教材第五章矩阵分析

第五章 矩阵分析

本章将介绍矩阵微积分的一些内容．包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，首先简要介绍向量与矩阵范数的有关知识．

§5.1 向量与矩阵的范数

从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用．

一、向量的范数

定义1 设V 是数域F 上n 维(数组)向量全体的集合，x 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件

1)非负性 对V 中任何向量x ，恒有0x ≥，并且仅当0=x 时，才有

x =0；

2)齐次性 对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ，有;x k kx = 3)三角不等式 对任意V y x ∈,，有

y x y x +≤+，

则称此函数x (有时为强调函数关系而表示为?) 为V 上的一种向量范数．

例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =，定义

2

22212

n

x x x x

+++=

＝H x x ，

则2x 为n C 上的一种向量范数[i x 表示复数i x 的模]，称为2-范数．

证 首先，2n x C 是上的实值函数，并且满足

1)非负性 当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =； 2)齐次性 对任意k C ∈及n x C ∈，有

22

21222||||||||n kx kx kx kx k x =

+++= ；

3)三角不等式 对任意复向量1212(,,,),(,,,)T T n n x x x x y y y y == ，有

2

222

21122||||||||n n x y x y x y x y +=++++++

2221122()()()n n x y x y x y ≤++++++

2

21

1

1

||2||||||n

n

n

i i i i i i i x x y y ====++∑∑∑ (由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ不等式)

22

2222

2

22||||2||||||||||||(||||||||),

x x y y x y ≤++=+

因此 222||||||||

||||

x y x y +≤+． 所以2||||x 确为n C 上的一种向量范数． 例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x = 定义 112||||||||||n x x x x =+++ ， 1m a x i i n

x

x ∞

≤≤=，

则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数．

证 仅对后者进行证明． 1)非负性 当0x ≠时，max 0i i

x

x ∞

=>，又显然有00∞=；

2)齐次性 对任意向量()T n x x x x ,,,21 =及复数k ， m a x m a x ;

i i i

i

kx

kx k

x k x

∞

∞

===

3)三角不等式 对任意向量1212(,,,),(,,,),T T n n x x x x y y y y ==

()i i i

i i i

y x y x y

x +≤+=+∞

max max

i i

i i

y x m a x m a x

+≤ =∞∞

+y x ．

综上可知∞x 确为向量范数．

上两例中的∞x x x ,,21是常用的三种向量范数．

一般地，对于任何不小于1的正数p ，向量()T n x x x x ,,,21 =的函数

p

n

i p i p

x x

1

1??

? ??=∑= 也构成向量范数，称为向量的p -范数．

注：(1)当1p =时，1p

x

x =；

(2)当2p =时，2x 为2-范数，它是酉空间范数；当i x 为实数时，

122

21

()n

i i x x ==∑为欧氏空间范数．

由p -范数的存在，可知向量的范数有无穷多种，而且向量的范数并不仅限于p -范数．在验证向量的范数定义中，三角不等式的过程中常涉及到两个著名的不等式，即

1、H?lder 不等式 设正实数,p q 满足

11

1,p q

+=则对任意的,,n x y C ∈有 111

1

1

()()n

n

n

p q p

q

i i

i i i i i x y

x y ===≤∑∑∑．

2、Minkowski 不等式 对任意实数1p ≥，及,,n x y C ∈有

1111

1

1

()()()n

n

n

p

p p

p

p

p

i i i i i i i x y x y ===+≤+∑∑∑．

例3 设()T

x 1,,1,1 =为n 维向量，则

1,

,

21===∞

x

n x n x ．

各种范数值差距很大．但是，各种范数之间却存在着内在的制约关系，

称为范数的等价性．

定理1 设βα??,为有限维线性空间V 的任意两种向量范数(它们不限于p -范数)，则存在正的常数12,C C ，使对一切向量x ，恒有

βα

β

x C x

x

C 21≤≤． (1)

证 如果范数x α和x β都与一固定范数，譬如2-范数2x 满足式(1)的

关系，则这两种范数之间也存在式(1)的关系，这是因为若存在正常数12

,C C ''和12

,C C ''''，使 12

2212

2,C x x C x C x

x C x α

β

β

''≤≤''''≤≤

成立，则显然有

112

2||||||||||||C C x x C C x βαβ''''''≤≤． 令11122

2,C C C C C C ''''''==，则得式(1)，因此只要对2β=证明式(1)成立即可．设V 是n 维的，它的一个基是12,,,n x x x ，于是V 中的任意向量x 可表示为1122n n x x x x ξξξ=+++ ．

