初二数学勾股定理教案

第三讲勾股定理

教材分析：勾股定理是几何中重要定理之一，在数学的发展中起着重要的作用，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且有着承前启后的作用.经过七年级、八年级上学期的学习，已储备相应的知识基础，基本的数形知识以及归纳信息的能力.在探求勾股定理的过程中，蕴涵了丰富的数学思想，把三角形有一个直角“形”的特点转化为三边之间的“数”的关系，是数形结合的典范.例1与例2为基础的勾股定理计算应用；例3为求解四边形面积问题，方法不唯一，可通过生生互动的教学模式；例4、例6分别为涉及勾股定理的规律总结与分类讨论；例5为设未知量并利用勾股定理建立方程，此为勾股定理应用中的重中之重.

拓展延伸题目作为补充题目出现，教师根据学生情况自行选择.

教学重点：

1.应用勾股定理计算；

2.特殊直角三角形中三边之间的关系及应用；

3.应用勾股定理解决一般的实际问题.

教学难点：应用勾股定理通过数形结合的方式解决相应问题.

第一课时

一、导入（课件导入知识）

勾股定理的验证：面积割补法

大正方形面积=(a+b)2=4×1

2

ab+c2，整理得a2+b2= c2.

大正方形面积=c2=4×1

2

ab+(b-a)2，整理得a2+b2= c2.

直角梯形面积=

()()12a b a b ++=2×12ab+1

2

c 2，整理得a 2+b 2= c 2. 含30度角的直角三角形

边角关系：30°角所对的直角边等于斜边的一半

(Rt △ABC 中，∠A=30°则a =1

2

c )

1.请三位同学回答面积割补法证明过程，推导a 2+b 2= c

2. 2.复习“30°角所对的直角边等于斜边的一半”

师：在探求勾股定理的过程中，蕴涵了丰富的数学思想，把三角形有一个直角“形”的特点转化为三边之间的“数”的关系，是数形结合的典范，接下来，我们看看勾股定理在题目中的重要应用. 二、教学新授 初步性问题

例1如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行（ ） A.8米 B.10米 C.12米 D.14米

答案：B 1.题目分析

师：确定小鸟飞行最短路线的依据是什么？ 生：两点之间，线段最短.

师：下一步我们就需要将实际问题转化为数学问题，大家想一想这是一道什么数学问题呢？ 2.学生独立完成，指定学生讲解.

生：如图所示，在Rt △ABE 中，易得AE=6m ，BE=8m. 由勾股定理得AB=22AE BE +=10(m).

例2 如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为（ ） A.3 cm B.6 cm C.32 cm D.62 cm

答案：D

1.题目分析（出示解析图形） 师：三角板最大边为哪一边？ 生：斜边AB .

师：能够直接在三角板：Rt △ABC 中求解吗？ 生：不可以，△ABC 中三边都未知.

2.学生独自思考，请学生汇报思考结果（或板书求解过程）

生：要求直角边，作AH ⊥矩形的底边，垂足为H ，这样要求的直角边AC 是含有30°角的Rt △ACH 的斜边，要求斜边AC ，联想到直角三角形中含有30°角的直角边是斜边的一半，即可得AC =2AH=6.

板书：解：过点A 作AH ⊥CH ，垂足为H ，

在Rt △AHC 中，∠ACH=30°，AH=3cm ， ∴AC=6cm.

在Rt △ABC 中，AC=BC=6cm ，

由勾股定理得22AC BC +623.请学生谈谈例1、例2收获（教师小结）

生1：在直角三角形中，已知两边可求第三边，或者已知特殊直角三角形中的一个特殊角以及一边，也可以求解另外两边.

生2：在含有特殊角的图形中求解线段的长度时，可以通过构造含有特殊角的直角三角形的方法求解其线段长度.

师：大家观察例2的图形，边AC 就像一座桥梁将两个三角形联系起来，以后我们也会遇到此类“共边三角形”,希望大家多多总结一些常见的基本图.

例 3 如图所示，公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45°.求出这块草地的面积.

图1 图2

答案：

解：连接BD ，作CE ⊥BD ,交BD 于E 点，如图1所示.

∵DC=BC ，∠ABC=∠BCD=120°，

∴∠CDB =∠CBD=30°，∠ABD=90°，BE=DE .

