随机事件的概率知识点总结

随机事件的概率

一、事件

1．在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件．

2．在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件．

3．在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件．

二、概率和频率

1．用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据．

2．在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数

n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n A

n为事件A出现的频率．

3．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．

三、事件的关系与运算

四、概率的几个基本性质

1．概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

2．必然事件的概率P(E)＝1.

3．不可能事件的概率P(F)＝0.

4．概率的加法公式：

如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

5．对立事件的概率：

若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．

1.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上．则下列结果正确的是()

A．P(M)＝1

3P(N)＝

1

2

B．P(M)＝1

2P(N)＝

1

2

C．P(M)＝1

3P(N)＝

3

4

D．P(M)＝1

2P(N)＝

3

4

解析：选D由条件知事件M包含：(正、反)、(反、正)．事件N包含：(正、正)、(正、反)、(反、正)．

故P(M)＝1

2，P(N)＝

3

4.

2．(2012·)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是() A．至少有一个红球与都是红球

B．至少有一个红球与都是白球

C．至少有一个红球与至少有一个白球

D．恰有一个红球与恰有二个红球

解析：选D A中的两个事件不互斥，B中两事件互斥且对立，C中的两个事件不互斥，D中的两个互斥而不对立．

3．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为m

n，当n很大时，P(A)与

m

n的关系是()

A．P(A)≈m

n B．P(A)＜

m

n

C．P(A)＞m

n D．P(A)＝

m

n

解析：选A事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值．

4．2012年伦敦奥运会中国与韩国选手进行女子重剑决赛．中国选手获胜的概率为0.41.战平的概率为0.27，那么中国选手不输的概率为________．

解析：中国选手不输的概率为0.41＋0.27＝0.68.

答案：0.68

5．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则a＜b的概率为________．

解析：(文)取出的两个数用数对表示，则数对(a，b)共有15种，即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)．其中a＜b的情形有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，

故所求概率P＝3

15＝

1

5.

(理)从{1,2,3,4,5}中任取一数a，从{1,2,3}中任取一数b，共有5×3＝15种取法，满足a＜b的有

(1,2)，(1,3)，(2,3)共3种，故所求概率P＝3

15＝

1

5.

答案：1 5

1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．2．从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合交集为空集；事件A的对立事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

典型例题

[例1](2012·陕西高考)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；

(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．

[自主解答] (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝1

4，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为1

4.

(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率为75145＝15

29，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.

1．概率是一个常数，它是频率的科学抽象，将事件发生的频率近似地作为它的概率是求一事件概率的基本方法．

2．概率公式P ＝m

n (n 次试验中，事件A 出现m 次)．

1．(2012·泰安月考)在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10 000元，某人摸中一等奖的概率是0.001，这是指( )

A ．这个人抽1 000次，必有1次中一等奖

B ．这人个每抽一次，就得奖金10 000×0.001＝10元

C ．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001

D ．以上说法都不正确

解析：选C 摸一次彩票相当于做一次试验，某人摸中一等奖的概率是0.001，只能说明这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001，而不能说这个人抽1 000次，必有1次中一等奖，也不能说这个人每抽一次，就得奖金10 000×0.001＝10元，因此选C.

[例2] (2012·湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)．

[自主解答](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为

1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10

100＝1.9(分钟)．

(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购

物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝15

100＝

3

20，P(A2)＝

30

100＝

3

10，P(A3)＝

25

100＝

1

4.

因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)

＝3

20＋

3

10＋

1

4＝

7

10.

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为

7

10.

2．(2012·郑州模拟)抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2

点，已知P(A)＝1

2，P(B)＝

1

6，则出现奇数点或2点的概率为________．

解析：因为事件A与事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1

2＋

1

6＝

2

3.

答案：2 3

[例3]一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，求：

(1)取出的小球是红球或黑球的概率；

(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．

[自主解答]记事件A＝{任取1球为红球}，事件B＝{任取1球为黑球}，事件C＝{任取1球为

白球}，事件D＝{任取1球为绿球}，∴P(A)＝5

12，P(B)＝

4

12＝

1

3，P(C)＝

2

12＝

1

6，P(D)＝

1

12.

(1)取出的小球是红球或黑球的概率为P1＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝5

12＋

1

3＝

9

12＝

3

4.