从而，1122n n x x x x ααξξξ=+++ 可视为n 个变量12,,,n ξξξ 的函数，记为12(,,,)n x α?ξξξ= ，易证12(,,,)n ?ξξξ 是连续函数，事实上，若令

112

2n n x x x x V ξξξ''''=+++∈ ，则 12

(,,,)n x α?ξξξ''''= ． 12

12(,,,)(,,,)n n x x x x ααα

?ξξξ?ξξξ'''''-=-≤-

11111()()n

n n n

n n x x x x α

ααξξξξξξξξ''''=-++-≤-++- ． 由于i

x α

(1,2,,)i n = 是常数，因此i ξ'与i ξ充分接近时，12

(,,,)n ?ξξξ''' 就与12(,,,)n ?ξξξ 充分接近，所以12(,,,)n ?ξξξ 是连续函数．

所以在有界闭集{

}

222

1212(,,,)1n S ξξξξξξ=+++= 上，函数

12(,,,)n ?ξξξ 可达到最大值2C 及最小值1C ．因为在S 中，i ξ不能全为零，

所以10C >．记向量

1

2

12222n

n y x x x x

x

x

ξξξ=

+

++

，

则其坐标分量满足

2

2

2

1

2

2

2

2

1n

x

x

x

ξξξ+

++

= ，

因此，y S ∈．从而有11122220,,n C y

C x x x α

ξξξ???<≤=≤ ? ???

．但2

,x

y x =

故122x C C x α≤≤．即 1222C x x C x α≤≤．

二、矩阵的范数

定义2 设V 是数域F 上所有n m ?矩阵的集合，A 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：对V 中任意矩阵A 、B 及F 中任意常数k 总有

1)非负性 0≥A ，并且仅当0=A 时，才有0=A ；

2)齐次性 A k kA =；

3)三角不等式 B A B A +≤+， 则称()?A

是V 上的一种矩阵范数．

例4 对n m C ?(或n m R ?)上的矩阵()ij A a =定义

∑∑===m i n

j ij M a A

11

1

，

∑∑===

m

i n

j ij

M a A

112

2

，

11max ij M i m j n

A

a ∞

≤≤≤≤=，

则∞

?

?

?

M M M ,,2

1

都是n m C ?(或n m R ?)上的矩阵范数．

实用中涉及较多的是方阵的范数，即m n =的情形．

定义 3 设F 是数域，?是n n F ?上的方阵范数．如果对任意的

,n n A B F ?∈，总有

AB A B ≤?，

则说方阵范数?具有乘法相容性．

注意 在某些教科书上，往往把乘法相容性直接纳入方阵范数的定义中作为第4个条件，在读书时，只要注意到各自定义的内涵就可以了．

例5 对n n C ?上的矩阵][ij a A =，定义ij n

j i a n A ≤≤?=,1max ，则?是一种矩

阵范数，并且具备乘法相容性．

证 非负性与齐次性显然成立，另两条证明如下． 三角不等式

ij ij b a n B A +?=+max

()

m a x m a x i j i j n a b ≤+

B A +=； 乘法相容性

??

?

???≤?=∑∑==n k kj ik n

k kj ik b a n b a n AB 11max max

()()

B A b n a n ij ij =?≤max max ， 证得A 为矩阵范数且具有乘法相容性．

并不是所有的方阵范数都具有乘法相容性．例如对于22?R 上的方阵范数.M ∞

就不具备相容性条件．此时ij j i M a A

2

,1max ≤≤=∞

．

取1110,0111A B ????

== ? ?????

