2020-2021北京市人大附中高二(上)期末数学试卷-普通用卷

2020-2021学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷

1. 已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( )

A. 若m//α，n//α，则m//n

B. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//β

C. 若m//α，m//β，则α//β

D. 若m ⊥α，n ⊥α，则m//n

2. 已知复数z =

(1?i)(3i?1)

i

(i 为虚数单位)，则下列说法正确的是( )

A. 复数z 在复平面内对应的点落在第二象限

B. z ?

=?4?2i C. z ?

?2z?4

的虚部为1 D. |z|=2√2

3. 如果直线2x +y =0与直线x +my ?1=0垂直，那么m 的值为( )

A. ?2

B. ?1

2

C. 1

2

D. 2

4. 某邮局有4个不同的信箱，现有5封不同的信需要邮寄，则不同的投递方法共有( )

A. 45种

B. 54种

C. C 54

种 D. A 54种

5. 若抛物线的准线方程为x =?7，则抛物线的标准方程为( )

A. x 2=?28y

B. x 2=28y

C. y 2=?28x

D. y 2=28x

6. 已知二项式(2x ?√x )n (n ∈N ?)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：

5，则x 3的系数为( )

A. 14

B. ?14

C. 240

D. ?240

7. 在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 中点，则AE ????? ?CF

????? =( ) A. 0

B. 1

2

C. ?3

4

D. ?1

2

8. 如图，设椭圆E ：x 2

a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)的右顶点为

A ，右焦点为F ，

B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点

C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是( )

A. 12

B. 13

C. 23

D. 1

4

9. 若复数z =

1+mi 1+i

(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值

范围是______ ．

10. 已知双曲线C ：x 2

a 2?y 2

b

2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =√5

2

x ，且与椭圆

x 2

12

+

y 23

=1有公共焦点．则曲线C 的方程为______．

11.在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，将这个菱形沿对角线BD折成60°的二

面角，这时线段AC的长度为______ ．

12.若直线3x?4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB=120°，

(O为坐标原点)，则r=______．

13.用1，2，3组成四位数，其中恰有一个数字出现两次的四位数有______ 个.

14.如图，若正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为8，对角线

B1C的长为10，点D为AC的中点，则点B1到平面C1BD的

距离为______ ，直线AB1与直线BD所成角的余弦值为

______ ．

15.在平面直角坐标系中，已知定点O(0,0)、A(1,1)、B(2,0)，

△OAB的外接圆为圆M，直线l的方程为y=kx?2．

(Ⅰ)求圆M的方程；

(Ⅱ)若直线l与圆M相切，求k的值；

(Ⅲ)若直线l与圆M相交于E，F两点，|EF|=√2，求k的值．

16.如图，在四棱锥E?ABCD中，平面ADE⊥平面ABCD，

O，M为线段AD，DE的中点，四边形BCDO是边长

为1的正方形，AE=DE，AE⊥DE．

(Ⅰ)求证：CM//平面ABE；

(Ⅱ)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；

(Ⅲ)点N在直线AD上，若平面BMN⊥平面ABE，求线段AN的长．

17.已知椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√3

2

．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN是平行四边形，求k的值．

18.(x+2y)7展开式中系数最大的项是()

A. 68y7

B. 112x3y4

C. 672x2y5

D. 1344x2y5

19.设F为双曲线C：x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直

径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为()

A. √2

B. √3

C. 2

D. √5

20.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=6，点P在平面AB1D1内，A1P=3√2，

则点P到BC1距离的最小值为()

A. 3√2

B. 2√3

C. √6

D. 3

21.已知直线l1：4x?3y+12=0和直线l2：x=?1，则抛物线y2=4x上一动点P到

直线l1和直线l2的距离之和的最小值是______ ．

22.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{?1，0，1}，i=1，2，3，4，5}，则集合A中

满足条件

“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”元素个数为______．

23.已知椭圆G：x2

6+y2

b2

=1(0

分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|.当b变化时，给出下列三个命题：

①点P的轨迹关于y轴对称；

②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；

③|OP|的最小值为2，

其中，所有正确命题的序号是______．

24.已知椭圆W：x2

4m +y2

m

=1的左顶点为A(?2,0)，动直线l与椭圆W交于不同的两点

P，Q(不与点A重合)，点A在以PQ为直径的圆上，点P关于原点O的对称点为M．

(Ⅰ)求椭圆W的方程及离心率；

(Ⅱ)求证：直线PQ过定点；

(Ⅲ)(ⅰ)求△PQM面积的最大值；

(ⅰ)若△MPQ为直角三角形，求直线l的方程．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：A 、m ，n 平行于同一个平面，故m ，n 可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A 错误；