在Rt △BCE 中，有CE=1

2

BC=5m ，

22BC CE =3m ，即BD=103m . 在Rt △ABD 中，∠A=45°，有AB=BD=3m. ∵S 四边形ABCD = S △ABD +S △BCD

=12×3×3+1

2

×35

=(150+253) m 2.

即这块草地的面积为(150+253)平方米. 1.教师读题，简答分析

师：在求解不规则图形的面积时，通常应用“割补法”，利用题目中特殊角度以及例2的学习“构造含特殊角（30°或45°）的直角三角形，应用勾股定理求解边长”. 2.生生互动（注意多种方法解答） 3.小组代表汇报求解过程

如图1所示，S 四边形ABCD = S △ABD + S △BCD ； 如图2所示，S 四边形ABCD = S △AHF - S △BCH - S △CDF .

例4勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.如图是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S 1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S 2，…，第n 个正方形和第n 个直角三角形的面积之和为S n ，设第一个正方形的边长为1.

请解答下列问题： （1）S 1=_______；

（2）通过探究，用含n 的代数式表示S n ，则S n =________.

答案：（1）132）1

34n -?? ?

??

(13

1.（1）问直接请学生回答

生：第一个图形是由边长为1的正方形及含30°角的直角三角形组成，可得直角三角形两直角边长分别为

12

，2.S 1= S 正方形+ S 三角形=1+12×12

×2=1

+8.

2.分析（2），依次求解每一组图形面积，出示图表总结

师：刚才A 同学已经为我们解释了求解第一组图形面积的思路过程，接下来在请一位同学在谈一谈求解第一组图形面积的想法

生：通过数形结合，可以知道图形中直角三角形的斜边长等于正方形的边长，并且又由“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可以得到直角三角形的两直角边的长，这样就可以求出直角三角形的面积，也就可以求出正方形与直角三角形的面积和.

师：B 学生总结的非常详细了，下面，大家快速的求解一下第2组和第3组图形的面积 （出示图表，点击空白处出相应答案）

3.教师小结

勾股定理反映直角三角形三边关系即a 2+b 2=c 2，同时也反映了以直角三角形三边为正方形的面积关系，是勾股定理的另一种表现形式；从简单到复杂，从特殊到一般是探究规律型问题的一般方法. 类似性问题

1.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ）

A.5

B.

C.

D.5

2.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（）

A.3

B.23

C.33

D.43

3.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm，现将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（）

A.4 cm

B.15

4

cm C.6 cm D.10 cm

4.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2,5,1,2，则最大的正方形E的面积是__________.

第二课时

一、导入

上节课我们学习了勾股定理有关问题，这节课我们继续学习勾股定理.

二、教学新授

初步性问题

例5如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=2，DC=3，求AD的长.小萍灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

分别以AB，AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于G点，可得四边形AEGF为正方形.设AD=x,利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.

答案：

解：设AD=x，且由四边形AEGF为正方形及轴对称性质得：

EG=GF=AF=AE=AD= x ，

BE =BD=2，CF=CD=3.

∴BG= x-2，CG= x-3，

在Rt△BCG中，由勾股定理得BG2+ CG2= CB2，

即(x-2)2+ (x-3)2= 52，解得x1=-1(舍)，x2=6.

1.请一名学生读题，通过解析填空分析

解析：

根据四边形AEGF为正方形以及轴对称性质得：

EG=GF=AF=AE=______ =______，AD ，x，

______ =BD=______，______=CD=______，BE、2、CF、3，

BG=______，CG=______，x-2，x-3.

在Rt△BGC中可利用勾股定理建立等量关系式．

2.请两名学生板书，其他学生独自解答

3.共同点评

4.教师小结

（1）对折不改变图形的大小及形状，也就是说折叠前后的图形全等，并且成轴对称，其中折痕所在的直线即为对称轴；（2）借助勾股定理列方程的方法求解平面图形，是方程的一种简单应用，有时候也让我们的解题更为便捷. 5.拓展延伸---例2---巩固解题方法 拓展延伸

例2 如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，则

EC=_______cm .

答案：3

例6 请阅读下列材料：

问题：如图甲，一圆柱的底面半径为5 dm ，BC 是底面直径，高AB 为5 dm ，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线.小明设计了两条路线； 路线1：侧面展开图中的线路AC ，如图乙所示.