，则有1==∞

∞

M M B

A

，而

2M M M AB

A

B

∞

∞

∞

=>．

定义4 如果n 阶矩阵A 的范数A 与n 维向量x 的范数x ，使对任意n 阶矩阵A 及任意n 维向量x 均有x A

Ax ≤，则称矩阵范数A 与向量范数

x 是相容的．

定理2 设x 是某种向量范数，对n 阶矩阵A 定义

Ax x

Ax A x x 1

max max

=≠== (2)

则A 为方阵范数，称为由向量范数x 导出的矩阵范数，而且它具有乘法相容性并且与向量范数x 相容．

证 首先可证，由(2)式定义的函数关系||||A 满足与向量范数||||x 的相容

性．对于任意n 阶矩阵A 及n 维向量x ，当0x ≠时，有

0||||||||

max ||||||||

||||y Ax Ay A x y ≠≤=， 即 ||||||||||||;Ax A x ≤ (3) 而当0x =时，||||0||||||||Ax A x ==，于是总有(3)式成立．

容易验证||||A 满足范数定义中的非负性、齐次性及三角不等式三个条件，因而A 是一种方阵范数．并且，对任意n 阶矩阵,A B ，利用(2)式和(3)式可得

00max

max max x x x A Bx ABx Bx AB A A B x x x

≠≠≠=≤==．

即说矩阵范数A 具备乘法相容性．

一般地，把由向量p -范数p x 导出的矩阵范数记作p A ．下面看常用的三种矩阵范数

例6 证明对n 阶复矩阵[]i j A a =，有 1)111max n

ij j n

i A a ≤≤==∑，称为A 的列和范数．

2)11

max n

ij i n

j A a ∞≤≤==∑，称为A 的行和范数．

证 1)设11

1

max n n

ij ik j n

i i w a a ≤≤====∑∑．若A 按列分块为12(,,,)n A ααα=

则11

1max k j j n

w αα≤≤==．对任意n 维向量12(,,)T n x x x x = ，有

1122112211111

121

11()max .

n n n n

n j

j n

Ax x x x x x x x x x x w ααααααα≤≤+++≤+++≤+++≤

于是，对任意非零向量x 有

11

Ax w x ≤． 以下证明存在非零向量k e 使

1

1

k k

Ae w e =．事实上，设k e 是第k 个分量为1

而其余分量全为0的向量，则1k e =1，且

n

=11k ik i Ae a w ==∑，

即

1

1

k k

Ae w e =．

2)的证明与1)相仿，留给读者去完成． 例7 证明对n 阶复矩阵A ，有

21max i i n

A σ≤≤=，

这里()n i i ,,2,1 =σ是A 的奇异值，称此范数为A 的谱范数．

证 设H A A 的全部特征根为12,,n λλλ ．不妨设11max i i n

λλ≤≤=．于是

111max i i n

σλσ≤≤==．因为H A A 为H -矩阵，故有酉矩阵U ，使得

12n (,),,H H U A AU diag λλλ=Λ= ．

如设12(,,,)n U u u u = 则i u 是H A A 相应于特征根i λ的单位特征向量，即有

,H i i i A A u u λ= 2

1i

u =．

对任意满足2||||1x =的复向量12(,,,)T n x x x x = ，有

22

||||()()H H

Ax Ax Ax x ==H U U x Λ．

令H y U x =，则22

2222

||||||||||||1H y U x x ===，说明y 亦为单位向量．若设12(,,,)T n y y y y = ，则

2

221

||

||||1n

i

i y y ===∑，

于是2

22

11

||||||n H

i i i Ax y y y λλ==Λ=≤∑．即有12Ax σ≤．由x 的任意性，便得

21221

max x A Ax σ==≤ ．特别取1x u =，则有21

1111112

H H H Au u A Au u u λλ==＝，

即

112Au σ=．这说明2Ax 在单位球面{}

21,n x x x C =∈上可取到

最大值1σ，从而证明了

21221

max x A Ax σ===．

各种矩阵范数之间也具有范数的等价性

定理3 设,a A A β是任意两种矩阵范数，则有正实数12,,C C 使对一切矩阵A 恒有

12a C A

A C A β

β≤≤．

§5.2 向量与矩阵序列的收敛性

在这一节里，我们将把数列极限的概念，扩展到向量序列与矩阵序列上去．

可数多个向量(矩阵)按顺序成一列，就成为一个向量(矩阵)序列．例如

()()(

12(,,,)k k k T k n x x x x = ，

1,2,3,k = 是一个n 维向量序列，记为{}k x ，诸k x 的相应分量则形成数列{}k i x ．

定义5 设有向量序列()()()12{}:(,,,)k k k T

k k n x x x x x = ．

如果对1,2,,i n = ， 数列(){}k i x 均收敛且有()lim k i i k x x →∞

=，则说向量序列{}k x 收敛．如记

12(,,,)T n x x x x = ，则称x 为向量序列{}k x 的极限，记为lim k k x x →∞

=，或简记

为k x x →．

如果向量序列{}k x 不收敛，则称为发散．类似于数列的收敛性质，读者不难证明向量序列的收敛具有如下性质．

设{},{}k k x y 是n C 中两个向量序列，,a b 是复常数，n ,m A C ?∈如果

l i m ,l i m k k k k x x y y →∞

→∞

==，则

1lim();