B 、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B 错误；

C 、α，β平行于同一条直线m ，故α，β 可能相交，可能平行，故C 错误；

D 、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D 正确． 故选：D ．

通过举反例可得A 、B 、C 不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D 正确，从而得出结论．

本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题．

2.【答案】C

【解析】解：z =(1?i)(3i?1)

i

=

3i?3i 2?1+i

i

=

2+4i i

=

2i+4i 2i =4?2i ．

对于A ，复数z 在复平面内对应的点(4,?2)落在第四象限，故A 错误； 对于B ，z ?

=4+2i ，故B 错误；

对于C ，

z ?

?2

z?4

=2+2i 2i

=

2i+2i 22i 2

=1?i ，∴z ?

?2

z?4的虚部是1，故C 正确；

对于D ，|z|=√16+4=2√5，故D 错误． 故选：C ．

求出z =4?2i.从而复数z 在复平面内对应的点(4,?2)落在第四象限；分别求出z ?，z ?

?2

z?4，

|z|，由此能求出结果．

本题考查命题真假的判断，考查复数的几何意义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3.【答案】A

【解析】解：直线2x +y =0与直线x +my ?1=0垂直， 则1×2+m ×1=0，

解得m =?2． 故选：A ．

根据两直线垂直的条件列方程求出m 的值． 本题考查了两直线垂直的应用问题，是基础题．

4.【答案】A

【解析】解：根据题意，某邮局有4个不同的信箱，则每封信都有4种不同的投递方法， 则5封不同的信，有4×4×4×4×4=45种不同的不同的投递方法， 故选：A ．

根据题意，分析可得每封信都有4种不同的投递方法，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．

5.【答案】D

【解析】 【分析】

本题主要考查了抛物线的标准方程．属基础题． 根据准线方程求得p ，则抛物线方程可得． 【解答】

解：∵准线方程为x =?7

∴?

p

=?7 p =14

∴抛物线方程为y 2=28x 故选D ．

6.【答案】C

【解析】解：由二项式(2x √x )n (n ∈N ?)的展开式中的通项公式为T r+1=C n

r

?(?1)r ?2

n?r

?x

n?

3r

2

，

它第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，∴C n 1

C n

2=2

5，求得n =6，

故通项公式为T r+1=C 6r ?(?1)r ?26?r ?x 6?3r

2．

令6?

3r 2

=3，求得r =2，故x 3的系数为C 62?24=240，

故选：C ．

先由题意利用二项式系数的性质求得n 的值，可得通项公式，在通项公式中，令x 的幂指数等于3，求得r 的值，可得x 3的系数．

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

7.【答案】D

【解析】解：AE ????? ?CF ????? =12(AB ????? +AC ????? )?(12AD ?????? ?AC ????? ) =14AB ????? ?AD ?????? +14AC ????? ?AD ?????? ?12AB ????? ?AC ????? ?1

2AC ????? ?AC ????? =1

4(1×1×cos60°+1×1×cos60°?2×cos60°?2) =?12

故选：D ．

欲求AE ????? ?CF ????? ，先把要求数量积的两个向量表示成以四面体的棱所在向量为基底的向量的表示形式，写出向量的数量积，问题转化成四面体的棱向量之间的关系，因为棱长及其夹角可知，从而得到结果．

本题考查空间向量的数量积，解题的关键是把要用的向量写成以已知几何体的一个顶点为起点的向量为基地的形式，再进行运算．

8.【答案】B

【解析】解：如图，连接OM ，

∵椭圆E ：x 2

a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆E 在第二象限上的点，

直线BO 交椭圆E 于点C ，直线BF 平分线段AC 于M ， ∴OM 为△ABC 的中位线， ∴△OFM∽△AFB ，且|OF|

|FA|=1

2， ∴c

a?c =1

2，

解得椭圆E 的离心率e =c

a =1

3． 故选：B ．

连接OM ，OM 为△ABC 的中位线，从而△OFM∽△AFB ，且|OF|

|FA|=1

2，进而c

a?c =1

2，由

此能求出椭圆E的离心率．

本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆、三角形中位线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

