基于MATLAB的水资源优化分配问题动态规划解法

摘要：介绍了动态规划的基本原理，针对水资源分配问题进行了动态规划方法分析。针对具体问题采用逆序解法的表格法进行了计算，然后用matlab编制了相应的计算程序进行计算，避免了繁琐的人工计算。结果表明该方法可行、便于应用。

关键词：动态规划水资源分配问题matlab解法

动态规划是1951年美国数学家贝尔曼根据一类多阶段决策过程的特点，提出了解决这类问题的最优性原理，进而发展出的一种新的最优化方法。动态规划的适用范围比较广泛，对目标函数和约束条件没有严格的要求，特别是对于离散问题，线性规划和非线性规划等解析方法无法应用，而动态规划是解决离散系统最优化的一种有效工具。[1]

1 动态规划的基本解法

1）将多阶段决策过程划分阶段，恰当地选择状态变量、决策变量以及定义最优指标函数，从而把问题化成一类同类型的子问题，然后逐个求解。

2）求解时从边界条件开始，逆序过程行进，逐段递推寻优。在每一个子问题求解时，都要使用它前面已求出的子问题的最优结果。最后一个问题的最优解，就是整个问题的最优解。

动态规划逆序法求解的基本方程如下：

2 水资源优化分配问题的动态规划模型描述

2.1水资源优化分配问题的提出

某供水系统可供水量为，用户数为，当给第个用户供水时所产生的效益为,如何合理分配水量才能使总效益最大？

2.2水资源优化分配问题的动态规划模型描述

模型描述如下：

（1）阶段变量表示第个用户。

（2）决策变量第个用户的供水量。

（3）状态变量可用于分配给当前以及以后阶段各用户的水量，即

（4）状态转移方程根据状态变量可得到状态转移方程为：

（5）指标函数第阶段的指标函数为第个用户的效益。

建立以上模型后，即可采用逆序法进行递推求解。其基本方程为：3实例分析

3.1 实例概况

有一引水渠系，设计最大流量为6，供给四个地区用水，每个地区的用水量与增产效益的关系见表1（效益单位为万元）。求总效益最大的配水方案。（本实例取自文献[2]）

表1：引用流量与增产效益的关系

1 2 3 4 5 6

甲 3.0 5.5 7.5 9.0 10.0 10.0

乙 3.0 6.0 8.0 9.5 10.5 11.0

丙 4.0 6.5 8.5 9.0 9.0 9.0

丁 3.5 6.0 7.5 8.5 9.0 9.0

3.2 逆序法的表格计算

利用逆序法的表格计算可知最优分配方案有3个：（1,2,1,2），（1,2,2,1），（2,2,1,1），总效益均为19万元（具体计算略）。

3.3 matlab编程及计算

运用matlab语言编程，程序如下：

4结语

本文介绍了动态规划的基本解法，针对水资源分配问题进行了动态规划方法分析。针对具体问题用matlab编制了相应的计算程序进行计算，同逆序法的表格计算对比可知，运用matlab编程进行计算可避免繁琐的人工计算，该方法是切实可行的。

参考文献：

[1] 徐渝. 贾涛运筹学（上册）. 北京：清华大学出版社，2005

[2] 左兼金.水利水电工程施工组织管理与系统分析.北京：水利水电出版社，1993

[3] 尚松浩.水资源系统分析方法及应用.北京：清华大学出版社，2006

[4] 张志涌徐彦琴.matlab教程：基于6.x版本. 北京：北京航空航天大学出版社，2001

注：文章内所有公式及图表请以pdf形式查看。

动态规划之-0-1背包问题及改进

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。在选择装入背包的物品时，对于每种物品i，只能选择装包或不装包，不能装入多次，也不能部分装入，因此成为0-1背包问题。形式化描述为：给定n个物品，背包容量C >0,重量第i件物品的重量w[i]>0, 价值v[i] >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(X1,X2,…,X n,), X i∈{0,1}, 使得∑（w[i] * Xi）≤C,且∑ v[i] * Xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。数学描述为：求解最优值：

设最优值m(i,j)为背包容量为j、可选择物品为i，i+1，……，n时的最优值(装入包的最大价值)。所以原问题的解为m(1，C) 将原问题分解为其子结构来求解。要求原问题的解m(1，C)，可从m(n，C)，m(n-1，C)，m(n-2，C).....来依次求解，即可装包物品分别为（物品n）、（物品n-1，n）、（物品n-2，n-1，n）、……、（物品1，物品2，……物品n-1，物品n）。最后求出的值即为最优值m(1，C)。若求m(i,j)，此时已经求出m(i+1,j)，即第i+1个物品放入和不放入时这二者的最大值。对于此时背包剩余容量j=0,1,2,3……C，分两种情况： (1)当w[i] > j，即第i个物品重量大于背包容量j时，m(i,j)=m(i+1,j) (2)当w[i] <= j，即第i个物品重量不大于背包容量j时，这时要判断物品i放入和不放入对m的影响。若不放入物品i，则此时m(i,j)=m(i+1,j) 若放入物品i，此时背包

