网络流基础及应用

网络流基础及应用

一.引例 运输方案

下图为联结产品产地V 1和销地V 6的交通网，每一边(V i ,V j )代表从V i 到V j 的运输线，产品经这条边由V i 输送到V j ，边旁的数字表示这条运输线的最大通行能力(简称容量)。产品经过交通网从V 1输送到V 6，现要求制定一个输送方案，使V 1运到V 6的产品数量最多。

下面是一个可行的输送方案，边旁的数字为该运输线的实际运输量(单位：吨)。

该运输方案表示：2吨产品沿有向路P 1(V 1,V 2,V 4,V 6)运到销地；1吨产品沿有向路P 2(V 1,V 2,V 5,V 6)运到销地；2吨产品沿有向路P 3(V 1,V 3,V 5,V 6)运到销地。总共有5吨从V 1运到V 6。

运输方案的可行必须满足以下三个条件： ⑴实际运输量不能是负的； ⑵每条边的实际运输量不能大于该边的容量； ⑶除了起点V 1和终点V 6，对其他顶点(中间点)来说，不能囤积物资，即运到它那儿的物资是多少，从它那儿运走的物资也应该是多少。

运输方案的改进：根据这个运输网，是否可增大运输量？ 改进1：我们找到一条有向路P 4(V 1,V 2,V 3,V 4,V 6)可再增加1吨物资运输量，改进的方案如下：

2 2

8

4

3

7

1

V1

V2 V5

V3 V4

V6

4

4 图1

2 2

3 0 2

3

2

1

V1 V2 V5

V3

V4

V6 图2

改进2：有向路P5(V1,V3,V4,V6)还可增加1吨运输量：

改进3：观察有向路P6(V1,V3,V2,V4,V6)中，将正方向的边(V1,V3)、(V2,V4)、(V4,V6)都可增加运输量，而反方向的边(V3,V2)的运输量为1，现将反向边(V3,V2)的运量调到正向边(V2,V4)上去完成，这样有向路P6(V1,V3,V2,V4,V6)的运量可增加1(想一想为什么可以这样做)。

至此，再找不到可“改进”的有向路了，所以，该交通网的最大运输量为8吨。

通过上述实例分析，包含了流量因素的问题，是一类特殊的图。引例给出的交通网其具体的物理模型是多种多样的。比如网络的有向边可以表示为城市之间的公路、电信网之间的通讯线路、天然气站之间的输气管道等；边的容量则可以表示为允许通过的物资数量、汽车数量、速率或最大信号流量等。这一类特殊的图，称为网络流图。网络流图中需要解决的基本问题是求最大流问题。

二.网络流图与最大流

类似于上述交通网，可构造下列称为网络流图的模型。

1、网络流图的构造

设G=(V,E)为一简单有向图。当且仅当只有一个入度为0(d(z)=0)的点，在V中指定该顶点为源点(记为Z)，当且仅当有一个顶点出度为0的顶点，为汇点(记为Z?)，对于每一条边(V i,V j)∈E，赋予一个非负数C ij>=0，叫做该边的容量。记为D=(V,E,C)(图示参见引例)

2、网络的流

对于网络流图D=(V,E,C)的每一条边(V i,V j)给定一个非负数f ij，且满足下列条件：

①0<=f ij<=C ij(容量限止条件)

②除源点和汇点外，其余顶点V i恒有

∑f ij=∑f ki(中间点流量守恒，即平衡条件)

这时D=(V,E,C)中的流称为D的可行流f。

3、关于D的可行流

①当所有f ij=0，称为零流，零流一定是可行流。

②对于源Z和汇Z?有

∑f Zj=∑f jZ?=ω

数ω叫做网络流的流量。

③当f ij=C ij时，称边(V i,V j)饱和，表示流f对于该边饱和。

④ω达到最大值时的流f，称为D=(V,E,C)的最大流。

三.求最大流的理论基础

1、割切概念——某些边的集合

⑴设D=(V,E,C)是已知的网络流图，假定S是V的一个子集，且S满足

①Z∈S ②Z? (not∈)S

且令S?为S的补集，这样把顶点集V分成S和S?两个部分，其中

Z∈S,Z? ∈S?

