期权定价理论文献综述

期权定价理论文献综述

[摘要]本文在首先介绍了期权基本概念的基础上着重介绍了期权定价理论的产

生和发展的历史进程；然后对期权定价方法及其实证研究进行了较详细的分类综述，突出综述了在整个期权定价理论中有着重要贡献的Black-Scholes定价模型以及在此基础上出现的树图模型、蒙特卡罗模拟方法、有限差分方法等在期权定价理论体系中比较重要的思想。最后分析比较了各种定价方法之间的差别以及适用范围和各自的缺陷等，并对期权定价理论的未来研究做出展望。

[关键字]综述；期权定价；Black-Scholes模型；二叉树模型；蒙特卡罗法

1 期权的分类及意义

1.1 期权的定义

期权（option）是一份合约，持有合约的一方（seller）有权（但没有义务）向另一方在合约中事先指定的时刻（或此时刻前）以合约中指定的价格购买或者出售某种指定数量的特殊物品。为了获得这种权利，期权的购买者（holder or buyer）必须支付一定数量的权利金（也称保证金或保险金），因此权利金就成为期权这个金融衍生品的价格。

1.2 期权的分类

期权交易的类型很多，大致有如下几种：

（1）按交易方式可分为看涨期权、看跌期权和双重期权；

（2）按期权的执行时间不同可分为美式期权和欧式期权；

（3）按期权交割的内容标准可分为股票期权、货币期权、利率期权与指数期权；

此外近年来还发展了许多特殊的期权交易形式，如回溯期权、循环期权、价差期权、最大/最小期权、平均价期权、“权中权”期权等。

1.3 期权的功能

作为套期保值的工具。当投资者持有某种金融资产，为了防范资产价格波动可能带来的风险，可以预先买卖该资产的期权来对冲风险。当投资者预期基础资产的市场价格将下跌时，为防止持有这种资产可能发生的损失，可以买入看跌期权予以对冲，其所付成本仅为购买期权的权利金。通过购买看涨期权和看跌期权，一方面可以达到基础资产保值的目的；另一方面也可以获得基础资产价格升降而带来的盈利机会。

作为投机的工具。在投资者并不需要为持有资产作对冲风险的交易时，也可

根据对基础资产价格必定性大小的预期，买卖期权本身来获得盈利，投资者买卖期权的目的已从对冲风险，变成赚取期权的价差利益，即投机，通过购买期权和转卖期权的权利金差价中获利，或通过履约从中获利。

2 期权定价理论的历史发展

2.1 早期期权定价理论研究

期权的思想萌芽可追溯到公元前1800年的《汉漠拉比法典》，而早在公元前1200年的古希腊和古胖尼基国的贸易中就已经出现了期权交易的雏形，只不过在当时条件下不可能对其有深刻认识。公认的期权定价理论创始人是法国数学家Louis Bachelicr 。1900年，他在博士论文“投机理论”中第一次对股票价格的走势给予了严格的数学描述。他假设股票价格变化过程是一个无漂移和每单位时间具有方差2σ的纯标准布朗运动，并得出到期日看涨期权的预期价格是：

)()1()(),(V 21)(d K d S e t S t T Φ--Φ=-πα

其中

t T d d t T t T K S d --=--++=σσσα1221,))(2/()/ln(

参数π是市场“价格杠杆”调节量，α是股票预期收益率。这一模型同样也没有考虑资金的时间价值。

Boness 在1964年也提出了类似的模型，他对股票收益假定了一个固定的对数分布，并且认识到风险保险的重要性。为简明，他假定“投资者不在乎风险”。他利用这一假设证明了用股票的预期收益率α来贴现最终期权的预期值。他的最终模型是：

)()(S t)V(S ,2)(1d K e d t T Φ-Φ=--α

其中，d1和d2如前面所定义。这一等式在形式上与后来的Black-Scholes 公式完全相同。唯一区别是α的用法，此处是股票的预期收益率而不是无风险收益率r 。假如Boness 将投资者不在乎风险的假设代以逻辑结论α=r ，他将推导出Black-Scholes 方程。当然，他的推导仍需建立在风险中性的假设基础上。