动态规划-图论

§1动态规划模型如图所示，给定一个线路网络，两点之间连线上的数字表示两点间距离，试求一条从A到E的路线，使总距离为最短。Mattlab求解：首先利用Excel建立两个工作表edge和n分别存储图的上三角阵和顶点数量。其中edge= 99999 5 2 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 3 7 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 6 3 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 6 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 3 8 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 1 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 3 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 7 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 n=9,然后在Matlab调入以上数据。同时将自编的动态规划软件“dynamic.m”调入当前目录之中，在Matlab命令窗口

输入dynamic,回车后则在窗口显示出路径Path 和距离distance §2 最小生成树例1 某工厂要架设局域网联通工厂各个部门。已知工厂有7个部门，各个部门间铺设网线的距离如上图所示，计算出铺设网线的最短距离。 Matlab 的算法：首先，将上图的邻接矩阵存储为G ,顶点数存储为N ；即：G= 99999 50 60 99999 99999 99999 99999 50 99999 99999 65 40 99999 99999 60 99999 99999 52 99999 99999 45 99999 65 52 99999 50 30 42 99999 40 99999 50 99999 70 99999 99999 99999 99999 30 70 99999 99999 99999 99999 45 42 99999 99999 99999 2 5 3 1 4 7 6 50 60 45 65 52 40 50 70 30 42

算法合集之《动态规划算法的优化技巧》

动态规划算法的优化技巧福州第三中学毛子青 [关键词] 动态规划、时间复杂度、优化、状态 [摘要] 动态规划是信息学竞赛中一种常用的程序设计方法，本文着重讨论了运用动态规划思想解题时时间效率的优化。全文分为四个部分，首先讨论了动态规划时间效率优化的可行性和必要性，接着给出了动态规划时间复杂度的决定因素，然后分别阐述了对各个决定因素的优化方法，最后总结全文 [正文] 一、引言动态规划是一种重要的程序设计方法，在信息学竞赛中具有广泛的应用。使用动态规划方法解题，对于不少问题具有空间耗费大、时间效率高的特点，因此人们在研究动态规划解题时更多的注意空间复杂度的优化，运用各种技巧将空间需求控制在软硬件可以承受的范围之内。但是，也有一部分问题在使用动态规划思想解题时，时间效率并不能满足要求，而且算法仍然存在优化的余地，这时，就需要考虑时间效率的优化。本文讨论的是在确定使用动态规划思想解题的情况下，对原有的动态规划解法的优化，以求降低算法的时间复杂度，使其能够适用于更大的规模。二、动态规划时间复杂度的分析使用动态规划方法解题，对于不少问题之所以具有较高的时间效率，关键在于它减少了“冗余”。所谓“冗余”，就是指不必要的计算或重复计算部分，算法的冗余程度是决定算法效率的关键。动态规划在将问题规模不断缩小的同时，记录已经求解过的子问题的解，充分利用求解结果，避免了反复求解同一子问题的现象，从而减少了冗余。但是，动态规划求解问题时，仍然存在冗余。它主要包括：求解无用的子问题，对结果无意义的引用等等。下面给出动态规划时间复杂度的决定因素：时间复杂度=状态总数*每个状态转移的状态数*每次状态转移的时间[1] 下文就将分别讨论对这三个因素的优化。这里需要指出的是：这三者之间不是相互独立的，而是相互联系，矛盾而统一的。有时，实现了某个因素的优化，另外两个因素也随之得到了优化；有时，实现某个因素的优化却要以增大另一因素为代价。因此，这就要求我们在优化时，坚持“全局观”，实现三者的平衡。三、动态规划时间效率的优化 3.1 减少状态总数我们知道，动态规划的求解过程实际上就是计算所有状态值的过程，因此状态的规模直接影响到算法的时间效率。所以，减少状态总数是动态规划优化的重要部分，本节将讨论减少状态总数的一些方法。

基于动态规划的面试时间优化模型概述

2015年天津商业大学数学建模竞赛承诺书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们明白，抄袭不人的成果是违反竞赛规则的, 假如引用不人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B 参赛队员 (打印并签名) ：1. 叶恒扬 2. 施艺敏 3. 张一鸣日期： 2015 年 4 月 27 日

基于动态规划的面试时刻优化模型摘要现代信息社会中，求职面试差不多成为就业的一个重要环节。科学有效的组织和安排不管对面试者依旧对组织单位、用人单位差不多上省时省力、节略成本的。因此如何紧凑、高效、省时地安排面试者按顺序完成面试具有重要研究意义。本文综合运用运筹学、统计学、经济学、平面设计、计算机软件等知识，通过建立数学模型来求解面试的最短时刻，进一步规划最优的面试流程。针对问题一，通过分析给定的面试时期顺序和不同意插队等特性，为满足面试时刻最短，建立了求解最短时刻的0-1非线性规划模型（见公式（1）），然后利用Lingo11.0程序（见附录1），求解出最短面试时刻为100分钟，最佳安排顺序为：3 → →，同学最早9:40 → 4→ 1 5 2 一起离开。接着利用AutoCAD2007分不绘制出同学和面试官的面试过程时刻图（见图1～2）。在此基础上，利用Excel2007制作出同学的

