三角函数推导,公式应用大全

三角函数公式及证明

基本定义

1.任意角的三角函数值：

在此单位圆中，弧AB 的长度等于α； B 点的横坐标αcos =x ，纵坐标

αsin =y ；

（由 三角形OBC 面积<弧形OAB 的面积<三角形OMA 的面积 可得： a a tan sin <<α （2

0πα<<））

2.正切：

α

α

αcos sin tan =

基本定理

1.勾股定理： 1cos sin 22=+αα 1.正弦定理：

A a sin =

B b sin =C

c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2

=b 2

+c 2

-2bc A cos bc

a c

b A 2cos 2

22-+=?

3.诱导公试:

απ

±k 2

cot

tan cos sin ??

奇变偶不变，符号看相线

4.正余弦和差公式:

①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±

推导结论

1. 基本结论

ααα2sin 1)cos (sin 2+=+

α

α2

2cos 1

1tan =

+ 2. 正切和差公式：

β

αβ

αβαβαβ

αβαβαβαβαtan tan 1tan tan sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()

tan( ±=

???

? ??±=±±=±

3.二倍角公式（包含万能公式）：

θ

θθθθθθθθ2

22tan 1tan 2cos sin cos sin 2cos sin 22sin +=??? ??

+== θθθ

θθ

θθθθθθ2222222

2

2

2

tan 1tan 1cos sin sin cos sin 211cos 2sin cos 2cos +-=???

? ?

?+-=-=-=-= θ

θ

θθθ2tan 1tan 22cos 2sin 2tan -==

θ

θ

θθ222

tan 1tan 22cos 1sin +=-=

22cos 1cos 2θθ+=

4.半角公式：（符号的选择由2θ

所在的象限确定）

2cos 12

sin

θ

θ

-±

= 2cos 12sin 2θθ-= 2sin 2cos 12θθ=-

2

cos 12

cos

θ

θ

+±

= 2cos 12cos 2θθ+= 2cos 2cos 12θθ=+

θθθθθ

θ

θ

θ

θ

θ

θθθ

θ

θ

sin cos 12

sin 2cos 2sin

2

sin

cos 1sin 2cos

2cos 2cos

2

sin cos 1cos 12

tan

-=??=

+=

??=

+-±

=

2

sin

2cos )2sin 2(cos sin 12θ

θθθθ±=±=±

5.积化和差公式：

[])sin()sin(21

cos sin βαβαβα-++=[]

)sin()sin(2

1sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21

cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2

1sin sin

6.和差化积公式：

①2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin 2cos 2sin sin β

αβαβα-+=- ③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2

sin 2sin 2cos cos β

αβαβα-+-=-

7.三角形面积公式

S ⊿=21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21

ac B sin

=R abc 4 =2R 2A sin B sin C sin

=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C

B A c sin 2sin sin 2

=pr

=))()((c p b p a p p --- (海伦公式，证明见下文)

(其中)(2

1

c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)

定理结论的证明

1. 勾股定理的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第I卷命题47.

2.正弦定理的证明：

做三角形外接圆进行证明；需利用结论同弧所对的圆周角相等，及直径所对圆周角为直角；

同弧所对圆周角相等的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷命题20. 直径所对圆周角为直角的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷命题31.

3.余弦定理的证明：

4.诱导公式的证明：

同理可证

ααπαππαπcos )2sin()2sin()23sin(-=+-=++=+

ααπαππαπsin )2cos()2cos()23cos(=+-=++=+

本证明选自人教版高中数学教材. 5.正余弦和差公式的证明:

))(sin()sin(βαβα--=+可得)sin(βα+的结论

本证明选自人教版高中数学教材. 5. 海伦公式的证明:

