RGB图像分解与重构
RGB图像的小波分解与重构在图像压缩中的应用
**
摘要：利用MA TLAB的小波工具箱实现了对真彩图像的分解与重构，通过探究不同尺度下高低频分量对于RGB图像的影响来选择适当简易的方法将真彩图像进行适当的压缩，采用这种方法压缩后的图像压缩比高、压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征基本不变，且在传递过程中可以抗干扰。
关键词:小波分解；分解重构；高低频分量；图像压缩
The application of RGB image's decomposition and
reconstruction in image compression
**
Using MATLAB wavelet toolbox is the way to achieve the image's decomposition and reconstruction. In order to select appropriate and easy way to compress a true color ,exploring the high-low-frequency component of the RGB image at different scales is a very important step to go through. Using this method referred above, it's obvious that the image's compression ratio is high , the compression speed is rather fast ,the compressed signal as well as the characteristics of the image can be maintained substantially constant,at the same time, in the process of transmission,the handled image shows a very good characteristic of antijamming. Keywords: Wavelet decomposition decomposition and reconstruction
High and low frequency components image compression
引言
小波变换是一种信号的时间——尺度分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，具有多分辨率分析的特点，在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，是一种窗口大小固定不变但其形状可变，时间窗和频率窗都可变的时频局部化分析方法。即再低频部分具有较高的频率分辨率和时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分。
小波分析就是把信号分解成低频al和高频dl两部分，在分解中，低频al中失去的信息由高频dl捕获。在下一层的分解中，又将al分解成低频a2和高频d2两部分，低频a2中失去的信息由高频d2捕获，如此类推下去，可以进行更深层次的分解。其中，二维小波函数是通过一维小波函数经过张量积变换得到的，二维小波函数分解是把尺度j的低频部分分解成四部分：尺度j+1的低频部分和三个方向（水平、垂直、斜线）的高频部分。
它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，通过小波分解将图片的信息分层提取，重组后信息的丢失很少，重组时也能够将各分层的信息组合，也能实现重组后图像的伸缩（包括水平、垂直和对角方向）变换。对于图像来说，如果需要进行快速或实时传输以及大量存储，就需要对图像数据进行压缩。在同样的通信容量下，如果图像数据压缩后在传输，就可以传输更多的图像信息。
一、算法及算法原理：
尺度函数和小波的两尺度方程：
∑
-=k k k x p x )2()(φφ
∑-=
k
k
k x q
x )2()(φ?
从而：
∑=
k
k k
z q z Q 2
1
)(
∑=
k
k
k z p z P 2
1
)(
??
?
?
??--=)()()()
()(z Q z Q z P z P z M 如果)(z M 对于所有1=z 可逆，则有：
??
?
?
??--=-)()()()()
(1
z H z H z G z G z M T
由)(z G 、)(z H 可以求得k g 、k h ，从而得到Mal-lat 快速算法。 多分辨率分析：
分解过程：
重构过程：
用公式可以表示为：
分解过程：
∑+-=l
l k n
l n k c a
c ,12, ∑+-=
l
l k n
l n k c b
d ,12,
其中：n n g a -=2
1，n n h b -=2
1，
c N-M
c N-M+1
c N-1
c N …
d N-M
d N-M+1 d N-1 c N
c N- 1
c N-2
c N-M
… d N- 1 d N-2 d N-M
以直接生成原图像。称为小波系数，由其可
n k c ,
∑=
l
n k n
k x c
x f )()(,,?
??=n k n k f c ,,,?
重构过程：
()∑--++=
l
l k l n l k l
n n k d q c p
c ,2,2,1
处理图像所用的函数： wavedec2函数:
1.功能:实现图像(即二维信号)的多层分解，多层,即多尺度.
2.格式: [c,s]=wavedec2(X,N,Lo_D,Hi_D)
3.参数说明:对图像X 用wname 小波基函数实现N 层分解,
函数的输出为c,s.其中c 为各层分解系数,s 为各层分解系数长度,也就是大小. 相应地wrcoef 函数则是实现二维小波系数的单支重构，"a"指的是重构系数为低频。
关于Matlab 的说明：
本次软件运行环境是：Matlab 2009a ，根据图像数据矩阵解释方法的不同,MA TLAB 把处理的图像分为三类:变址图像、灰度图像和真彩图像。真彩色是指在组成一幅彩色图像的每个像素值中,有R,G ,B 三个基色分量,每个基色分量直接决定显示设备的基色强度,这样产生的彩色称为真彩色。
MA TLAB 中真彩图像存放的不同数据类型按数据精度分为双精度(double)和整数类(Unit8或Unit16)。当数据精度为double 时图像矩阵X 的数组大小为(m×n)×3,元素取值为[0,1]间的线性量化浮点数,直接决定色彩的强度,所需内存为64×(m×n)×3;像素pij 的颜色有以下三色合成:X(i,j,1)决定红色强度,X(i,j,2)决定绿色强度,X(i,j,3)决定蓝色强度。
二、小波分解、高低频分量影响探究：
作图结果如下：
