=∈，过E 作EH AD ⊥于H ，

EF 垂直平分AD ，1

502

DH BC ∴=

=(米)， 50

cos DE θ

∴=

(米)，50tan EH θ=(米)，

又

EF 的中点是矩形ABCD 的中心，

2002200100tan EF EH θ∴=-=-(米)，

记这5条路总长度为()f θ(米)， 则

50()4200100tan ((0,))cos 2

f π

θθθθ=?

+-∈， ..................................6分

即2sin ()200100((0,))cos 2

f θπ

θθθ-=+?

∈，

2(2sin )cos (2sin )(cos )()100cos f θθθθθθ

''

---'∴=?

， ..................................8分 化

简

得

22

s i n

1

()100

c o s

f θθθ-'=?

，由

()

f θ'=，可得

6

π

θ=

， ..................................10分

由上表可知，当6πθ=时，()f θ取最小值2()2001002006f π-

=+=+(米) ..................13分 答：5条

道

路

的

总

长

度

的

最

小

值

为

200+(米).

..................................14分

（法二）过E 作EH AD ⊥于H ，设EH x =(米)( 0100x <<)

因EF 垂直平分AD ，故1

502

AH BC =

=(米)， 又EF 的中点是矩形ABCD 的中心，2002EF x ∴=-(米)；

在Rt AEH ?中，AE =米)，

由对称性可得，AE DE CF BF ===(米)；

记这5条路总长度为()f x (米)，

()2002,(0100)f x x x ∴=-<<. ...................

............6分

'()f x ∴=

=

. ................

..............8分

令

'()0,

f x =解得x =

(负值

舍). ................................10分

由上表可知，当3

x =

时，()f x 取最小值

200+. .................................13分

答

：

5

条

道

路

的

总

长

度

的

最

小

值

为

200+米. .................................14分

（法三）同方法二得到()2002,(0100)f x x x =-<<，以下可用判别式法. 18.解：（1）设BC a =，AC b =，AB c =， 由50AB AC DB DC ?+?=， 所

以54c

A D ?+??=，即c

o A D =-

， ..................................2分

又

,A D

为

三

角

形

的

内

角

，

所

以

s i n A D =， ..................................4分

在

ABC

?中，

s i

n

s

i

n

a b A

ABC =

∠，

所

以

4

sin sin a A ABC

=

∠， ..................................6分 同

理

2s i a D

B

=

∠

， ...........................

.......8分

所

以

42

sin sin ABC BCD

=

∠∠，

sin 2sin ABC

BCD ∠∴

=∠ ..................................10分

（2）在ABC ?中，

2222

2

2

5441c

o

s

22

544

b c a a

a A bc

+-

+--===

??

， ..................................12分

同

理

2

8c

o 8

a D -=， .............................

.....14分 由

（

1

）

可

得

22

418408

a a --=-，解得

2

BC a ==

. ..................................16分

19.解：（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数1325P =+=； 经第2次拓展后的项数2549P =+=； 经

第

3

次

拓

展

后

的

项

数

39817P =+=. ..................................3分

（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，

由数列经第n 次拓展后的项数为n P ，则经第1n +次拓展后增加的项数为1n P -， 所

以

1(1)21n n n n P P P P +=+-=-， ...........................

.......5分

所以11222(1)n n n P P P +-=-=-， 由

（

1

）

知

114

P -=，所以

11

1422n n n P -+-=?=，

121n n P +∴=+， ..................................7分

由1212019n n P +=+≥，即1

22018n +≥，解得10n ≥，

所以n 的最小值

为

10. ..................................8分

（3）设第n 次拓展后数列的各项为123,,,,,,m a a a a a c ，

所以123n m S a a a a a c =++++

++，

因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 所以11112223()()()()n m m S a a a a a a a a a a a c c +=+++++++++++++，

即

11223332n m S a a a a c

+=+++++，

所

以

13()n n S S a c +=-+， ..................................10分

所以13()22n n a c a c

S S +++-

=-， 1

1()322

n n a c a c S S -++-=-?， ..............................

....12分

又1()()232S a a b b b c c a b c =++++++=++， 所以()322

n n a c a c

S b ++=+

?+

， 为使数列{}n S 为等比数列，则0202a c a c b +?=???+?+≠??或02

02

a c

b a

c +?+=???+?≠??，

所以，

,,a b c

满足的条件为

00

a c

b +=??≠?或

20

0b a c b ++=??

≠?

. ...................................16分 （说明：少一种情况扣2分）

20.解：（1）当0a =时，()(1)x

f x e x x =--，(0)1f =-，()1x

f x xe '=-，(0)1f '=-， 故

所

求

切

线

的

方

程

为

1(

y x +=--，即

10x y ++=. ...................................2分

（2）①()1x f x xe '=-，令()()1x g x f x xe '==-，则()(1)x

g x x e '=+，

当1x <-时()10x

g x xe =-<恒成立，故()g x 在(,1)-∞-上递减，

令()0g x '>得1x >-，故()g x 在(1,)-+∞上递增，

又1

()102

g =

<，(1)10g e =->，()g x 的图象在[1,)-+∞上连续不间断，所以存在唯一实数01

(,1)2x ∈使得

0()0g x =， ...................................4分

故0x x <时()0f x '<，0x x >时()0f x '>，所以()f x 在0(,)x -∞上递减，在0(,)x +∞上递增，

∴min 0()()f x f x =000(1)x

e x x a =---，由0()0g x =得0

1x e

x =

， ∴min 00

1

()1()f x a x x =--+， .........................6分

因为函数()f x 有两个不同的零点1x ,2x ，所以min ()0f x <，得00

11()a x x >-+， 由01

(,1)2

x ∈易得00131()(,1)2x x -+

∈--，故整数1a ≥-, 当1a =-时，(0)(1)0f f ==，满足题意，

故整数a 的最小值为1-.（也可以用零点存在性定理给出证

明） ...................................10分

注：由0(0,1)x ∈得00

1

1()(,1)x x -+

∈-∞-，不能得到1a ≥-. ②法一：当1a =时，()(1)1x

f x e x x =---，由12()()f x f x =得11111x

x e x +=

-，2221

1

x x e x +=-， 两式相乘得12

1212121212(1)(1)(1)(1)2()

(1)(1)(1)(1)

x x x x x x x x e x x x x +++--++=

=----，

得

1212122()

1(1)(1)

x x x x e x x ++=+

--（※） ...................................12分 不

妨

设

12

x x <，由

(1)2f =-<及()

f x 的单调

性

可

知

121x x <<， ...................................14分

故12(1)(1)0x x --<， 当120x x +=时（※）式成立；

当120x x +>时（※）式左边大于1，右边小于1，（※）式不成立； 当120x x +<时（※）式左边小于1，右边大于1，（※）式不成立； 综上，

120x x +=. ..................................

.16分

法二：当1a =时，()(1)1x

f x e x x =---，

不妨设

12

x x <，由

(1)2f =-<及()

f x 的单调性可知

121x x <<， ...................................12分

由1()0f x =得111(1)10x

e x x ---=，

∴11

11

11111111(1)1

()(1)110x x x x x e x x f x e x x x e e

-------=--+-=+-==， ...................................14分

故函数()f x 有两个不同的零点1x ,1x -，又由()f x 的单调性可知()f x 有且仅有两个不同的零点1x ,2x ，

∴21x x =-，∴120x x +=. ................