(2)法一：取出的小球是红球或黑球或白球的概率为P2＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝5

12＋

1

3

＋1

6＝

11

12.

法二：“取出的小球是红球或黑球或白球”与“取出的小球为绿球”互为对立事件，故所求概率

为P2＝1－P(D)＝1－1

12＝

11

12.

求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：

(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；

(2)间接求解法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)求解，即正难则反的数学思想，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求解法就显得较简便．

3．(2012·长春模拟)黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：

已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：

(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？

(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？

解：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.

因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.

(2)法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.

法二：因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，

故由对立事件的概率公式，有P(B′＋D′)＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.

答：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.

练习

1．从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．

上述事件中，是对立事件的是()

A．①B．②④

C．③D．①③

解析：选C③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～9中任取两数共有三个事件：“两个奇数”、“一奇一偶”、“两个偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件．

2．(2013·温州模拟)甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是()

A.1

2 B.

1

3

C.1

4 D.

1

5

解析：选A送卡方法有：(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁，乙送给丙)、(甲、乙都送给丙)、

(甲、乙都送给丁)共四种情况，其中甲、乙将贺年片送给同一人的情况有两种，所以概率为1 2.

3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为()

A．0.7 B．0.65

C．0.35 D．0.3

解析：选C事件“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.

4．(2012·大同一模)在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是()

A.3

10 B.

1

5

C.110

D.112

解析：选A 从五个小球中任取两个共有10种，而1＋2＝3,2＋4＝6,1＋5＝6，取出的小球标注的数字之和为3或6的只有3种情况，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为3

10.

5．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( )

A ．0.45

B ．0.67

C ．0.64

D ．0.32

解析：选D 摸出红球的概率为0.45，摸出白球的概率为0.23，故摸出黑球的概率P ＝1－0.45－0.23＝0.32.

6．(2012·安徽六校联考)连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角记为α，则α∈? ?

?

??0，π4的概率为( )

A.5

18 B.512 C.1

2

D.712

解析：选B cos 〈a ，b 〉＝

m m 2＋n

2， ∵α∈? ?

???0，π4，∴22＜m m 2＋n

2＜1，∴n ＜m ， 又满足n ＜m 的骰子的点数有(2,1)，(3,1)，(3,2)，…，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共15个． 故所求概率为P ＝1536＝512.

7．(2012·北京西城二模)已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(3，y )，其中x 随机选自集合{－1,1,3}，y 随机选自集合{1,3}，那么a ⊥b 的概率是________．

解析：从集合{－1,1,3}中取一个数为x 有3种取法，同理y 有2种取法，满足a ⊥b 的有一种取法(x ＝1，y ＝3)，故所求的概率P ＝

13×2

＝16. 答案：16

8．(2013·宁波模拟)已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是1

7，从中取出2粒都是白子的概率是12

35，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．

解析：从中取出2粒棋子，“都是黑棋子”记为事件A ，“都是白棋子”记为事件B ，则A 、B

为互斥事件．所求概率为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝17

35.

答案：17

35

9.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、

32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一名成员，他至少参加2个小组的概率是______，他至多参加2个小组的概

率为________．

解析：随机选一名成员，恰好参加2个组的概率P (A )＝1160＋760＋1060＝7

15，恰好参加3个组的概率P (B )＝860＝215，则他至少参加2个组的概率为P (A )＋P (B )＝715＋215＝3

5，至多参加2个组的概率为1－P (B )＝1－215＝13

15.

答案：35 13

15

10．某战士射击一次，问：

(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？

(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？

解：(1)记中靶为事件A ，不中靶为事件A ，根据对立事件的概率性质，有 P (A )＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05. 故不中靶的概率为0.05.

(2)记命中10环为事件B ，命中9环为事件C ，命中8环为事件D ，至少8环为事件E ，不够9环为事件F .

由B 、C 、D 互斥，E ＝B ∪C ∪D ，F ＝B ∪C ， 根据概率的基本性质，有

P (E )＝P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D ) ＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72；

P (F )＝P (B ∪C )＝1－P (B ∪C )＝1－(0.27＋0.21)＝0.52. 所以至少8环的概率为0.72，不够9环的概率为0.52.

11．(2012·新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )