二次函数图像的翻折变换
课题:二次函数图象的翻折
学习目标
1、知识与技能:掌握抛物线翻折变换的性质,会求抛物线翻折后的解析式。
2、过程与方法:通过探究抛物线的翻折变换,体会数形结合思想,能够独立解决抛物线的翻折问题。
3、情感态度与价值观:寻找生活中有关抛物线的翻折现象,体会数学美。
重难点预测:
1.重点:会求抛物线翻折后的解析式.
8函数的基本性质(二)(对称性、图像翻折、零点)学生版
教学内容概要 教学内容【知识精讲】 一、函数对称性 1、函数的自对称问题
已知函数()y f x =图像关于: (1)直线x a =对称,则()f x =()2f a x -; (2)点(),a b 对称,则()()22f x b f a x =--,即()()22f x f a x b +-=。 2、函数的互对称问题 若函数()y g x =图像与()y f x =图像关于: (1)x 轴对称,则()()g x f x =-; (2)y 轴对称,则()g x =()f x -; (3)原点对称,则()()g x f x =--。 (4)()y f x =与()y g x =的图象关于直线x a =对称?()()f a x g a x +=-; (5)()y f x =与()y g x =的图象关于直线y b =对称?()()2f x g x b +=; (6)()y f x =与()y g x =的图象关于点(),a b 对称?()()2f a x g a x b ++-=; (7)()y f x =与()y g x =的图象关于直线y x =对称?()f x 和()g x 互为反函数。 二、函数图像变换 注意:一切变换针对于变量本身 (1)平移变换: ⅰ.函数)(x f y =的图象 函数)(a x f y +=的图象; ⅱ.函数)(x f y =的图象 函数b x f y +=)(的图象; (2)伸缩变换: ⅰ.函数)(x f y =的图象 函数)(x k f y ?=的图象; ⅱ.函数)(x f y =的图象 函数)(x f k y ?=的图象; (3)对称变换: ⅰ.函数)(x f y =的图象 函数)(x f y -=的图象; ⅱ.函数)(x f y =的图象 函数)(x f y -=的图象; ⅲ.函数)(x f y =的图象 函数)(x f y --=的图象;
高一数学《函数图象的翻折变换》微课教学设计方案
高一数学《函数图象的翻折变换》微课教学设计方案 高一数学《函数图象的翻折变换》微教学设计方案 微名称 函数图象的翻折变换 教师姓名 唐颖鸿 教师单位 西安市第八十三中学 知识点 □学科:数学□年级:高一、高二、高三 □教材版本:北师大版 □所属节:《必修1》函数专题 录制工具和方法 电脑录制 设计思路 函数是高中数学的核心内容,几乎贯穿于整个高中数学的始终,特别是函数思想,是分析问题和解决问题的重要思想和方法之一;同时,函数也是进一步学好高等数学的基础,因此,学好《函数》这一,具
有举足轻重的意义。 函数图象是函数关系的一种重要表示,它是对函数变化规律的最直观的刻画,能更深刻地揭示函数之间的内在联系,使我们更全面地掌握函数的性质,是探求解题途径、获得问题结果的重要工具。本节是在高一年级学完《函数》一后的一节复习。函数图像的变换主要有三种,本节主要讲函数图象的翻折变换。 教学设计 内容 教学目的 (一)知识目标 1、使学生准确掌握函数图象的翻折变换规律; 2、使学生能准确利用函数图象的翻折变换规律解决相关问题。(二)能力目标 1、通过学生自己画函数图象,培养学生的动手实践能力;通过观察函数图象,寻找图象的变换规律,培养学生的观察能力; 2、通过学生自己总结、归纳、概括函数图象的一般变换规律,培养学生的归纳、概括能力; 3、通过学生利用函数图象的变换规律解决相关问题,培养学生分析问题和解决问题 的能力。 (三)德育目标
1、通过对具体函数图象的翻折变换规律的探讨,揭示出函数图象变换的一般规律,掌握函数图象翻折变换的本质特性,体现了从特殊到一般,从感性到理性的辩证唯物主义观点; 2、通过让学生自己探讨函数图象的几何变换规律,培养学生自己发现问题、解决问题的优良思维品质和勇于探索的精神。 教学重点难点 教学重点:函数图象的翻折变换规律 教学难点:利用函数图象的翻折变换规律解决相关问题。 教学过程 函数图象的翻折变换 ———左折变换与上折变换 1、动一动——动手实践 【例1】请分别在同一坐标系内画出下列每组函数的大致图象: 1、(1)=(x-1)2 ; 2、(1)= x2–1; (2)=(|x|-1)2 。(2)= |x2-1|。 (请两位学生上黑板画,其他学生在练习本上画) 2、看一看——观察特征 【问题1】请观察所画第1组函数图象: 图象(1)与图象(2)分别有什么关系? 答:函数=(x-1)2 的图象保留轴右边图象,作其关于轴对称图象,去掉轴左边部分即得到函数=(|x|-1)2的图象。 【问题2】请观察所画第2组函数图象:
函数图象的三种变换
. 函数图象的三种变换 函数的图象变换是高考中的考查热点之一,常见变换有以下3种: 一、平移变换 2,在同一坐标系中画出:=x设f(x)例1 (1)y=f(x),y=f(x+1)和y=f(x-1)的图象,并观察三个函数图象的关系; (2)y=f(x),y=f(x)+1和y=f(x)-1的图象,并观察三个函数图象的关系.解(1)如图 (2)如图
点评观察图象得:y=f(x+1)的图象可由y=f(x)的图象向左平移1个单位长度得到;y=f(x-1)的图象可由y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到; y=f(x)+1的图象可由y=f(x)的图象向上平移1个单位长度得到; y=f(x)-1的图象可由y=f(x)的图象向下平移1个单位长度得到. 小结:
二、对称变换的图象,并观察两个函数图)-xy=f(x+1,在同一坐标系中画出y=f()和x例2设f(x)=象的关系.1的图象如图所示.=-x+x与y=f(-)+y解画出=f(x)=x1 由图象可得函数y=x+1与y=-x+1的图象关于y轴对称. 点评函数y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称; 函数y=f(x)的图象与y=-f(x)的图象关于x轴对称; 函数y=f(x)的图象与y=-f(-x)的图象关于原点对称. 三、翻折变换 例3 设f(x)=x+1,在不同的坐标系中画出y=f(x)和y=|f(x)|的图象,并观察两个函数1 / 6
. 图象的关系. 解y=f(x)的图象如图1所示,y=|f(x)|的图象如图2所 示. 点评要得到y=|f(x)|的图象,把y=f(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方,其余部分不变.例4 设f(x)=x+1,在不同的坐标系中画出y=f(x)和y=f(|x|)的图象,并观察两个函数图象的关系. 解如下图所 示. 点评要得到y=f(|x|)的图象,先把y=f(x)图象在y轴左方的部分去掉,然后把y轴右边的对称图象补到左方即可. 小结: 保留x轴上方图象y?f(x)????????y=|f(x)|. 将x轴下方图象翻折上去保留y轴右侧图象y?f(x)?????????y=f(|x|). 并作其关于y轴对称的图象如图:
二次函数图像的变换练习题
二次函数图像的变换 1、 把抛物线2y x =-向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为 A .()213y x =--- B .()213y x =-+- C .()213y x =--+ D .()2 13y x =-++ 2、将抛物线22y x =向下平移1个单位,得到的抛物线是( ) A .()221y x =+ B .()221y x =- C .221y x =+ D .221y x =- /3将抛物线23y x =向上平移2个单位,得到抛物线的解析式是( ) A. 232y x =- B. 23y x = C. 23(2)y x =+ D. 232y x =+ 4、函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到,那么平移的步骤 是:( ) A. 右移两个单位,下移一个单位 B. 右移两个单位,上移一个单位 C. 左移两个单位,下移一个单位 D. 左移两个单位,上移一个单位 5、函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到,那么平移的步骤是( ) A. 右移三个单位,下移四个单位 B. 右移三个单位,上移四个单位 C. 左移三个单位,下移四个单位 D. 左移四个单位,上移四个单位 6、把抛物线2y x =-向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为 A .()213y x =--- B .()213y x =-+- C .()213y x =--+ D .()2 13y x =-++ 7、将抛物线23y x =向上平移2个单位,得到抛物线的解析式是( ) A. 232y x =- B. 23y x = C. 23(2)y x =+ D. 232y x =+ 8、函数2y x =与2y x =-的图象关于______________对称,也可以认为 2y x =是函数2y x =-的图象绕__________旋转得到. 9、已知:点P (2,7)在函数2y ax =+b 的图象上,而且当x=-√3时,y=5;(1)求a,b 的值并确定此函数的解析式。(2)若(1/2,m )和点(n,17)也在函数的图像上,求m 和n 的值。 10、已知一个二次函数图像的形状与抛物线Y=4x 2相同,它的顶点坐标是(2,4),求该二次函数的解析式。
有关二次函数的图象变换
一、有关二次函数的图象变换 图形的变换是新课标下的初中数学中的重要内容,在复习二次函数时,可将它的图象--抛物线进行平移、关于x轴、y轴成轴对称或关于原点O(或它的顶点)成中心对称等变换,求对应的抛物线的解析式。 解决这类问题的关键是能正确求出变换后的抛物线的顶点坐标及确定抛物线的开口方向。 例:已知;抛物线y=-x2+2x+3,回答下列问题, (1)分别写出此抛物线的顶点P,与x轴的两个交点A、B(A点在B点的左侧),与y轴的交点c的坐标。 答:P(1,4),A(-1,0),B(3,0),C(0,3) (2)求抛物线y=-x2+2x+3关于y轴对称的抛物线的解析式。 解:y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,因为此抛物线的顶点P(1,4)关于y轴的对称点为P1(-1,4), 所以,所求抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3。 (在这个变换过程中,点C(0,3)是不动点) (2)求抛物线y=-x2+2x+3关于x轴对称的抛物线的解析式。 解:若以抛物线y=-x2+2x+3的顶点入手, ∵点P(1,4)关于x轴的对称点为P2(1,-4),而且原抛物线y=-x2+2x+3在关于x轴对称的变换过程中,开口方向由向下变为向上,