9.【答案】(?1,1)

【解析】解：∵z=1+mi

1+i =(1+mi)(1?i)

(1+i)(1?i)

=1+mi?i?mi2

2

=1+m

2

+m?1

2

i在复平面内对应的点在

第四象限，

∴{1+m

2

>0

m?1

2

<0

，解得?1

则实数m的取值范围是(?1,1)．故答案为：(?1,1)．

利用复数的运算法则求出z=1+mi

1+i =1+m

2

+m?1

2

i，根据复数z在复平面内对应的点在第

四象限，列出不等式组，能求出实数m的取值范围．

本题考查实数的取值范围的求法，考查复数的运算法则、几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10.【答案】x2

4?y2

5

=1

【解析】解：双曲线C：x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b

a

x，

由一条渐近线方程为y=√5

2x，可得b

a

=√5

2

，①

椭圆x2

12+y2

3

=1的焦点为(?3,0)，(3,0)，

可得a2+b2=9，②

由①②可得a=2，b=√5，

即双曲线的方程为x2

4?y2

5

=1，

故答案为：x2

4?y2

5

=1．

由双曲线的渐近线方程可得b

a =√5

2

，①，求得椭圆的焦点，可得a2+b2=9，②，解方

程可得a，b，进而得到双曲线的方程．

本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11.【答案】√3

【解析】解：在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，

将这个菱形沿对角线BD折成60°的二面角，

取BD中点O，连接AO，CO，

则AO⊥BD，CO⊥BD，AO=CO=√4?1=√3，

∴∠AOC是这个菱形沿对角线BD折成60°的二面角的平面

角，

∴∠AOC=60°，

∴AC=√3．

故答案为：√3．

取BD中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，AO=CO=√3，∠AOC是这个菱形沿对角线BD折成60°的二面角的平面角，从而∠AOC=60°，由此能求出AC．

本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．

12.【答案】2

【解析】解：若直线3x?4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A、B两点，O为坐标原点，

且∠AOB=120°，

则圆心(0,0)到直线3x?4y+5=0的距离d=rcos120°

2=1

2

r，

即

√32+42=1

2

r，

解得r=2，

故答案为：2．

若直线3x?4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点(圆心)到直线3x?4y+5=0的距离d=1

2

r，代

入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．

本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心(0,0)到直线3x?4y+5=

0的距离d=1

2

r是解答的关键．

13.【答案】36

【解析】解；根据题意，分3步进行分析：

①在3个数字中选出1个，重复出现，有C31=3种选法，

②在个十百千四个数位中选出2个，安排重复出现的数字，有C42=6种选法，

③将剩余的2个数字安排到其他两个数位，有A22=2种情况，

则其中恰有一个数字出现两次的四位数3×6×2=36个，

故答案为：36．

根据题意，分3步进行分析：①在3个数字中选出1个，重复出现，②在个十百千四个数位中选出2个，安排重复出现的数字，③将剩余的2个数字安排到其他两个数位，由分步计数原理计算可得答案．