像素490*368
像素748*562
三、探究总结：
1、图像被分解的尺度越高，清晰度越差。
2、低频反映的是图像的基本轮廓，而高频只是细节。
3、图像的像素越大，对多尺度分解具有相当大的阻抗作用。高分辨率图像的清晰度随着分解尺度的加大，图像失真效果不明显。
四、重构和分解程序程序：
clc;clear all;
X0=imread('d:\yangzhong.jpg');
X=rgb2gray(X0);
[c,s]=wavedec2(X,4,'sym5');
a1=wrcoef2('a',c,s,'sym5',1);a2=wrcoef2('a',c,s,'sym5',2);
a3=wrcoef2('a',c,s,'sym5',3);a4=wrcoef2('a',c,s,'sym5',4);
subplot(4,2,1);image(a1);title('1尺度低频');box off;axis off;
subplot(4,2,2);image(a2);title('2尺度低频');box off;axis off;
subplot(4,2,3);image(a3);title('3尺度低频');box off;axis off;
subplot(4,2,4);image(a4);title('4尺度低频');box off;axis off;
%重构尺度为1时的高频各分量
hd1=wrcoef2('h',c,s,'sym5',1); %重构尺度为1时的水平上的高平分量
vd1=wrcoef2('v',c,s,'sym5',1); %重构尺度为1时的垂直上的高平分量
dd1=wrcoef2('d',c,s,'sym5',1); %重构尺度为1时的对角上的高平分量
%重构尺度为2时的高频各分量
hd2=wrcoef2('h',c,s,'sym5',2); %重构尺度为2时的水平上的高平分量
vd2=wrcoef2('v',c,s,'sym5',2); %重构尺度为2时的垂直上的高平分量
dd2=wrcoef2('d',c,s,'sym5',2); %重构尺度为2时的对角上的高平分量
%重构尺度为3时的高频各分量
hd3=wrcoef2('h',c,s,'sym5',3); %重构尺度为3时的水平上的高平分量
vd3=wrcoef2('v',c,s,'sym5',3); %重构尺度为3时的垂直上的高平分量
dd3=wrcoef2('d',c,s,'sym5',3); %重构尺度为3时的对角上的高平分量
%重构尺度为4时的高频各分量
hd4=wrcoef2('h',c,s,'sym5',4); %重构尺度为4时的水平上的高平分量
vd4=wrcoef2('v',c,s,'sym5',4); %重构尺度为4时的垂直上的高平分量
dd4=wrcoef2('d',c,s,'sym5',4); %重构尺度为4时的对角上的高平分量
%画出尺度为4时的高频各分量的图像
subplot(4,2,5);imshow(X0);title('原始RGB图像');box off;axis off;
subplot(4,2,6);imshow(hd4);title('4尺度水平高频');box off;axis off; subplot(4,2,7);imshow(vd4);title('4尺度垂直高频');box off;axis off; subplot(4,2,8);imshow(dd4);title('4尺度对角高频');box off;axis off;
五、二维小波图像压缩实现：
图像压缩的方法通常可分为有失真编码和无失真编码两大类：无失真编码方法如改进的
霍夫曼编码。有失真编码方法的还原图像较之原始图像存在着一些误差，但视觉效果是可
以接受的。常见的方法有预测编码、变换编码、量化编码、信息熵编码、分频带编码和结构
编码等等。而将小波分析引入图像压缩的范畴也是一个重要的手段，并且有着它自己的特点。
它的特点在于压缩比高、压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征基本不变，且在传递
过程中可以抗干扰等等。由原理可知，一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的
子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的。结合上一步所做的分析可知：对于一
个图像来说，表现一个图像的最主要的部分是低频部分，所以最简单的压缩方法是利用小波
分解去掉图像的高频部分而只保留低频部分。
压缩后所得结果：
Name Size Byte Class 压缩前图像256×256 524288 Double array
第一次压缩图像135×135 145800 Double array
第二次压缩图像75×75 45000 Double array
结果分析：
通过以上分析可以看出，第一次压缩我们是提取原始图像中小波分解第一层的低频信
息，此时压缩效果较好，压缩比较小（约为1/3大小）。第二次压缩实提取第一层分解低频部
分的低频部分（即第二层的低频部分）,其压缩比较大（约为1/12），压缩效果在视觉上也基
本还行。上面的保留原始图像中低频信息的压缩办法只是一种最简单的压缩办法。它不需经
过其他处理即可获得较好的压缩效果。当然，对于上述的图像压缩还可以只提取小波分解的
第三、第四层的低频信息。从理论上说，可以获得任意压缩比的压缩图像，只不过在对压缩
比和图像质量都有较高要求时，这种方法就不如其他编码方法了。
六、参考文献：
[1]李涛、贺勇军、刘志俭等编，MATLAB工具箱应用指南，电子工业出版社，2000
[2] 尚涛、石端伟、安宁等，工程计算可视化与MATLAB实现，武汉大学出版社，2002
[3] 王爱玲、叶明生、邓秋香编著，MATLAB R2007图像处理技术与应用，电子工业出版社，2008
[4] 陈武凡著. 小波分析及其在图像处理中的应用. 科学出版社. 2002.4
[5]冉启文著. 小波变换与分数傅里叶变换理论及应用. 哈尔滨工业大学出版社. 2001
七、附录程序：
（图像压缩部分）
clc;clear;
%装入图像
syms X;
X=imread('d:\xuejing.jpg');
disp('压缩前图像X的大小');
whos('coast')
%对图像用小波进行层小波分解
[c,s]=wavedec2(X,2,'bior3.7');
%提取小波分解结构中的一层的低频系数和高频系数cal=appcoef2(c,s,'bior3.7',1);%水平方向ch1=detcoef2('h',c,s,1);%垂直方向
cv1=detcoef2('v',c,s,1);%斜线方向
cd1=detcoef2('d',c,s,1);
%各频率成份重构
a1=wrcoef2('a',c,s,'bior3.7',1);
h1=wrcoef2('h',c,s,'bior3.7',1);