Samuelson 于1965年认识到，由于不同的风险特性，期权和股票的预期收益率一般来说是不同的他的欧式看涨期权的模型是：

)()(),(V 2)(1)(d K e d S e t S t T t T Φ-Φ=---βα

其中d1与d2的定义与前面相同，而当α=β时即为前面的Boness 模型。 Samuelson 和Merton 在1969年用一种资产组合选择的简单均衡模型检验了

期权定价理论，这种模型允许内生的确定股票和期权的预期收益。他们证明了期权间题可以用函数形式的“公共概率”项来表示，这种函数形式与用真实概率所表述的问题一样。以这种方式表示时，调整过的股票预期收益率和期权预期收益是一样的。这一方法使用了现在被认为是理所当然的估计期权的风险中性或偏好自由的发展成果。

2.2 Black-Scholes 期权定价模型

现代期权定价理论的革命发生在1973年，美国金融学家Black 和Scholes 在有效市场和股票价格遵循几何布朗运动等一系列假设条件下，运用连续交易保值策略推出了著名的Black-Scholes 定价模型。Black-Scholes 定价模型的核心在于设计了一个套期组合策略，使得期权市场投资的风险为零，这是对期权定价公式建模思路的高度概括。它告诉我们，如果构造了这样的套期组合，并且能够完全复制期权的收益及风险特性，那么下列两个量均应当与期权当前的公平价值相等:第一，构造该套期组合的当前成本：第二，该套期组合在期权到期日价值的期望值按无风险利率贴现的现值。

Black-scholes 期权定价模型的基本假设如下：

（1）允许使用全部所得卖空衍生证券；

（2）没有交易费用或税收；

（3）在衍生证券的有效期内没有红利支付；

（4）不存在无风险套利机会；

（5）证券交易是连续的；

（6）无风险利率r 为常数且对所有到期日均相同；

（7）股票价格遵循下述几何布朗运动：

SdW uSdt dS σ+=

其中，u 是股票的预期收益率，σ是股票价格波动率，u 和σ均为常数。dW 是一个维纳过程，即：

dt dW ε=

ε服从标准正态分布（即均值为0，标准方差为1的正态分布）。

Black 和Scholes 给出了标的资产为不支付红利的股票的衍生证券在时刻t 的价格f(S ，t)所满足的偏微分方程:

rf S

f S S f rS t f =??+??+??222221σ 这就是著名的“Black-Scholes 微分方程”。该方程的一个重要特性在于不包含股票的预期收益率尸，使其独立于投资者的偏好。Black-Scholes 、模型给出了所有的可以用标的变量定义的不同衍生证券的价格所满足的偏微分方程，不同的

衍生证券有着不同的边界条件。当所研究的衍生证券没有精确解析公式时，通常运用数值计算方法为其定价。在Black-Scholes模型中给出了欧式期权定价公式，但美式期权定价问题则要复杂的多.现在市场上存在的大量美式衍生证券，就常常找不到相应可行的解析公式来求解其价格，所以数值方法就称为了一种相当重要的衍生证券定价方法。