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．

14.【答案】12√13

132√3 5

【解析】解：由正三棱柱的性质知，BB1⊥平面A1B1C1，

∵CD?平面ABC，∴BB1⊥CD，

∵正△ABC，且D为AC的中点，∴BD⊥CD，

又BB1∩BD=B，BB1、BD?平面B1BD，

∴CD⊥平面B1BD，

∵CC1//BB1，CC1?平面B1BD，BB1?平面B1BD，

∴CC1//平面B1BD，

∴点C1到平面B1BD的距离即为点C到平面B1BD的距离CD=1

2

AC=4，∵BD⊥AC，平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥C1D，

∵B1C=10，BC=8，∴CC1=BB1=6，

∴C1D=√CC12+CD2=√36+16=2√13，

设点B1到平面C1BD的距离为d，

∵V C

1?B1BD =V B

1?C1BD

，

∴1

3×4×1

2

BB1?BD=1

3

d?1

2

C1D?BD，即4×6=d×2√13

∴d=12√13

13

，

故点B1到平面C1BD的距离为12√13

13

．

取A1C1的中点E，连接AE，B1E，则B1E//BD，∴∠AB1E或其补角即为直线AB1与直线BD所成角，∵AD=C1E，AD//C1E，

∴四边形ADC1E为平行四边形，

∴AE//C1D，AE=C1D=2√13，

∵BD⊥C1D，∴B1E⊥AE，

∴tan∠AB1E=AE

B1E =√13

4√3

=√13

2√3

，

∴cos∠AB1E=2√3

5

，

∴直线AB1与直线BD所成角的余弦值为2√3

5

．

故答案为：12√13

13；2√3

5

．

先证CD⊥平面B1BD，再证CC1//平面B1BD，可推出点C1到平面B1BD的距离即为点C 到平面B1BD的距离CD，然后利用等体积法，即可得解；取A1C1的中点E，连接AE，B1E，易知∠AB1E或其补角即为所求，再证B1E⊥AE，由tan∠AB1E=AE B

1E

，得解．

本题考查点到面的距离、异面直线夹角的求法，熟练掌握利用等体积法处理点到面的距离，以及利用平移法找到异面直线所成的角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

15.【答案】解：(Ⅰ)∵圆M经过点O(0,0)、A(1,1)、B(2,0)，

∴OA⊥AB，|OA|=|AB|，

∴圆心为M(1,0)，半径为r=1，

则圆M的方程为(x?1)2+y2=1；

(Ⅱ)∵直线l与圆M相切，

∴圆心M(1,0)到直线l：y=kx?2的距离为1．

∴

√k2+1=1，解得k=3

4

；

(Ⅲ)设圆心M(1,0)到直线l的距离为d，

∵直线l 与圆M 相交于E ，F 两点，|EF|=√2， ∴(|EF|2

)2

+d 2=r 2，得(√22

)2+d 2=1，则d =√2

2

，

∴|k?2|√k 2+1

=

√2

2

，解得k =1或k =7．

【解析】(Ⅰ)由已知可得圆心坐标及半径，则圆M 的方程可求； (Ⅱ)由圆心到直线的距离等于半径列式求得k 值；

(Ⅲ)设圆心M(1,0)到直线l 的距离为d ，由弦长可得弦心距，再由点到直线的距离公式列式求解．

本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．

16.【答案】解：(Ⅰ)如图取线段AE 中点P ，连接

BP 、MP ，

∵M 为DE 中点，∴MP//AD ，MP =1

2AD ， 又∵四边形BCDO 是边长为1的正方形，∴BC//CO ，BC =CO ，

∴BC//MP ，BC =MP.∴四边形BCMP 为平行四边形，∴CM//BP ．

∵CM ?面ABE ，BP ?面ABE ， ∴CM//平面ABE ；

(Ⅱ)连接EO ，∵AE =DE ，O 为AD 中点，∴EO ⊥AD ． ∵EO ?面ADE ，面ADE ⊥面ABCD ，面ADE ∩面ABCD =AD ． ∴EO ⊥面ABCD ．

又∵OB ?面ABCD ，OD ?面ABCD ，∵EO ⊥BO ，EO ⊥OD ，

如图建立空间直角坐标系．A(0,?1,0)，B(1,0，0)，C(1,1，0)，D(0,1，0)，E(0,0，1)，

E(0,12,12

)

设面ABE 的法向量为m ??? =(x,y,z)，AB ????? =(1,1,0),AE ????? =(0,1,1) 由{AB ????? ?m ??? =x +y =0

AE ????? ?m ??? =y +z =0

，可取m

??? =(1,?1,1)． DE ?????? =(0,?1,1)，|cos |=|DE ?????? ?m ??? ||m ??? ||DE ?????? |=√6

3

． ∴直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值为：√6

3

；

(Ⅲ)设ON ?????? =λOD ?????? N(0,λ,0),NB

?????? =(1,?λ,0)，MB ?????? =(1,?12,?1

2)． 设面BMN 的法向量为n ? =(a,b,c) 则有{n ? ?NB ?????? =a ?λb =0n

? ?MB ?????? =a ?12

b ?1

2

c =0 可得n

? =(λ,1,2λ?1) ∵平面BMN ⊥平面ABE ，∴m ??? ?n ? =0，解得λ=2

3． ∴AN =5

3．

【解析】(Ⅰ)取线段AE 中点P ，连接BP 、MP ，可得四边形BCMP 为平行四边形，即可

(Ⅱ)连接EO 可得EO ⊥BO ，EO ⊥OD ，以O 为原点建立空间直角坐标系．A(0,?1,0)，B(1,0，0)，C(1,1，0)，D(0,1，0)，E(0,0，1)，E(0,12,1

