2014年考研数学二真题与解析
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一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α
，α
1
1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）
（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2
10
【详解】α
ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2
11
21
1x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知?????>>121
α
α
所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是
（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2
（C ）x
x y 1sin
+= （D ）x x y 12
sin +=
【详解】对于x
x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01
==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =
应该选（C ）
3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）
（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然
x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹
的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令
x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当
0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
4．曲线???++=+=1
472
2t t y t x ,
上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）
（Ａ）
5010（Ｂ）100
10 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式3
21)'("y y K +=
，曲率半径K
R 1
=
． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122t
t t dx y d -=-
=，
对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10
10113
2=
+=)'("y y K ，曲率半径10101
==
K
R ． 应该选（C ）
5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→2
2
x
x ξlim
（ ）
（Ａ）1 （Ｂ）
32 （Ｃ）21 （Ｄ）3
1 【详解】注意（1）2
11x
x f +=
)('，（2）)(arctan ,3
3310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=
211ξξ，2
2
)
(arctan arctan x x x -=ξ， 31313
33
020
2
2
=+-
-=-=→→→x
x o x x x x x x
arx x x x x x )
()(lim )
(arctan tan lim
lim
ξ
． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足
02≠???y x u
及02
222=??+??y u
x u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；
（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；
（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；
（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．
【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在
内部存在驻点),(00y x ，也就是0=??=??y u
x u ，在这个点处x y u y x u B y
u C x u A ???=???=??=??=222222,,，由条件，显然02
<-B AC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上．
所以应该选（A ）．
7．行列式
d
c d c b
a b a
00000000等于
（A ）2
)(bc ad - （B ）2
)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2
222c b d a +-
【详解】
200000000
00000000)(bc ad d
c b
a bc d c
b a ad d
c c b
a b d c d
b a a d
c d c b
a b a --=+-=+-=
应该选（B ）．
8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的
（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则
（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=???
?
? ??=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等
于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．
而当???
?
?
??=????? ??=????? ??=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但
321ααα,,线性相关；故选择（A ）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．
?
∞
-=++12
5
21
dx x x ． 【详解】
?
?∞
-∞-∞-=??? ??--=+=++=++11122832421212
141521πππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ． 【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=
?
2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即
x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．
11．设),(y x z z =是由方程47
22=
+++z y x e
yz
确定的函数，则=??
? ??2121,|dz ．
【详解】设4722-+++=z y x e
z y x F yz
),,(，1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,，当2
1
=
=y x 时，0=z ，
21-=-=??z x F F x z ，21
-=-=??z y F F y z ，所以=??
? ??2121,|dz dy dx 2121--．
12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点???
?
?=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ． 【详解】先把曲线方程化为参数方程??
?====θ
θθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，20π
==y x ,，
πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点??
?
??=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即
.2
2π
π
+
-
=x y
13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122
++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标
=x ．
【详解】质心坐标20
1135
1211
1221021
2
3101
0=
=++-++-==????dx x x dx x x x dx x dx
x x x )()()()(ρρ． 14．设二次型32312
22132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围
是 ．
【详解】由配方法可知
2
3
2
2322313
2312
2213214242x
a x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=
由于负惯性指数为1，故必须要求042
≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．
三、解答题
15．（本题满分10分）
求极限)
ln())((lim
x
x dt t e t x t
x 1
1121
12
+--?+∞
→．
【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】
21
12111111122212
1
1
22
1
1
2
=??? ??-++=--=--=+--∞→∞
→+∞→+∞
→??x x o x x x x e x x
dt
t e t x x dt
t e t x x
x x
t
x x t
x )((lim )
)((lim ))((lim
)
ln())((lim
16．（本题满分10分）
已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+12
2
，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 【详解】
解：把方程化为标准形式得到2211x dx
dy
y -=+)
(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：
C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得3
2=C ， 即
3
2
313133+-=+x x y y ． 令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知3
22
2222211212)()()(y x y y x dx y d +--+-=； 当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ； 当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ． 17．（本题满分10分）
设平面区域{
}
00412
2≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算??
++D
dxdy y
x y x x )
sin(22π
【详解】由对称性可得
4
3
211212121202
2
2
22222-
==+=+++=++=++??????