∴所求抛物线的解析式为 y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3 (在这个变换过程中,点A(-1,0),B(3,0)是不动点) 若以函数值的正、负入手,抛物线y=-x2+2x+3关于x轴对称的抛物线的解析式为y=-(-x2+2x+3)=x2-2x-3。 (3)求抛物线y=-x2+2x+3关于原点O对称的抛物线的解析式 解:∵点P(1,4)关于原点O的对称点为P3(-1,-4),而且抛物线y=-x2+2x+3关于原点O对称的过程中开口方向由向下变为向上, ∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)2-4,即y=x2+2x-3。 (在这个变换过程中,原抛物线y=-x2+2x+3上的点,都绕原点O旋转180°) (4)求抛物线y=-x2+2x+3关于顶点P对称的抛物线的解析式。 解:∵抛物线y=-x2+2x+3关于顶点P对称的抛物线与原抛物线的顶点相同,开口方向相反,
2018年必修一-函数图象地平移和翻折
2018年必修一-函数图象的平移和翻折 一、图象的平移变换 ①)(a x f y -=( 0>a )的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到;)(a x f y +=( 0>a )的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到 ②h x f y ±=)()0(>h 的图象可由)(x f y =的图象沿y 轴向上或向下平移h 个单位得到 注意: (1)可以将平移变换化简成口诀:左加右减,上加下减 (2)谁向谁变换是)()(a x f y x f y -=→=还是)()(x f y a x f y =→-= 二、图象的对称变换 ①)(x f y =与)(x f y -=的图象关于y 轴对称 ②)(x f y =与)(x f y -=的图象关于x 轴对称 ③)(x f y =与)(x f y --=的图象关于原点对称 ④)(x f y =的图象是保留)(x f y =的图象中位于上半平面的部分,及与x 轴的交点,将的)(x f y =图象中位于下半平面的部分以x 轴为对称翻折到上半面中去而得到。 ⑤)(x f y =图象是保留中位于右半面的部分及与y 轴的交点,去掉左半平面的部分,而利用偶函数的性质,将右半平面的部分以y 轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到。 ⑥奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形 课堂练习
1、把函数y = 1 1 +x 的图像沿x 轴向右移动1个单位后所得图像记为C ,则图像C 的表 达式为( ) A. y= x -21 B. y=-x 1 C. y=x 1 D. y=2 1 -x 2、函数y=|x|-1的图像是( ) A. B. C. D. 3、函数y=| 2 1(x-1)2 -3|的单调递增区间是 4、某人骑自行车沿直线旅行,先前进了a km,休息了一阵,又沿原路返 回b km(b 函数图像的四种变换 1.平移变换 左加右减,上加下减 ) ( ) (a x f y x f y+ = ?→ ? =沿x轴左移a个单位; ) ( ) (a x f y x f y- = ?→ ? =沿x轴右移a个单位; a x f y x f y+ = ?→ ? =) ( ) (沿y轴上移a个单位; a x f y x f y- = ?→ ? =) ( ) (沿y轴下移a个单位。 2.对称变换 同一个函数求对称轴或对称中心,则求中点或中心。 两个函数求对称轴或对称中心,则求交点。 (1)对称变换 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线x=0(y轴)对称。 ②函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线y=0(x轴)对称。 ③函数) (a x f y+ =与) (x b f y- =的图像关于直线 2a b x - =对称 (2)中心对称 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- - =的图像关于坐标原点对称 ②函数) (x f y=与函数) 2( 2x a f y b- = -的图像关于点(a,b)对称。 3伸缩变换 (1)) (x af y=的图像,可以将) (x f y=的图像纵坐标伸长(a>1)或缩短(a<1)到原来的a倍,横坐标不变。 (2)) (ax f y=(a>0)的图像,可以将) (x f y=的横坐标伸长(01)到原来的1/a倍,纵坐标不变。 4.翻折变换 (1)形如)(x f y =,将函数)(x f 的图像在x 轴下方的部分翻到x 轴上方,去掉原来x 轴下方的部分,保留原来在x 轴上方的部分。 (2)形如)(y x f =,将函数)(x f 在y 轴右边的部分沿y 轴翻到y 轴左边并替代原来y 轴左边部分,并保留)(x f y 轴左边部分,为)(y x f =的图像。 