2)，求得面ABE 的法向量为m ??? =(1,?1,1).由|cos

?????? >|=|DE ?????? ?m ??? |

|m ??? ||DE

?????? |=

√6

3

即可． (Ⅲ)设ON ?????? =λOD ?????? N(0,λ,0),NB ?????? =(1,?λ,0)，MB ?????? =(1,?1

2,?1

2).求得面BMN 的法向量为n

? =(λ,1,2λ?1)，由m ??? ?n ? =0解得λ=2

3.即可． 本题主要查空间线面位关、面面位置关系、二面角等基础识，空间向应用，同时查空间想能力和运算求能力．属于中档题．

17.【答案】解：(Ⅰ)由题意得a =2，e =c a =√3

2，所以c =√3．

因为a 2=b 2+c 2， 所以b =1， 所以椭圆C 的方程为

x 24

+y 2=1．

(Ⅱ)若四边形PAMN 是平行四边形， 则 PA//MN ，且|PA|=|MN|． 所以 直线PA 的方程为y =k(x ?2)， 所以 P(3,k)，|PA| =√k 2+1． 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 由{y =kx +√3x 2+4y 2=4

得 (4k 2+1)x 2+8√3kx +8=0，

由Δ>0，得 k 2>1

2， 且x 1+x 2=?

8√3k

4k 2+1

，x 1x 2

=

8

4k 2+1

．

所以|MN|=√(k 2+1)[(x 1+x 2)2?4x 1x 2] =√(k 2+1)

64k 2?32(4k 2+1)2

．

因为|PA|=|MN|，

所以 √(k 2+1)64k 2?32

(4k 2+1)2=√k 2+1．

整理得 16k 4?56k 2+33=0，

解得 k =±√32

，或 k =±√11

2

．

经检验均符合Δ>0，

但k =??√3

2

时不满足PAMN 是平行四边形，舍去．

所以 k =√32

，或 k =±√11

2

．

【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．

(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b ，即可得到椭圆的方程；

(Ⅱ)直线PA 的方程为y =k(x ?2)，得到 P(3,k)，求出|PA| =√k 2+1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．

18.【答案】C

【解析】解：T r+1=?7r x 7?r (2y)r =2r ?7r x 7?r y r ． 由{2r?1?7r?1≤2r ?7

r

2r ?7r ≤2r+1?7

r+1，可得：133≤r ≤163． 解得r =5．

∴(x +2y)7展开式中系数最大的项是T 6=25?75x 2y 5=672x 2y 5．

故选：C ． T r+1=

?7r x

7?r

(2y)r =

2r ?7r x 7?r y r

.由{2r?1?7r?1≤2r ?7r

2r ?7r ≤2r+1?7

r+1，解出即可得出．

本题考查了不等式的解法、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19.【答案】A

【分析】

本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．

方法一：根据题意画图，由图形的对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．

方法二：由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|=|OF|列式求C的离心率．

【解答】

方法一：

解：设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ⊥x轴

又∵|PQ|=|OF|=c，∴|PA|=c

2

，∴PA为以OF为

直径的圆的半径，

∴A为圆心，|OA|=c

2

∴P(c

2,c

2

)，又P点在圆x2+y2=a2上，

∴c2

4+c2

4

=a2，即c2

2

=a2，∴e2=c2

a2

=2

∴e=√2，故选A．

方法二：

如图，以OF为直径的圆的方程为x2+y2?cx=0，又圆O的方程为x2+y2=a2，

∴PQ所在直线方程为．

把x=代入x2+y2=a2，得PQ=，

再由|PQ|=|OF|，得，即4a2(c2?a2)=c4，∴e2=2，解得e=．

故选A．

20.【答案】B

【解析】解；建立如图所示空间直角坐标系，

则平面AB1D1的方程为x?y+z=6，

又点P在平面AB1D1内，且A1P=3√2，则P的

{x ?y +z =6(x ?6)2+y 2+(z ?6)2=18

． 设P(x 0,x 0+z 0?6,z 0)，则PC 1??????? =(?x 0,12?x 0?z 0,6?z 0)， BC 1??????? =(?6,0,6)，