对于一个端点在S，而另一个端点在S?的所有边的集合，叫做网络流图D的一个割切，用(S,S?)表示。下图用虚线划去的表示一个割切，其中S={Z,b,c,d}，S?={a,Z?}。

<图片>

⑵割切容量C(S,S?)：在割切(S,S?)中，把从S到S?的边容量和叫做这割切的容量。

上边割切容量C(S,S?)=C Za+C ba+C bZ?+C dZ?=4+3+2+4=13

2、定理：对于已知的网络流，从源点Z到汇点Z?的流量ω的最大值小于等于任何一个割切的容量，即Max ω<=Min C(S,S?)。

证明：

当V i为网络流图的任一中间点时，根据平衡条件，恒有

∑f ij-∑f ji=0 ⑴

当i=Z时，∑f Zj=ω ⑵

设(S,S?)为一任一个切，则有

∑(f ij-f ji)= ω

注：

∵i∈S，Z?(not∈)S，Z∈S

当i≠Z时，由⑴式得0

当i=Z 时，由⑵式得ω 又因为S ∪S?=V

所以∑(f ij -f ji )= ∑(f ij -f ji )+ ∑(f ij -f ji )=ω ⑶ ⑶式中∑(f ij -f ji )的两个下标都是对S 的全体求和，其展开式中任意一项f pq 都一一对应一项-f pq ，所以∑(f ij -f ji )=0 即由⑶式得∑(f ij -f ji ) =ω ⑷

再由于0<=f ij

3、最大流量最小割切定理(Ford-Fulkerson 定理)

在一个给定的网络流图上，流的极大值等于割切容量的最小值，即 Max ω=Min C(S,S?)

(下面的证明是构造性的，可以从中引出求最大流的算法思想) 证明：

(求证思路：由于已知Max ω<=Min C(S,S?)是不能进一步增加流量，直到使Max ω=Min C(S,S?))

在网络流图D=(V,E,C)中，定义从源点Z 到汇点Z?的道路：

设Z=V 0,V 1,...,V n-1,V n =Z?为D 上的顶点序列，对于i=0,1,...,n-1，恒有(V i ,V i+1)或(V i+1,V i )边是D 的一条边。则称V 0,V 1,...,V n 是一条从Z 到Z?的道路。

由于D 是有向图，道路上边的方向与道路方向一致的边称为前向边P

，反之称为后向边P 。 道路上边的饱和：前向边若f ij =C ij ，后向边若f ij =0,称边(V i ,V j )为关于该道路上的饱和边。 若从Z 到Z?的道路上所有的边均不饱和，即对于P +若f ij 0，则称这条路为可增广道路。

修改可增广道路上每条边的流量，同时保持网络流的可行性，达到流量的增加，其增量的确定方法如下：

令δij ={

取δ=Min(δij )，为增量。

就是对可增广道路P 的每一条前向边流量增加δ，每一条后向边流量减少δ，从而使得整个网络流的流量获得增加(这是显而易见的) 下面论证Max ω=Min C(S,S?)

设网络流图D 的流量f 达到极大，我们构造一个割切(S,S?)如下 ①Z ∈S

②若x ∈S ，且f xy

若x ∈S ，且f yx >0，则y ∈S

显然Z? ∈S?(Z?的出度d(Z?)=0)，

C ij -f ij P +

f ij P - 若Z ? ∈S ，则有一条从Z 到Z ?的道路，Z=V 0,V 1,...,V k =Z ?，这条道路上所有的边均不饱和，因而是条可增广道路，这和f 是最大流的假设矛盾。

所以(S,S?)是一个割切。

按照子集S的定义，若x∈S，y∈S?，则f xy=C xy

若y∈S?，x∈S，则f yx=0

所以ω=∑(f xy-f yx)= ∑f xy=∑C(S,S?)

即Max ω=Min C(S,S?)

通过以上论证，可知

①当D中找不到可增广道路时，此时的流为最大流；

②当D中的流最大时，一定存在容量最小的割切(S,S?)