控制风险是Black-Scholes期权定价模型的重要意义之一。70年代以后，随着世界经济的不断发展和一体化进程的加快，汇率和利率的波动更加频繁，变动幅度也不断加大，风险也相应增加。控制和减小风险成为所有投资者孜孜以求的目标。Black-Scholes定价模型提出了能够控制风险的期权。同时，也为将数学应用于经济领域，创立更多的控制风险和减小风险的工具开辟了道路。Scholes把经济学原理应用于直接经营操作，堪称理论联系实际的典范。他们设计的定价公式为衍生金融商品交易市场的迅猛发展铺平了道路，也在一定程度上使衍生金融工具成为投资者良好的融资和风险防范手段，这对整个经济发展显然是有益的。期权定价理论是现代金融理论最为重要的成果之一，它集中体现了金融理论的许多核心问题，其理论之深、应用之广、令人惊叹。现代金融理论的发张趋势主要体现在：随机最优控制理论，鞍理论，脉冲最优控制理论，最优停时理论，智能优化等。由于期权定价理论在金融证券市场上的重要性，越来越多的数学家开始从数学角度研究Black-Scholes定价模型。而定价模型取决于原生资产价格的演化模型(例如Brown运动)。在连续时间情形，原生资产价格演化可以通过随机微分方程来描述，从而在此基础上，作为它的衍生物一期权的价格适合的是一个偏微分方程的定解问题。因此，我们可以很自然地想到把偏微分方程作为工具，导出期权的定价公式，对期权的价格结构作深入的定性分析，以及利用偏微分方程数值分析方法给出求期权的价格。随着计算机的先进性和普及性，数值方法在求解期权定价，特别是一些复杂的期权定价问题，如复合期权，选择期权等，显示出了其强大的优越性。

2.3 树图方法

在树图方法中，最常见的是二叉树参数模型。John C. Cox、Stephen A. Ross 以及Mark Rubinstein于1979年在论文《Option Pricing: A Simplified Approach》中首次提出了二项式模型（Binomial Model），该模型建立了期权定价数值法的基础。Cox在文献中首次提出了美式期权的二叉树方法，Black-Scholes期权定价模型虽然有许多优点，但是它的推导过程难以为人们所接受，而该方法的优点在于其比较简单、直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用。二叉树图方法用离散的模型模拟资产价格的连续运动，利用均值和方差的匹配来确定相关参数，然后从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。

二叉树期权定价模型和Black-Scholes期权定价模型，是两种相互补充的方法。二叉树期权定价模型推导比较简单，更适合说明期权定价的基本概念。二叉树期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：上涨或者下跌。虽然这一假设非常简单，但由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，因而二叉树期权定价模型适用于处理更为复杂的期权。随着要考虑的价格变动数目的增加，二叉树期权定价模型的分布函数就越来越趋向于正态分布，二叉树期权定价模型和Black-Scholes期权定价模型相一致。二叉树期权定价模型的优点，是简化了期权定价的计算并增加

了直观性，因此现在已成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。

随后Jarrow 和Hull 和Boyle 近似地提出了一种三叉树方法，这种方法讨论了二叉树方法的缺陷并进行修正，因此比二叉树方法更精确。

2.4 蒙特卡洛法

蒙特卡罗模拟方法是一种对欧式衍生资产估值方法，其基本思想是: 假设已知标的资产价格的分布函数，然后把期权的有效期限分为若干个小的时间间隔，借助计算机的帮助，可以从分布的样本中随机抽样来模拟每个时间间隔股价的变动和股价一个可能的运行路径，这样就可以计算出期权的最终价值。这一结果可以被看作是全部可能终值集合中的一个随机样本，用该变量的另一条路径可以获得另一个随机样本。更多的样本路径可以得出更多的随机样本。如此重复几千次，得到T 时刻期权价格的集合，对几千个随机样本进行简单的算术平均，就可求出T 时刻期权的预期收益。根据无套利定价原则，把未来T 时刻期权的预期收益T X 用无风险利率折现就可以得到当前时刻期权的价格：

)(e P T rT X E -=

其中，P 表示期权的价格， r 表示无风险利率，)E(X T 为T 时刻期权的预期收益。蒙特卡罗模拟方法的优点在于它能够用于标的资产的预期收益率和波动率的函数形式比较复杂的情况，而且模拟运算的时间随变量个数的增加呈线性增长，其运算是比较有效率的。但是，该方法的局限性在于只能用于欧式期权的估价，而不能用于对可以提前执行合约的美式期权。且结果的精度依赖于模拟运算次数。

