2014考研数学二真题及参考答案

2014考研数学二真题及参考答案

一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

(1) 当0x +→时，若ln (12)x +α

，1

(1cos )x -α

均是比x 高阶的无穷小，

α的取值范围是( )

(A) (2,)+∞

(B) (1,2)

(C) 1

(,1)2

(D) 1(0,)2

(2) 下列曲线中有渐近线的是

( )

(A) sin y x x =+ (B) 2

sin y x x =+ (C) 1

sin

y x x =+

(D) 21sin

y x x

=+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）

(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥

(B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤

(C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥

(D) 当()0f x ''≥时，

()()f x g x ≤

(4) 曲线2

2

7

41

x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）

(A)

50

(B)

100

(C)

(D)

(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则2

2

lim

x x →=ξ

（ ） (A)1

(B)

23

(C)

12

(D)

13

(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导

数，且满足

20u

x y

?≠??及

222

20u u

x y

??+=??，则

（ ）

(A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得

(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得

(7) 行列式

00

00000

a

b a b

c d c d

= （ ）

(A) 2

()ad bc - (B) 2

()ad bc -- (C) 2

2

22a d b c -

(D) 22

2

2

b c a d -

(8) 设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组

1323,k l ++αααα线性无关是向量组 123,,ααα线性无关的

（ ）

(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件

(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ((9)

1

21

25dx x x -∞=++?__________.

(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，

则(7)f =

__________.

(11) 设(,)z z x y =是由方程227

4

yz

e

x y z +++=

确定的函数，则11(,)22

dz

=__________.

(12) 曲线()r r =θ的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22

r =ππ

θ处的切

线的直角坐标方程是__________.

(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度

()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.

(14) 设二次型()2

2

123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，

则a 的取值范围为_______.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)

求极限121

21lim

.1ln 1x

t x t e t dt x x →+∞

????--?? ?????????+ ?

??

?

(16)(本题满分10分)

已知函数()y y x =满足微分方程2

2

1x y y y ''+=-，且()20y =，求

()y x 的极大值与极小

值.

(17)(本题满分10分)

设平面区域(){}

2

2,14,0,0,D x y x

y x y =

≤+≤≥≥计

算

(

sin D

x dxdy x y

+??

.

(18)(本题满分10分)

设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)x

z f =满足

22222(4e cos )e x x z z z y x y

??+=+??，若'

(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式. (19)(本题满分10分)

设函数(),()f x g x 的区间[a,b]上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤.证明：

(I)0(),[,]x

a

g t dt x a x a b ≤≤-∈?

,

(II)

()()d ()g()b

a a g t dt

b a

a

f x x f x x dx +

?≤?

?

.

(20)(本题满分11分)

设

函

数

[](x),0,11x

f x x

=

∈+，定义函数列

121()(),()(()),f x f x f x f f x ==,L

1()(()),n n f x f f x -=L ，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围

成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞

.

(21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足

2(1)f

y y

?=+?，且 2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直

线1y =-旋转所成的旋转体的体积. (22)(本题满分11分)

设矩阵123401111203A --?? ?

=- ? ?-??

，E 为三阶单位矩阵.

(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵.

(23)(本题满分11分)

证明n 阶矩阵111111111??

?

? ?

???L L

M M M M L

与0010020

0n ??

? ?

? ?

??

L L

M M M M L 相似. 参考答案

一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

(1) 当0x +→时，若ln (12)x +α

，1

(1cos )x -α

均是比x 高阶的无穷小，则

α的取值范围是( )

(A) (2,)+∞

(B) (1,2)

(C) 1

(,1)2

(D) 1(0,)2

【答案】B

【解析】由定义 1000ln (12)(2)lim

lim lim 20x x x x x x x x

-→→→+===αα

αα 所以10->α，故1>α.

当0x +

→时，2

1

1

(1cos )~

2x x -α

α

α

是比x 的高阶无穷小，所以

2

10->α

，即2<α.

故选B

(2) 下列曲线中有渐近线的是

( )

(A) sin y x x =+ (B) 2

sin y x x =+ (C) 1

sin y x x =+

(D) 21sin

y x x

=+ 【答案】C

【解析】关于C 选项：11

sin

sin

lim

lim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=. 11lim[sin ]limsin 0x x x x x x →∞→∞+-==，所以1

sin y x x =+存在斜渐近线y x =.

故选C

(3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）

(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥

(B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤

(C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥

(D) 当()0f x ''≥时，

()()f x g x ≤

【答案】D

【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则

(0)(1)0F F ==,

()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.

若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.

又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥.

故选D.

(4) 曲线2

2

7

41

x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）

(C)

(D)【答案】C 【解析】

1

1

12

'

21

12243221

2t t t t t dy t dx

t

d y dy t dx dx t

=====+=

=-

===-

()

(

)

''

3

3'22

2

1

1

,11y k R k

q y =

=

∴=

=++ 故选C

(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则2

2

lim

x x

→=ξ

（ ）

(A)1

(B)

23

(C)

12

(D)

13

【答案】D 【解析】因为

'2()1()1f x f x ==+ξξ，所以2

()()

x f x f x -=ξ 2

22

2220

00

1

1()arctan 11lim

lim

lim lim ()arctan 33

x x x x x f x x x

x x x f x x x x →→→→-

--+====ξ

故选D.

(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导

数，且满足20u x y ?≠??及22220u u

x y

??+=??，则

（ ）

(A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得

(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得 【答案】A

【解析】记22222,,,0,,u u u

A B C B A C x x y y

???==

=≠????相反数 则2

=AC-B 0?<,所以(x,y)u 在D 内无极值，则极值在边界处取得.

故选A

(7)

行

列

式

00

00

000

a

b a b

c d c d

= ( )

(A)2

()ad bc - (B)2

()ad bc -- (C)2222

a d

b

c -

(D)2222

b c a d -

【答案】B

【解析】由行列式的展开定理展开第一列

000000000000

a b a b a b a b a c

d c b c d d

c

d

c d

=--

()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2

()ad bc =--.

(8) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线

性

无

关

是

向

量

组

123

,,a a a 线性无关的

( )

(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件

(D)既非充分也非必要条

件

【答案】A 【解析】()()13

2312

31001k l k l ??

?

++= ? ???

ααααααα.

)? 记()1323A k l =++αααα，()12

3B =ααα，

1001k l ??

?= ? ???

C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r A r BC r C ===，故1323,k l ++αααα线性无关.

)? 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性

相关.

综上所述，对任意常数,k l ，向量1323,k l ++αααα线性无关是向量

123,,ααα线性无关的必要非充分条件.

故选A

二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)

1

21

25dx x x -∞=++?__________.

【答案】38

π 【解析】

()1

11

221111arctan 25221413

2428

x dx dx x x x -∞

-∞-∞+==++++????=

--= ?????????πππ

(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，

则(7)f =

__________. 【答案】1 【解析】()()[]'

210,2f x x x =-∈，且为偶函数

则()()[]'

212,0f

x x x =--∈-，

又()2

2f x x x c =--+且为奇函数，故=0c

()[]222,0f x x x x ∴=--∈-，

又()f x Q 的周期为4，()()711f f ∴=-= (11) 设(,)z z x y =是由方程227

4

yz

e

x y z +++=

确定的函数，则11(,)22

dz

=__________. 【答案】1

()2

dx dy -

+ 【解析】对227

4

yz

e

x y z +++=方程两边同时对,x y 求偏导

22210(22)20

yz

yz z z e y x x z z e z y y y y ?????++=????

?

???+++=????

当11

,22

x y =

=时,0z = 故

1111(,)(,)22

22

11,

22

z z x y

??=-=-??

故11(,)22

111

()()222

dz

dx dy dx dy =-+-=-+

(12) 曲线lim n n nS →∞

的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(

,)22

r =ππ

θ处的切

线的直角坐标方程是__________. 【答案】2

2

y x =-

+

π

π

【解析】由直角坐标和极坐标的关系 cos cos sin sin x r y r ==??

==?θθθ

θθθ

，

于是(),,,22r ??=

???ππθ对应于(),0,,2x y ??= ???

π 切线斜率cos sin cos sin dy

dy d dx dx d +==

-θθθ

θθθθ

θ

0,22

dy dx ??

???

∴=-

ππ

所以切线方程为()2

02y x -=--ππ

即2=2

y x -+π

π

(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度

()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.

【答案】

1120

【解析】质心横坐标()()10

10

x x dx x x dx

=??ρρ

()()()()31

1

2

2

100042

112

310005=2133211=2143

212x x dx x x dx x x x x x x dx x x x dx x ??-++=-++= ???

??-++=-++= ???????ρρ

11

11

12=5203

x ∴=

(13) 设二次型()22

123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，

则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-

【解析】配方法：()()()2

2

22

2

123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+

由于二次型负惯性指数为1，所以2

40a -≥，故22a -≤≤.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)

求极限121

21lim

.1ln 1x

t

x t e t dt x x →+∞

????--?? ?????????+ ?

??

?

【解析】11

221122d d (e 1)(e 1)lim lim 11ln(1)x

x t t x x t t t t t t x x x x

→+∞→+∞????----????????

=+?

??

12

lim[(e 1)]x

x x x →+∞=--

1

2000e 1e 11lim lim lim 222

t t t x

t t t t t t t t +++

=→→→---====.

(16)(本题满分10分)

已知函数()y y x =满足微分方程22

1x y y y ''+=-，且()20y =，求

()y x 的极大值与极小

值.

【解析】 由2

2

1x y y y ''+=-，得

2

2

(1)1y y x '+=-………………………………………………………① 此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为

3311

33

y y x x c +=-+ 由(2)0y =得2

3

c =

又由①可得 2

21()1

x y x y -'=+

当()0y x '=时，1x =±，且有：

1,()011,()01,()0

x y x x y x x y x '<-<'-<<>'>< 所以()y x 在1x =-处取得极小值，在1x =处取得极大值 (1)0,(1)1y y -==

即：()y x 的极大值为1，极小值为0.

(17)(本题满分10分)

设平面区域(){}

2

2,14,0,0,D x y x

y x y =

≤+≤≥≥计

算

(

sin D

x dxdy x y

+??

.

【解析】D 关于y x =对称，满足轮换对称性，则：

D D

=

12D D I dxdy

∴==????

??

1sin(2D

dxdy =

??

22

121

1sin 21

()cos 4d r rdr

rd r =?=-???π

θππππ

22

111cos |cos 4r r rdr ??=-?-?

????ππ

211121sin |4r ??=-+-????

ππ 3

4

=-

(18)(本题满分10分)

设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)x

z f =满足

22222(4e cos )e x x z z z y x y

??+=+??，若'

(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式. 【解析】由

()cos ,

x z f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z z

f e y e y f e y e y x y

??''=?=?-?? 22

(cos )cos cos (cos )cos x x x x x

z f e y e y e y f e y e y x

?'''=??+??， ()()()22

(cos )sin sin (cos )cos x x x x x

z f e y e y e y f e y e y y

?'''=?-?-+?-? 由 ()22222+4cos x x

z z z e y e x y

??=+??，代入得，

()()22cos [4cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''?=+

即

()()cos 4cos cos x x x f e y f e y e y ''-=，

令cos =,x

e y t 得()()4

f t f t t ''-=

特征方程 2

40,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+

设特解*

y at b =+，代入方程得1,04a b =-

=，特解*14y t =- 则原方程通解为()22121=4

t t

y f t c e c e t -=+-

由()()'00,00f f ==，得1211

,1616c c ==-, 则

()22111

=16164

u u y f u e e u -=--.

(19)(本题满分10分)

设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤，证明：

（I ）0(),[,]x

a g t dt x a x a

b ≤≤-∈?, （II ）

()()d ()g()b

a a g t dt

b a

a

f x x f x x dx +

?≤?

?

. 【解析】（I ）由积分中值定理

()()(),[,]x

a

g t dt g x a a x =-∈?ξξ

()01g x ≤≤Q ，()()()0g x a x a ∴≤-≤-ξ

()()0x

a g t dt x a ∴≤≤-?

（II ）直接由()01g x ≤≤，得到

()()01=x x

a

a

g t dt dt x a ≤≤-??

（II ）令()()()()

()u

a u a g t dt a

a

F u f x g x dx f x dx +

?=

-??

()()()()(

)

()

()()()()

'

u

a

u

a F u f u g u f a g t dt g u g u f u f a g t dt =-+???

=-+????

??

由（I ）知()()0u a

g t dt u a ≤

≤-? ()u

a

a a g t dt u ∴≤+≤?

又由于()f x 单增，所以()()()0u a

f u f a

g t dt -+

≥?

()()'0F u F u ∴≥∴，单调不减，()()0F u F a ∴≥=

取u b =，得()0F b ≥，即（II ）成立. (20)(本题满分11分)

设函数[](x),0,11x

f x x

=

∈+，定义函数列 1211()(),()(()),,()(()),n n f x f x f x f f x f x f f x -===L L ，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞

.

【解析】123(),(),(),,(),112131n x x x x f x f x f x f x x x x nx

====++++L 11100011()11n n x x n n S f x dx dx dx nx nx

+-∴===++??? 1110200111111ln(1)1dx dx nx n n nx n n =-=-++?? 211

ln(1)n n n

=-+ ln(1)ln(1)1

lim 1lim 1lim 1lim 1n n n x x n x nS n x x

→∞→∞→∞→∞++∴=-=-=-+101=-= (21)(本题满分11分) 已

知

函

数

(,)

f x y 满足

2(1)f

y y

?=+?，且

2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线

1y =-旋转所成的旋转体的体积.

【解析】因为2(1)f

y y

?=+?,所以2(,)2(),f x y y y x =++?其中()x ?为待定函数.

又因为()2

(,)(1)2ln ,f y y y y y =+--则()()12ln y y y =--?，从而

()()22(,)212ln (1)2ln f x y y y x x y x x =++--=+--.

令(,)0,f x y =可得()2(1)2ln y x x +=-，当1y =-时，1x =或2x =，从而所求的体积为

()()2

2

2

1

1221

12ln ln 22V y dx x xdx x xd x =+=-??=- ?

?

????

πππ

2

22112

21ln (2)222552ln 2(2)2ln 22ln 2.444x x x x dx

x x ????

=--- ??????

??

?=--

=-?=- ??

??πππππππ

(22)(本题满分11分)

设矩阵123401111203A --??

?

=- ? ?-??

，E 为三阶单位矩阵.

(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B .

【解析】

()123410012341000111010011101012030010431101A E ----????

? ?

=-→- ? ? ? ?---????

123410010012610111010010213100131410013141---???? ? ?→-→--- ? ? ? ?------????

, (I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T

=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1T

T

T

e e e ===

1Ax e =的通解为

()()111112,1,1,02,12,13,T T

x k k k k k =+--=--+-+ξ

2Ax e =的通解为

()()222226,3,4,06,32,43,T T

x k k k k k =+--=--+-+ξ

3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,T

T

x k k k k k =+-=--++ξ

1

23123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----?? ?-+-++

?∴= ?-+-++ ? ???

（123,,k k k 为任意常数）

(23)(本题满分11分)

证明n 阶矩阵111111111??

?

? ?

???L

L

M M M M L 与0010020

0n ??

? ?

? ?

??

L L

M M M M L 相似. 【解析】已知()1111A ?? ? ?= ? ???

M

L

L

M ，()12

001B n ?? ? ? ? ???

L

M =，

则A 的特征值为n ，0(1n -重).

A 属于n λ=的特征向量为(1,1,,1)T L ；()1r A =，故0Ax =基础解系

有1n -个线性无关的解向量，即A 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向

量；故A 相似于对角阵0=0n ?? ?

?Λ ? ?

??

O . B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.

由相似关系的传递性，A 相似于B .