无穷级数复习讲义

第七章 无穷级数

考试内容

常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 函数的傅里叶（Fourier ）系数与傅里叶级数 狄利克雷（Dirichlet ）定理 函数在 上的傅里叶级数 函数在 上的正弦级数和余弦级数 考试要求

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与 级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5。 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握 sin x ，cos x ，ln(1)x +及arctan x 的麦克劳林（Maclaurin ）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。

一.无穷级数概论

1.无穷级数定义

设{}n a 为一个数列，称1231............n n a a a a +∞

==++++∑为无穷级数.

注记1：但1

n n a +∞

=∑只是一种形式上的记法.只有讨论了收敛性，才有意义.

2.无穷级数收敛的定义

(1)部分和、部分和数列的定义

对任意n N +

∈，称数列{}n a 前n 项和1

n

n k k S a ==∑为级数1

k k a +∞

=∑的部分和.

称数列{}n S 为级数1

k k a +∞

=∑的部分和数列.

(2)无穷级数收敛的定义

若级数1

k k a +∞=∑的部分和数列{}n S 是收敛的，则称级数1

k k a +∞

=∑是收敛的，并且记

1

lim k

n n k a

S +∞

→+∞

==∑.

3.无穷级数收敛的性质

(1)无穷级数收敛的必要条件I

若无穷级数1n n a +∞

=∑收敛，则其部分和数列{}n S 有界.反之不然.

事实上，由于1

n n a +∞

=∑收敛，因此，其部分和数列{}n S 收敛，于是，{}n S 有界.但{}

n S 有界，{}n S 却未必收敛.例如，级数()

1

1

1n n +∞

-=-∑部分和数列为1

1(1)2

n n S -+-=，{}

n S 有界，但()

1

1

1n n +∞

-=-∑不收敛.

例1.11

n n

+∞

=∑不收敛.

事实上，

[][][][][][][]222222

log 1log log log log 1

2log 1111

1......2341111111111111 (2345678212122112421111)

1......1......1log 24822222n n n n n n n S n

n n --=+++++

?????

???=+++++++++++++ ? ? ? ?

+-+????????>+++++=++++=+→+∞ ()

n →+∞于是，{}n S 不收敛，即11

n n

+∞

=∑不收敛.

(2)无穷级数收敛的必要条件II 若1n n a +∞

=∑收敛，则lim 0n n a →∞

=.

事实上，假设1

n n a +∞

=∑部分和为n S ，则{}n S 收敛，记lim n n S S →∞

=，于是，

()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a S S S S S S --→∞

→∞

→∞

→∞

=-=-=-=.

但反之结论不成立.例如，虽然1

lim 0n n →∞=，但无穷级数11n n

+∞

=∑不收敛.

(3)无穷级数收敛的必要条件III

若无穷级数1n n a +∞

=∑收敛，则对其任意加括号都收敛，而且级数和不变.

假设加括号后的级数写为

()()(

)

()

1112223111

2

1212121

..............................n n n

i i i i i i i i i i n a a

a a a a a a a a a a --+∞

++++++=++++++++++++=+++∑这里，00i =.则其部分和为n n

i S S '=.由于1

n n a +∞

=∑收敛，于是，{}n S 收敛，于是，其任意子列{}

n i S 收敛，且收敛值与{}n S 的一样，即级数()

11121

......n n n

i i i n a a a --+∞

++=+++∑收敛，且()

11121

1

......n n n i i i n n n a a a a --+∞

+∞

++==+++=∑∑.

(4)无穷级数收敛的充分必要条件I

无穷级数1n n a +∞

=∑收敛当且仅当lim 0n n a →∞

=且{}2n S (或{}21n S -)收敛.

必要性是显然的.至于充分性，我们利用了这样一个事实：数列{}n a 收敛当且仅当221lim lim n n n n a a -→∞

→∞

=.现在，{}2n S 收敛了，而2122n n n S S a -=-，而()20n a n →→=∞，

于是，212lim lim n n n n S S -→+∞

→+∞

=.故{}n S 也收敛.若{}21n S -收敛，也是同理的.

(5)无穷级数收敛的充分必要条件II

无穷级数1n n a +∞

=∑收敛当且仅当lim 0n n a →∞

=且()2121

n n n a a +∞

-=+∑收敛.

或者说()2211

n n n a a +∞

+=+∑也可以.

必要性是显然的.至于充分性，若()2121

n n n a a +∞

-=+∑收敛，则其部分和数列

()2121n k k k a a -=??

+????

∑是收敛的，但()21221n

k k n k a a S -=+=∑，因此，{}2n S 收敛.又lim 0n n a →∞

=，

因此，由(4)的结论，无穷级数1

n n a +∞=∑收敛.若()2211

n n n a a +∞

+=+∑收敛，则其部分和数列

()2211n k k k a a +=??

+????

∑也收敛.又()21

221121111n n k k k n k k a a a a S a +++==+=-=-∑∑，

因此，{}21n S +也收敛.又由于lim 0n n a →∞

=，因此，由(4)，无穷级数1

n n a +∞

=∑收敛.