2lim .

k k k k k ax by ax by Ax Ax →∞

→∞

>+=+>=

定理4 对向量序列{}k x ，x x k =∞

→k lim 的充分必要条件是0lim =-∞

→x x k k ，

其中?是任意一种向量范数．

证 1)先对向量范数i n

i x x

≤≤∞

=1max 证明定理成立．

i k i k k k x x x x =?=∞

→∞

→)(lim lim ，n i ,...,2,1=；

,0lim )(=-?∞

→i k i k x x n i ,...,2,1=；

0max lim )(1=-?≤≤∞→i k i n

i k x x ；

0lim =-?∞

∞

→x

x k k ．

2)由向量范数等价性，对任一种向量范数?，有正实数21,b b ，使

∞∞-≤-≤-x x b x x x x b k k k 21．令∞→k 取极限即知

lim 0lim 0k k k k x x x x

∞

→∞

→∞

-=?-=．

于是定理对任一种向量范数都成立．

根据上述定义，向量序列有极限的根本之处在于各分量形成的数列都有极限．

由于m n C ?中矩阵可以看作一个mn 维向量，其收敛性可以和mn C 中的向量一样考虑．因此，我们可以用矩阵各个元素序列的同时收敛来规定矩阵序列的收敛性．

定义6 设有矩阵序列{}n m k ij k k a A A ?=][:)

(，如果对任何,(1,i j i m ≤≤

1j ≤)n ≤均有

ij k ij k a a =∞

→)

(lim ， 则说矩阵序列{}k A 收敛，如令n m ij a A ?=][，又称A 为{}k A 的极限．记为

,lim A A k k =∞

→或A A k →．

矩阵序列不收敛时称为发散．

讨论矩阵序列极限的性质，以下设所涉及的矩阵为n 阶矩阵． 1) 若A A k k =∞

→lim ，{}k a 为数列且a a k k =∞

→lim ，则()aA A a k k k =∞

→lim ．特别，

当a 为常数时，()k k k k A a aA ∞

→∞

→=lim lim ．

2) 若A A k k =∞

→lim ，B B k k =∞

→lim ，则()B A B A k k k ±=±∞

→lim ．

3) 若A A k k =∞

→lim ，B B k k =∞

→lim ，则()AB B A k k k =∞

→lim ．

4) 若A A k k =∞

→lim 且诸k A 及A 均可逆，则{}

1-k A 收敛，并且

11lim --∞

→=A A k k ．

容易证明性质1)-3)成立，对性质4)注意到行列式k A 值定义的和式无非是k A 中元素()(,1,2,,)k ij a i j n = 的乘法与加法之组合，再由