3 (修改)大规模状态空间中的动态规划和强化学习问题

3 大规模状态空间中的动态规划和强化学习问题本章我们将讨论大规模状态空间中的动态规划和强化学习问题。对于这类问题，我们一般很难求得问题的精确解，只能得到问题的近似解。前面章节所介绍的一些算法，如值迭代、策略迭代和策略搜索，无法直接用于这类问题。因此，本章将函数近似引入这些算法，提出三类基于函数近似的算法版本，分别是近似值迭代、近似策略迭代和近似策略搜索。本章将从理论和实例两个角度分析算法的收敛性，讨论如何获取值函数逼近器的方法，最后比较分析三类算法的性能。 3.1 介绍第二章详细介绍了DP/RL中三类经典算法，这三类算法都需要有精确的值函数及策略表示。一般来说，只有存储每一个状态动作对回报值的估计值才能得到精确地Q值函数，同样V值函数只有存储每一个状态的回报值的估计值才能得到；精确的策略描述也需要存储每一个状态对应的动作。如果值函数中某些变量，比如某些状态动作对、状态等，存在很多个或者无穷多个潜在值（又或者这些值是连续的），那么我们就无法精确描述对应的Q值函数或者V值函数，因此，考虑将值函数和策略通过函数近似的方式来表示。由于实际应用中大部分问题都存在大规模或者连续状态空间，因此，函数近似方法是求解动态规划和强化学习问题的基础。逼近器主要可以分为两大类：带参的和非参的。带参的逼近器主要是从参数空间到目标函数空间的映射。映射函数及参数的个数由先验知识给定，参数的值由样本数据进行调整。典型的例子是对一组给定的基函数进行加权线性组合，其中权重就是参数。相比之下，非参的逼近器通过样本数据直接得到。本质上，非参的函数逼近器也是含带参数的，只是不像带参的函数逼近器，参数的个数及参数的值直接有样本数据决定。例如，本书中所讨论的基于核函数的逼近器就是带参数的函数逼近器，它为每一个数据点定义一个核函数，并对这些核函数做加权线性组合，其中权重就是参数。本章主要对大规模状态空间中动态规划和强化学习问题进行广泛而深入的讨论。第二章中所介绍的三类主要算法，值迭代、策略迭代和策略搜索，将与函数近似方法相结合，获得三类新的算法，分别是近似值迭代、近似策略迭代以及近似策略搜索。本章将从理论和实例两个角度讨论算法的收敛性，并对比分析三类算法的性能。关于值函数近似与策略逼近的一些其他重要问题，本章也将给予讨论。为了帮助读者更好的阅读本章的内容，图3.1给出一个本章的内容脉络图。

运用动态规划模型解决最短路径问题

运用动态规划模型解决物流配送中的最短路径问题王嘉俊（盐城师范学院数学科学学院09（1）班）摘要：随着现代社会的高速发展，物流配送成为了连接各个生产基地的枢纽，运输的成本问题也成为了企业发展的关键。运费不但与运量有关，而且与运输行走的线路相关。传统的运输问题没有考虑交通网络，在已知运价的条件下仅求出最优调运方案，没有求出最优行走路径。文中提出“网络上的物流配送问题“，在未知运价，运量确定的情况下，将运输过程在每阶段中选取最优策略，最后找到整个过程的总体最优目标，节省企业开支。关键词：动态规划，数学模型，物流配送,最优路径 1 引言物流配送是现代化物流系统的一个重要环节。它是指按用户的订货要求, 在配送中心进行分货、配货, 并将配好的货物及时送交收货人的活动。在物流配送业务中, 合理选择配送径路, 对加快配送速度、提高服务质量、降低配送成本及增加经济效益都有较大影响。物流配送最短径路是指物品由供给地向需求地的移动过程中, 所经过的距离最短(或运输的时间最少, 或运输费用最低) , 因此, 选定最短径路是提高物品时空价值的重要环节。[1] 经典的Dijkstra 算法和Floyd 算法思路清楚,方法简便,但随着配送点数的增加,计算的复杂性以配送点数的平方增加,并具有一定的主观性。我国学者用模糊偏好解试图改善经典方法[]5,取得了较好的效果。遗憾的是,模糊偏好解本身就不完全是客观的。文献[]6详细分析了经典方法的利弊之后,提出将邻接矩阵上三角和下三角复制从而使每条边成为双通路径,既适用于有向图也适用于无向图, 但复杂性增加了。为了避免上述方法存在的不足,本文以动态规划为理论,选择合理的最优值函数,用于解决物流配送最短路径问题。动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。1951年美国数学家Bellman（贝尔曼）等人根据一类多阶段决策问题的特性，提出了解决这类问题的“最优性原理”，并研究了许多实际问题，从而创建了最优化问题的一种新方法——动态规划。动态规划在工程技术、管理、经济、工业生产、军事及现代控制工程等方面都有广泛的应用，而且由于动态规划方法有其独特之处，在解决某些实际问题时，显得更加方便有效。由于决策过程的时间参数有离散的和连续的情况，故决

动态计划求解方法的Matlab实现及应用[]

动态规划求解方法的Matlab实现及应用[1].txt我自横刀向天笑，笑完我就去睡觉。你的手机比话费还便宜。路漫漫其修远兮，不如我们打的吧。第 %卷第 ,期信息工程大学学报 S>:+% <>+, !""’年 >月 T>8D3F: >C 53C>DEFB2>3 G3?23@@D23? 032H@DA2BI 6@N+!""’ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !! 动态规划求解方法的 !"#$"%实现及应用于斌，刘姝丽，韩中庚 <信息工程大学信息工程学院，河南郑州 #’"""!）摘要：文章对动态规划问题的求解方法进行了分析研究，根据问题的特点、难点和关键点做了针对性的处理，然后用 !"#$"%做了实现尝试，从而实现了“最佳组队”和“最短路线”等问题的求解。实践证明所采用方法和程序都是有效的。关键词：动态规划；基本方程；!"#$"%实现；最佳组队中图分类号：* !!&+,文献标识码：-文章编号：&%.& $ "%.,’