????D D
D D
dr r r d dxd y x dxdy
y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππ
sin )sin()
sin()()sin()sin(
18．（本题满分10分）
设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x
=满足x
x e y e z y
z x z 22
2224)cos (+=??+??．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．
【详解】
设y e u x
cos =，则)cos ()(y e f u f z x
==，
y e u f y e u f x
z e u f x
z
x
x y x cos )('cos )(",)('cos +=??=??222
2; y e u f y e u f y
z y e u f y z x
x x cos )('sin )(",sin )('-=??-=??2222； x x x e y e f e u f y
z
x z 22222
2)cos (")("==??+?? 由条件x x e y e z y
z
x z 22
2224)cos (+=??+??， 可知
u u f u f +=)()("4
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．
对应齐次方程的通解为：
u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．
对应非齐次方程特解可求得为u y 4
1
-
=*． 故非齐次方程通解为u e C e
C u f u u
4
1
2221-+=-)(．
将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16
116121-==
C C ,．
所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4
1
16116122--=-)(． 19．（本题满分10分）
设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g x
a
,,)(∈-≤≤?
0；
（2）
??
≤?+
b
a
dt
t g a a
dx x g x f dx x f b
a )()()()(．
【详解】
（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx x
a
x a
x
a
,)(∈≤≤???
10．
即[]b a x a x dt t g x
a
,,)(∈-≤≤
?
0．
（2）令?
?
?-=
+
x
a dt
t g a a
x
a
du u f du u g u f x F )()()()()(，
则可知0=)(a F ，且??
? ?
?+-=?
x
a
dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，
因为,)(a x dt t g x
a
-≤≤
?
0且)(x f 单调增加，
所以)()()(x f a x a f dt t g a f x
a =-+≤??
? ??+?．从而
0=-≥??
? ??+-=?)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F x
a ， []
b a x ,∈ 也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到
??
≤?+
b
a
dt
t g a a
dx x g x f dx x f b
a )()()()(．
20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=
x x
x
x f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=，ΛΛ)),(()(,x f f x f n n 1-=
设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞
→lim ．
【详解】
x x
x
x x x
x f x f x f x x x f 21111111121+=
++
+=+=+=)()()(,)(，Λ,)(x x x f 313+=， 利用数学归纳法可得.)(nx
x
x f n +=
1
))
ln(()()(n
n n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==??
?11111111101
01
，
111=??
?
??+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ． 21．（本题满分11分） 已知函数),(y x f 满足
)(12+=??y y
f
，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积． 【详解】
由于函数),(y x f 满足
)(12+=??y y
f
，所以)(),(x C y y y x f ++=22，其中)(x C 为待定的连续函数． 又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212
，从而可知y y y C ln )()(--=21， 得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=21222
2
．
令0=),(y x f ，可得x x y ln )()(-=+212
．且当1-=y 时，2121==x x ,． 曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为
πππ)ln (ln )()(4
5
222121212-=-=+=??dx x x dx y V
22．（本题满分11分）
设???
?
? ??---=3021111
04321A ，E 为三阶单位矩阵． （1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵．
【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
????
? ??--→????? ??----→????? ??----→????? ??---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，
得到方程组0=AX 同解方程组
???
??==-=43
424
132x
x x x x x
得到0=AX 的一个基础解系????
??? ??-=13211ξ．
（2）显然B 矩阵是一个34?矩阵，设????
??
?
??=44
4
333222
111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：
???
?
?
??-------→????? ??------→???
?
?
??-----→????? ??---=14131
001312010162100114131000101110001
43211011
3
4
001011
1
0001
432
1100302101011100014321)(AE
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
??????? ??-+?
?????
? ??--=??????? ??1321011214321c x x x x ，??????? ??-+??????? ??--=??????? ??1321043624321c y y y y ，??
??
???
??-+??????? ??-=??????? ??1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为
????
??
?
?
?++-+-++-+-----=32
132
1321321
313431212321162c c c
c c c c c c c c c B 其中321c c c ,,为任意常数． 23．（本题满分11分）
证明n 阶矩阵???????
??111111111ΛM M M Λ
Λ
和??
??
???
??n 00
200100ΛM M M Λ
Λ
相似． 【详解】证明：设=A ???????
?
?111111111ΛM M M Λ
Λ
，=B ??
??
??
?
?
?n 00200100ΛM M M Λ
Λ
． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：
11
1
1
111111
--=---------=
-n n A E λλλλλλ)(Λ
M M M ΛΛ，
所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλΛ,；
而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且??????
?
?
?00Λ
λ~A ； 10020
10--=---=
-n n n
B E λλλλλ
λ)(Λ
M M M ΛΛ
所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλΛ,；
对于1-n 重特征值0=λ，由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1，所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关，进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对
角化，且???????
?
?00Λ
λ
~B 从而可知n 阶矩阵???????
?
?111111111ΛM M M Λ
Λ
和??
??
??
?
??n 00
200100
ΛM M M Λ
Λ
相似．
2014年考研数一真题及答案解析(完整版)
2014年考研数一真题与答案解析
数学一试题答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. （1）B （2）D （3）D （4）B （5）B （6）A （7）（B） （8）（D）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．． 指定位置上. （9）012=---z y x （10）11=-)(f （11）12+=x x y ln （12）π （13）[-2,2] （14）25n 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．． 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）【答案】 2 1211111111102 0221 121 2112=-=--=--=--=--=+ --++→→+∞→+∞ →+∞→+∞→???u e lim u u e lim x )e (x lim ,x u x )e (x lim x tdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x x x x x x x 则令 （16）【答案】 20 20 2232222=+=+='++'?++')x y (y xy y y x xy y y x y y y x y )(y 20-==或舍。 x y 2-=时，
2 110 660 62480 62480 633333223223-==?==+-=+-+-=+-?+?+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y 04914 190 141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''?+'?+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。 （17）【答案】 y cos e )y cos e (f x E x x '=?? )y cos (e )y cos e (f y sin e )y cos e (f y E )y sin (e )y cos e (f y E y cos e )y cos e (f y cos e )y cos e (f x E x x x x x x x x x x -'+''=??-'=??'+''=??22222222 y cos e )y cos e (f )y cos e (f e )y cos e E (e )y cos e (f y E x E x x x x x x x +=''+=''=??+??44222 222 令u y cos e x =， 则u )u (f )u (f +=''4， 故)C ,C (,u e C e C )u (f u u 为任意常数2122214 -+=- 由,)(f ,)(f 0000='=得 4 161622u e e )u (f u u --=- （18）【答案】 补{}∑=1 1z )z ,y ,x (:的下侧，使之与∑围成闭合的区域Ω，
2014年考研数学一真题与详细解答
2014硕士研究生入学考试 数学一 一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分． １．下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12sin += 2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 3．设)(x f 是连续函数，则=? ?---y y dy y x f dy 1110 2 ),(（ ） （A ）? ?? ?---+2 100 11 010 x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （B ）? ?? ? ----+0 101 1 10 1 2 x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （C ）? ?? ? +++θθππθθπ θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1 2 10 20 dr r r f d dr r r f d （D ）? ?? ? +++θθππ θθπ θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (10 2 10 20rdr r r f d rdr r r f d 4．若函数{ } ??-∈---=--π π ππ dx x b x a x dx x b x a x R b a 2211)sin cos (min )sin cos (,，则=+x b x a sin cos 11（ ） （A ）x sin 2 （B ）x cos 2 （C ）x sin π2 （D ）x cos π2 5．行列式d c d c b a b a 000 000 0等于（ ） （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +- 6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（ ） （A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分非必要条件 7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4
2014年数学二真题及答案解析
2014年数学二真题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1 : 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ? ? ? 1 ________________________________________ (1)当X 0时，若In (1 2x)，(1 cosx)—均是比X咼阶的无 2
(A) (2, )(B) (1,2)(C)(2,1) (D)囲) ⑵下列曲线中有渐近线的是() (A) y x sin x (B) 2 . y x sin x (C) y x sin 1 x (D) y 2 . 1 x sin x ⑶设函数f( x)具有2阶导数，g(x) f(0)(1 x) f(1)x，贝y 在区间［0,1］上( ) (A)当f(x)0 时，f (x) g(x) (B)当f (x) 0时， f(x) g(x) (C)当f(x) 0 时，f (x) ? g(x) (D)当f (x) 0时，f(x) g(x) ⑷丄 2 曲线x t2 y t27上对' 4t 1 应于t 1的点处的曲率半径是 3
2 4 (D) 5.10 (D )1 (6)设函数u(x,y)在有界闭区域D 上连续，在D 的内部 2 2 2 具有2阶连续偏导数，且满足」0及-u -4 0，则 x y x y ( ) (A) u(x,y)的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) u(x,y) 的最大值和最小值都在D 的内部上取得 (C) u(x,y) 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的 边界上取得 (A) 10 50 ■ 10 100 (C) 10.10 (5) 设函数 f (x) arctan x , f(x) xf () , lim 2 x 0 x 2 (A) 1 (叫 (C)1
2014年数学二真题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α ，1 (1cos )x -均是比x 高阶的无穷小， 则α的取值范围是( ) (A) (2,)+∞ (B) (1,2) (C) 1 (,1)2 (D) 1(0,)2 (2) 下列曲线中有渐近线的是 ( ) (A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1 sin y x x =+ (D) 2 1sin y x x =+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ） (A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ (4) 曲线2 2 7 41 x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ） (C) (D)(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则2 2 l i m x x →=ξ （ ） (A)1 (B) 2 3 (C) 12 (D) 13 (6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20 u x y ?≠??及22220u u x y ??+=??，则 （ ） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得
2014年考研数学三真题及解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a a > （B ）2 n a a < （C ）1n a a n >- （D ）1 n a a n <+ （2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）2 1sin y x x =+ （3） （A ） （B ） （C ） （D ） （4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥
（5）行列式 00000000a b a b c d c d = （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2 2 22 a d b c - （D ）22 2 2 b c a d - （6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 （7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4 （8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ 服从的分布为 （A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2) 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．． 指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。 (10)设D 是由曲线10xy +=与直线0y x +=及y=2围成的有界区域，则D 的面积为_________。 (11)设 20 1 4 a x xe dx = ? ，则_____.a = (12)二次积分2 21 1 0( )________.x y y e dy e dx x -=?? （13）设二次型22 123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围是_________
考研数学二真题与解析
2014年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2 11 211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知?????>>121 α α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹 的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
2020年考研数学二大纲原文
2020年考研数学二大纲原文 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限。 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系. 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型. 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质. 二、一元函数微分学 考试内容
导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线、导数和微分的四则运算、基本初等函数的导数、复 合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法、高阶导数、一阶微分形式的不变性、微分中值定理洛必达(L'Hospital)法则、函数单调性的判别、函数的 极值、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘、函数的最大值与最小值、弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径 考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求 平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量， 理解函数的可导性与连续性之间的关系. 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分. 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数. 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数. 5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西( Cauchy )中值定理. 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法. 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌 握函数最大值和最小值的求法及其应用. 了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径. 三、一元函数积分学 考试内容 原函数和不定积分的概念、不定积分的基本性质、基本积分公式、定积分的概 念和基本性质、定积分中值定理、积分上限的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式、不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法、有理函数、 三角函数的有理式和简单无理函数的积分、反常(广义)积分、定积分的应用 考试要求
2014年考研数学一真题及详细解答
2014硕士研究生入学考试 数学一 一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分． １．下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12sin += 2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 3．设)(x f 是连续函数，则 =??---y y dy y x f dy 11102),(（ ） （A ） ????---+210011010x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （B ） ????----+010*******x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （C ） ????+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020dr r r f d dr r r f d （D ） ????+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d 4．若函数{} ??-∈---=--πππ πdx x b x a x dx x b x a x R b a 2211)sin cos (min )sin cos (,，则=+x b x a sin cos 11（ ） （A ）x sin 2 （B ）x cos 2 （C ）x sin π2 （D ）x cos π2 5．行列式d c d c b a b a 000000 00等于（ ） （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +- 6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（ ） （A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分非必要条件 7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4
2014考研数学全部真题(数一二三)
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学试题 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）（数三） 若a a n n =∞ →lim ，且0≠a ，则当n 充分大时有（ ） （A ）2 a a n > （B ）2 a a n < （C ）n a a n 1- > （D ）n a a n 1 +< （2）（数二） 当0x +→时，若ln (12)x α +，1 (1cos )x α -均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是 （ ） （A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）1(,1)2 （D ）1(0,)2 （3）（数一、二、三） 下列曲线中有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2 sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x =+ （4）（数三） 设2 3 ()P x a bx cx dx =+++，当0→x 时，若()tan P x x -是比3 x 高阶的无穷小，则下 列选项中错误．． 的是（ ） （A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）6 1 =d
（5）（数一、二、三） 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ （6）（数二） 曲线22 7,41 x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是（ ） （A （B （C ）（D ） （7）（数二） 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf ξ'=，则2 2 lim x x ξ→=（ ） （A ）1 （B ）23 （C ）12 （D ）13
2014年考研数三真题及答案解析(完整版)
2014年考研数三真题与答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a a > （B ）2 n a a < （C ）1 n a a n >- （D ）1 n a a n <+ （2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）2 1sin y x x =+ （3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16 d = （4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥
（5）行列式 00000000a b a b c d c d = （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222 b c a d - （6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 （7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4 （8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，则统计量12 3 2X X X -服从的分布为 （A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2) 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。 (10)设D 是由曲线10xy +=与直线0y x +=及y=2围成的有界区域，则D 的面积为_________。 (11)设 20 1 4 a x xe dx = ? ，则_____.a =
2014年考研数学二真题与解析
推荐：考研数字题库和资料 2014年考研数学二真题和分析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α 1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2 11 21 1x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知?????>>121 α α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹 的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当