lim k →∞

(),k ij ij a a =

即可知

lim k k A A →∞

=．

用()k ij A 表示k A 中(,)i j 元素的代数余子式，用ij A 表示A 中(,i j )元素的代数余子式，便有

()lim k ij ij k A A →∞

=．

进而 **lim k k A A →∞

=．这里*

k A 是k A 的伴随矩阵，*A 是A 的伴随矩阵．又

*

1k

k

k A A A -=， 所以*1

1lim k

k A A A A

--→∞

==． 定理 5 对于矩阵序列{}k A ，lim k k A A →∞

=的充分必要条件是对任何一种矩阵范数?，有lim 0k k A A →∞

-=．

定理5的证明与定理4类似，由于矩阵范数的等价性，只需证明对矩阵范数,max ij i j

A a =定理成立，其方法也与定理4的证明一致，这里从略．

以下主要介绍范数在特征值估计方面的应用．

定义7 设n n A C ?∈，1,,,,j n λλλ 为A 的n 个特征值，称

()max j j

A ρλ=

为A 的谱半径．

有了谱半径的概念，可以对矩阵范数作如下的初步估计． 定理6 设n n A C ?∈，则对n n C ?上的任一矩阵范数?，皆有

()A A ρ≤．

证 设λ是A 的特征值，x 为A 的属于特征值λ的特征向量，故0x ≠，所以0x ≠．另设v ?是n C 上与矩阵范数?相容的向量范数，由Ax x λ=，应有

v v Ax x λ=，

而v v Ax A x ≤，于是有

v v x A x λ≤，

同除0v x ≠，有A λ≤．故max j

A λ≤，于是

()A A ρ≤．

定理7 设n n A C ?∈，lim 0k k A →∞

=的充分必要条件是()1A ρ<．

证 对n n A C ?∈，由第三章定理15知，存在n 阶的逆矩阵P 使得

112(,,,)s P AP J diag J J J -== ，

其中

1

0110i i

i i

i i i n n J λλλλ??? ?

?

?= ? ?

??

?

， 则112(,,)k k k k k s P A P J diag J J J -== ．因此

lim 0lim 0lim 0(1,2,,)k k k i k k k A J J i s →∞

→∞

→∞

=?=?== ．

而

(1)11()()()()2(1)()

()1

()2()()i n k i k i k i k i i k i k i k

i k i k i k i f f f f n f f J f f f λλλλλλλλλ-?

?''' ?- ?' ? ?

?= ?'' ? ?' ?

?

?

?

！！

！，

其中()k k f λλ=，因为对任一多项式(),g λ当k →∞时，

()01k i i g λλ→?<．而1(1,2,,)()1i i s A λρ<=?< ．

由定理6和定理7即得如下结果．

定理8 设n n A C ?∈，如果存在n n C ?上的一种相容矩阵范数.使1A <，则lim k →∞

0k A =．

定理9 设λ是n 阶矩阵A 的任一特征根，那么对任一种矩阵范数?，都有A λ≤．

证 设,A a =则0a ≥，对任意给定的0ε>，令A

B a ε

=

+．于是，若设A 的全部特征根为12,,,,n λλλ 则B 的全部特征根恰是

1

2

,

,,

n

a a a λλλεεε+++ ．

又11a

B A a a εε

=

=<++．由定理8知0k B →，再由定理６知1,1,2,,,i

i n a λε

<=+ 即,1,2,,.i a i n λε<+= 由ε的任意性，令0ε→取极

限，便有,1,2,,.i a i n λ≤= 即知对任一特征根λ，有a λ≤．

§5.3 矩阵的导数

本节讨论三种导数：矩阵对变量的导数、函数对矩阵的导数、矩阵对矩阵的导数．

一、函数矩阵对变量的导数

如果矩阵中诸元素都是某实变量x 的函数，则称这种矩阵为函数矩阵．它的一般形式是

()??

??

?

?

?

??=)()

()()()()()()()(2122221

11211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x A mn m m n n ， 其中()()1,2,,;

1,2,,ij a x i m j n == 都是实变量x 的函数．

定义8 设函数矩阵()[()]ij m n A x a x ?=，如果对一切正整数,i j ，1i m ≤≤

1j n ≤≤，均有

()0

lim ij ij x x a x b →=，

则说当0x x →时函数矩阵()A x 有极限，n m ij b B ?=][叫做()A x 的极限，记为

()0

lim x x A x B →=．

该定义的实质是如果()A x 的所有各元素()ij a x 在0x 处都有极限，则说

()A x 在0x 处有极限．

如果()A x 的所有各元素()ij a x 在0x 处连续，即0

0lim ()()ij ij x x a x a x →=，

(1,2,,;1,i m j

n == ，则称()A x 在0x x =处连续，且记

0lim ()()x x A x A x →=．如果()A x 在某区间[,]a b 上处处连续，则说()A x 在[,]a b 上

连续．

容易验证下列等式是成立的： 设()()0

lim ,lim x x x x A x A B x B →→==，则

(1)0

lim(()())x x A x B x A B →±=±；

(2)()0

lim ()x x kA x kA →=；

(3)()0

lim ()()x x A x B x AB →=．

定义9 对于函数矩阵()n m ij x a x A ?=)]([，如果所有元素ij a ()x (1,2,i =

,;1,2,,)m j n = 在某点x 处[或在某区间上]均可导，则称()x A 在x 处[或在

某区间上]可导．导数[或导函数]记为

()d

A x dx ，简记为()x A '．并规定 ()()()()()()()()()()()111212122212n n m m mn a x a x a x a x a x a x d A x A x dx

a x a x a x '''?? ?''' ?'== ? ? ?