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动态规划

动态规划的特点及其应用摘要:本文的主要内容就是分析它的特点。第一部分首先探究了动态规划的本质，因为动态规划的特点是由它的本质所决定的。第二部分从动态规划的设计和实现这两个角度分析了动态规划的多样性、模式性、技巧性这三个特点。第三部分将动态规划和递推、搜索、网络流这三个相关算法作了比较，从中探寻动态规划的一些更深层次的特点。文章在分析动态规划的特点的同时，还根据这些特点分析了我们在解题中应该怎样利用这些特点，怎样运用动态规划。这对我们的解题实践有一定的指导意义。本文介绍了动态规划的基本思想和基本步骤，通过实例研究了利用动态规划设计算法的具体途径，讨论了动态规划的一些实现技巧，并将动态规划和其他一些算法作了比较，最后还简单介绍了动态规划的数学理论基础和当前最新的研究成果。关键词: 动态规划，阶段 1 引言动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman 等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 2 动态规划的基本思想一般来说，只要问题可以划分成规模更小的子问题，并且原问题的最优解中包含了子问题的最优解（即满足最优子化原理），则可以考虑用动态规划解决。动态规划的实质是分治思想和解决冗余，因此，动态规划是一种将问题实例分解

动态规划销售人员分配问题(matlab编程)

数学规划课程设计题目：销售人员费配问题姓名：学号：成绩： 2011年6月

销售人员费配问题摘要：动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法，本论文通过对动态规划的基本概念和基本思路，并利用Matlab对动态规划中的销售人员分配问题进行了分析，然后利用Matlab语言进行了程序设计和计算，是复杂问题简单化，避免了繁琐的计算，从而使问题能跟方便地得到解决。关键词：动态规划销售人员分配问题Matlab语言

一、问题重述某企业甲、乙、丙三个销售市场，其市场的利润与销售人员的分配有关，现有6个销售人员，二、问题分析首先我们对设备的分配规定一个顺序，即先考虑分配给甲市场，其次乙市场，最后丙市场，但分配时必须保证企业的总收益最大。将问题按分配过程分为三个阶段，根据动态规划逆序算法，可设： 1、阶段数k=1，2，3（即甲、乙、丙三个市场的编号分别为1，2，3）； 2、状态变量x k 表示分配给第k 个市场至第3个市场的人员数（即第k 阶段初尚未分配的人员数）； 3、决策变量u k 表示分配给第k 市场的人员数； 4、状态转移方程：x k+1=x k -u k ; 5、g k (u k )表示u k 个销售人员分配到第k 个市场所得的收益值，它由下表可查得； 6、f k (x k )表示将x k 个销售人员分配到第k 个市场所得到的最大收益值，因而可得出递推方程： f k (x k )= 6 ,...,1,0max =k u [ g k (u k )+ f k+1(x k -u k )]，k=1，2，3 f 4(x 4)=0 三、问题求解 1）k=3时，市场丙的分配方案和总收益. 最大收益：f 3(x 3)=6 ,...,1,0max 3=u [g 3(x 3)]

运筹学之动态规划(东南大学)汇总

引言——由一个问题引出的算法考虑以下问题 [例1] 最短路径问题现有一张地图，各结点代表城市，两结点间连线代表道路，线上数字表示城市间的距离。如图1所示，试找出从结点A到结点E的最短距离。图 1 我们可以用深度优先搜索法来解决此问题，该问题的递归式为其中是与v相邻的节点的集合，w(v,u表示从v到u的边的长度。具体算法如下：开始时标记所有的顶点未访问过，MinDistance(A就是从A到E的最短距离。这个程序的效率如何呢？我们可以看到，每次除了已经访问过的城市外，其他城市都要访问，所以时间复杂度为O(n!，这是一个“指数级”的算法，那么，还有没有更好的算法呢？首先，我们来观察一下这个算法。在求从B1到E的最短距离的时候，先求出从C2到E的最短距离；而在求从B2到E的最短距离的时候，又求了一遍从C2到E的最短距离。也就是说，从C2到E的最短距离我们求了两遍。同样可以发现，在求从C1、C2到E的最短距离的过程中，从D1到E的最短距离也被求了两遍。而在整个程序中，从D1到E的最短距离被求了四遍。如果在求解的过程中，同时将求得的最短距离"记录在案"，随时调用，就可以避免这种情况。于是，可以改进该算法，将每次求出的从v到E的最短距离记录下来，在算法中递归地求MinDistance(v时先检查以前是否已经求过了MinDistance(v，如果求过了则不用重新求一遍，只要查找以前的记录就可以了。这样，由于所有的点有n个，因此不同的状态数目有n 个，该算法的数量级为O(n。更进一步，可以将这种递归改为递推，这样可以减少递归调用的开销。请看图1，可以发现，A只和Bi相邻，Bi只和Ci相邻,...，依此类推。这样，我们可以将原问题的解决过程划分为4个阶段，设

