著名机构七年级数学春季班讲义01-实数的概念及数的开方-教师版

初一数学春季班

知识点1：实数的概念

1、无限不循环的小数叫做无理数．

注意：

1)整数和分数统称为有理数； 2)圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分．

如2、π、0.101001000100001L 等这样的数叫做正无理数； 2-、π-、0.101001000100001-L 这样的数叫做负无理数；

只有符号不同的两个无理数，如2与2-，π与π-，称它们互为相反数．

实数、数的开方

知识结构

模块一 实数的概念和分类

知识精讲

3、有理数和无理数统称为实数． （1）按定义分类

???????????

?

→?整数有理数有限小数或无限循环小数

实数分数无理数无限不循环小数

（2）按性质符号分类

0????

??

???

??????

正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数

【例1】 写出下列各数中的无理数：

3.1415926，2

π，16，.0.5，0，2

3-，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3），

0.2121121112．

【难度】★

【答案】2π

、0.1313313331…．

【解析】无限不循环小数都是无理数． 【总结】考查无理数的概念．

【例2】 判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．

（1）无限小数都是无理数． （ ） （2）无理数都是无限小数．

（ ） （3）带根号的数都是无理数．

（ ） （4）不带根号的数一定不是无理数． （

）

【难度】★

【答案】（1）×； （2）√； （3）×； （4）×．

【解析】（1）无限不循环小数才是无理数；（2）无理数是无限不循环小数当然是无限小数； （3）开方开不尽的数是无理数；（4）π没带根号但是无理数． 【总结】考查无理数的概念及无理数与小数的关系．

例题解析

【例3】 a 是正无理数与a 是非负无理数这两种说法是否一样?为什么． 【难度】★ 【答案】一样．

【解析】a 是非负无理数实质上就是说a 是正无理数，因为0不是无理数． 【总结】考查无理数的分类及无理数的概念．

【例4】 若a +bx =c +dx （其中a 、b 、c 、d 为有理数，x 为无理数），则a =c ，b =d ，反之， 亦成立，这种说法正确吗?说明你的理由． 【难度】★★ 【答案】略．

【解析】移项得：()()a c d b x -=-， 因为非零有理数乘以无理数的结果还是无理数，

而a c -是有理数（两个有理数的差仍是有理数），忧伤0d b -=，从而0a c -=， 于是有：a c b d ==，，当a c b d ==，时，等式a bx c dx +=+成立． 【总结】考查有理数、无理数的运算性质．

【例5】?请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析．

p q

=， 又因为p 、q 没有公因数可以约去，所以

p

q

是最简分数．

p q

=两边平方，得2

23p q =，即223q p =．

由于23q 是3的倍数，则p 必定是3的倍数．

设3p m =， 则2239q m =， 同理q 必然也是3的倍数，设3q n =，

既然p 、q 都是3的倍数，它们必定有公因数3，与前面假设p

q

是最简分数矛盾，

【总结】考查对无理数的理解及证明．

一、开平方：

1、定义：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方．

2、如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．这个数a 叫做被开方数．

如21x =，1x =±，1的平方根是1±． 说明：

1)只有非负数才有平方根，负数没有平方根； 2)平方和开平方互为逆运算． 3、算术平方根：

正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根），读 作“根号a ”；a -表示a 的负平方根，读作“负根号a ”． ★注意：

1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；

2）2a a =，2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；

3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0． 二、开立方：

1、定义：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．

2、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示，读作“三次根号a ”，3a 中的a 叫做被开方数，“3”叫做根指数． ★注意：

1）任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根； 2）零的立方根是0；

3）一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1． 三、开n 次方：

1、求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方．a 叫做被开方数，n 叫做根指数．

2、如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根．

3、当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根．

模块二：数的开方

知识精讲

★注意：

1）实数a的奇次方根有且只有一个，用“n a”表示．其中被开方数a是任意一个数，根指数n是大于1的奇数；

2）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“n a”表示，负n次方根用“n a

-”表示．其中被开方数0

a>，根指数n是正偶数（当2

n=时，在n a

±中省略n）；3）负数的偶次方根不存在；

4）零的n次方根等于零，表示为00

n=．

【例6】写出下列各数的平方根：

（1）

9

121

；（2）2

(9)