四.求网络最大流的算法

根据上述最大流最小割切定理及其论证，我们不难得出下面重要结论：

设f是网络流图D的一个流，如果存在从源点Z到汇点Z?的关于f可增广道路P，那么f一定是最大流。

至此，求最大流的基本思路为：

求最大流的基本思路

㈠标号法(Ford-Fulkerson算法)

标号法分为两个过程，一是标号过程，通过标号过程找到一条可增广道路或无法找到可增广道路；二是增广过程，沿可增广道路增加网络流量。

从一个可行流出发(若网络中没有初始流，则可以设f是零流)

1、标号过程：用V s表示源点，V t表示汇点。

在此过程中，网络中的顶点或者是已标号点(又分为已检查和未检查两种)，或者是未标号点。每个标号点的标号包含两部分。第一个标号指明它的标号是从哪个顶点得到的，以便找出可改进量，第二个标号是为确定可改进量δ而设的。

标号过程开始，先给源点V s标上(0,+∞)，这时V s是已标号而未检查的点，其余都是未标号点。一般地，取一个已标号而未检查的点V i，对一切未标号点V j：

⑴若存在弧(V i,V j)且f ij

⑵若存在弧(V j,V i)且f ji>0，则给Vj标号(-V i,L(V j))，其中L(V j)=Min(L(V i),f ji),

至此，V j成为已标号而未检查点。

在V i的全部相邻顶点都已标号后，V i成为标号而已检查的顶点。

重复上述步骤，一旦V t被标号，表明得到一条从V s到V t的可增广道路P，转入增广过程。若所有标号点都已检查过使得标号过程无法继续时，则算法结束，这是的可行流即为最大流。

2、增广过程

所得可增广道路P上的顶点都已标号。因此多用“倒向追踪”的方法，从Vt开始，利用标号点的第一个标号可得P上一条边，并以Vt的第二个标号l(Vt)(即可增广流量δ)作为改进量，增大P上的流量。

具体步骤如下：

①取Vt的第一个标号Vk（或-Vk），则弧（Vk,Vt）(或相应的弧（Vt,Vk）)是P上的弧，接下来再根据Vk的第一个标号Vi（或-Vi），再找到P上的弧(Vi,Vk)(或(Vk,Vi)) ……，直到找到Vs为止，这是所有被找出的弧就构成了可增广道路P。

根据第一个标号的正负号，可知其方向是前向还是后向。令改进量δ=L(Vt)，对弧上的流量f ij

②去掉所有的标号，对新的流F?=(f ij?)重新进入标号过程。

求最大流标号发的描述

⑴数据结构

Const maxn=<网络顶点数>

Type node=record {可增广道路的顶点类型}

l,p:integer；{第一标号，检查标号}

end;

arc=record {网络边类型}

c,f:integer; {容量，流量}

end;

gtype=array[0..maxn,0..maxn] of arc；{网矩阵}

ltype=array[0..maxn] of node; {可增广道路}

var lt:ltype; {可增广道路}

g:gtype; {网络}

n,s,t:integer; {顶点数，源点，汇点}

⑵主要算法

①初始化网络，可增广道路

procedure read-graph；

var I,j:integer;

begin

readln(n); {顶点数}

fillchar(g,sizeof(g),0); {初始化网络}

fillchar(lt,sizeof(lt),0); {初始化可增广道路}

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

read(g[I,j].c);

end;

②寻找已标号而来检查的顶点序号

function check:integer;

var i:integer;

begin

i:=1;

while (i<=n)and not((lt[i].l<>0)and(lt[i].p=0)) do inc(i);

if i>n then check:=0 {顶点不存在}

else check:=i;

end;

③标号过程，并返回是否找到可增广道路及改进量a

function ford(var a:integer):boolean; {无增广道路返回true}

var I,j,m,x:integer;

begin

ford:=true;

fillchar(lt,sizeof(lt),0); {去掉原来的标号}

lt[s].l:=s; {从Vs开始}

repeat

i:=check; {寻找一个已标号而未检查的顶点i}

if i=0 then exit; {若该顶点不存在，则退出过程，返回true}

for j:=1 to n do

if (lt[j].l=0)and((g[I,j].c<>0)or(g[j,i].c<>0)