最优化方法的Matlab实现(公式(完整版))

第九章最优化方法的MatIab实现在生活和工作中，人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案，并通过各方面的论证从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。由于优化问题无所不在，目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域，如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等，并取得了显著的经济效益和社会效益。用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术，它包含两个方面的内容： 1）建立数学模型即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。 2）数学求解数学模型建好以后，选择合理的最优化方法进行求解。最优化方法的发展很快，现在已经包含有多个分支，如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。 9.1 概述利用Matlab的优化工具箱，可以求解线性规划、非线性规划和多目标规划问题。具体而言，包括线性、非线性最小化，最大最小化，二次规划，半无限问题，线性、非线性方程（组）的求解，线性、非线性的最小二乘问题。另外，该工具箱还提供了线性、非线性最小化，方程求解，曲线拟合，二次规划等问题中大型课题的求解方法，为优化方法在工程中的实际应用提供了更方便快捷的途径。 9.1.1优化工具箱中的函数优化工具箱中的函数包括下面几类： 1 ?最小化函数

2.方程求解函数 3.最小—乘（曲线拟合）函数

4?实用函数 5 ?大型方法的演示函数 6.中型方法的演示函数 9.1.3参数设置利用OPtimSet函数，可以创建和编辑参数结构；利用OPtimget函数，可以获得o PtiOns优化参数。 ? OPtimget 函数功能：获得OPtiOns优化参数。语法：

基于Matlab的动态规划程序实现

动态规划方法的Matlab 实现与应用动态规划(Dynamic Programming)是求解决策过程最优化的有效数学方法，它是根据“最优决策的任何截断仍是最优的”这最优性原理，通过将多阶段决策过程转化为一系列单段决策问题，然后从最后一段状态开始逆向递推到初始状态为止的一套最优化求解方法。 1．动态规划基本组成 (1) 阶段整个问题的解决可分为若干个阶段依次进行，描述阶段的变量称为阶段变量，记为k (2) 状态状态表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程的状况。各阶段状态通常用状态变量描述，用k x 表示第k 阶段状态变量，n 个阶段决策过程有n+ 1个状态。 (3) 决策从一确定的状态作出各种选择从而演变到下一阶段某一状态，这种选择手段称为决策。描述决策的变量称为决策变量，决策变量限制的取值范围称为允许决策集合。用()k k u x 表示第k 阶段处于状态k x 时的决策变量，它是k x 的函数。用()k k D x Dk(xk)表示k x 的允许决策的集合。 (4) 策略每个阶段的决策按顺序组成的集合称为策略。由第k 阶段的状态k x 开始到终止状态的后部子过程的策略记为{}11(),(),,()k k k k n n u x u x u x ++ 。可供选择的策略的范围称为允许策略集合，允许策略集合中达到最优效果的策略称为最优策略。从初始状态* 11()x x =出发，过程按照最优策略和状态转移方程演变所经历的状态序列{ } **** 121,,,,n n x x x x + 称为最优轨线。 (5) 状态转移方程如果第k 个阶段状态变量为k x ，作出的决策为k u ，那么第k+ 1阶段的状态变量1k x +也被完全确定。用状态转移方程表示这种演变规律，记为1(,)k k k x T x u +=。 (6) 指标函数指标函数是系统执行某一策略所产生结果的数量表示，是衡量策略优劣的数量指标，它定义在全过程和所有后部子过程上，用()k k f x 表示。过程在某阶段j 的阶段指标函数是衡量该阶段决策优劣数量指标，取决于状态j x 和决策j u ，用(,)j j j v x u 表示。 2．动态规划基本方程 (){} 11()min ,,(),()k k k k k k k k k k f x g v x u f x u D x ++=∈???? Matlab 实现 (dynprog.m 文件) function [p_opt,fval]=dynprog (x,DecisFun,SubObjFun,TransFun,ObjFun) % x 是状态变量，一列代表一个阶段的所有状态； % M-函数DecisFun(k,x) 由阶段k 的状态变量x 求出相应的允许决策变量; % M-函数SubObjFun(k,x,u) 是阶段指标函数, % M-函数ObjFun(v,f) 是第k 阶段至最后阶段的总指标函数 % M-函数TransFun(k,x,u) 是状态转移函数, 其中x 是阶段k 的某状态变量, u 是相应的决策变量; %输出 p_opt 由4列构成，p_opt=[序号组;最优策略组;最优轨线组;指标函数值组]； %输出 fval 是一个列向量，各元素分别表示p_opt 各最优策略组对应始端状态x 的最优函数值。

动态规划的发展及研究内容

动态规划的发展及研究内容动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。多阶段决策问题多阶段决策过程，是指这样的一类特殊的活动过程，问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段，在每一个阶段都要做出决策，全部过程的决策是一个决策序列。要使整个活动的总体效果达到最优的问题，称为多阶段决策问题。引言——由一个问题引出的算法 [例1] 最短路径问题现有一张地图，各结点代表城市，两结点间连线代表道路，线上数字表示城市间的距离。如图1所示，试找出从结点A到结点E的最短距离。图1 我们可以用深度优先搜索法来解决此问题，该问题的递归式为其中是与v相邻的节点的集合，w(v,u)表示从v到u的边的长度。具体算法如下： function MinDistance(v):integer; begin if v=E then return 0 else begin min:=maxint; for 所有没有访问过的节点i do if v和i相邻then begin 标记i访问过了; t:=v到i的距离+MinDistance(i); 标记i未访问过; if t