v1=wrcoef2('v',c,s,'bior3.7',1);
d1=wrcoef2('d',c,s,'bior3.7',1);
c1=[a1,h1;v1,d1];
subplot(1,2,1);title('原始图像');
image(X);axis square;
%显示分频信息
subplot(1,2,2);
image(c1);axis square;
title ('分解后低频和高频信息');
%进行图像压缩
%保留小波分解第一层低频信息
%首先对第一层信息进行量化编码
ca1=appcoef(c,s,'bior3.7',1);
ca1=wcodemat(ca1,440,'mat',0);
%改变图像高度并显示
ca1=0.5*ca1;
subplot(223);image(ca1);
colormap(map);axis square;
title('第一次压缩图像');
disp('第一次压缩图像的大小为：');
whos('ca1')
%保留小波分解第二层低频信息进行压缩
ca2=appcoef2(c,s,'bior3.7',2);
%首先对第二层信息进行量化编码
ca2=wcodemat(ca2,440,'mat',0);
%改变图像高度并显示
ca2=0.25*ca2;
subplot(224);
image(ca2);colormap(map);axis square; title('第二次压缩图像');
disp('第二次压缩图像的大小为：');
whos('ca2')
小波分解与重构代码
load leleccum; s = leleccum(1:3920); % 用db1小波函数对信号进行三尺度小波分解 [C,L]=wavedec(s,2,'db1'); figure(1); plot(s); title('leleccum原始信号'); % 提取尺度1的低频系数 cA1 = appcoef(C,L,'db1',1); %用小波分解框架[C.L]计算1层低频系数的近似值，小波基为db1 % 提取尺度2的低频系数 cA2 = appcoef(C,L,'db1',2); figure(2); subplot(2,1,1); plot(cA1); title('尺度1的低频系数'); subplot(2,1,2); plot(cA2); title('尺度2的低频系数'); % 提取尺度1的高频系数 cD1 = detcoef(C,L,1); %用小波分解框架[C.L]计算1层高频系数的近似值，小波基为db1 % 提取尺度2的高频系数 cD2 = detcoef(C,L,2); figure(3); subplot(2,1,1); plot(cD1); title('尺度1的高频系数'); subplot(2,1,2); plot(cD2); title('尺度2的高频系数');
我给你大概标注了一下，但是你的程序有问题， % 小波图像压缩 - RGB 图像 clear all; close all; % 读取图像 im = input('输入图像');%输入图像名称，要加分号 X=imread(im); % 输入要分解的小波层数和小波 n=input('输入要分解的小波层数');%输入所要分解的层数 wname = input('输入小波名称');%输入小波名称，也要加分号 x = double(X); NbColors = 255; map = gray(NbColors); x = uint8(x); %把RGB图像转换成灰度图 % x = double(X); % xrgb = 0.2990*x(:,:,1) + 0.5870*x(:,:,2) + 0.1140*x(:,:,3); % colors = 255; % x = wcodemat(xrgb,colors); % map = pink(colors); % x = uint8(x); % 对图像x进行n维小波分解 x=imread(’ D:\a.jpg’); map=x; n=3 wname='sym5'; [c,s] = wavedec2(x,n,wname); % 使用默认参数选择各层不同的阈值 alpha = 1.5; m = 2.7*prod(s(1,:)); [thr,nkeep] = wdcbm2(c,s,alpha,m) % 使用上面的阈值和硬阈值处理进行图像压缩 [xd,cxd,sxd,perf0,perfl2] = wdencmp('lvd',c,s,wname,n,thr,'h'); disp('压缩效率'); disp(perf0); % 重构（下面这个地方有问题，你这里是原始图像小波变换后进行重构，xd才是小波阀值压缩后重构的图像,cxd，sxd，是c，s经过阀值处理后得到的小波分解结构，也就是说xd=waverec2(cxd,sxd,wname);这个wdencmp函数不需要另外进行重构，你下面那些关于重构的都没用，而下面压缩后的图像才是重构后的图像，） R = waverec2(c,s,wname); rc = uint8(R); % 显示原始图像和压缩图像 subplot(221), image(x); colormap(map); title('原始图像') subplot(222), image(xd); colormap(map); title('压缩后的图像') % 显示结果 xlab1 = ['图像压缩后保留能量百分比',num2str(perfl2)];
小波信号分解与重构的Matlab程序
首先要说明的一点是，虽然是自己编写Matlab程序，但并不是说一点也不用Matlab的自带函数。我们要编写的是实现小波变换的主要功能函数，而绘图等基本功能还是要用到Matlab函数的。而且，根据小波变换的滤波器组原理，原始信号要通过低通、高通滤波器处理，这里就涉及到卷积这一运算步骤。卷积——FFT算法的实现，相信很多朋友都能用 Matlab、C语言等来实现，不过与Matlab自带的用机器语言编写的FFT程序相比，运算速度一般会慢几倍、几十倍。所以，我的程序里边涉及卷积的就直接调用Matlab的conv()函数了。 我们知道，小波变换的一级分解过程是，原始信号分别进行低通、高通滤波，再分别进行二元下抽样，就得到低频、高频（也称为平均、细节）两部分系数；而多级分解则是对上一级分解得到的低频系数再进行小波分解，是一个递归过程。以下是一维小波分解的程序： function [cA,cD] = mydwt(x,lpd,hpd,dim); % 函数 [cA,cD]=MYDWT(X,LPD,HPD,DIM) 对输入序列x进行一维离散小波分解，输出分解序列[cA,cD] % 输入参数：x——输入序列； % lpd——低通滤波器； % hpd——高通滤波器； % dim——小波分解级数。 % 输出参数：cA——平均部分的小波分解系数； % cD——细节部分的小波分解系数。 cA=x; % 初始化cA，cD cD=[]; for i=1:dim cvl=conv(cA,lpd); % 低通滤波，为了提高运行速度，调用MATLAB 提供的卷积函数conv() dnl=downspl(cvl); % 通过下抽样求出平均部分的分解系数