-．

【难度】★

【答案】（1）

3

11

±；（2）3

±．

【解析】注意要先把题中给的算式化简，再求它的平方根．【总结】考查平方根的概念，注意平方根有两个．

【例7】写出下列各数的正平方根：

（1）225；（2）9．

【难度】★

【答案】（1）15；（2）3．

【解析】（1）15；（2）93

=，3的正平方根是3．【总结】考查平方根的概念，注意对正平方根的准确理解．例题解析

【例8】 下列各式是否正确，若不正确，请说明理由．

（1）1的平方根是1；

（2）9是2(9)-的算术平方根；

（3）π-是2π-的平方根；

（49±．

【难度】★

【答案】（1）×； （2）√； （3）×； （4）×．

【解析】（1）错误：1的平方根是1±；（2）正确；（3）错误：2π-是负数，没有平方根；

（4）2π-9=，9的平方根是3±．

【总结】考查平方根的基本概念，注意一定要先化简，再求平方根．

【例9】 写出下列各数的立方根：

（1）216； （2）0； （3）1-； （4）343

8

-

； （5）27． 【难度】★ 【答案】见解析．

【解析】（1）6； （2）0； （3）1-； （4）7

2

- ； （5）3．

【总结】本题主要考查立方根的概念．

【例10】 判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由：

（1） 一个数的偶次方根总有两个； （ ） （2） 1的奇次方根是1±； （ ）

（3）

7=±；

（ ） （4） 2±是16的四次方根；

（ ） （5） a 的n 次方根的个数只与a 的正负有关．

（

）

【难度】★★

【答案】（1）×； （2）×； （3）×； （4）√； （5）×．

【解析】（1）错误：负数没有偶次方根；（2）错误：奇次方根只有一个，所以1的奇次方根

是1；（37=； （4）正确；（5）错误：还与n 的奇偶性有关．

【总结】考查数的开方的基本概念，注意奇次方根与偶次方根的区别．

【例11】 写出下列各数的整数部分和小数部分：

（1 （2 （3）9【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】（1）因为89==，8，8；

（2）因为78==77；

（3）因为34==，所以596<<，

所以95，小数部分为4- 【总结】考查利用估算法求出无理数的整数部分和小数部分．

【例12】 求值：

（1 （2）；

（3）2； （4）2(．

【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】（1）12； （2）0.1- ； （3）4； （4）11． 【总结】考查对平方根的理解及运用．

【例13】 求值：

（1 （2 （3； （4

【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】（1）4； （2）35-； （3）原式5

4

=-； （4）原式2-． 【总结】考查实数的立方根的运用．

【例14】 求值：

（1 （2 （3； （4

【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】（1）6 ； （2）3 ； （3）3- ； （4）2． 【总结】考查实数的奇次方根与偶次方根的计算．

【例15】 求值：

（1

（2）

（3．

【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】（1）0.5 ； （2）原式=9

5

； （3）原式60=． 【总结】考查实数的立方根运算．

【例16】 小明的房间面积为17.62m ，房间的地面恰好由110块大小相同的正方形地砖铺

成，问：每块地砖的边长是多少? 【难度】★★ 【答案】0.4m ．

【解析】设每块地砖的边长是x 米，则有：211017.6x =，化简得20.16x =，解得：0.4x = 即每块地砖的边长是0.4m ．

【总结】考查实数的运算在实际问题中的运用．

【例17】 已知2a -1的平方根是3±，3a +b -1的算术平方根是4 【难度】★★ 【答案】3．

【解析】由题意知：219a -=，3116a b +-=，即210a =，173b a =-

解得：5a =，2b =，所以2549a b +=+=3=． 【总结】本题主要考查实数的平方根与算术平方根的区别，以及代数式的值．

【例18】 若a 的平方根恰好是方程3x +2y =2的一组解，求x y a a +的值． 【难度】★★

【答案】1257

16()1616

或．

【解析】由题意，因为a 的两个平方根是相反数，那么y x =-，则有：

32322x y x x +=-=，即2x =，2y =-．那么由题意可得：4a =，

所以221257

44161616

x y a a -+=+=+

=． 【总结】本题主要考查实数的平方根与求代数式的值．

【例19】 3，3(43)8x y +=-，求2()n x y +的值． 【难度】★★ 【答案】1．

【解析】由题意可得：49432x y x y -=??+=-?

， 解得：1

2x y =??=-?，

所以222()(12)(1)1n n n x y +=-=-=．

【总结】本题考查实数的开方以及二元一次方程组的解法，学生忘记解方程组的情况下，老师可以略微拓展复习一下二元一次方程组的解法哦．

【例20】 用“>”把下列各式连接起来：

【难度】★★

2-23-1=，

【总结】本题考查实数的大小比较，注意先化简，再比较大小．

【例21】 1.732 5.477

≈，利用以上结果，求下列各式的近似值．

（1≈_______；（2____________；

（3≈_________；（4≈______________；

（5___________；（6≈_____________．

【难度】★★★

【答案】略．

【解析】（1 1.7321017.32

?=；

（2 5.4771054.77

≈?=；

（3 1.732100173.2

?=；

（4 5.4770.10.5477

≈?=；

（5 1.7320.10.1732

?=；

（6 5.4770.010.05477

≈?=．

【总结】本题考查实数的运算，注意每题之间的联系，类比推理．

（1）数a?

（2）0.1738 1.738

=，求a的值．

【难度】★★★

【答案】见解析．

【解析】（1）由题可知，被开方数a

相应地向右或向左移动一位；

（2）由（1）总结的规律可知： 5.25

a=．

【总结】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格．

【例23】阅读下面材料并完成填空：

你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较n n＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论.

（1）通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号

①12______21；②23______32；③34______43；④45______54；⑤56______65；

⑥67______76；⑦78______87．

（2）对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出n n＋1和（n＋1）n的大小关系: ______

（3）根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017_____20172016．

【难度】★★★

【答案】（1）①<；②<；③>；④>；⑤>；⑥>；⑦>：

（2）当n =1或2时，n n＋1<（n＋1）n；当n>2的整数时，n n＋1>（n＋1）n；

（3）>．

【解析】（1）①12 <21；②23<32；③34>43；④45>54；⑤56>65；⑥67>76；⑦78>87；

（2）当n=1或2时，n n＋1<（n＋1）n；当n>2的整数时，n n＋1>（n＋1）n；

（3）根据第（2）小题的结论可知，20162017>20172016．

【总结】本题考查实数的运算规律，注意观察计算后的结果，总结出规律。

模块三：数的方根的非负性

知识精讲

数的方根运算：方根的混合运算，根据方根性质判断取值范围；

应用：与整式、分式的综合应用．

【例24】 当x 取何值时，下列各式有意义：

（1）31

x

； （2）51x -；

（3）424x -； （4）()3

4x -；

（5）24n x -；

（6）n a ．

【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】（1）0x ≠；（2）x 为任意实数；（3）2402x x -≥≥，；（4）00x x -≥≤，； （5）404x x -≥≤，；（6）n 为奇数时，a 取一切实数；n 为偶数时，0a ≥． 【总结】本题考查实数的方根有意义的条件．

【例25】 若x x +-有意义，则1x +=__________． 【难度】★★ 【答案】1．

【解析】由题意知：0x =，所以111x +==． 【总结】本题考查实数的方根有意义的条件及运算．

【例26】 332145x y --与互为相反数，求2x -5y 的值． 【难度】★★ 【答案】3-．

【解析】由题意知：21x -与45y -互为相反数， 所以21x -+45y -=0， 所以253x y -=-． 【总结】本题考查实数的奇次方根互为相反数的条件．

例题解析

【例27】 已

知10a b -+=，求2017()a b -的值． 【难度】★★ 【答案】1-．

【解析】由题意知：10250a b a b -+=??++=?， 解得：73

43a b ?

=-????=-??

， 所以()

()2017201711a b -=-=-． 【总结】本题考查绝对值与平方根的非负性及相关运算．

【例28】 已知y

1，求xy 的平方根． 【难度】★★

【答案】

【解析】由题意知：6x =，所以1y =，所以xy

的平方根是 【总结】本题考查实数的平方根的有意义的条件及求实数的平方根．

【例29】 已

知24|2|41a b c a +=-

【难度】★★★

．

【解析】移项得：244120a a b c -++=，即(

)2

2120a b c -+=， 所以2102020

a a

b b

c -=??+=??+=?， 解得：12

14

a c

b ?==????=-??，

． 【总结】本题考查绝对值与平方根的非负性及相关运算．

【例30】 当0x <

时，求||x + 【难度】★★★ 【答案】0．

【解析】原式=20x x x --+=． 【总结】本题考查实数的计算．

【例31】 设

=a 、x 、y 是 两两不相等的实数，求2222

3x xy y x xy y +--+的值．

【难度】★★★

【答案】1

3

．

【解析】()000a x a x a a -≥-≥≥因为，，

所以， 又因为0a y -≥，()00a y a a -≥≤，所以．

所以0a =，把a=0

0x y -==-，所以， 所以原式=22222231

3

y y y y y y --=++．

【总结】本题考查平方根有意义的条件及实数的运算．

【例32】 已

知20172(4a x a -=+，求x 的个位数字．

【难度】★★★ 【答案】6．

【解析】由题意，得：303030

a a a ?-≥?-≥??-≠?

， 解得：3a =-，代入原式得：201720176643x ??

== ?

-??， 因为123666=366=216=L L ，

，，发现个位数字都是6，故x 的个位数字为6． 【总结】本题综合性较强，主要考查绝对值与实数的混合计算，注意总结规律．

【习题1】 若x -是有理数，则下列说法中正确的是（

）

A . x 一定是0 B. x 是任意一个负数 C. x 是一个有理数的平方 D. x -是一个有理数的平方 【难度】★ 【答案】D

【解析】A ．x 可能等于1-； B ．x 等于3-不行； C ．x 是9时，原式无意义． 【总结】本题考查平方根有意义的条件和有理数的概念．

【习题2】 填空：

（1）()2

3-的算术平方根是 ，36的平方根是

；

（2）38-的立方根是

，231

()8

-的立方是

；

（3）256的四次方根是___________． 【难度】★

【答案】（1）3、6±； （2）32-、

1

64

； （3）2±． 【解析】（1）()2

39-=，9的算术平方根是3；366=，6的平方根是6±；

（2）3

82-=-，-2的立方根是3

2-；2

31184??

-= ???

，14的立方是164；

（3）25616=，16的四次方根是2±．

【总结】本题考查实数的开方的相关运算，注意非负数的偶次方根有两个．

随堂检测

【习题3】 判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由．

（1）无理数都是无限小数 ( ) （2）无理数的平方是有理数 ( ) （3）有理数都是有限小数

(

) （4）实数可分为正实数和负实数

( ) （5）2π

是分数

(

)

【难度】★

【答案】（1）√； （2）×； （3）×； （4）×； （5）×． 【解析】（1）无理数是无限不循环小数，无限不循环小数属于无限小数；

（2）如2π还是无理数，×； （3）有理数还可能是整数，×； （4）实数可分为正实数、负实数和零，×；

（5）分数的分子、分母必须都是有理数，而π是无理数，所以×． 【总结】本题考查无理数的基本概念，注意仔细辨析．

【习题4】 求值：

（1） （2）

（3

（4）

【难度】★ 【答案】见解析

【解析】（1）原式=50-； （2）原式=14

11

=±；

（3）原式3

2

-； （4）原式=2． 【总结】本题考查实数的开方运算．

【习题5】 求值：

（1）；

（2

（3【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】（1）原式=

1

2

； （2）原式2； （3）原式0.4=． 【总结】本题考查实数的开方运算．

【习题6】 比较下列各式的大小：

（1和8

9；

（2

【难度】★★

【答案】（1）>； （2）<．

【解析】（1）88

121199

>><>，，又因为，；

（2）因为

2

2

88=+=++

【总结】本题考查实数的比较大小，主要是利用估算法和平方法进行比较．

【习题7】 写出下列各数的整数部分和小数部分

（1 （2； （34．

【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】（1）因为34==整数部分为33；

（2）因为23=<=的整数部分为22；

（3）因为45==，4的整数部分为0，4． 【总结】本题考查实数的整数部分和小数部分的计算．

【习题8】 根据开n 次方根的意义，求下列x 的值． （1）38(2)270x +-=；

（2）6(2)64x +=．

【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】（1）因为()3

2728x +=

， 所以322x +=， 所以1

2

x =-； （2）由题可得：22x +=±，所以04x x ==-或． 【总结】本题主要考查实数n 次方根的意义．

【习题9】 0.6127≈ 1.320≈ 2.844≈ 【难度】★★ 【答案】6.127．

6.127≈． 【总结】本题考查实数的估算．

【习题10】 已知y =x +y 的值．

【难度】★★ 【答案】3．

【解析】由题意知：222101011x x x x -≥-≥==±，，

所以，所以， 又因为101x x +≠≠-，所以， 所以1x =， 代入原式得：4

22

y =

=，所以3x y +=． 【总结】本题考查实数的计算，以及被开方数的非负性的综合运用．

【习题11】 已知实数a 满足2|2016|2016a a a -=-，

求的值． 【难度】★★ 【答案】2017．

【解析】由题意知201702017a a -≥≥，所以，去绝对值得：

2016a a -+2016=，

两边同时平方得：220172016a -=，所以 220162017a -=．

【总结】本题考查实数的计算，包括绝对值的意义以及数的开方的相关计算．

【习题12】 已知00x y >>，，且150x y -=的值．

【难度】★★★ 【答案】2．

【解析】因为150x y -=

=，又因为00x y >>，，

00>-，，25x y =所以，

50532255y y y

y y y

++=

=+-．

【总结】本题综合性较强，主要考查实数的综合运算．

【习题13】 若x 、y 是有理数，且x 、y 满足22323x y ++=-x y +的值． 【难度】★★★ 【答案】1或7-．

【解析】因为x 、y 是有理数，所以223x y +是有理数， 所以22323x y +=且3y =-，

所以2

16x =，所以4x =±，所以17x y +=或-．

【总结】本题主要考查无理数的运算性质．

【作业1】 在数

2

π

、3.1010010001、3.1415926、2.1234567891011中，无理数的个数为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【难度】★ 【答案】C

【解析】2π

2.1234567891011 【总结】考查无理数的概念．