数学建模案例分析--最优化方法建模6动态规划模型举例

§6 动态规划模型举例以上讨论的优化问题属于静态的，即不必考虑时间的变化，建立的模型——线性规划、非线性规划、整数规划等，都属于静态规划。多阶段决策属于动态优化问题，即在每个阶段（通常以时间或空间为标志）根据过程的演变情况确定一个决策，使全过程的某个指标达到最优。例如：（1）化工生产过程中包含一系列的过程设备，如反应器、蒸馏塔、吸收器等，前一设备的输出为后一设备的输入。因此，应该如何控制生产过程中各个设备的输入和输出，使总产量最大。（2）发射一枚导弹去击中运动的目标，由于目标的行动是不断改变的，因此应当如何根据目标运动的情况，不断地决定导弹飞行的方向和速度，使之最快地命中目标。（3）汽车刚买来时故障少、耗油低，出车时间长，处理价值和经济效益高。随着使用时间的增加则变得故障多，油耗高，维修费用增加，经济效益差。使用时间俞长，处理价值也俞低。另外，每次更新都要付出更新费用。因此，应当如何决定它每年的使用时间，使总的效益最佳。动态规划模型是解决这类问题的有力工具，下面介绍相关的基本概念及其数学描述。（1）阶段整个问题的解决可分为若干个相互联系的阶段依次进行。通常按时间或空间划分阶段，描述阶段的变量称为阶段变量，记为k 。（2）状态状态表示每个阶段开始时所处的自然状况或客观条件，它描述了研究过程的状况。各阶段的状态通常用状态变量描述。常用k x 表示第k 阶段的状态变量。n 个阶段的决策过程有1+n 个状态。用动态规划方法解决多阶段决策问题时，要求整个过程具有无后效性。即：如果某阶段的状态给定，则此阶段以后过程的发展不受以前状态的影响，未来状态只依赖于当前状态。（3）决策某一阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段某一状态，这种选择手段称为决策。描述决策的变量称为决策变量。决策变量限制的取值范围称为允许决策集合。用)(k k x u 表示第k 阶段处于状态k x 时的决策变量，它是k x 的函数，用)(k k x D 表示k x 的允许决策集合。（4）策略一个由每个阶段的决策按顺序排列组成的集合称为策略。由第k 阶段的状态k x 开始到终止状态的后部子过程的策略记为)}(,),(),({)(11n n k k k k k k x u x u x u x p Λ++=。在实际问题中，可供选择的策略有一定范围，称为允许策略集合。其中达到最优效果的策略称为最优策略。（5）状态转移方程如果第k 个阶段状态变量为k x ，作出的决策为k u ，那么第1+k 阶段的状态变量1+k x 也被完全确定。用状态转移方程表示这种演变规律，写作(1k k T x =+k x ，)k u （6）最优值函数指标函数是系统执行某一策略所产生结果的数量表示，是用来衡量策略优劣的数量指标，它定义在全过程和所有后部子过程上。指标函数的最优值称为最优值函数。下面的方程在动态规划逆序求解中起着本质的作用。

图论算法及matlab程序的三个案例

图论实验三个案例单源最短路径问题 Dijkstra 算法 Dijkstra 算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。其基本思想是，设置一个顶点集合S 并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S 当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。设v 是图中的一个顶点，记()l v 为顶点 v 到源点v 1的最短距离， ,i j v v V ?∈，若 (,)i j v v E ?，记i v 到j v 的权ij w =∞。 Dijkstra 算法： ① 1{}S v =,1()0l v =；1{}v V v ??-,()l v =∞,1i =,1{}S V v =-； ② S φ=，停止，否则转③； ③ ()min{(),(,)} j l v l v d v v =， j v S ∈，v S ?∈； ④ 存在 1 i v +，使 1()min{()} i l v l v +=，v S ∈； ⑤ 1{} i S S v +=， 1{} i S S v +=-，1i i =+，转②；实际上，Dijkstra 算法也是最优化原理的应用：如果12 1n n v v v v -是从1v 到 n v 的最短路径，则 12 1 n v v v -也必然是从1v 到 1 n v -的最优路径。在下面的MATLAB 实现代码中，我们用到了距离矩阵，矩阵第i 行第j 行元素表示顶点i v 到j v 的权ij w ，若i v 到j v 无边，则realmax ij w =，其中realmax 是 MATLAB 常量，表示最大的实数+308)。 function re=Dijkstra(ma)