小波变换的基本原理
10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达
8.2小波分解与重构
8.2信号分解与合成的Mallat算法 一维信号的分解与合成 1. 正交镜像滤波器 H伽1IH㈣1 X Higk W --- L 血b&nd o K n A 2. 一维信号的小波分解与重构算法 (Mallat ' herringbone 算法) X
、二维信号的分解与重构 rl 比 horizontal HL LL venic aJ HH
三、用Matlab实现图像的分解与合成 1. dwt2 与idwt2 dwt2为一层二维离散小波分解函数，调用格式： [cA,cH,cV,cD]=dwt2(X, 'wname' %用指定小波基对图像X进行一层二维离散小波变换分解。 wname'为小波基的名称，cA为近似 (低频)图像矩阵，cH, cV, cD分别为小波分解的水平方向细节系数，垂直方向细节系数，对角线方向细节系数。 [cA,cH,cV,cD]=dwt2(X丄o_D,Hi_D) %用指定的低通分解滤波器Lo_D和高通分解滤波 器Hi_D对图像X进行二维离散小波分解。Lo_D与
Hi_D 的长度必须一致。 idwt2 为一层二维离散小波重构函数，调用格式为： X=idwt2(cA,cH,cV ,cD,'wname') % 用指定小波重构图像X ，wname 为小波基的名称 X=idwt2(cA,cH,cV ,cD,Lo_R,Hi_R) % 用指定低通重构滤波器Lo_R 和高通重构滤波器Hi_R 重构图像X，Lo_R 与Hi_R 的长度必须一致。 2. wavedec2与vaverec2 wavedec2为多层二维离散小波分解函数，其调用 格式为： [C,S]=wavedec2(X,N,'wname') % 用指定小波基对图像X 进行N 层二维离散小波分解。N 为正整数，C为小波分解矢量，S为相应的标记矩阵。 C = [ A(N) | H(N) | V(N) | D(N) | ... H(N-1) | V(N-1) | D(N-1) | ... | H(1) | V(1) | D(1) ]. A = approximation coefficients H = horizontal detail coefficients V = vertical detail coefficients D = diagonal detail coefficients
matlab图像分解与重构
%程序段： clear all A=imread('鬼兰.jpg') %读入原图 B=rgb2gray(A) %转灰度图像newmap=rgb2gray(A) C=double(B); %转浮点型 nbcol=size(B,1); [cA1,cH1,cV1,cD1]=dwt2(C,'db1'); %第一次分解dec1d=[cA1,cH1;cV1,cD1]; [cA2,cH2,cV2,cD2]=dwt2(cA1,'db1'); %第二次分解 dec2d=[cA2,cH2;cV2,cD2] [cA3,cH3,cV3,cD3]=dwt2(cA2,'db1'); %第三次分解 dec3d=[cA3,cH3;cV3,cD3] %由二维小波分解重构原始图像 t1=size(dec3d) %第一次重构 X1=idwt2 (cA3,cH3,cV3,cD3,'db1',t1) t2=size(dec2d) %第二次重构 X2=idwt2 (X1,cH2,cV2,cD2,'db1',t2) t3=size(dec1d) %第三次重构 X3=idwt2 (X2,cH1,cV1,cD1,'db1',t3) %在同一窗口中显示以上各图像subplot(2,4,1),imshow(A),title('原图') subplot(2,4,2),imshow(B),title('灰度图像') subplot(2,4,3),imshow(dec1d,[ ]),title ('第一次分解后图像') subplot(2,4,4),imshow(dec2d,[ ]) ,title('第二次分解后图像') subplot(2,4,5),imshow(dec3d,[ ]),title('第三次分解后图像') subplot(2,4,6),imshow(X1,[ ]),title ('第一次重构') subplot(2,4,7),imshow(X2,[ ]),title ('第二次重构') subplot(2,4,8),imshow(X3,[ ]),title ('第三次重构') %db1分解及重构图像：
小波实验报告一维Haar小波2次分解
一、题目：一维Haar 小波2次分解 二、目的：编程实现信号的分解与重构 三、算法及其实现：离散小波变换 离散小波变换是对信号的时－频局部化分析，其定义为：/2200()(,)()(),()()j j Wf j k a f t a t k dt f t L R φ+∞---∞=-∈? 本实验实现对信号的分解与重构： （１）信号分解：用小波工具箱中的dwt 函数来实现离散小波变换，函数dwt 将信号分解为两部分，分别称为逼近系数和细节系数（也称为低频系数和高频系数）,实验中分别记为cA1,cD1，它们的长度均为原始信号的一半，但dwt 只能实现原始信号的单级分解。在本实验中使用小波函数db1来实现单尺度小波分解，即： [cA1,cD1]＝dwt(s,’db1’)，其中s 是原信号;再通过[cA2,cD2]＝dwt(cA1,’db1’)进行第二次分解，长度又为cA2的一半。 （２）信号重构：用小波工具箱中的upcoef 来实现，upcoef 是进行一维小波分解系数的直接重构,即： A1 = upcoef('a',cA1,'db1'); D1 = upcoef('a',cD1,'db1')。 四、实现工具：Matlab 五、程序代码： %装载leleccum 信号 load leleccum; s = leleccum(1:3920); %用小波函数db1对信号进行单尺度小波分解 [cA1,cD1]=dwt(s,'db1'); subplot(3,2,1); plot(s); title('leleccum 原始信号'); %单尺度低频系数cA1向上一步的重构信号 A1 = upcoef('a',cA1,'db1'); %单尺度高频系数cD1向上一步的重构信号 D1 = upcoef('a',cD1,'db1'); subplot(3,2,3); plot(A1); title('单尺度低频系数cA1向上一步的重构信号'); subplot(3,2,5); plot(D1); title('单尺度高频系数cD1向上一步的重构信号'); [cA1,cD1]=dwt(cA1,’db1'); subplot(3,2,2); plot(s); title('leleccum 第一次分解后的cA1信号'); %第二次分解单尺度低频系数cA2向上一步的重构信号 A2= upcoef('a',cA2,'db1',2); %第二次分解单尺度高频系数cD2向上一步的重构信号 D2 = upcoef('a',cD2,'db1',2); subplot(3,2,4); plot(A2);