习题:①做出32y 2++=)(x 的图像 ②做出3+=x y 的图像 二次函数图像的变换 第一环节 【知识储备】 一、二次函数图象的平移变换 (1)具体步骤: 先利用配方法把二次函数化成2 ()y a x h k =-+的形式,确定其顶点(,)h k ,然后做出 二次函数2y ax =的图像,将抛物线2y ax =平移,使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图 所示: (2)平移规律:在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2 y a x b x c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---; ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =---; 2. 关于y 轴对称 2 y a x b x c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+; ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =++; 3. 关于原点对称 2 y a x b x c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称 2y a x b x c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-; ()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+. 5. 关于点()m n , 对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则, 二次函数图象与几何变换 1.将抛物线y=x2﹣2x+3平移得到抛物线y=x2,则这个平移过程正确的是() A.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移1个单位 C.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移1个单位 【变式1】.将函数y=x2+x+b的图象向右平移a(a>0)个单位,再向上平移2个单位,得到函数y=x2﹣3x+4的图象,则a、b的值分别为() A.a=1、b=4 B.a=2、b=2 C.a=2、b=0 D.a=3、b=2 【变式2】如果抛物线A:y=x2﹣1通过左右平移得到抛物线B,再通过上下平移抛物线B得到抛物线C:y=x2﹣2x+2,那么抛物线B的表达式为() A.y=x2+2 B.y=x2﹣2x﹣1 C.y=x2﹣2x D.y=x2﹣2x+1 【变式3】.若抛物线y=x2﹣2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,则原抛物线图象的解析式应变为() A.y=(x﹣2)2+3 B.y=(x﹣2)2+5 C.y=x2﹣1 D.y=x2+4 【变式4】.将抛物线y=x2﹣4x+3向上平移至顶点落在x轴上,如图所示,则两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图中阴影部分)是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.与抛物线y=x2﹣2x﹣4关于x轴对称的图象表示为() A.y=﹣x2+2x+4 B.y=﹣x2+2x﹣4 C.y=x2﹣2x+6 D.y=x2﹣2x﹣4 【变式】.二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象关于直线x=﹣1对称的图象的表达式是() A.y=x2﹣16x+55 B.y=x2+8x+7 C.y=﹣x2+8x+7 D.y=x2﹣8x+7 2018年必修一-函数图象的平移和翻折 一、图象的平移变换 ①)(a x f y -=( 0>a )的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到;)(a x f y +=( 0>a )的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到 ②h x f y ±=)()0(>h 的图象可由)(x f y =的图象沿y 轴向上或向下平移h 个单位得到 注意: (1)可以将平移变换化简成口诀:左加右减,上加下减 (2)谁向谁变换是)()(a x f y x f y -=→=还是)()(x f y a x f y =→-= 二、图象的对称变换 ①)(x f y =与)(x f y -=的图象关于y 轴对称 ②)(x f y =与)(x f y -=的图象关于x 轴对称 ③)(x f y =与)(x f y --=的图象关于原点对称 ④)(x f y =的图象是保留)(x f y =的图象中位于上半平面内的部分,及与x 轴的交点,将的)(x f y =图象中位于下半平面内的部分以x 轴为对称翻折到上半面中去而得到。 ⑤)(x f y =图象是保留中位于右半面内的部分及与y 轴的交点,去掉左半平面内的部分,而利用偶函数的性质,将右半平面内的部分以y 轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到。 ⑥奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形函数图像的四种变换形式
二次函数图像的变换
二次函数图象与几何变换
2018年必修一-函数图象的平移和翻折