∴点P 到BC 1距离d =|PC 1??????? ×BC 1

????????

|BC 1

???????? ||=√(12?x 0?z 0)2+12

(6?x 0?z 0)2， ∵x 0+z 0=6+y 0，0≤y 0≤6，

∴x 0+z 0∈[6,12]，设x 0+z 0=t ，则t ∈[6,12]，

则(12?t)2+1

2(6?t)2=3

2t 2?30t +162=3

2(t ?10)2+12， ∴当t =10时，d min =2√3．

此时{x 0+z 0=10

(x 0?6)2+(z 0?6)2=2，即P(1,4，1)．

故选：B ．

以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设出P 点坐标，求出PC 1??????? ,BC 1??????? 的坐标，借助于向量的外积求解点P 到BC 1距离的最小值． 本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，考查运算求解能力，是中档题．

21.【答案】16

5

【解析】解：如图所示，

过点F(1,0)作FQ ⊥l 1，交抛物线于点P ，垂足为Q ，过点P 作PM ⊥l 2，垂足为M ．

则|PF|=|PM|，可知：|FQ 是|抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值． |FQ|=

|4×1?0+12|√42+(?3)2

=

165

．

故答案为：16

5．

如图所示，过点F(1,0)作FQ ⊥l 1，交抛物线于点P ，垂足为Q ，过点P 作PM ⊥l 2，垂足为M.则|PF|=|PM|，可知：|FQ 是|抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值．

本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22.【答案】130

【解析】解：由x i∈{?1,0，1}，i=1，2，3，4，5}，集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+ |x3|+|x4|+|x5|≤3”，

由于|x i|只能取0或1，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：

①x i中有2个取值为0，另外3个从?1，1中取，共有方法数：?52×23；

②x i中有3个取值为0，另外2个从?1，1中取，共有方法数：?53×22；

③x i中有4个取值为0，另外1个从?1，1中取，共有方法数：?54×2．

∴总共方法数是：?52×23+?53×22+?54×2=130．

故答案为：130．

从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论x i所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．

本题考查了组合数的计算公式及其思想、集合的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

23.【答案】①③

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的定义和方程的运用，以及对称性，考查数形结合的思想方法，以及运算

能力，属于中档题．运用椭圆的定义可得P也在椭圆y2

6+x2

6?b2

=1上，分别画出两个椭

圆的图形，即可判断①正确；

通过b的变化，可得②不正确；由图象可得当P的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，|OP|的值取得最小，即可判断③．

【解答】

解：椭圆G：x2

6+y2

b2

=1(0

F1(√6?b2,0)和F2(?√6?b2,0)，

短轴的两个端点分别为B1(0,?b)和B2(0,b)，

设P(x,y)，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|，由椭圆定义可得，|PB1|+|PB2|=2a=2√6>2b，

即有P在椭圆y2

6+x2

6?b2

=1上．

对于①，将x换为?x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，

故①正确；

对于②，由图象可得轨迹关于x ，y 轴对称，且0

不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，故②不正确；

对于③，由图象可得，当P 满足x 2=y 2，即有6?b 2=b 2，即b =√3时， |OP|取得最小值，可得x 2=y 2=2，即有|OP|的最小值为2，故③正确． 故答案为①③．

24.【答案】(Ⅰ)解：因为椭圆w ：

x 24m

+

y 2m

=1的左顶点为A(?2,0)，

所以4m =4，所以m =1， 所以椭圆w 的方程为

x 24

+y 2=1，

因为a =2，b =1，所以c =√3 所以椭圆w 的离心率为√3

2．

(Ⅱ)证明：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 当PQ ⊥x 轴时，Q(x 1,?y 1)， 因为点A 在以PQ 为直径的圆上， 所以PA ⊥QA ，所以PA