{寻找与Vi相邻且未标号的顶点j}

then begin

if (g[I,j].f

if (g[j,i].f>0) then lt[j].l:=-I;

end;

lt[i].p:=1; {顶点Vi置已检查标志}

until (lt[t].l<>0) {直到汇点Vt标号为止}

m:=t; a:=maxint; {从Vt倒推，改进量a赋初值}

repeat {求a}

j:=m; m:=abs(lt[t].l);

if lt[j].l<0 then x:=g[j,m].f;

if lt[j].l>0 then x:=g[m,j].c-g[m,j].f;

if a>x then a:=x;

until m=s; {直至例推到顶点Vs为止}

ford:=false; {返回可增广道路存在标志false}

end;

④修正流量

procedure fulkerson(a:integer);

var m,j:integer;

begin

m:=t; {以顶点Vt出发，逆向沿可增广道路修正容量}

repeat

j:=m; m:=abs(lt[j].l);

if lt[j].l<0 then g[j,m].f:=g[j,m].f-a; {后向边p-}

if lt[j].l>0 then g[m,j].f:=g[m,j].f+a; {前向边p+}

until m=s;

end;

⑤输出所有弧的流量

procedure answer;

var I,j:integer;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

writeln(…(?,I, …,?,j, …)?, … ?,g[I,j].f)

end;

⑥算法合成

procedure proceed; {求最大流}

var d:integer;

success:boolean;

begin

s:=1; t:=n; {假设源点为V1，汇点为Vn}

repeat

success:=ford(d); {寻找可增广道路及改进量d}

if success then answer {增广道路不存在，输出最大流}

else fulkerson(d) {沿增广道路修正流量}

until success;

end;

⑦主程序

begin

read_graph; {输入网}

proceed; {求最大流}

end.

㈡计算最大流的dinic算法

Dinic算法的思想是分阶段地在层次图中改进流量。下面先介绍网络图的剩余图及层次图概念。

剩余图：给定一个网络流图D1=(V1,E1,c)及一可行流f，与该网络流图D1=(V1,E1,c)关于流f的剩余图D2=(V2,E2)，D2的顶点集与D1的顶点集相同，即V2=V1。对于D1中的任一条有向边（u,v）∈E1，若f uv0，那么边(u,v) ∈E2，…………g uv=f uv，显然改变为后向边。

由此可见，网络流图D1中的每条边在剩余图D2中都化作了一条或两条边，D2中的每条边都表示在D1中能沿某方向则增广，D2中边（u,v）的权值g uv表示在D1中能够沿着Vu到Vv的方向增广大小为g uv的流量。见下图。

相对于D1的剩余图D2=(V2,E2)

边上数字含义为权值

层次图：在剩余图中，把源点到点i的最短路径长度称作点i的层次，记为level(i)。源点s的层次为0。层次图的构造是这样的，设层次图D3=（V3，E3），对于剩余图D2=（V2，E2）中的一条边（u,v），当且仅当level(v)=level(u)+1时，边（u,v）∈E3，V3={u∣E3中有边与u相连}。

直观地讲，层次图是建立在剩余图基础上的一张“最短路径图”。从源点开始，在层次图中沿着边不管怎么走，经过的路径一定是终点在剩余图中的最短路径。

在D2中，从源点vs到汇点vt的任意一条简单路径（即不存在重复顶点或边的路径）都对应可增广路径，路径上每条边的权值的最小值即为能够一次增广的容量。

相对于D2的层次图D3=(V3,E3)

顶点旁数字为层次数

1．dinic算法的基本流程

算法是循环结构，将每一次循环称为一个阶段，在每个阶段中，首先根据剩余图建立层次图，然后用dfs过程在层次图内扩展可增广路径，调整流量。增广完毕后，进入下一个阶段。这样不断重复，直到汇点不再层次图内出现为止，汇点不再层次图内意味着在剩余图中不存在从源点到汇点的路径，即没有可增广路径。