小波分解与重构原理
“小波工程应用”实验报告 一维信号离散小波分解与重构（去噪）的VC实现 一、目的 在理解了离散小波变换的基本原理和算法的基础上，通过设计VC程序对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。 二、基本原理 1、信号的小波分解与重构原理 在离散小波变换(DWT)中，我们在空间上表示信号，也就是说对于每一个在上表示的信号能用在上面提到的两个空间中的基函数来表示。 Where and are the coefficients of the scale metric space (j-1) which are obtained after the Decomposing the coefficient of the scale metric space j . Analogously we could reconstruct the by and . 我们在尺度度量空间对系数进行分解得到在尺度度量空间的两个系数 和。同样的，我们也能从两个系数和通过重构得到系数。
如上图中的分解与重构我们可以通过一定的滤波器组来实现（也就是小波变换算法）。当小波和尺度在空间内是正交的，我们就可以用内积公式计算得到系数和: 下面是内积计算方法的具体公式： 具体的系数计算过程如下: 对于上面的小波分解过程，通过分别设计高通滤波器和低通滤波器两组滤波器的系数(数组g[]和h[])即可实现，特别是对于离散小波变换，程序算法相对简单。而重构也只是分解的逆过程，重构算法和分解的算法是相对应而互逆的。 2、小波去噪原理
Matlab中图像函数大全
图像增强 1. 直方图均衡化的Matlab 实现 1.1 imhist 函数 功能：计算和显示图像的色彩直方图 格式：imhist(I,n) imhist(X,map) 说明：imhist(I,n) 其中，n 为指定的灰度级数目，缺省值为256；imhist(X, map) 就算和显示索引色图像X 的直方图，map 为调色板。用stem(x,coun ts) 同样可以显示直方图。 1.2 imcontour 函数 功能：显示图像的等灰度值图 格式：imcontour(I,n),imcontour(I,v) 说明：n 为灰度级的个数，v 是有用户指定所选的等灰度级向量。 1.3 imadjust 函数 功能：通过直方图变换调整对比度 格式：J=imadjust(I,[low high],[bottom top],gamma) newmap=imadjust(map,[low high],[bottom top],gamma) 说明：J=imadjust(I,[low high],[bottom top],gamma) 其中，gamma 为校正量r，[low high] 为原图像中要变换的灰度范围，[bottom top] 指定了变换后的灰度范围；newmap=imadjust(map,[low high],[bottom top],gamm a) 调整索引色图像的调色板map 。此时若[low high] 和[bottom top] 都为2×3的矩阵，则分别调整R、G、B 3个分量。
1.4 histeq 函数 功能：直方图均衡化 格式：J=histeq(I,hgram) J=histeq(I,n) [J,T]=histeq(I,...) newmap=histeq(X,map,hgram) newmap=histeq(X,map) [new,T]=histeq(X,...) 说明：J=histeq(I,hgram) 实现了所谓“直方图规定化”，即将原是图象I 的直方图变换成用户指定的向量hgram 。hgram 中的每一个元素都在[0,1] 中；J=histeq(I,n) 指定均衡化后的灰度级数n ，缺省值为64；[J,T]=histeq(I,...)返回从能将图像I 的灰度直方图变换成图像J 的直方图的变换T ；newma p=histeq(X,map) 和[new,T]=histeq(X,...) 是针对索引色图像调色板的直方图均衡。 2. 噪声及其噪声的Matlab 实现 imnoise 函数 格式：J=imnoise(I,type) J=imnoise(I,type,parameter) 说明：J=imnoise(I,type) 返回对图像I 添加典型噪声后的有噪图像J ，参数type 和parameter 用于确定噪声的类型和相应的参数。 3. 图像滤波的Matlab 实现 3.1 conv2 函数 功能：计算二维卷积
小波图像分解与合成的设计报告内容
小波图像分解与合成的设计报告内容 小波图像分解与合成的设计报告内容 一、小波图像分解与合成及阈值测试概述 (一)、haar小波与Daubechies小波分解与重构概述 根据haar函数定义，可得出当N=2时，哈尔(haar)正规化变换矩阵为，因为haar矩阵是正交矩阵，具可分离变换性质，对二维的像素矩阵，可由连续2次运用一维的haar小波变换来实现，如对图像像素矩阵的每一行求变换后，再对其每一列求变换可得二维haar小波变换,这叫标准分解，如果交替地对每一行和每一列像素值进行变换，则为非标准分解。并且可利用矩阵形式的优点，对1×N的像素矩阵分解成若干个1×2的矩阵与上述N=2的haar正规化变换矩阵作一维的haar小波变换，减少计算量，实现haar小波分解。因为正规化的haar变换矩阵为对称变换矩阵，其逆变换矩阵和正变换的相同，只要把原来每次变换后得到的矩阵数值再作一次变换，则可以实现重构。Haar小波在时域上是不连续的，因此分析性能并不很好，但它的计算简单。这里程序采用非标准分解方法。在变换矩阵中，第一列变换得到图像像素均值，为图像像素低频分量，第二列得到图像像素差值，为高频分量，原像素值第i对像素分解的低频和高频分量值分别存在矩阵的i和N/2+i处。重构时取回这两个数值，再与逆变换矩阵相乘存回原处，则实现重构。 根据Daubechies小波的定义，可设计出一组满足正交化要求的滤波器，利用卷积模板实现低通和高通功能，主要步骤为： 1．利用Matlab中的Daubechies小波滤波器计算函数dbaux求出滤波器作模板系数，对dbN,滤波器长度为2N，这里求db9,其滤波器长度为18。 2．由于图像像素只有有限的2N个非零值，就需要解决边界问题。Matlab软件里缺省的分解模式sym采用对称周期化扩展技术。