????? ?QA ????? =0， 所以(?2?x 1)2?y 12

=0，

因为

x 1

24

+y 12

=1，

所以5x 12

+16x 1+12=0，

解方程得x 1=?6

5或x 1=?2，

因为l 不过A(?2,0)，所以x 1=?2舍去， 所以x 1=?6

5，所以直线PQ 的方程为x =?6

5． 当PQ 与x 轴不垂直时，

设PQ 的方程为y =kx +n(k ≠0)，

代入椭圆方程化简得(4k 2+1)x 2+8knx +4n 2?4=0， 因为PA ????? ?QA ????? =0，

所以(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2=0，

所以(k 2+1)x 1x 2+(kn +2)(x 1+x 2)+n 2+4=0， 所以(k 2

+1)4n 2?4

4k 2+1+(kn +2)?8kn

4k 2+1+n 2+4=0，

所以12k 2?16kn +5n 2=0， 所以(6k ?5n)(2k ?n)=0， 所以n =2k 或n =6

5k ， 当n =2k 时，

直线l 的方程为y =k(x +2)过A(?2,0)，不合题意，舍去． 当n =6

5k 时，直线l 的方程为y =k(x +6

5) 综上，直线PQ 过定点(?6

5,0)．

(Ⅲ)解：(i)连接QO ，因为O 为PM 中点，

所以S △PQM =2S △POQ =2×1

2×6

5|y 1?y 2|=6

5|y 1?y 2|， 当PQ ⊥x 轴时，由(Ⅱ)知P(?65,4

5),Q(?6

5,?4

5)， 所以S △PQM ==6

5×|4

5×2|=4825．

当PQ 与x 轴不垂直时，S △PQM =2S △POQ =2×1

2×6

5|kx 1?kx 2|=6

5|k||x 1?x 2| =6

5|k|√(x 1+x 2)2?4x 1x 2=6

5|k|4√4k 2+1?n 2

4k 2+1

=2425

√64k 4+25k 2

4k 2+1

，

令t =4k 2+1>1，(∵k ≠0) 所以S △PQM =

1225

√

16t 2?7t?9

t =

1225

√16?7t

?

9t

=

1225

√?9(1

t

+

718

)2

+16+9×

7218，

因为0<1

t <1， 所以0

25，

综上，当直线l ：x =?6

5时，△PQM 的面积最大，最大值为48

25． (Ⅲ)(ii)因为△MPQ 为直角三角形，设T(?6

5,0)， 下面分三种情况讨论：

①当∠QPM =90°时，则TP ????? ?OP ????? =0，

因为TP ????? =(x 1+65

,y 1),OP ????? =(x 1,y 1)， 所以x 12+6

5x 1+1?

x 1

24

=0，所以15x 1

2

+24x 1+20=0，△<0，所以无解． 所以∠QPM 不可能为直角． ②当∠PQM =90°时， 当PQ ⊥x 轴时，

由椭圆的对称性知∠PQM =90°， 此时l 的方程为x =?6

5，

当PQ 与x 轴不垂直时，k PQ ?k QM =?1， 又k PQ ?k QM =y 2?y 1

x

2?x 1

?

y 2+y 1x 2+x 1

=

y 22?y 12x 22?x 1

2=?1

4

≠?1，

所以，此时∠PQM ≠90°． ③当∠QMP =90°时，

因为PQ 的方程为y =k(x +6

5)， 因为k PQ ?k QM =?1

4，所以k QM =?1

4k ， 又因为k MP ?k QM =?1，所以k MP =4k ， 所以直线PM 的方程为y =4kx ， 得P(25,8k

5

)，

因P(25,

8k

5

)在椭圆上，所以4

25

+4×

64k 225

=4，

解得k =±√6

4

，

所以直线l 的方程为y =±√6

4(x +6

5)．

综上，直线l 的方程为y =√6

4x +3√6

10

,y =?

√6

4

x ?

3√6

10

或x =?6

5．

【解析】(Ⅰ)求出椭圆左顶点为A(?2,0)，推出m ，得到椭圆方程，然后求解离心率即可．

(Ⅱ)设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，当PQ ⊥x 轴时，Q(x 1,?y 1)通过PA ⊥QA ，利用PA ????? ?QA ????? =0，求出直线PQ 的方程为x =?65.当PQ 与x 轴不垂直时，设PQ 的方程为y =kx +n(k ≠0)，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合向量的数量积求出直线方程，得到直线PQ 过定点(?6

5,0)．

(Ⅲ)(i)连接QO ，因为O 为PM 中点，求出三角形的面积