4.无穷级数的运算性质

(1)若无穷级数1

n n a +∞

=∑和1

n n b +∞

=∑收敛，则()1

n n n a b +∞

=+∑也收敛，且

()1

1

1

n

n n n n n n a

b a b +∞

+∞+∞

===+=+∑∑∑.

事实上，假设1

n n a +∞

=∑的部分和为n A ，1

n n b +∞

=∑的部分和为n B ，

()1

n

n n a

b +∞

=+∑部分和为

n C ，则显然有n n n C A B =+.由于1

n n a +∞

=∑收敛，因此，lim n n A →∞，lim n n B →∞存在.于是，lim n

n C →∞

存在，且lim lim lim n n n n n n C A B →∞

→∞

→∞

=+，即()1n n n a b +∞=+∑收敛，且()1

1

1

n n n n n n n a b a b +∞+∞+∞

===+=+∑∑∑.

(2)设常数0c ≠，则1

n n ca +∞=∑收敛性与1

n n a +∞

=∑相同，且若1

n n a +∞=∑收敛，则1

1

n n n n ca c a +∞+∞

===∑∑.

二.正项级数

1.正项级数的定义

每一项都非负的级数称为正项级数. 2.正项级数收敛的基本定理

正项级数收敛当且仅当其部分和数列有界.

事实上，若1n n a +∞

=∑收敛，则其部分和{}n S 收敛，因此，{}n S 有界，这是容易知道

的。另一方面，{}n S 是一个单调不减的数列，如果{}n S 有界，则{}n S 有极限，即1n n a +∞

=∑是收敛的。

3.比较判别法及其极限形式

(1)比较判别法

设1

n n a +∞

=∑，1

n n b +∞

=∑都是正项级数.假设存在一个正常数c 以及正整数N ，使得

当n N >，总有n n a cb ≤.若1

n n b +∞=∑收敛，则1n n a +∞

=∑收敛.

事实上，我们假设1

n n a +∞

=∑的部分和为n A ，1

n n b +∞

=∑的部分和为n B ，则对任意n N >，

1111111111N n N n

N N N n N N

n k k k k k k k k k k n

k k N k k N k k k k N k k A a a a cb a cb cb cb a cb cB ==+==+====+==????

=+≤+=-++=-+ ? ?????∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑若1

n n b +∞

=∑收敛，则{}n B 有界，于是，{}n A 有界。于是，1

n n a +∞

=∑收敛.

(2)比较判别法的极限形式

设1n n a +∞

=∑和1n n b +∞

=∑为正项级数.如果lim n

n n

a l

b →∞=.当0l =，若1n n b +∞=∑收敛，则1n

n a +∞

=∑收敛.当0l <<+∞，则1

n n a +∞

=∑与1

n n b +∞

=∑的敛散性相同.当l =+∞，若1

n n a +∞

=∑收敛，则

1

n

n b

+∞

=∑收敛.

事实上，若0l =，存在一个0N >，当n N >，有

1n

n

a b <，即n n a b <.由比较判别法，若1

n n b +∞

=∑收敛，则1

n n a +∞

=∑收敛.若0l <<+∞，则存在一个0N >，使得当n N >，

由1322n n a l l b <<，即13

22n n n lb a lb <<.若1n n b +∞=∑收敛，由比较判别法，1n n a +∞

=∑收敛.若1n n a +∞

=∑收敛，由比较判别法，1n n b +∞

=∑收敛.若l =+∞，则lim 0n

n n b a →∞=.则由1n n a +∞

=∑收敛，1

n

n b

+∞=∑收敛.

4.比值判别法及其极限形式

(1)假设1n n a +∞

=∑为正项级数.若存在一个0N >和01r <<，使得当n N >，有

1

n n

a r a +≤，

则1n n a +∞

=∑收敛.若存在一个1r >和0N >，使得当n N >，有1

n n a r a +≥，则1

n n a +∞

=∑发散. 事实上，若01r <<，当1n N ≥+，有

()()2231122331........k n N n n n n n n n k N a ra r ra r a r ra r a r a r a --------+≤≤=≤=≤≤≤≤ 由于01r <<，因此，级数1

1n N n r

+∞

--=∑是收敛的.由比较判别法，级数1

n n a +∞

=∑收敛.

若1r >，当1n N ≥+，类似地，有1

1n N n N a r

a --+≥.由于1r >，因此，级数1

1

n N n r +∞

--=∑是发散的.由比较判别法，级数1

n n a +∞

=∑是发散的.

(2)比较判别法的极限形式

设1n n a +∞

=∑为正项级数.假设1

lim

n n n

a l a +→+∞=.若1l <，则1n n a +∞=∑收敛.若1l >，则1n n a +∞

=∑发散.若1l =，此法失效.

