微积分复习及解题技巧

《微积分》复习及解题技巧

第一章函数

一、据定义用代入法求函数值：典型例题：《综合练习》第二大题之2

二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）

对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合）主要根据： ①分式函数：分母≠0 ②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0

④反正（余）弦函数式：自变量 ≤1

在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。

典型例题：《综合练习》第二大题之1

补充：求y=x x 212-+的定义域。（答案：212<≤-x ）

三、判断函数的奇偶性：

典型例题：《综合练习》第一大题之3、4

第二章极限与连续

求极限主要根据： 1、常见的极限：

2、利用连续函数：

初等函数在其定义域上都连续。例：

3、求极限

的思路：

可考虑以下9种可能：

①0

0型不定式（用罗彼塔法则） ②

0C =0 ③∞

0=0

④01C =∞ ⑤21

C C ⑥∞

1C =0 ⑦

0∞=∞ ⑧2

C ∞

=∞ ⑨∞∞型不定式（用罗彼塔法则）

1sin lim

=→x

x e x x

x =??

? ??+∞

→11lim

)0(01

lim

>=∞

→ααx

x )

()(0lim

x f x f x x =→11lim

=→x

x 1)

()

(lim =→

x g x f x α

??∞≠=→

)

0(0

)(11lim 常数C C x f x α

??∞≠=→

)

0(0

)(22lim 常数C C x g x α

特别注意：对于f （x ）、g （x ）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P70下总结的“规律”。

以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！

典型例题：《综合练习》第二大题之3、4；第三大题之1、3、5、7、8

补充1：若1)

1(sin 2

lim

=++-→b

ax x x x ，则a= －2 ，b= 1 . 补充2：21

221211111lim lim

e x x x x x

x x x

x =?

???

?-+=??? ??-+-?-∞

→∞

→

补充3：

1121121121121...513131121)12)(12(1...751531311lim lim lim

=??? ??+-=

???

?+--++-+-=??????+-++?+?+?∞→∞→∞

→n n n n n n n n 补充4：

1ln lim

-→x x x

l i m

=→x x

（此题用了“罗彼塔法则”）

型0

第三章导数和微分

一、根据导数定义验证函数可导性的问题：典型例题：《综合练习》第一大题之12 二、求给定函数的导数或微分：求导主要方法复习：

1、求导的基本公式：教材P123

2、求导的四则运算法则：教材P110—111

3、复合函数求导法则（最重要的求导依据）

4、隐函数求导法（包括对数函数求导法） 6、求高阶导数（最高为二阶） 7、求微分：dy=y / dx 即可

典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9 补充：设y=22)(1arctgx x ++，求dy. 解：∵2222

1211122112

x arctgx

x x arctgx x x y +++=+?

+?+?

=' ∴dy=)121(22x arctgx

dx y +++=?'dx

第四章中值定理，导数的应用

一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题：

典型例题：《综合练习》第一大题之16、19

二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程：

典型例题：《综合练习》第二大题之5

二、函数的单调性（增减性）及极值问题：

典型例题：《综合练习》第一大题之18，第二大题之6，第六大题之2

第五章不定积分第六章定积分

Ⅰ理论内容复习： 1、原函数：)()(x f x F ='

则称F （x ）为f （x ）的一个原函数。 2、不定积分：

⑴概念：f （x ）的所有的原函数称f （x ）的不定积分。

?+=C x F dx x f )()(

注意以下几个基本事实：

())()(x f dx x f ='? ?+='C x f dx x f )()(

?=dx x f dx x f d )()(

?+=

C x f x df )()(

⑵性质：??≠=?)0()()(a dx x f a dx x f a 注意 []???±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ⑶基本的积分公式：教材P206 3、定积分： ⑴定义 ⑵几何意义

⑶性质：教材P234—235性质1—3 ⑷求定积分方法：牛顿—莱布尼兹公式 Ⅱ习题复习：

一、关于积分的概念题：

典型例题：《综合练习》第一大题之22、24、25、第二大题之11、14

二、求不定积分或定积分：可供选用的方法有——

⑴直接积分法：直接使用积分基本公式

⑵换元积分法：包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法 ⑶分部积分法

典型例题：《综合练习》第五大题之2、3、5、6 关于“换元积分法”的补充题一：

??++=++=+C x x d x x dx 12ln 21

)12(1212112 关于“换元积分法”的补充题二：?-3

x xdx

解：设x －3=t 2，即3-x =t ，则dx=2tdt.