也就是将图像的四个边界先做对称处理的矩阵拓展，避免了边界的不连续性。如图（这里以256×256为例,即从标号0到255）： _________|______________________________________|______________ |—|—|—|—|—|—|—|———|——|——|——|——|——|——|——| |2 |1 |0 |0 |1 |2 |3 |......|252 |253 |254 |255 |255 |254 |253 | |—|—|—|—|—|—|—|———|——|——|——|——|——|——|——| _________|______________________________________|______________ 对1×M的矩阵像数值，其dbN一次变换(低通、高通)后输出的总长度为M+2(N-1),矩阵拓展长度为M+4×(N-1)。如对1×256，一次变换后低通、高通系数总长度为272，则矩阵需对称拓展至288再作卷积运算。 3．将模板上系数与矩阵(一维)对应象素相乘再求和(卷积运算)。 4．将所得数存到相应位置。 5．模板右移两个像素，再做同样计算，直至计算完最后2N个像素为止。 分解(正变换)与重构(逆变换)的滤波器可在MA TLAB中用以下命令得到： 逆变换的低通滤波器rh=dbaux(N) 逆变换的高通滤波器rg(n)=－(－1)^n×rh(2N－n+1); (n=1,2,...,2N) 正变换的低通滤波器h=rh(2N:－1:1); 正变换的高通滤波器g(n)=(－1)^n×rh(n) ; (n=1,2,…,2N) 重构过程为高低频滤波器与各个矩阵卷积后再相加来恢复图像数据的,卷积解释与分解类似，但要根据分解时扩展矩阵方式，重构时对矩阵向前或向后插入零，保证输出的矩阵长度为原矩阵长度。从定义可以知道，db1变换即为haar小波变换，所以对像素矩阵长度不为2
matlab图像去噪算法设计(精)
数字图像去噪典型算法及matlab实现 希望得到大家的指点和帮助 图像去噪是数字图像处理中的重要环节和步骤。去噪效果的好坏直接影响到后续的图像处理工作如图像分割、边缘检测等。图像信号在产生、传输过程中都可能会受到噪声的污染，一般数字图像系统中的常见噪声主要有：高斯噪声（主要由阻性元器件内部产生）、椒盐噪声（主要是图像切割引起的黑图像上的白点噪声或光电转换过程中产生的泊松噪声）等； 目前比较经典的图像去噪算法主要有以下三种： 均值滤波算法：也称线性滤波，主要思想为邻域平均法，即用几个像素灰度的平均值来代替每个像素的灰度。有效抑制加性噪声，但容易引起图像模糊，可以对其进行改进，主要避开对景物边缘的平滑处理。 中值滤波：基于排序统计理论的一种能有效抑制噪声的非线性平滑滤波信号处理技术。中值滤波的特点即是首先确定一个以某个像素为中心点的邻域，一般为方形邻域，也可以为圆形、十字形等等，然后将邻域中各像素的灰度值排序，取其中间值作为中心像素灰度的新值，这里领域被称为窗口，当窗口移动时，利用中值滤波可以对图像进行平滑处理。其算法简单，时间复杂度低，但其对点、线和尖顶多的图像不宜采用中值滤波。很容易自适应化。 Wiener维纳滤波：使原始图像和其恢复图像之间的均方误差最小的复原方法，是一种自适应滤波器，根据局部方差来调整滤波器效果。对于去除高斯噪声效果明显。实验一：均值滤波对高斯噪声的效果 I=imread('C:\Documents and Settings\Administrator\桌面\1.gif');%读取图像 J=imnoise(I,'gaussian',0,0.005);%加入均值为0，方差为0.005的高斯噪声 subplot(2,3,1);imshow(I); title('原始图像'); subplot(2,3,2); imshow(J); title('加入高斯噪声之后的图像'); %采用MATLAB中的函数filter2对受噪声干扰的图像进行均值滤波 K1=filter2(fspecial('average',3),J)/255; %模板尺寸为3 K2=filter2(fspecial('average',5),J)/255;% 模板尺寸为5 K3=filter2(fspecial('average',7),J)/255; %模板尺寸为7 K4= filter2(fspecial('average',9),J)/255; %模板尺寸为9 subplot(2,3,3);imshow(K1); title('改进后的图像1'); subplot(2,3,4); imshow(K2); title('改进后的图像2');
小波变换的原理及matlab仿真程序讲解学习
小波变换的原理及m a t l a b仿真程序
基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参
数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。
基于多小波的图像分解和重构
基于多小波的图像分解和重构 摘要与单小波相比较，多小波同时具备诸如紧支性，正交性，对称性等诸多在信号处理中非常重要的良好性质。这决定了多小波是一种优于单小波的信号处理技术。在应用中，对于单小波可以直接利用分解与重构公式对信号进行滤波。但是多小波是用矢量滤波器组对信号进行分解、重构．滤波对象必须是满足一定要求的矢量信号。因此，在进行多小波分解前必须通过前置滤波器对原始离散信号进行预处理得到初始矢量，然后才能进行多小波变换。同样，对重构后的数据也要进行后处理才能得到需要的结果。本文以ＧＨＭ多小波为例，实现了对图像的预处理、分解和变换后的重构、后处理过程，并将解压缩后的结果与单小波相比较，获得较好的结果。 关键词多小波；多尺度函数；多小波变换 一、概述 多小波是标量小波向矢量空间的一种很自然的拓展。是传统小波理论中正在兴起的一个分支，它具备一些比标量小波更好的性质，如同时具有正交性和对称性、紧支性等诸多在信号处理中非常重要的良好性质。这决定了多小波是一种优于单小波的信号处理技术。这决定了多小波是一种优于单小波的信号处理技术。这就意味着多小波不但可以对信号提供一种更新的分析手段，而且对信号的逼近性质更好，重构信号在边界位置的性能也将更完善。多小波的研究最早开始于1993年，随后其理论与应用方面的研究得到了迅猛的发展。在图像处理的实际应用中，正交性能保持能量；而对称性（线性相位）既适合于人眼的视觉系统，又使信号在边界易于处理，所以，分析工具同时拥有这两种性质是十分重要的。可是，实数域中，紧支、对称、正交的非平凡单小波是不存在的。多小波开创性的将单小波中由单个尺度函数生成的多尺度分析空间，扩展为由多个尺度函数生成，以此来获得更大的自由度。它既保持了单小波所具有的良好的时域与频域的
数字图像处理(matlab版)第八章 图像融合算法