事实上，若1l <，任取1l α<<(例如1

2

l α+=

)，则存在一个0N >，当n N >，有1

n n a a α+<.由于01α<<，由比值判别法，1n n a +∞

=∑收敛.若1l >，任取1l α>>(例如1

2l α+=

)，则存在一个0N >，当n N >有，有11n n a a α+>>.由比值判别法，1n n a +∞

=∑发散.若1l =，取1n a n =，则1lim

1n n n

a a +→+∞=，但级数1n n a +∞

=∑发散.又取21

n a n =，则1lim

1n n n a a +→+∞=发散.但21111(1)1n n n n n <=---，1n >，而21111

(1)1n n n n n <=---，

2111111n

k k k n =??-=-< ?-??∑，因此，211k n

+∞

=∑是收敛的.这说明当1l =，此法失效了. 备注：比较判别法及其极限形式也适用于任意项级数.这不难从证明过程中看出.

这时候，表述应该相应叙述如下：

假设数列{}n a 满足1

lim n n n

a l a +→∞=.若1l <，则1n n a +∞

=∑收敛(事实上，它还绝对收敛).

若1l >，则1

n n a +∞

=∑发散.若1l =，此法失效.

事实上，若1

lim 1n n n a l a +→∞=<，按照正项级数的比较判别法，级数1n n a +∞

=∑是收敛的，

由于0,22n n n n

n a a a a a +-≤≤，因此，级数12n n n a a +∞=+∑与1

2n n n a a +∞

=-∑收敛.于是，

1122n n n n n n n a a a a a +∞

+∞

==?+-?

=- ???

∑∑收敛. 若1l >，对任意1l α<<，总有常数0N >，使得当n N >，有

1

n n

a a α+>.这样，当n N >，有21121......n N n n n N a a a a ααα----+>>>>→+∞，于是，n a →0.这样，级数1n n a +∞

=∑是发散的.

若1l =，道理同上.

型7。1 判定数项级数的敛散性 1。（02,3）设0≠n u ，且1lim

=∞→n

n u n ，则级数)11

()1(11+++-∑n n n u u

(A)发散； (B)绝对收敛；

(C)条件收敛； (D)收敛性不能判定． 2。（04,4）设

∑∞

=1

n n

a

为正项级数，下列结论中正确的是

(A) 若n n na ∞

→lim =0，则级数

∑∞

=1

n n

a

收敛。

（B ） 若存在非零常数λ，使得λ=∞

→n n na lim ，则级数

∑∞

=1

n n

a

发散。

(C) 若级数

∑∞

=1

n n

a

收敛，则0lim 2

=∞

→n n a n 。

3。（06,4）若级数

1

n

n a

∞

=∑收敛，则级数

（A ）

1

n

n a

∞

=∑收敛。 （B ）

1(1)

n

n n a ∞

=-∑收敛。

（C ）

11

n n n a a ∞

+=∑收敛。

（D ）

1

1

2n n n a a ∞

+=+∑收敛。

4。（09,4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞

=，则

（A ）当1

n

n b

∞

=∑收敛时，

1

n n

n a b

∞

=∑收敛。 （B ）当

1

n

n b

∞

=∑发散时，

1

n n

n a b

∞

=∑发

散。 (C)当

1

n

n b

∞

=∑收敛时，

22

1

n n

n a b

∞

=∑收敛。 (D)当

1

n

n b

∞

=∑发散时，

221

n n

n a b

∞

=∑发散。

题型7。2 证明数项级数的敛散性

5。

题型7。3 求幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域

6。（08,4）已知幂级数

()0

2n

n n a x ∞

=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数

()0

3n

n n a x ∞

=-∑的收敛域为 。

题型7。4 求幂级数的和函数

7。（02,7） １．验证函数∑∞

==0

3)!3()(n n n x x y （+∞<<∞-x ）满足微分方程x

e y y y =+'+''；

２．求幂级数∑∞

==03)!

3()(n n

n x x y 的和函数．

8。（05,12）求幂级数

∑∞

=--+

-121))

12(1

1()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f(x)

9。（07,10）设幂级数

n

n n a x

∞

=∑在(,)-∞+∞内收敛，其和函数y (x )满足

240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===

(I)证明：22

,1,2,;1

n n a a n n +=

=+L (II)求y (x )的表达式。

10。（10,10）求幂级数121(1)21

n n

n x n -∞

=--∑的收敛域及和函数。 题型7。5 求数项级数的和

11。（09，9）设n a 为曲线n

y x =与()1

1,2,.....n y x n +==所围成区域的面积，记

12211

1

,n n n n S a S a ∞∞

-====∑∑，求1S 与2S 的值。

题型7。6 求函数的幂级数展开式

12。 （01,8）设)(x f =001arctan 2

1=≠?

??+x x x x x 将)(x f 展开成x 的 幂级数，并求∑∞=--12

41)1(n n

n 的和．

13。（03,12）将函数x x

x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞

=+-01

2)1(n n n 的和。

14。（06,12）将函数()2

2x

f x x x

=

+-展开成x 的幂级数。 题型7。7 傅里叶级数

15。（03,4）设)(cos 0

2

ππ≤≤-=

∑∞

=x nx a

x n n

，则2a = 1 。

16。（08,11）()2

1(0)f x x x π=-≤≤，用余弦级数展开，并求

()

1

2

1

1n n n -∞

=-∑

的和。