设路线1的长度为1l ，则21l =AC 2=AB 2+BC 2=52+(5π)2=25+25π2. 路线2：高AB+底面直径BC ，如图甲所示：

设路线2的长度为2l ，则22l =(AB+BC )2=(5+10)2=225. ∵21l -22l =25+25π2-225=25π2-200=25（π2-8）＞0. ∴21l ＞22l , ∴1l ＞2l .

所以选择路线2较短.

（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1 dm ，高AB 为5 dm ”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算：

路线1：21l =AC 2=______ ______________________；AB 2+BC 2=52+π2 路线2：22l =（AB+BC ）2=___ ___.（5+2）2=49 ∵21l _____22l ，＜

∴1l ____2l ，（填“＞”或“＜”）＜

所以应选择路线______ _（填“1”或“2”）较短. 1

（2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r ,高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短.

答案：（2）

解：路线1：21l =AC 2=AB 2+BC 2=h 2+π2r 2，

路线2：22l =(AB+BC )2=(h+2r )2. ∴21l -22l =(h 2+π2r 2)-(h+2r )2=π2r 2-4hr -4r 2.

当21l -22l ＞0时, π2r 2-4hr -4r 2＞0,即［(π2-4)r -4h ］·r ＞0. 又r ＞0,

∴(π2-4)r -4h ＞0， 解得r ＞

244

h

π-. 当21l -22l ＜0时，π2r 2-4hr -4r 2＜0,即(π2-4)r -4h ］·r ＜0.

又r ＞0, ∴(π2-4)r -4h ＜0，解得r ＜244

h

π-, 综上：当r ＞

2

44

h

π-时，1l ＞2l ，选择路线2. 当0＜r ＜244h

π-时，1l ＜2l ，选择路线1.

当r =244

h

π-时，1l =2l ，选择路线2或路线1都可以.

1.分析题目

师：路线1是常见的类型：求几何体侧面上两点间的最短距离，通常的方法如何求解？ 生：将几何体展开在平面上，利用两点之间线段最短确定最短路线. 师：很好，路线2是如何设计的呢？ 生：直接是线段的和差关系.

师：由特殊到一般，我们要探究路线1和路线2的优劣，如何比较呢？ 生：根据第一问的提示，作差法比较大小，解不等式. 2.学生独自解答，教师巡视答疑，了解学生解答情况 3.请学生谈谈求解思路，出示答案 4.教师小结

在求解曲面上的最短路线问题，通常有两种运动路线，并不完全是将曲面展开求解，而是需要通过相关量的关系来确定两种运动路线中的一种.

三、巩固拓展

类似性问题

5.如图，圆柱形容器中，高为1.2 m ，底面周长为1 m ，在容器内壁离容器底部0.3 m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___________m （容器厚度忽略不计）．

6.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，若AC=6，BC=8，CD=3. （1）求DE 的长；

（2）求△ADB的面积.

拓展延伸

例1 小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN=30°，当他到B点时，测得∠MBN=45°，AB=100米，则AM=________米.

答案：100(3+1)

例3 在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为____________.

解析：分两种情况讨论：

答案：14或4

例4 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE ⊥DF.求证：AE2+BF2=EF2.

答案：

证明：延长FD至M，使得DM=DF，连接AM、EM.

∵DE⊥DF，

∴EM= EF.

在△ADM和△BDF中，

AD=BD，

∠ADM=∠BDF，

DM=DF，

∴△ADM≌△BDF，

∴∠DAM=∠B，AM=BF.

∴∠CAB+∠B=∠CAB+∠DAM =90°，

即△AEM为直角三角形.

∴AE2+AM2=EM2，即AE2+BF2=EF2.

四、课堂小结

总结

1.含特殊角的直角三角形三边的数量关系

①含30°角的直角三角形中a：b：c=1：3：2；

②含45°角的直角三角形中a：b：c=1：1：2.

2.牢记几组常见的勾股数：

3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；9，40，41.

3.翻折(轴对称)条件下的勾股定理的应用

①利用翻折(轴对称)条件得到对应边长；

(例，△ADE翻折得到△AFE，得AD=AF，DE=EF)

②在直角三角形中应用勾股定理求得边长或建立相关量的方程.