第八章图像融合算法 8.1 图像融合技术的发展过程 随着科学的发展和技术的进步，采集图像数据的手段不断完善，出现了各种新的图像获取技术。如今，图像融合方法已经运用于社会的很多领域，像遥感卫星图像，光图像，红外图像，医学图像，尤其是多传感器图像融合应用以来，它已成为计算机视觉，目标识别，机器人以及军事等方面研究的重要方面。
8.2基于小波变换图像融合的基本原理 如果一个图像进行L 层小波分解，我们将得到（3L ＋1）层子带，其中包括低频的基带和层的高频子带。用代表源图像，记为，设尺度系数和小波函数对应的滤波器系数矩阵分别为，则二维小波分解算法可描述为： j C 3L ,h v d D D D 和(,)f x y 0C ()x Φ()x ΨH G 与11 1 j h j j v j j d j j C HC H D GC H D HC G D GC G +++′ =??′=??′=??′=?j+1(0,1, (1) j J =?（8-1）
小波重构算法为： 基于二维DWT 的融合过程如图1.1所示，ImageA 和 ImageB 代表两幅源图像A 和B ，ImageF 代表融合后的图像，具体步骤如下：（1）图像的预处理： 1h v d j j j j j C H C H G D H H D G G D G ?′′′′=+++(,1, (1) j J J =?（8-2） 图8.1 基于DWT 图像融合过程
①图像滤波 ②图像配准 （2）对ImageA和ImageB进行二维DWT分解，得到图像的低频和高频分量。 （3）根据低频和高频分量的特点，按照各自的融合算法进行融合。 （4）对以上得到的高低频分量，经过小波逆变换重构得到融合图像ImageF。 8.3 融合效果性能评价指标 8.3.1均值和标准差
小波信号分解与重构的Matlab程序
Matlab小波分析工具箱丰富的函数和强大的仿真功能为我们学习小波、用好小波提供了方便、快捷的途径，但是，如果我们要深入掌握小波分析的原理，真正学好、用好小波，就应该尽量用自己编写的程序去实现小波变换和信号分析，尽量在自己的程序中少调用Matlab提供的函数，多用自己的理解去编写相关的小波函数，这样的过程是一个探索、求知的过程，更能让我们体会到小波的强大和学习的乐趣。下面，我把自己编写的小波一维、二维信号分解和重构Matlab 程序共享出来，也希望有朋友共享自编的程序，共同学习，提高程序的效率和简洁性。 首先要说明的一点是，虽然是自己编写Matlab程序，但并不是说一点也不用Matlab的自带函数。我们要编写的是实现小波变换的主要功能函数，而绘图等基本功能还是要用到Matlab函数的。而且，根据小波变换的滤波器组原理，原始信号要通过低通、高通滤波器处理，这里就涉及到卷积这一运算步骤。卷积——FFT算法的实现，相信很多朋友都能用Matlab、C语言等来实现，不过与Matlab自带的用机器语言编写的FFT程序相比，运算速度一般会慢几倍、几十倍。所以，我的程序里边涉及卷积的就直接调用Matlab的conv()函数了。 我们知道，小波变换的一级分解过程是，原始信号分别进行低通、高通滤波，再分别进行二元下抽样，就得到低频、高频（也称为平均、细节）两部分系数；而多级分解则是对上一级分解得到的低频系数再进行小波分解，是一个递归过程。以下是一维小波分解的程序： function [cA,cD] = mydwt(x,lpd,hpd,dim); % 函数[cA,cD]=MYDWT(X,LPD,HPD,DIM) 对输入序列x进行一维离散小波分解，输出分解序列[cA,cD] % 输入参数：x——输入序列； % lpd——低通滤波器； % hpd——高通滤波器； % dim——小波分解级数。 % 输出参数：cA——平均部分的小波分解系数； % cD——细节部分的小波分解系数。 cA=x; % 初始化cA，cD cD=[]; for i=1:dim cvl=conv(cA,lpd); % 低通滤波，为了提高运行速度，调用MATLAB提供的卷积函数conv() dnl=downspl(cvl); % 通过下抽样求出平均部分的分解系数 cvh=conv(cA,hpd); % 高通滤波 dnh=downspl(cvh); % 通过下抽样求出本层分解后的细节部分系数 cA=dnl; % 下抽样后的平均部分系数进入下一层分解 cD=[cD,dnh]; % 将本层分解所得的细节部分系数存入序列cD end function y=downspl(x); % 函数Y=DOWMSPL(X) 对输入序列进行下抽样，输出序列Y。 % 下抽样是对输入序列取其偶数位，舍弃奇数位。例如x=[x1,x2,x3,x4,x5]，则
小波图像分解和重构程序每句都带解释
小波图像分解程序： function coef=mywavedec2(x,N,wname) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 函数MYWA VEDEC2() 对输入矩阵x 进行dim 层分解，得到相应的分解系数矩阵y % 输入参数：x ——输入矩阵 % N ——分解级数 % wname ——分解所用的小波函数 % 输出参数：coef ——分解系数矩阵，其结构如下： % coef = {cA_N;cV_N;cH_N;cD_N;cV_N-1;cH_N-1;cD_N-1;……;cV_1;cH_1;cD_1} % Copyright by Zou Yuhua ( chenyusiyuan ), original : 2007-11-10, modified: 2008-06-04 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 求出小波函数的滤波器组系数向量 [Lo_D,Hi_D] = wfilters(wname,'d'); % 画出原始图像 imshow(x);title('Original Image'); % 标明图像大小 [r,c]=size(x); xlabel(['Size : ',num2str(r),'*',num2str(c)]); % 将矩阵x的数据格式转换为适合数值处理的double格式 xd=double(x); coef=[]; for i=1:N [cA,cV,cH,cD]=mydwt2(xd,Lo_D,Hi_D); % 第i 级小波分解 xd=cA;% 将第i 级分解得到的低频系数矩阵作为第i+1 级分解的源矩阵 outmp={cV;cH;cD};% 将第i 级分解得到的高频系数矩阵cV,cH,cD存入细胞矩阵outmp % 注意细胞矩阵的赋值是用大括号“{}”的，而普通矩阵赋值是用方括号“[]” % 细胞矩阵不要求其中的子矩阵的行列数都相同 coef=[outmp;coef];% 将细胞矩阵outmp 存入输出矩阵coef，coef将由空矩阵变为细胞矩阵 % 注意这里的方括号不能用大括号取代 % 否则，使用大括号会将初始的coef空矩阵也作为细胞矩阵的子矩阵 % 而且，在迭代中coef 将是一个不断嵌套的细胞矩阵，不便于后续处理和读取 % 上面这个语句是一种有效的在迭代过程中保存数据的方法 % 设待存数据为data，可以是单个数、向量或矩阵 % 保存数据的矩阵为mat，初始为空矩阵：mat=[] % 则可按以下格式保存迭代过程产生的数据 % mat=[mat;data]; % 方括号内的分号“;”表示数据data 是按“列”排序的方式存入矩阵mat % mat=[mat,data]; % 方括号内的逗号“,”表示数据data 是按“行”排序的方式存入矩阵mat % data 也可以在mat 前嵌入，即mat=[data;mat] 或mat=[data,mat] end