在算法实现中，层次图并不是构建出来的只需在剩余图中对每个顶点标记层次level，增广时，判断边是否满足level(u)+1=level(v)约束即可。

2、Dinic算法描述

（1）数据结构

Const maxn=<顶点数上限>

maxm=<边数上限>

maxw=+∞{取一个极大数}

type

gtype=record (边类型)

x,y,c,f,next,op:longint; {分别为边(x,y)，容量，流量，后继指针，反向指针} end;

Var

g:array[1..maxm*2] of gtype; {以边目表存储网络流图}

first,first1:array[1..maxn] of longint; {顶点Vi引出的首条边序号first[i]}

p,level,prt:array[1..maxn] of longint; {队列或栈p，顶点Vi的层次level，可增广路

径上顶点Vi引出的边序号prt[i]} visited:array[1..maxn] of longint; {访问序列}

n,m,tot,vs,vt,maxflow,temp:longint; {顶点数n，边数m，边序号tot，最大流量maxflow} ⑵构造初始剩余图。

将网络图的边目表，及初始流f=0，通过add(a,b,c)过程插入容量为c的边(a,b)和容量为0的反向边(b,a)。

边目表的存储的链表形式：将顶点Vi引出的所有边存储在一个链表中，首条边的序号

为first[i]，顺着next指针，依次访问顶点Vi引出的所有边。

过程add。

Procedure add(a,b,c:longint);

Begin

Inc(tot); g[tot].x:=a; g[tot].y:=b; g[tot].c:=0;

g[tot].next:=first1[a]; first1[a]:=tot; {在a顶点引出的边表尾部插入该条边}

If first[a]=-1 then first[a]:=tot;

g[tot].op:=tot+1; {设置反向边指针}

inc(tot); g[tot].x:=b; g[tot].y:=a; g[tot].c:=0; {新增一条容量为0的边(b,a)}

g[tot].next:=first1[b]; first1[b]:=tot; {在b顶点引出的边表尾部插入该条边}

If first[b]=-1 then first[b]:=tot;

g[tot].op:=tot-1; {设置反向边指针}

end;

构建初始剩余图，设f=0为零流。

Fillchar(g,sizeof(g),0); {网络流图初始化为空}

Readln(n,m); {读入顶点数，边数}

For i:=1 to n do begin {每个顶点引出的边集初始化为空}

first[i]:=-1;

first1:=-1

end;

Tot:=0; {边序号初始化}

For i:=1 to m do {读入第i条边(a,b)及容量c,将该边和反向边插入到g中} Begin

Readln(a,b,c);

Add(a,b,c);

End;

⑶通过宽度优先搜索计算顶点层次level。

首先源点进队列，然后按照“层次”搜索剩余图，取出队首元素，搜索剩余图中队首元素引出的所有边。若边的两端点的层次至少相差2层以上，则另一个端点入队，该端点置于队首元素的下一层。依此类推，直至队列空。

Procedure make_level;

Var I,open,closed,temp,tp:longint; {队首指针open，队尾指针closed，队首元素tp}

Begin

For i:=1 to n do level[i]:=maxw; (每个顶点层次初始化)

Fillchar(p,sizeof(p),0); {队列置空}

Open:=1; closed:=0; p[open]:=vs; level[vs]:=1; {源点vs进入队列，层次为1}

While closed

Begin

Inc(closed); tp:=p[closed];

If tp=vt then exit; {若队首为汇点，则退出}

Temp:=first[tp]; {搜索剩余图中与队首顶点相连的所有边}

While temp<>-1 do

Begin

If level[g[temp].y]>level[tp]+1

Then if (g[temp].f0))

Then

{若当前边属于剩余图，则另一端进入队列，其层次为队首顶点的下一层}

Begin

Inc(open);p[open]:=g[temp].y;level[g[temp].y]:=level[tp]+1;

End;

Temp:=g[temp].next; {取队首顶点相连的下一条边}

End;

End;

End;

执行了make_level过程后，来计算出汇点Vt的层次，(level[V t]=maxw)，则说明源点V s与汇点V t间无路可通，不存在可增广路径，当前流为最大流。

在计算出层次图后，则通过dfs扩展可增广路径来调整流量。

⑷在层次图内扩展可增广路径，调整流量。

使用堆栈存储目前找到的可增广路径，栈顶指针指向路径中的最后一个顶点。一开始，栈中只有源点。Dfs过程分两个操作：

①如果栈顶元素为汇点，即找到了可增广路径，那么对栈中的可增广路径进行流量调整。流量调整后，栈顶里饱和边对应顶点间的所有元素出栈，以后进需要对栈中余下路径进行增广；

②如果栈顶元素u非汇点，且栈顶元素在层次图中连出的属于剩余图的边(u,v)，则顶点v入栈，可增广路径中又扩展出一条边(u,v)，并继续以u引出的下一条边出发进行dfs遍历；若u在层次图中引出的所有的边都被搜索了，则点u出栈，今后对点u以及层次图中连到u的所有的点不再进行dfs遍历了。

Dfs过程不断重复上述两个操作，直到源点出栈为止。

Procedure dfs_maxflow; {通过深度优先搜索计算可增广路径，并调整流量}

var

top,mint,j,temp,tp,tj:longint; {栈顶指针top，流量可改进量mint}

begin

fillchar(p,sizeof(p),0); {栈清空}

fillchar(prt,sizeof(prt),0); {可增广路径为空}

fillchar(visited,sizeof(visited),false); {访问标记置未访问}

first1:=first; {记下每个顶点引出的首条边}

top:=1;p[top]:=vs; {源点入栈}

while top>0 do

if p[top]=vt then {若栈顶元素为汇点，则找到一条可增广路径}

begin

mint:=maxw;

for j:=top downto 2 do {搜索栈中每个顶点引出的剩余图的边，计算可改进量}

if g[prt[p[j]]].f

then

if mint>(g[prt[p[j]]].c-g[prt[p[j]]].f)

then mint:=g[prt[p[j]]].c-g[prt[p[j]]].f

else if mint>g[prt[p[j]]].f

then mint:=g[prt[p[j]]].f;

for j:=top downto 2 do {调整流量}

if g[prt[p[j]]].f

begin

{若栈的第j个顶点引出的边为前向边，则该边和其反向边的流量增加mint}

g[prt[p[j]]].f:=g[prt[p[j]]].f+mint;

g[g[prt[p[j]]].op].f:=g[g[prt[p[j]]].op].f+mint;

if g[prt[p[j]]].f=g[prt[p[j]]].c then

tj:=j; {若调整后流量已满载，则记下栈指针}

end

else {若栈的第j个顶点引出的边为后向边，则该边和其反向边的流量减少mint}

begin

g[prt[p[j]]].f:=g[prt[p[j]]].f-mint;

g[g[prt[p[j]]].op].f:=g[g[prt[p[j]]].op].f-mint;

if g[prt[p[j]]].f=0 then tj:=j; {若调整后流量为零，则记下栈指针}

end;

top:=tj-1; {释放tj前的栈元素}

end

else {若栈顶元素非汇点，则扩展可增广路径}

begin

temp:=first1[p[top]];tp:=p[top]; {取出栈顶元素tp和引出的首条边temp}

while temp<>-1 do {若栈顶元素tp引出的后边未搜索完}

begin

if (not visited[g[temp].y]) and (level[g[temp].y]=level[tp]+1)

then {若当前边的另一端未访问，且处于下一层次}

if (g[temp].f0))

then {且当前边属于剩余图，则以后从其后继边开始搜索}

begin

first1[p[top]]:=g[temp].next;

inc(top);p[top]:=g[temp].y;

{另一端入栈，当前边进入可增广路径，退出while循环}

prt[p[top]]:=temp;

break;

end;

temp:=g[temp].next; {继续搜索栈顶元素引出的下一条边}

end;

if temp=-1 then {若栈顶元素引出的所有边中没有另一端未访问且处于下一层次的剩余图边，则栈顶元素设访问标志并出栈}

begin

visited[p[top]]:=true;

dec(top);

end;

end;

end;

⑸算法合成

构造初始剩余图（见P11）

vs:=1; {设置源点和汇点}

vt:=n;

while true do

begin

make_level; {通过宽度优先搜索计算每个顶点的层次}

if level[vt]=maxw then break;

{若未确定汇点的层次，则退出循环，即未找到可增广路径}

dfs(maxflow); {计算增广路径，调整流量}

end;

maxflow:=0;temp:=first[vs]; {累计源点引出的所有边的流量}

while temp<>-1 do

begin

maxflow:=maxflow+g[temp].f;

temp:=g[temp].next;

end;

writeln(maxflow); {输出最大流量}

五.网络流图的应用

例1.求二分图G=（X,Y,E）的最大匹配

设如下图为二分图

通过下述方法将二分图G=（X,Y,E）改造成网络流图D=(V,A,C)增加源点s和汇点t，源点s向X集的每一个顶点x i引出一条容量为∞的有向边（s,x i），Y集的每一个顶点y i向汇点t引出一条容量为∞的有向边（y i,t）二分图边集E中的每条有向边（x i,y i）的容量为1

求改造后的图D=(V,A,C)的最大流量，即为二分图的最多匹配数，流量为1的边即为匹配边。

例2.项目开发

某公司准备制定一份未来的发展规划，公司各部门提出的发展项目汇总成一张规划表。表中列出了n个项目。对于每个项目，规划中都给出了它所需要的投资或预计的盈利。由于某些项目的实施必须依赖于其他项目的开发成果，所以如果要实施这些项目，它所依赖的项

目也是必不可少的。现要求从这些项目中挑选出一部分，使公司获利最大。

输入：第一行是项目数量n

接下来的第i+1行每行表示第i个项目的信息，每行的第一个数是c i

（-1000000≤c i≤1000000），正数表示盈利，负数表示投资。第二个数开始项目i所

以来的项目编号。每行相邻的两数之间用空格隔开。

输出：最大净利润

样例输入：

6

-4

1

2 2

-1 1 2

-3 3

5 3 4

分析：将发展规划表抽象成一个图，其中每个顶点代表一个项目，顶点有一权值c i表示该项目的预算（投资或盈利）。项目间的依赖关系用有向边（u,v）表示。有向边（u,v）表示项目u依赖于项目v。最大净利润转化为在该图中求顶点集的一个子集V?。满足对任意有向边（u,v）∈E，若u∈V?，v∈V?，使得V?中所有顶点权值之和最大。

如果本题采用搜索，则枚举V的所有符合条件的子集的时间复杂度为O（2n），本题也不适合动态规划，因为问题的结构是有向无环图，而非树形结构，下面我们采用网络流图最大流算法。按下面的方法构造网络流图：

<1>原图中的有向边容量为+∞

<2>增加源点s和汇点t

<3>从s出发，向权值为正的顶点引一有向边容量为c i，从权值为负的顶点出发向t引一有向边容量为c i，求这个网络流的最小割切（S,S?），设其容量c（S,S?）=F。

可以证明，最大净利润=R-F，其中R为所有盈利项目的预算之和

证明

任意一个选择方案都可以对应网络流图中的一个割切(S,S?)，S={s}+{所选项目顶点}S?=V-S。对于任意一个不满足依赖关系项目的选择，其对应的割切有以下特点：存在一条容量为+∞的边（u,v），u属于S而v不属于S?，这时割切（S,S?）的容量是无穷大。虽然不可能是网络的最小割切。对于一个其对应的方案总符合条件的割（S,S?），该方案的净利润=R-c(S,S?)。

若割切(S,S?)对应于一个符合条件的方案，则S中包含了源点s及所有这段项目个数。（1）对于未选取但盈利的项目i，即顶点i∈S?，即存在一条从源点s到i容量为c i的边(s,v i)，即(s,v i) ∈(S,S?)，所以净利润

（2）取投资项目i（c i<0），即顶点i包含在S中，即存在一条从顶点i到汇点t的容量为-c i 的边（v i,t），即(v i,t) ∈(S,S?)。

因此(S,S?)就是包含了上述两类边，c(S,S?)就是上述两种边的容量之和，因此，所选割的容量越小，方案的净利润越大。

根据最大流最小割切定理，网络的最小割切可以通过求最大流的方法求得，所以，本题就转化为上面构造的网络流图求最大流问题。

样例的最大流F=5，R=8，最大净利润为R-F=3

最小割S={s,1,2,3,4,6} S?={s,t}