三角函数基础

一、

诱导公式（k Z ∈）。 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。

（一）sin(2)sin k παα+= c o s (2

)c o s k παα+= t a n (2)t a n k παα+=

c o t (2)

c o t

k παα+= （二）sin()sin παα+=- cos()cos παα+=- t a n ()t a n παα+=

c o t ()

c o t

παα+= （三）sin()sin αα-=- cos()cos αα-= tan()tan αα-=-

cot()cot αα-=-

（四）sin()sin παα-= cos()cos παα-=- t a n ()t a n π

αα-=-

cot()cot παα-=-

（五）sin(2)sin παα-=- c o s (2)

c o s παα-= tan(2)tan παα-=-

c o t (2)c o t

παα-=- （六）sin(

)cos 2

π

αα

-= cos()sin 2παα-=

t a n ()

c o t

2π

αα-=

cot()tan 2

π

αα-=

（七）sin(

)cos 2

π

αα

+= cos()sin 2παα+=-

t a n ()c o t

2π

αα+=-

c o t ()t a n

2

π

αα+=- （八）3sin()cos 2παα-=- 3c o s ()s i n 2παα-=- 3t a n ()c o t 2παα-=

3c o t ()t a n

2

π

αα-= （九）3sin()cos 2παα+=- 3c o s ()s i n 2παα+= 3tan()cot 2παα+=-

3c o t ()t a n 2

π

αα+=-

只需抓住以下三个特点，即可由左边写出右边： （1） 诱导公式右边都是角α的三角函数；

（2） 判断函数名是否改变。判断依据：括号内与α相加减的角，若为

2

π

的偶数倍，则函数名不变；若为

2

π

的奇数倍，则正变余，余变正（只能弦、切、割内部变换。如，只能正弦变余弦，余弦变正弦，不能由弦变切或割）；

（3） 判断正、负号。判断依据：将α看作锐角时，左边的函数值该取什么符号（正

号或负号），就在右边的函数名前加上同样的符号。

二、 正弦定理和余弦定理都是描述ABC ?边角关系的非常重要的定理。

如图所示：任意ABC ?中，A ∠,B ∠,C ∠所对的边分别为,,a b c ，则

正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===（R 为ABC ?外接圆半径） 余弦定理：222

222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B

c a b ab C =+-=+-=+- 推论：222222

222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac

a b c C ab

+-=+-=+-=

正弦定理与余弦定理是等价的，具体参见文献：《对正弦定理、余弦定理一节的两点建议》

三、 求任意ABC ?面积的两种方法：

1．111

sin sin sin 222ABC S ab C bc A ca B ?=

==

由右图容易看出此结论。

2．利用海伦公式。

海伦公式：设任意ABC ?三边长分别为,,a b c ，半周长

1

()2

p a b c =

++，则有

ABC S ?=

四、 辅助角公式

sin cos )a b ααα?+=+，

其中tan b

a

?=，?的象限由,a b 的符号确定。 五、 弧度制

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。1弧度记作：1rad . 1． 当圆心角为圆周时，所对的弧长2L r π=，故

22.L r r r ππ== 即 3602.o

π

= 一个圆周的角度360o

α=——角度制； 一个圆周的角度2απ=——弧度制。

使用弧度制的好处是，用弧度制表示的角度与实数一一对应。 角α的弧度数的绝对值：||.l r

α=

2. 弧长：||l r α=?

扇形面积：2

122

l

r S r l r ππ=?=??

3. 10.017453180o

rad rad π== '180157.305718o

o o rad π

===

六、 任意角的三角函数及其符号规律

1． 任意角的三角函数：设α是一个任意大小的角，角α的终边上非原点的任意一点P

的坐标是(,)x y ，P 与原点(0,0)O 的距离是(0)r r >，则可定义角α的三角函数：

正弦：sin y r α=

余弦：cos x r α= 正切：tan y x α= 余切：cot x

y α=

正割：1sec cos r x αα== 余割：1

csc sin r y αα

==

2. 三角函数符号规律。口诀：“函弦切余”

说明：（1）符号规律见右图，第一象限角的各三角函数值均取正， 第二象限只有正弦函数（及其倒数余割）取正，第三象限只有正、 余切函数取正，第四象限只有余弦函数（及其倒数正割）取正。归 纳起来，由第一象限至第四象限，取正的函数分别为“函弦切余”。

（2）由三角函数的定义及个象限内点的坐标的符号即可确定各三角函数在各象限的符号。

七、 三角函数重要公式

八、附件

诱导公式