∴?

-3

x xdx

?+dt t t

t 2)3(2=C t t +++?+6121212 =C t t ++63

23=C x x +-+-36)3(3

关于“换元积分法”的补充题三：

?+8

031x

解：设x=t 3，即

t =3

x ，则dx=3t 2dt.

当x=0时，t=0；当x=8时，t=2. 所以

?+8

031x dx =0

21ln )1(21313)1(313202

202????????++-=??????++-=+t t dt t t t dt t =3ln3

（此题为定积分的第二类换元积分法，注意“换元必换限”，即变量x 换成变量t 后，其上、下限也从0、8变为0、2）关于“分部积分法”的补充题一：

???

+-=-==C e x dx e xe xde dx xe x

x x x x )1( 关于“分部积分法”的补充题二：

C x arctgx dx x

x xarctgx arctgxdx ++-=+?

-=??2

1ln 2111 关于“分部积分法”的补充题三：

xdx x 1

=???? ?

?-=???? ??-=???? ??-=???121211ln 21ln 1ln 21ln 21221212212e x e xdx e x x x d x e x x xdx e

e e =)1(41)2121(211212122222+=+-=???

? ??-e e e e x e （此题为定积分的分部积分法）

三、定积分的应用（求曲线围成的平面图形面积）：典型例题：《综合练习》第六大题之4

注意：此题若加多一条直线y=3x ，即求三线所围平面图形的面积，则解法为——（草图略）

S=??-+-312

10)3()3(dx x x dx x x =??-+3

1210)3(2dx x x dx x

=13312301212322??? ??-+?x x x =????????? ??--??? ???-?+312327319231

（平方单位）

使用指南——本复习参考资料应当与人手一册的《综合练习题》配套使用并服从于《综合练习题》。另外，请注意如下几点：

①本复习参考资料中的蓝色字体的“补

充”题是以往年级的部分应试复习题，对今年

9月份考试的同志来说，仅仅作为参考补充。

②《综合练习题》是我们复习重点中的重点，请

对照答案将所有

．．题目

．．完整地做一遍（使题目与答案相结合而不要相分离，以便需要时加快查

找的速度和准确度）。

③请将上述做好的

．．．《综合练习题》随身携带，经常复习、记忆，为应试作好准备；

④考试时请注意审题，碰到实在不会做的大题，

如果你发现只是《综合练习题》上的题目改变

了数字，那么请将你能够知道的、原来那个题

目的解法步骤完整地写出来，也能获得该题一

部分的分数。对于填空、选择这样的小题，尽

你所能去做，不要留下空白！

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*．二、解答题（共18分每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,．解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，

《微积分》期末复习指导

《微积分》期末复习指导一、复习要求和重点函数 ⒈理解函数概念，了解函数的两要素定义域和对应关系，会判断两函数是否相同。 ⒉掌握求函数定义域的方法，会求函数值，会确定函数的值域。 ⒊了解函数的属性，掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点。 ⒋了解复合函数概念，会对复合函数进行分解，知道初等函数的概念。 ⒌了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。 ⒍知道初等函数的概念，理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）。 ⒎了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润等经济分析中常见的函数。 ⒏会列简单应用问题的函数关系式。本章重点：函数概念，函数的奇偶性，几类基本初等函数。一元函数微分学 ⒈知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道极限存在的充分必要条件：且 ⒉了解无穷小量概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即。 ⒊掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限的一般方法。两个重要极限的一般形式是：， ⒋了解函数在一点连续的概念，知道左连续和右连续的概念。知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。 ⒌理解导数定义，会求曲线的切线。知道可导与连续的关系。 ⒍熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单隐函数的导数。 ⒎了解微分概念，即。会求函数的微分。 ⒏知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。本章重点：导数概念，极限、导数和微分的计算。导数的应用 ⒈掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间。 ⒉了解函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法。知道函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值。