1D1D动态规划优化初步

1D/1D 动态规划优化初步所谓1D/1D 动态规划，指的是状态数为O(n)，每一个状态决策量为O(n)的动态规划方程。直接求解的时间复杂度为O(n 2)，但是，绝大多数这样的方程通过合理的组织与优化都是可以优化到O(nlogn)乃至O(n)的时间复杂度的。这里就想讲一讲我对一些比较初步的经典的优化方法的认识。本文中不想进行过多的证明与推导，主要想说明经典模型的建立、转化与求解方法。由于本人认识与水平相当有限，如果出现什么错误与疏漏，还请大牛多多指正。另外，也希望大牛们更多地向我们介绍一下有关动态规划优化的更深入的东西。本文中使用两种方式表示一个函数：f(x)与f[x]，用方括号表示的函数值可以在规划之前全部算出（常量），而用圆括号表示的函数值必须在规划过程中计算得到（变量）。无论是什么函数值一经确定，在以后的计算中就不会更改。经典模型一：11 ()min{()[,]}x i f x f i w i x -==+ 相信这个方程大家一定是不陌生的。另外，肯定也知道一个关于决策单调性的性质：假如用k(x)表示状态x 取到最优值时的决策，则决策单调性表述为： ,()()i j k i k j ?≤≤，当且仅当： ,[,][1,1][1,][,i j w i j w i j w i j w i j ?≤+++≤+++，对于这个性质的证明读者可以在任意一篇讲述四边形不等式的文章中找到，所以这里不再重复。而且，从实战的角度来看，我们甚至都不需要验证w 函数的这个性质，最经济也是最可靠的方法是写一个朴素算法打出决策表来观察（反正你总还是要对拍）。当然，有的时候题目要求你做一点准备工作，去掉一些明显不可能的决策，然后在应用决策单调性。这是上述性质也许会有点用处。正如前文中所述，我们关注的重点是怎样实现决策单调性。有了决策单调性，怎样高效地实现它呢？很容易想到在枚举决策的时候，不需要从1开始，只要从k(x-1)开始就可以了，但这只能降低常数，不可能起到实质性的优化。另一种想法是从k(x-1)开始枚举决策更新f(x)，一旦发现决策u 不如决策u+1来得好，就停止决策过程，选取决策u 作为f(x)的最终决策。这样时间是很大提高了，但可惜是不正确的。决策单调性并没有保证f(j)+w[j,x]有什么好的性质，所以这样做肯定是不对的。刚才我们总是沿着“f(x)的最优决策是什么”这个思路进行思考，下面我们换一个角度，思考对于一个已经计算出来的状态f(j)，“f(j)能够更新的状态有哪些”。这样，每一步过程中某些状态的决策可能不是最优的，但是当算法结束的时候所有状态对应的决策一定是最优的。一开始，只有f(1)的函数值被计算出来，于是所有状态的当前最优决策都是1。 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 现在，显然f(2)的值已经确定了：它的最有决策只能是1。我们用决策2来更新这个决策表。由于决策单调性，我们知道新的决策表只能有这样的形式：

动态规划_销售人员分配问题(matlab编程)

一、问题重述某企业甲、乙、丙三个销售市场，其市场的利润与销售人员的分配有关，现有6个销售人员，分配到各市场所获利润如下表示，试问应如何分配销售人员才能使总利润最大？二、问题分析首先我们对设备的分配规定一个顺序，即先考虑分配给甲市场，其次乙市场，最后丙市场，但分配时必须保证企业的总收益最大。将问题按分配过程分为三个阶段，根据动态规划逆序算法，可设： 1、阶段数k=1，2，3（即甲、乙、丙三个市场的编号分别为1，2，3）； 2、状态变量x k 表示分配给第k 个市场至第3个市场的人员数（即第k 阶段初尚未分配的人员数）； 3、决策变量u k 表示分配给第k 市场的人员数； 4、状态转移方程：x k+1=x k -u k ; 5、g k (u k )表示u k 个销售人员分配到第k 个市场所得的收益值，它由下表可查得； 6、f k (x k )表示将x k 个销售人员分配到第k 个市场所得到的最大收益值，因而可得出递推方程： f k (x k )= 6 ,...,1,0max =k u [ g k (u k )+ f k+1(x k -u k )]，k=1，2，3 f 4(x 4)=0 三、问题求解 1）k=3时，市场丙的分配方案和总收益. 最大收益：f 3(x 3)=6 ,...,1,0max 3=u [g 3(x 3)]

最大收益：f 2(x 2)=2 max u [g 2(u 2)+ f 3(x 3)]= 2 max u [g 2(u 2)+ f 3(x 2- u 2 )] 最大收益：f 1(x 1)=1 max u [g 1(u 1)+ f 2(x 1- u 1)]= max[g 1(u 1)+ f 2(4- u 1)] 为此，我们可以用Matlab 语言编程使问题能跟方便地得到解决，其算法设计如下图：