2.5 其他数值方法

除了上述应用比较多的B-S 模型和二叉树模型外，姜礼尚系统地阐述了期权定价的数值差分方法。Brennan 、Sehwartz 和Courtadon 使用有限差分方法求解美式期权。Kim 、Jack 和Carr 提出了一种积分形式处理美式期权定价和自由边界问题的方法。Longstaff 、schwartz 使用最小二乘法技术，运用蒙特卡洛法模拟出美式期权定价问题，获得了很好的计算结果。D.Y .Tangman 和A.Gopaul 提出了一种新型快速的差分方法求解美式期权定价间题。另外还有许多关于期权定价问题的高精度数值方法。

3 各种期权定价理论的研究展望

3.1各种期权定价理论比较分析

上述各种定价方法从求解角度看可分为解析方法与数值方法，前者包括传统期权定价方法和Black-Scholes 方法；后者包括蒙特卡罗模拟方法、二叉树方法、有限差分方法、确定性套利方法、E-套利方法和区间定价方法。从应用的角度看可分为只适用完全金融市场的方法和既适用完全金融市场又适用非完全金融市场的方法，前者包括Black-Schole 方法、蒙特卡罗模拟、二叉树方法和有限差分

方法;后者包括确定性套利定价方法、E-套利定价方法和区间定价方法。

Black-Scholes期权定价方法的主要优点是：该方法能够得到套期保值参数和杠杆效应的解析表达式，从而为衍生资产的交易策略提供较清晰的定量结论,解析解本身没有误差,当需要计算的期权的数量较小时，直接使用Black-Scholes公式比较方便。但是，该方法也存在不足之处，即只能给出欧式期权的解析解，而且,该方法也难以处理期权价格依赖于状态变量历史路径及其它的一些较复杂的情况。

数值计算方法各有其优缺点。蒙特卡罗模拟方法的优点在于能处理较复杂的情况且计算的相对效率较高，但由于该方法是由初始时刻的期权值推导未来时刻的期权值，它只能用于欧式期权的计算，而不能用于对可以提前执行合约的美式期权。二叉树方法和有限差分方法是由期权的未来值回溯期权的初始值，因此可以用于美式期权的计算，但这两种方法不仅计算量大、计算效率低，而且难以计算期权依赖于状态变量历史路径的复杂情况。就二者之间的优劣比较而言，Geske-Shastrid的研究结果进一步表明，二叉方法更适用于计算少量期权的价值,而从事大量期权价值计算时有限差分方法更有效率。在非完全市场情况下，传统期权定价方法、Black-Scholes期权定价方法、二叉树期权定价方法、有限差分方法和蒙特卡罗模拟方法都不适用。衍生资产价格不是一个确定的值，而是一个区间。E -套利定价方法所得到的结果位于运用区间定价方法所得到的区间内。在完全金融市场情况下，这个区间就退化为一个点，这时衍生资产区间定价方法与二叉树定价方法和E-套利定价方法得到的结果是一致的。

二叉树定价方法是确定性套利定价方法、区间定价方法和E-套利定价方法的特殊情况，确定性套利定价方法、区间定价方法和E-套利定价方法是二叉树定价方法在非完全金融市场的推广，运用E-套利定价方法所得到的结果一定在运用区间定价方法所得到的区间内，确定性套利定价方法、区间定价方法和E-套利定价方法都既适用于完全金融市场，又适用于非完全的金融市场。

3.2 期权定价理论的研究展望

无论是在连续时间模型框架下，还是在离散时间模型框架下；无论在完全市场假设下，还是在非完全市场假设下；无论是对欧式期权、美式期权、亚式期权的定价，还是对其它复杂的衍生资产的定价，无套利定价原则都是一个普遍适用的基本原则。正如我国金融工程学科的主要创导者之一，宋逢明教授在《金融工程原理》中所述：“不懂得无套利均衡分析，就是不懂得现代金融学的基本方法论,当然，也就不懂得金融工程的基本方法论”。可以说有关各类期权定价方法的研究还在不断的探讨和发展，因为从理论上讲期权发展是无止境的，从实际上讲期权是复杂多变和应用广泛的，因此，研究探讨期权定价方法的共性和个性，对于深入研究复杂期权的定价有重要意义。

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