第二章 谓词逻辑 第六讲 谓词和量词

第二章谓词逻辑

第六讲谓词和量词

前一章讲解了命题逻辑，但是命题逻辑有局限性，甚至无法判别一些简单的命题。

比如：

凡偶数都能被2整除，4是偶数，所以4能被2整除。

这个推理显然是正确的(是重言式)。但是，如果将该命题符号化：（p∧q）→r.显然，这并不是一个重言式。

因此，为了克服命题逻辑的局限性，我们需要引入谓词逻辑。

1. 谓词

首先来看两个命题：

（a）2是有理数

（b）我和他年龄相同

在上面两句话中，“……是有理数”及“……年龄相同”是句子的谓语成分，称为谓词。

下面将其符号化：

将“……是有理数”这一谓词记为F，那么命题a就可以表示为F（2）.该形式类似于函数的表示。

将“……年龄相同”记为G，“我”记为 s,“他”记为t. 那么命题b就可以表示为G（s,t）.

涉及一个个体的称为一元谓词，比如F（2），涉及两个个体的称为二元谓词

G（s,t），同样的，n元谓词表示为P（a

1,a

2

,a

3

……a

n

）。

个体也可以是变项，比如：x是有理数，记作F（x）。

谓词本身不是命题，只有具体的个体被取出时才成为一个确定的命题。所以谓词也称为命题函数。

2.量词

2.1全称量词

我们引入符号?读作“任意”，?x 就表示个体域里的所有个体。?xF

（x）就表示个体域中所有个体都具有性质F。

举例来说：

人都会思考。小张是人，则小张会思考。

符号化：

会思考：D 是人：P 人：x 小张：a

进一步可以将分句表示如下：

小张是人：P（a）小张会思考: D（a）人都会思考：?x（ P（x）→D（x））

（注意?x后面要加括号，并且括号要包括所有x所在的谓词）

该命题就可以表示为：

(?x (P（x）→D（x）) ∧P（a）) →D（a）

2.2存在量词

我们引入符号?读作“存在”，?x就表示个体域里面有某个个体，?x F

（x）就表示个体域中存在某个个体具有性质F。

举例来说：

有些人是具有运动天赋的。

和2.1同样符号化,这里省略第一步。

将各分句符号化： M（x）：x是人Q(x): x 具有运动天赋

该命题就可以表示为：

?x （M（x）∧Q(x)）

谓词和量词可以在一个命题中同时使用

下面举一个例子：

没有最大的自然数。

要将该命题符号化，必须进行必要的翻译，翻译为数学上能清楚表达的句子：不存在这样的x, 如果x是自然数，则对于任意自然数y, 有x>y 。

此时，我们可以进行符号化：N（x）: x是自然数G（x，y）: x>y

于是，命题可以表示为：

┓?x( N（x）∧?y((N（y）→G（x，y）) )