动态规划之01背包问题及改进

动态规划之-0-１背包问题及改进

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有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i］，价值是v[ｉ]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。在选择装入背包的物品时,对于每种物品ｉ,只能选择装包或不装包，不能装入多次,也不能部分装入,因此成为０-1背包问题。形式化描述为：给定n个物品，背包容量Ｃ>0，重量第i件物品的重量w[i]>０, 价值ｖ[i] >０, 1≤ｉ≤n.要求找一n元向量(X1，Ｘ2,…，Xｎ,), X i∈{0,1}, 使得∑(ｗ[i] * Xi) ≤C,且∑ｖ[i] * Xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。数学描述为：求解最优值: 设最优值m（ｉ，ｊ)为背包容量为j、可选择物品为i，ｉ+１，……,ｎ时的最优值（装入包的最大价值）。所以原问题的解为ｍ（1,C）将原问题分解为其子结构来求解。要求原问题的解ｍ（１，C)，可从m(ｎ,C)，m(ｎ－1，C),m（n-2,C)...．.来依次求解，即可装包物品分别为（物品ｎ）、（物品n-1,n）、(物品n-2，n-1,ｎ)、……、(物品1，物品2,……物品n-１，物品n)。最后求出的值即为最优值m(1，C)。若求m（ｉ,j),此时已经求出m(ｉ＋1,j)，即第ｉ+1个物品放入和不放入时这二者的最大值。对于此时背包剩余容量 j=0,1，２,３……C,分两种情况： (1)当ｗ[i] > ｊ ,即第i个物品重量大于背包容量j时，m（i，j)=ｍ(ｉ+1,j）（2)当ｗ［i] <=j，即第i个物品重量不大于背包容量j时,这时要判断物品i放入和不放入对m的影响。若不放入物品i,则此时ｍ(i,j)=m(i+１,ｊ) 若放入物品i，此时背包剩余容量为ｊ－w［i]，在子结构中已求出当容量k＝0,1,２……Ｃ时的最优值m（i+1，ｋ)。所以此时m(i，ｊ)＝ｍ（i+1，j-w[i］)＋v［i]。取上述二者的最大值，即m(i,ｊ) ＝mａx{ m（i+1，j)，m（i+1,j-ｗ[ｉ])＋v[i] } 总结得出状态转移方程为:

(整理)matlab 动态规划讲义.

第四章动态规划 §1 引言 1.1 动态规划的发展及研究内容动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解多阶段决策问题的最优化方法。20世纪50年代初R. E. Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。因而，它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的

一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。例1 最短路线问题下面是一个线路网，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用）。试寻求一条由A到G距离最短（或费用最省）的路线。例2 生产计划问题工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本为1（千元），每次开工的固定成本为3（千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千件）。经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4（千件）。如果工厂在第一、二季度将全年的需求都生产出来，自然可以降低成本（少付固定成本费），但是对于第三、四季度才能上市的产品需付存储费，每季每千件的存储费为0.5（千元）。还规定年初和年末这种产品均无库存。试制定一个生产计划，即安排每个季度的产量，使一年的总费用（生产成本和存储费）最少。 1.2 决策过程的分类

[规划模型,梯级,解法]梯级水库防洪优化调度的动态规划模型及解法

梯级水库防洪优化调度的动态规划模型及解法摘要：本文构建了梯级水库防洪调度优化模型，利用M法模拟了梯级水库中的水流动状态，模型是一种后效性的动态规划模型，探讨了对应的解法，指出一类简易的多维动态规划递推解法；而实例分析说明，模型具备一定的科学性，所取得的成果比较具有代表性，研讨出来的办法求解迅速，并且可操作性强，是一类高效的计算模式以及演算办法。 Abstract：In this paper，cascade reservoirs flood control scheduling optimization model is constructed， M method is used to simulate the water flow state of cascade reservoirs. This model is an aftereffect dynamic programming model. This paper discusses the corresponding method， points out a kind of multi-dimensional dynamic programming recursive solution. And the instance analysis shows that the model has certain scientific nature，the results of it are representative，the calculation method by the discussion is quick，and the maneuverability is strong. It is a kind of high efficient calculation model and calculation method. 关键词：梯级水库；优化调度；动态模型；规划；求解 0 引言当前，中国已经建有各种水库8.6万个，大规模水库482个，中规模水库3000个。中国的大部分水库并不是独立的个体，而是融入梯级水库群里，可谓联系紧密。在梯级开发的流域内修筑一个新的建筑抑或采取一类防洪举措，都能对梯级水库群带去一定的改变。梯级水库构建完成以后，河流洪水的特征以及区域构成都将产生改变，特别是在上游拥有调水功能的水库，洪水的时间、空间分布将产生颠覆性的改变。在工程的防洪设计的同时，假如工程上游拥有调水以及蓄水能力较强的业已修建完成抑或近段时间就要修建完成的梯级水库抑或梯级水库群，就要权衡到水库调节洪水的功用与对下游设计断面的作用。假如设计规划针对的是洪水调节功能健全的水库建筑，而且要担负下游防洪的职责；那必须研讨该建筑对下游防洪的效益。 1 水库防洪任务和目标通常情况下，水库在汛期遇到洪水的时候防洪要分成三种：一种是工程自身的防洪需要，通常用坝前水位显示；一种是库区防洪需求，通常是由于库区淹水抑或库尾回水而引发，淹水范畴和水库坝前水位、入库流量相关，在库区防洪标准既定的情况下（相应的入库规划洪水给定），库区防洪也由坝前水位显示；一种是担负下游防洪区的防洪工作，一般是以河道安全泄洪量标识，抑或依照堤防安全高程和水位流量的相关数据，核算出河道安全流量。并且，水库自身的防洪功能在全部水库中都能够体现，在上述三种防洪需求中，下游防洪工作应让水库尽可能频繁削峰，阻拦或储蓄洪水；库区以及大坝防洪需求，需要水库尽可能下泄，让坝前水位下降，保护水库库区淹水导致的财物耗损；并且腾出防洪库容，用来调蓄后续洪水。所以，两者有着一定的矛盾；另外，防洪级别不一而足，下游以及库区的防洪准则比大坝防洪准则要宽松，然而下游以及库区防洪标准孰高孰低，要根据实际状况确定。