图像放大算法总结及MATLAB源程序
1，插值算法（3种）： （1）最邻近插值（近邻取样法）： 最邻近插值的的思想很简单，就是把这个非整数坐标作一个四舍五入，取最近的整数点坐标处的点的颜色。可见，最邻近插值简单且直观，速度也最快，但得到的图像质量不高。 最邻近插值法的MATLAB源代码为： A=imread('F:\lena.jpg');%读取图像信息 imshow(A);%显示原图 title('原图128*128'); Row=size(A,1);Col=size(A,2);%图像行数和列数 nn=8;%放大倍数 m=round(nn*Row);%求出变换后的坐标的最大值 n=round(nn*Col); B=zeros(m,n,3);%定义变换后的图像 for i=1:m for j=1:n x=round(i/nn);y=round(j/nn);%最小临近法对图像进行插值 if x==0x=1;end if y==0y=1;end if x>Row x=Row;end if y>Col y=Col;end B(i,j,:)=A(x,y,:); end end B=uint8(B);%将矩阵转换成8位无符号整数 figure; imshow(B); title('最邻近插值法放大8倍1024*1024'); 运行程序后，原图如图1所示：
图1 用最邻近插值法放大4倍后的图如图2所示： 图2 （2）双线性内插值法： 在双线性内插值法中，对于一个目的像素，设置坐标通过反向变换得到的浮点坐标为(i+u,j+v)，其中i、j均为非负整数，u、v为[0,1)区间的浮点数，则这个像素得值f(i+u,j+v)可由原图像中坐标为(i,j)、(i+1,j)、(i,j+1)、(i+1,j+1)所对应的周围四个像素的值决定，即：f(i+u,j+v)=(1-u)(1-v)f(i,j)+(1-u)vf(i,j+1)+u(1-v)f(i+1,j)+uvf(i+1,j+1) 其中f(i,j)表示源图像(i,j)处的的像素值，以此类推。 这就是双线性内插值法。双线性内插值法计算量大，但缩放后图像质量高，不会出现像素值不连续的的情况。由于双线性插值具有低通滤波器的性质，使高频分量受损，所以可能会使图像轮廓在一定程度上变得模糊。 在MATLAB中，可用其自带的函数imresize()来实现双线性内插值算法。
小波变换 mallat
实验目的：通过编程实现离散快速小波变换Mallat 算法，从而加深理解二维 小波变换的分解与合成，同时，提高编程能力和matlab 的应用，为以后的学习打下基础。 实验原理： 1、Mallat 快速算法 本实验使用离散快速小波变换快速算法Mallat 算法，算法原理如下 （1）1(2)j j k n n c h n k c -=-∑ （2） 1(2)j j k n n d g n k c -=-∑重构算法： （3） 1(2)(2)j j j n k k n n c h n k c g n k d -=-+-∑∑对于（1）、（2）等效于经过冲击响应为和的数字滤波器，然后再分别进 1 j n c -[]h n -[]g n -行“二抽取”，Mallat 分解算法的滤波器表示形式如下图 C j-1 d j (k) C j (k) 用滤波器表示如下图 d j C j C j-1(k) 2、 255*255 10lg PSNR MSE ='2 11 ()*M N ij ij i j f f MSE M N ==-= ∑∑ 分别表示原始图像和重建后的图像，。 {}ij f '{}ij f 1,1i M j N ≤≤≤≤3、边界延拓方法有零延拓、周期延拓、对称周期延拓、常数连续延拓等，本实验采用以上四种方法进行原图像的1/8延拓，并进行重构，各种延拓方法所对应的函数为yan0(x)、yancir （x ）、yan(x)、yanc(x),在主程序中，需要某种延拓，便调用某种函数。
实验编程思路： 为使程序易于理解，在不考虑算法复杂度的情况下，分解程序采用简洁的循环计算出下一级的分解系数，程序采用的编程思想如下 [][][]11100[0][1][2][3][4][5]001[1]00[0][1][2][3]00[1][2][3][4][5]00[0][1]12j j j j j j c c h h h h h h c c h h h h n c n h h h h h h c ---?? ??????????????? ???=??????????????--?????????????? L L M M M M M M M M O O M L 以上矩阵等式左面是进行二抽样的结果，是分解的低频部分。同理，对 [0][1]2 j j n c c -L j 于分解的高频部分有如下矩阵形式： j [][][]11 100[0][1][2][3][4][5]0 01[1]00[0][1][2][3]00[1][2][3][4][5]00[0][1]12j j j j j d d g g g g g g d d g g g g n d n g g g g g g d ---???? ????????????? ???=? ?????? ???????--?????????????? L L M M M M M M M M O O M L 分解程序： lenx=size(x,2);%x 为一维向量 lenh=size(h,2);h=[h,zeros(1,(lenx-lenh))];g=[g,zeros(1,(lenx-lenh))]; r1(1)=sum(h.*x); r2(1)=sum(g.*x); for k=1:1:(lenx/2-1) %循环求出下一级低频和高频分量 h=[h(end-1:end),h(1:(end-2))]; r1(k+1)=sum(h.*x); g=[g(end-1:end),g(1:1:(end-2))]; r2(k+1)=sum(g.*x); end y=[r1,r2]; 对于重构算法，其等效形式为 [][][] 1(2)(2)j j j n n c n h n k c k g n k d k -=-+-∑∑上式等号右边部分实质上是对变量的数字卷积运算,程序采用频域相乘代替卷积，重建程k 序为 y=ifft(fft(c3,lenx).*fft(h,lenx))+ ifft(fft(d3,lenx).*fft(g,lenx));