'''??

， 其中()ij

a x '表示()x a ij 对x 的一阶导数． 矩阵对变量的导数运算具有如下一些性质

1°若函数矩阵()()x B x A ,都可导，则它们的和亦可导，并且

()()[]()()x B dx

d x A dx d x B x A dx d

+=+． 2°若()x A 可导，()f x 是x 的可导函数，则()x f ()x A 可导，且

()()[]()()()()x A dx d x f x A x f dx d x A x f dx d +??

?

???=， 特别地，当()x f 为常数k 时，有

()[]()x A dx

d k x kA dx d

=． 3°若()x A 可导，则()x A T 可导，并且

()()T

T dx x dA x A dx d ??

? ??=． 4°若()x A ，()x B 可导且二者可乘，则()x A ()x B 亦可导，且

()()[]()()()()x B dx d x A x B x A dx d x B x A dx d +??

?

???=?． 推论 若()x A 可导，Q P ,为数字矩阵，则

()[]()x A dx

d P x PA dx d

=， ()[]()Q x A dx d Q x A dx d ??

?

???=． 5° 若()x A 为可逆的可导函数矩阵，则()x A 1-亦可导，且

()[]

()()()x A dx

x dA x A x A dx d 1

11----=． 证 因为1()(),A x A x E -=所以

111()()[()()]()()0d dA x dA x A x A x A x A x dx dx dx

---=+=． 于是

111()()()()dA x dA x A x A x dx dx

---=-． 函数矩阵的导数本身也是一个函数矩阵，它可以再进行求导运算，下面我们给出函数矩阵对变量的高阶导数

22

()()

()d A x d dA x dx dx dx =， 3232

()()

()d A x d d A x dx dx dx =，

1()()

()k k k

d A x d d A x dx dx dx

-=． 例1 设)(x A 为n 阶可导函数矩阵，求()x A 2的一、二阶导数． 解

()()()[]()()()()x A x A x A x A x A x A dx

d

x A dx d '+'==

2 [注意一般 2

()2()()d A x A x A x dx

'≠]

()()()()()[]x A x A x A x A dx d

x A dx

d '+'=22

2

()()()[]()()x A x A x A x A x A ''+'+''=2

2．

例2 设()()()????

??

? ??=t x t x t x x n

21，其中()t x i 均为t 的可导函数，n n ij a A ?=][为n 阶实对称矩阵，求二次型Ax x T 对t 的导数．

解 []()

x A x x A x Ax x Ax x dt

d T T T T

'+'+'=．又A 为数字矩阵，故0='A ，又

x A x T '为t 的函数．而有()()()Ax x x A x x A x x A x T T T

T T T '='='='．所以

()

x A x Ax x dx

d T T

'=2． 二、函数对矩阵的导数

定义10 设n m ij x X ?=][为多元实变量矩阵，

()()1111,,,,,,n m mn f X f x x x x =

是以X 中诸元素为变量的多元函数，并且偏导数

ij

x f

??()1,2,,;1,2,,i m j n == 都存在，则定义函数)(X f 对矩阵X 的导数为

?????????

?

????????????????????=mn m m n

n x f x f x f x f x f x f x f x f x f dX df

2

1

2222111211． 特别，当X 为向量()T

n x x x x ,,,21 =时，函数()n x x x f ,,,21 对x 之导数为

()x f x f x f x f dx df T

n ?=???

?

????????=,,,21 ． 例3 设[]

()∑∑==?==m i n

j ij n

m ij

x X f x X 11

2

,，求dX

df ． 解

2,1,2,,;

1,2,,ij ij

f

x i m j n x ?===? ．

X x x x x x x x x x dX df mn m m n n 22222222222

1

22221

11211

=??

?

?

?

??

??=

．

例4 设112

2,n n a x a x a x a x ???? ? ? ? ?== ? ? ? ?????

，1122()T n n f x a x a x a x a x ==+++ ，则

12n a a df a dx a ??

? ?== ?

???

． 三、矩阵对矩阵的导数

定义11 设矩阵n m kl a A ?=][中每一个元素kl a 都是矩阵q p ij b B ?=][中各元素(1,2,...,;1,2,...,)ij b i p j q ==的函数，当A 对B 中各元素都可导时，则称矩阵A 对矩阵B 可导，且规定A 对B 的导数为