微积分2期末复习提纲答案

2015年6月微积分2期末复习提纲 1、本学期期末考试考察的知识点如下: 第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接展开以 1 ,,ln(1)1x e x x +-为主）约占35%; 第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。约占27%. 2、样题供参考（难度、题型）一、填空题：（14小题） 1、若D ：224x y y +≤，则 D d σ=??4π。(表示求解积分区域D 的面积——圆) ● 或D ：9122≤+≤y x ，则 ??=D dxdy 8π。(表示求解积分区域D 的面积——圆环) ● 或2 2 :4D x y y +≤，将 dxdy y D ??化为极坐标系下的累次积分4sin 20 sin d r dr π θ θθ? ? ． (判断θ的范围作为上下限，判断r 的范围作为上下限，y 用rsin θ代入) 7.3极坐标系下二重积分的计算 2、交换积分次序 1 1 (,)y dy f x y dx = ? ?1 (,)x dx f x y dy ? ?。（依题得：010<

高等数学基础期末复习资料全

《高等数学基础》课程期末考试复习资料册一、单项选择题 1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 2.函数在x=0处连续，则k=(C）. A.1 B.5 D.0 3.下列等式中正确的是(C). 4.若F(x)是4.f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A). 5.下列无穷限积分收敛的是(D).

6.设函数f (x)的定义域为，则函数f(x)- f(-x)的图形关于( D)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 7.当时，下列变量中( A)是无穷大量. 8.设f (x)在点x=1处可导，则 =(B). 9.函数在区间(2,4)满足(A). A.先单调下降再单调上升 B.单调上升 C.先单调上升再单调下降 D.单调下降 10.=(B). A.0 B. П C.2П D. П/2 11.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 12.当，变量(C)是无穷小量.

13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A). 14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）. 15.下列无穷限积分收敛的是(C). 16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称. A.坐标原点 B.x轴 C.y轴 D. y=x 17.当时，变量(D)是无穷小量.

18.设f(x)在x。可导，则=（C）. 19.若则=（B）. 20. =（A）. 21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 22.当k=（C）时，在点x=0处连续. A. -1 B. 0 c.1 D.2 23. 函数在区间(2,4)满足(B). A. 先单调下降再单调上升 B.单调上升 C. 先单调上升再单调下降 D.单调下降

大学微积分复习题

0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导一、考试说明考试题型包括：选择题(10道题，每题２分或者3分）。填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。证明题(2道题，平均每题10分）。考试时间：90分钟。二、课程章节要点第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数１．考试内容集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求（１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。（2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限１．考试内容数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念（2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。（3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。（5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续１．考试内容函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求（1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

微积分复习附解题技巧

《微积分》复习及解题技巧第一章函数一、据定义用代入法求函数值：典型例题：《综合练习》第二大题之2 二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合）主要根据： ①分式函数：分母≠0 ②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0 ④反正（余）弦函数式：自变量 ≤1 在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。典型例题：《综合练习》第二大题之1 补充：求y=x x 212-+的定义域。（答案：2 12<≤ -x ）三、判断函数的奇偶性：典型例题：《综合练习》第一大题之3、4

第二章极限与连续求极限主要根据： 1、常见的极限： 2、利用连续函数：初等函数在其定义域上都连续。例： 3、求极限的思路：可考虑以下9种可能： ①0 0型不定式（用罗彼塔法则） ② 2 0C =0 ③∞ 0=0 ④01 C =∞ ⑤21C C ⑥∞ 1C =0 ⑦ 0∞=∞ ⑧2C ∞=∞ ⑨∞ ∞ 型不定式（用罗彼塔法则） 1sin lim 0 =→x x x e x x x =??? ? ?+∞→11lim )0(01 lim >=∞→αα x x ) ()(0 lim 0 x f x f x x =→11 lim 1 =→x x 1) () (lim =→x g x f x α?? ???∞ ≠=→)0(0 )(11lim 常数C C x f x α?? ???∞ ≠=→)0(0)(22lim 常数C C x g x α

微积分总复习题与答案

第五章一元函数积分学例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写出cos t a == 邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ? 分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为' 1u =）解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-. 于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++???? 。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算： sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++???

曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册上海电机学院

第十章曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分 ()sin ()cos x L f x e ydx f x ydy ??--? ??与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数,且(0)0f =，则()f x = B A ． 1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- Ｃ. 1 ()2 x x e e -+ D ．0 2．闭曲线Ｃ为1x y +=的正向，则 C ydx xdy x y -+=+? C Ａ．０ B.2 C.4 D.６ 3．闭曲线C 为2 2 41x y +=的正向，则 22 4C ydx xdy x y -+=+? D A ．2π- B 。 2π C 。0 D. π ４。∑为ＹOZ 平面上2 2 1y z +≤，则 2 22()x y z ds ∑ ++=?? D Ａ。０ B ． π C ． 14 π Ｄ． 12 π 5。设2 2 2 :C x y a +=，则 2 2()C x y ds +=? C A.22a π B. 2 a π C 。 3 2a π Ｄ． 3 4a π ６。设∑为球面2 2 2 1x y z ++=，则曲面积分 ∑ ［ B ］Ａ.4π B ．2π C.π D.12 π ７。设Ｌ是从Ｏ(0，0)到B(1,1）的直线段，则曲线积分 ? =L yds ［Ｃ］ A 。 21 B ． 2 1 - C. 22 Ｄ。 22- 8. 设I=? L ds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0)与点（1, １）之间的一段弧, 则Ｉ=［D ] A 。 655 Ｂ．1255 C ．6155- Ｄ。 12 1 55- 9．如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ,那么 σ 是（ D ） A ． ?-l ydy xdx 21; B 。 ?-l xdx ydy 2 1 ;

微积分大一基础知识经典讲解

Chapter1 Functions(函数) 1.Definition 1)A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f (x ), in a set B. 2)The set A is called the domain(定义域) of the function. 3)The range(值域) of f is the set of all possible values of f (x ) as x varies through out the domain. ?=)()(x g x f :Note 1)(,1 1)(2+=--=x x g x x x f E xample )()(x g x f ≠? 2.Basic Elementary Functions(基本初等函数) 1) constant functions f (x )=c 2) power functions 0,)(≠=a x x f a 3) exponential functions 1,0,)(≠>=a a a x f x domain: R range: ),0(∞ 4) logarithmic functions 1,0,log )(≠>=a a x x f a domain: ),0(∞ range: R 5) trigonometric functions f (x )=sin x f (x )=cos x f (x )=tan x f (x )=cot x f (x )=sec x f (x )=csc x 6) inverse trigonometric functions

微积分(下)期末复习题完整版

期末复习题一、填空题 1、=?→x t t x x 0 20 d cos lim . 2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=?b x x x f x 2d )(d d . 3、已知)(x F 是)(x f 的原函数，则?>+x x t a t f t )0( d )(1 等于 . 4、若2 e x -是)(x f 的一个原函数，则 ='? 10 d )(x x f . 5、 =++?-112d 1| |x x x x . 6、已知2 1)(x x x f +=，则)(x f 在]2,0[上的平均值为 . 7、设 ? =+π0 ),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续，则=)(x f . 8、设曲线k x y =(0,0>>x k )与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为3 1 ，则=k . 9、设y x y y x y x f arcsin )1()2(),(22---=，则 =??) 1,0(y f . 10、设y x z 2e =，则 =???y x z 2 . 11、交换积分次序 =? ?x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =? ? ---x x y y x f x 11 1 2 2d ),(d . 13、交换积分次序 ? ?-2 210 d ),(d y y x y x f y ＝ . 二、选择题 1、极限x t t x x cos 1d )1ln(lim 2sin 0 -+?→等于（）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 2、设x x t t f x e d )(d d e 0=?-，则=)(x f （） (A) 2 1x (B) 21x - (C) x 2e - (D) x 2e -- 3、设)(x f 是连续函数，且C x F x x f +=?)(d )(，则必有（）B （A ）)(d )(x F t t f x a =? （B ）)(]d )([x F t t F x a ='? （C ） )(d )(x f t t F x a ='? （D ）)()(]d )([a f x f t t F x a -=''?

高等数学(下)期末复习题(附答案)

《高等数学（二）》期末复习题一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--，（C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线（C ）圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=? ? (C) 2230 02 3 a d r dr a π θπ=? ? (D) 2240 01 2 a d r rdr a π θπ=? ? 4、设的弧段为：2 3 0,1≤ ≤=y x L ，则=? L ds 6 （）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 ) 1(n n n 的敛散性为（）（A ）发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1010d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 1 010 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面（B ）柱面（C ）圆锥面（D ）椭球面

微积分二期末复习

期末复习指导第五章不定积分 1.积分的概念、性质若()()F x f x ' =，则称()F x 是()f x 的一个原函数。不定积分与导数或微分互为逆运算。（1）不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）： / ()()()()f x dx f x d f x dx f x dx ????==??????或（2）对一个函数的导数（或微分）求不定积分，其结果与这个函数仅相差一个积分常数： / ()()()()F x dx F x C dF x F x C =+=+??或。 2.不定积分和定积分的第一类换元法 ()()()()f x x dx f x d x ????'=? ????????? ()()()()()x t f t dt F t C t x F x C ???==+=+????? ()()()() b b a a f x x dx f x d x ????'=????????? ? ()()()()() x t f t dt F t F F β β αα ?βα===-? 注：（1）第一换元法又称为“凑微分法”（即“凑”复合函数的中间变量的导数），可以不设代换完成；（2）不定积分与积分变量有关，故需要“回代”变量；而定积分与积分变量无关，运算时不需要“回代”； 3.不定积分、定积分的第二类换元法 a 、根式代换

解题思路：“去根号”；解题方法：令 t =m m b dt x ct a -=-，有m m b dt dx dt ct a '??-= ?-??；特别地，t =，解出n t b x a -=，有1n n dx t dt a -=；代换原则：由左至右、依次代换、一次完成； b 、代换二次函数）解题思路：“去根号”；解题方法：（1）令sin x a t =，有cos dx a tdt =；（2）令tan x a t =，有2 sec dx a tdt =；（3）令sec x a t =，有sec tan dx a t tdt =；代换原则：由左至右、依次代换、一次完成；例题：注：不定积分与积分变量有关；而定积分与积分变量无关。 4.不定积分、定积分的分部积分法

大学微积分l知识点讲解总结(二)

大学微积分l知识点讲解总结(二) 【第五部分】不定积分 1.书本知识(包含一些补充知识) (1)原函数:F ’(x )=f (x ),x ∈I ,则称 F (x )是 f (x )的一个“原函数”。 (2)若F (x )是f (x )在区间上的一个原函数,则f (x )在区间上的全体函数为F (x )+c (其c 为常数) (3)基本积分表 ??+==c x dx dx 1 c x dx x +?+?=?+???11 1 (α≠1,α为常数) c dx x x +=??ln 1 ()()()??? ??+-?=?+-=?-+-=?++=?≠+=?c x x x dx x c x x dx x c x arc x dx x c e dx e a a a c a a dx a x x x x ln ln arccos arcsin 11 cot arctan 1110ln 2 2或或为常数,,> ()c x a x a a dx x a c a x a dx x a c a x dx x a c x x dx x

+-+?=?-+=?++=?-+++=?+????ln 211arctan 11arcsin 11ln 11 c x x x d c shx dx chx c chx dx shx +-=-+=?+=????cos ln cos cos c x dx x c x dx x c x dx x +=?+=?+-=????cos ln tan sin cos cos sin c x dx x +=??sin ln cot c x dx x x c x dx x x c x dx x c x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x +-=??+=??+-=?+=?+--=?+-=?++=?+-= ?+-=?++=???????????csc cot csc sec tan sec cot csc tan sec cot cot tan tan 2sin 4

微积分期末复习重点纲要zhshuyuan

微积分期末复习重点纲要z h s h u y u a n SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

09-10年微积分 (高数(三)) （下）期末复习指导第六章定积分一．本章重点定积分的基本性质，定积分的计算，变上限定积分的求导法。二．复习要求 1. 理解定积分的概念，知道定积分与不定积分的区别。函数() f x的不定积分是求导和求微分运算的逆运算。函数() f x在[],a b上的定积分是一个和式的极限，是一个确定的数，这个数只与被积函数() f x及积分区间[],a b有关。 2. 理解并记住定积分的基本性质。 3. 理解变上限定积分的概念，熟练掌握求变上限定积分的导数的方法： 4. 熟练掌握用牛顿—莱布尼兹公式求定积分的方法。牛—莱公式将定积分与不定积分这两个截然不同的概念联系起来，求定积分的值，只需求出被积函数() f x的一个原函数() F x，再应用牛—莱公式即可。因而计算定积分也与求不定积分类似，有直接积分法，换元积分法，分部积分法。 5. 熟练掌握定积分的换元积分法，分部积分法。注意：用换元法求定积分时，换元必换限，无需还元；若是凑微分而不显示“换元”，则积分限不作变换。定积分适用分部积分的类型及u、dv的选择都与不定积分类似，唯一的区别是定积分的分部积分公式中每一项都带着积分上、下限，而且为了减少出错，要及时计算出a uv b 的值。 6. 熟记奇偶函数在对称区间上的积分的性质。7．熟练掌握用定积分求平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。三．例题选解例1.求极限 lim x+ → 4 6 arcsin x x ? 解: 这是型不定式，应用罗彼塔法则及变上限定积分求导法，有原式＝ 3 5 (arcsin lim 6 x x x + → ＝ 23 5 24 lim 6 x x x x + → ? （无穷小代换）＝ 4 3 例2. 求定积分： ⑴ 1 1 x - ?⑵dx x x ? + 4 1 1 （3 ） 2 1 e xdx ?. 解: ⑴根据奇函数在对称区间积分的性质，有： 1 1 x - = ? ⑵．本题被积函数含一次函数的根式，且不能用直接积分法和凑微分求解，适用第二类换元法。令t=则2,2 x t dx tdt ==；当1 = x时，1 = t，当4 x=时2 t=. dx x x ? + 4 1 1 =tdt t t 2 1 2 1 2 ? + ?=dt t t ? + 2 1 2 2 1 2 =dt t t ? + - + 2 1 2 2 1 2 2 2 =dt t ? + - 2 1 21 2 2 =2 1 ) arctan 2 2(t t-

微积分期末复习总结资料(精品)

微积分期末复习总结资料（精品）首先，就是要有正确的复习方法。在这里，我们也给大家提供几种有效的方法以供参考：第一、大家首先要克服浮躁的毛病，养成看课本的习惯。其实，所有的考试都是从课本知识中发散来的，所以在复习时就必须看课本，反复的看，细节很重要，特别是基本概念和定理。详细浏览完课本之后，认真复习课本上的课后习题和学习指导上每章的复习小结，力争复习参考题每题都过关。复习小结了然于心，然后再复习。第二、制定复习计划，把时间合理分配到四个章节，尤其是第二章极限尤为重点，是整个上学期微积分理论的基础。学好极限，对于理解连续还有导数有着重要意义，很多同学觉得越学越吃力的原因还是在于学期初没有扎实的打好知识基础。第三、理清知识结构网络图（极限、连续、导数、不定积分），然后根据知识结构网络图去发散、联想基础概念和基本定理和每个知识点的应用计算题，对本章节的内容有个清晰的思路，这样就可以在整体上把握书本知识。从整体上把握书本知识有利于我们对于试卷中的一些基本的题目有一个宏观的把握，对于试卷中的问答题，可以从多角度去理解和把握，这样就能够做到回答问题的严密性。第四、将课上老师所讲授的典型例题及做习题过程遇到的难题还有易错的题归纳整理，分析。数学当中很容易出现同一个问题有几种不同的解决方法的情况，但是经过总结归纳之后在应试时可以选取一个最简单而且效率最高的解法。比如，求极限的13种方法要分别练习，还有求导、求微分及求不定积分公式表要经常回顾。第五、有条件的话可以看看往年的考试真题，针对出现较频率较高的题型，适当的做些有针对性的模拟试题。另外，应该多做那些自己认为知识点理解、应用薄弱的题，对一些难题可在自己思考的基础上加强与同学、老师的交流，对于那些偏题、怪题笑而弃之。其次，有了好的复习方法，还要注意复习内容，也就是复习要点。微积分上学期的主要内容及基本要求经过详细整理分类主要包括以下三个部分，希望能够对大家的复习起到事半功倍的效果：函数、极限与连续 (一)基本概念 1．函数：常量与变量，函数的定义

大一微积分复习资料教学教材

大学的考试比较简单，主要以书本为主，下面的复习指导可作提引作用。 10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导第一章函数一．本章重点复合函数及分解，初等函数的概念。二．复习要求 1、能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。 2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。 3、牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中 ⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数 x y e =互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln v u v u e = ⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值. 4、掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。 5、知道分段函数，隐函数的概念。 . 三．例题选解例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2 sin x y e = ⑵.2 1 arctan( )1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。解： ⑴.2,,sin u y e u v v x ===⑵.21 arctan ,, 1.y u u v x v == =+ 例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？答： cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈ 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知cot y arc x =的定义域是 (,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=. cot14 arc π = 四．练习题及参考答案 1. ()arctan f x x = 则f (x )定义域为，值域为 f (1) = ；(0)f = . 2.()arcsin f x x = 则f (x )定义域为，值域为 f (1) = ；f = . 3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.3 ln(1)y x =- 答案： 1.（-∞ +∞）, (, )2 2 π π - , ,04 π

微积分期末复习重点纲要zhaoshuyuan

微积分期末复习重点纲要z h a o s h u y u a n 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

09-10年微积分 (高数(三)) （下）期末复习指导第六章定积分一．本章重点定积分的基本性质，定积分的计算，变上限定积分的求导法。二．复习要求 1. 理解定积分的概念，知道定积分与不定积分的区别。函数() f x的不定积分是求导和求微分运算的逆运算。函数() f x在[],a b上的定积分是一个和式的极限，是一个确定的数，这个数只与被积函数() f x及积分区间[],a b有关。 2. 理解并记住定积分的基本性质。 3. 理解变上限定积分的概念，熟练掌握求变上限定积分的导数的方法： 4. 熟练掌握用牛顿—莱布尼兹公式求定积分的方法。牛—莱公式将定积分与不定积分这两个截然不同的概念联系起来，求定积分的值，只需求出被积函数() f x的一个原函数() F x，再应用牛—莱公式即可。因而计算定积分也与求不定积分类似，有直接积分法，换元积分法，分部积分法。 5. 熟练掌握定积分的换元积分法，分部积分法。注意：用换元法求定积分时，换元必换限，无需还元；若是凑微分而不显示“换元”，则积分限不作变换。定积分适用分部积分的类型及u、dv的选择都与不定积分类似，唯一的区别是定积分的分部积分公式中每一项都带着积分上、下限，而且为了减少出错，要及时计算出a uv b 的值。 6. 熟记奇偶函数在对称区间上的积分的性质。 7．熟练掌握用定积分求平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。三．例题选解例1.求极限 lim x+ → 4 6 arcsin x x ?

重积分_期末复习题_高等数学下册_(上海电机学院)

第九章重积分一、选择题 1.I=222222(),:1x y z dv x y z Ω ++Ω++=???球面部，则I= [ C ] A. ???Ω Ω=dv 的体积 B.???1 42020sin dr r d d θ?θππ C. ???104 020sin dr r d d ??θππ D. ???104 020sin dr r d d θ?θππ 2. Ω是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1所围闭区域，则???Ω =xdxdydz [ B ] A. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 B. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 C. ???-1 021021 0dz x dx dy y D. ???---y x y dz x dx dy 210 21010 3. 设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =所围闭区域，1D 是D 位于第一象限的部分，则[B ] （A ）()()1 cos d d 2d d D D xy x xy x y xy x y +=???? （B ）()()()1 cos d d 2cos d d D D xy x xy x y x xy x y +=???? （C ）()()1 cos d d 2(cos())d d D D xy x xy x y xy x xy x y +=+???? （D ）()()cos d d 0D xy x xy x y +=?? 4. Ω:12 22≤++z y x ，则??? Ω =++++++dxdydz z y x z y x z 1 )1ln(2 2 2 222 [ C ] A. 1 B. π C. 0 D. 3 4π 5．222{(,),0}D x y x y a y =+≤≥，其中0a >，则D xy d σ=?? D A.2 20 sin cos a d r dr π θθθ?? B. 30 sin cos a d r dr π θθθ? ?

2019年的电大高等数学基础期末考试试题及答案

1 2019年电大高等数学基础期末考试试题及答案一、单项选择题 1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)( C.3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g 1-⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称． A. x y = B. x 轴 C. y 轴 D. 坐标原点 .函数2 e e x x y -=-的图形关于（ A ）对称． (A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 下列函数中为奇函数是（A ）． A. x x y -=3 B. x x e e y -+= C. )1ln(+=x y D. x x y sin = 下列函数中为偶函数的是（ D ）． A x x y sin )1(+= B x x y 2= C x x y cos = D )1ln(2x y += 2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12 lim 22 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x 2-2当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x 当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C 1e -x D 2x x .当0→x 时，变量（D ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C x 2 D )1ln(+x 下列变量中，是无穷小量的为（ B ） A ()1sin 0x x → B ()()ln 10x x +→ C ()1 x e x →∞ D.()22 24 x x x -→- 3-1设)(x f 在点x=1处可导，则=--→h f h f h ) 1()21(lim （ D ）． A. )1(f ' B. )1(f '- C. )1(2f ' D. )1(2f '-